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Con questa esercitazione analizziamo la ripartizione di una forza orizzontale (per esempio vento o sisma) su un edifico, possiamo così vedere la reazione di ogni telaio che compone l’impalcato e calcolare il centro di rigidezza.

L’impalcato analizzato è formato da telai piani in cls armato, di cui conosciamo la rigidezza poiché li considero come modelli Shear-type, un modello teorico che ipotizza l’uso di travi infinitamente rigide che non subiscono flessione, in modo da considerare solo il cedimento vincolare δ di ogni pilastro e quindi la rigidezza di questi.

Conosciamo la rigidezza di ogni controvento modello Shear-type che è:

F=kδ

k=12EI₁/hᶟ + 12EI₂/hᶟ

 

Generalizzando la formula da 2 a n pilastri

 

k=12EI/hᶟ ∑ᶰᵢ‗₁ Iᵢ

F= (12EI₁/hᶟ + 12EI₂/hᶟ) δ

 

Dall’analisi dell’impalcato possiamo individuare 8 telai piani (5 verticali e 3 orizzontali).

Telai verticali

Telaio 1v               1-6

Telaio 2v               2-7-11

Telaio 3v               3-8-12

Telaio 4v               4-9

Telaio 5v               5-10

Telai orizzontali

Telaio 1o               1-2-3-4-5

Telaio 2o               6-7-8-9-10

Telaio 3o               11-12

 

Ipotizzo i telai/controventi come vincoli cedevoli elasticamente e rappresentabili nel piano dell’impalcato xy (i telai vivono nei piani xz e yz) come molle di adeguata rigidezza k.

-Ora grazie ad un foglio Excel posso calcolare la rigidezza di ogni singolo controvento, tenendo presente che:

I pilastri sono a sezione rettangolare e misurano 40x40 cm quindi Ix=Iy

 

I = 40cm x 40 cm³/12 = 213333,33 cm⁴

-Trovate le rigidezze traslanti k calcoliamo le loro distanze dal punto d’origine O.

 

-Ora è possibile trovar il centro d’area dell’edificio: G. poiché si tratta di una geometria “complessa”, scompongo la pianta in due rettangoli di cui conosco i rispettivi centri d’area.

G1:                             x1 = 7 ,15m

                                   y1 = 6,5m

G2:                             x2 = 2,6m

                                   Y2 = 8,5m

Per trovare G sappiamo che

                                   xG = (A1 xG1 + A2 xG2 )/Atot     

                                   xG = (20mq  7,15m + 85mq 2,6 )/105mq = 3,45 m                          

                            

                                   yG = (A1 yG1 + A2 yG2 )/Atot     

                                   yG = (20mq  6, 5m + 85mq 8,5m )/105mq = 8,13m          

-Tramite Excel calcoliamo la rigidezza totale orizzontale (somma delle rigidezze di ogni controvento orizzontale), e allo stesso modo le calcoliamo le rigidezze verticali e la rigidezze torsionale globale e il centro delle rigidezze C. Dove:

xC=∑kvᵢ dvᵢ/kvtot

xC=∑koᵢ doᵢ/kotot

kφ=∑kvᵢ dd2vᵢ + ∑koᵢ dd2oᵢ

In questo modo posso vedere quanta è la distanza tra G e C. I due punti devono essere il più vicino possibile; infatti la forza orizzontale agisce direttamente sul centro delle rigidezze C e è necessario diminuire il più possibile il la distanza tra G e C che è il braccio per cui si moltiplica la forza che provoca la rotazione del corpo intorno a G.

Naturalmente per avvicinare i due punti tra loro devo agire sulle singole rigidezze dei telai e quindi sui momenti di inerzia dei pilastri. 

-Da normative è possibile fare un’analisi approssimativa per valutare la forza sismica (Fs).

                       Fs =W c

Dove W rappresenta la forza peso dell’edificio, data dal prodotto tra la massa e l’accelerazione di gravità permanente g. per definire il peso è necessario conoscere i carichi agenti sull’edificio.

Quindi definiti i carichi q_s, q_p e q_a agenti sull'impalcato, trovo il carico totale permanente G tramite la formula:

                                                      G = (q_s +  q_p  ) A_tot

ed il carico totale accidentale Q tramite la formula:

                                                      Q = qa x A_tot

Ora è possibile calcolare il peso sismico W:

                                          W = G + Ψ_2j x Q 

 

Ψ_2j = coefficiente di contemporaneità.

 -Poiché è impossibile sapere in che direzione si applicherà la forza orizzontale ipotizzo che essa agisca nei due casi peggiori, quindi lungo l’asse x (dove reagiscono solo i telai verticali) e lungo l’asse y (dove reagiscono solo gli orizzontali).

La Fs applicata lungo l’asse x comporterà quindi una possibile rotazione e traslazione orizzontale.

La Fs applicata lungo l’asse y comporterà quindi una possibile rotazione e traslazione verticale.

Dove :

lo spostamento orizzontale         u= F/ko_tot

Lo spostamento verticale             v= F/kv_tot

La rotazione                                     φ=M/k φ

E M è il momento torcente dato da Fs per il braccio (distanza C e G).

Determinati i valori dei gradi di libertà è possibile ricavare la forza sui singoli controventi nei due casi di carico.

 

In questa esercitazione andremo a calcolare come si ripartiscono le forze orizzontali (sismiche o causate dal vento) che agiscono su di un impalcato, andando ad analizzare le rigidezze dei suoi controventi, trovandone il centro di massa ed il centro delle rigidezze e calcolando gli spostamenti e la rotazione subiti dall'impalcato stesso.

 

L'impalcato proposto è un telaio in cemento armato assimilabile al comportamento di un telaio shear-type.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Identifichiamo quindi tutti i telai che hanno funzione di controventamento, orizzontalmente e verticalmente:

T1v - pilastri 1-6                                    T1o - pilastri 1-2-3-4-5

T2v - pilastri 2-7                                    T2o - pilastri 6-7-8-9-10

T3v - pilastri 3-8-11-14                           T3o - pilastri 11-12-13

T4v - pilastri 4-9-12-15                           T4o - pilastri 14-15-16

T5v - pilastri 5-10-13-16

 

I controventi possono essere idealmente rappresentati come delle molle in quanto rappresentano dei vincoli cedevoli elasticamente dell'impalcato, piochè permettono uno spostamento elastico.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Avendo inoltre detto che il telaio dell'impalcato è assimilabbile ad un modello shear-type, e sapendo che la rigidezza dei pilastri di tale telaio è k = 12EI / h³, possiamo calcolare la rigidezza k dei controventi come somma delle rigidezze dei pilastri che li compongono:

 

ad esempio:     kv1 = (12E / h³) x (I₁ + I₆)

con E, modulo di Young o modulo elastico = 21000 Mpa

      H, altezza del pilastro = 3,5 m

      I, momento d'inerzia del pilastro a sezione rettangolare = b x h³ / 12 che con dei pilastri 20x40 cm ho che

 

 

       I_y = 26666,67 cm⁴

 

       I_x = 106666,67 cm⁴

 

 

 

Ultilizzando la tabella excel (aggiungendo parti e modificando altre del file scaricabile dal sito) ottengo facilmente i valori delle rigidezze k dei controventi.

Fatto ciò raccolgo in una tabella le rigidezze dei vari controventi e la rispettive distanze da un punto d'origine O, da me posto sul pilastro 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trovo il centro di massa dell'impalcato suddividendolo il due geometrie semplici (due rettangoli) e utilizzo la formula dei centri adattandola per il centro di massa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Una volta trovato il centro di massa trovo il centro delle rigidezze con la stessa formula precedente dei centri ma adattata per il centro delle rigidezze

 

 

 

trovo a questo punto anche la rigidezza totale orizzontale, verticale e torsionale dell'impalcato

 

 

 

 

 

 

 

Vediamo dunque il centro di massa e quello delle rigidezze a confronto

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Il fatto che il centro delle rigidezze sia così distante dal centro di massa avrà ripercussioni negative sull'edificio in quanto la forze orizzontali (sia lungo x che lungo y), che agiscono in G, avranno un braccio e dunque provocheranno una rotazione dell'edificio. Sarebbe buona norma riprogettare i controventi in modo da dare maggiore rigidezza nel lato destro e superiore dell'impalcato così da avvicinare il centro delle rigidezze C il più possibile al centro di massa G.

 

Ora andiamo a calcolare il peso dell'impalcato allo SLE, che possiamo identificare come peso sismico W e lo moltiplichiamo per un coefficente c = 0,1, coefficente di intensità sismica che varia a seconda della zona in cui si trova l'impalcato. Così otteniamo la Forza sismica orizzontale.

 

 

 

 

 

La forza sismica quindi la andiamo ad applicare nel centro di massa dell'impalcato prima orizzontalmente (lungo x) e poi verticalmente (lungo y). Avremo quindi che la forza applicata in direzione x comporterà rotazione e traslazione orizzontale dell’impalcato mentre la forza applicata in direzione y comporterà rotazione e traslazione verticale dell’impalcato

Troviamo così lo spostamento orizzontale u = F / k_{o_tot} e lo spostamento verticale v = F / k_{v_tot}

La rotazione φ = M_c / kφ

Dove M_c è il momentro torcente dato dal prodotto tra forsa simica F ed il braccio, ovvero la distanza tra G e C (distanza lungo x e lungo y ovviamente).

 

Possiamo infine ricavarci la forza sui singoli controventi nei due casi di carico.

Quando la forza è applicata in direzione x

la reazione elastica dei controventi orizzontali è pari a F_{o_n} = k_{o_n} (u + φ dd_{o_n})

Mentre nei vericali è F_{v_n} = k_{v_n} φ dd_{v_n}

 

Quando la forza è applicata in direzione y

la reazione elastica dei controventi verticali è pari a F_{v_n} = k_{v_n} (v + φ dd_{v_n})

Mentre negli orizzontali è F_{o_n} = k_{o_n} φ dd_{o_n}

 

 

 In questa esercitazione bisogna calcolare come viene ripartita una forza orizzontale (sisma o vento), sui diversi telai che compongono la struttura, applicando il metodo delle rigidezze.

Si prende in esame una struttura a telaio in cemento armato e si considera il solaio rigido nel suo piano. Questo è costituito da un insieme di travi e pilastri che permette, oltre a trasmettere carichi verticali alle fondazioni, di sopportare le forze orizzontali svolgendo un ruolo di controventi. Questo sistema di controventi è chiamato telaio SHEAR-TYPE, ovvero, un modello teorico che ha travi infinitamente rigide impedendo che le estremità dei pilastri non ruotino.

Si individuano i telai che compongono la struttura:

Telaio 1v          composto da:        Pilastri 1 e 6

Telaio 2v          composto da:        Pilastri 2, 7 e 11

Telaio 3v          composto da:        Pilastri 3, 8 e 12

Telaio 4v          composto da:        Pilastri 4, 9 e 13

Telaio 5v          composto da:        Pilastri 5 e 10

Telaio 1o          composto da:        Pilastri 1, 2, 3, 4 e 5

Telaio 2o          composto da:        Pilastri 6, 7, 8, 9 e 10

Telaio 3o          composto da:        Pilastri 11, 12 e 13

I controventi vengono schematizzati come molle, aventi un’adeguata rigidezza, poichè rappresentano vincoli cedevoli elasticamente.

STEP 1

Per ottenere la rigidezza traslante degli 8 telai in esame ho bisogno dei seguenti dati:

E = Modulo di Young del cls 21000 MPa

H = altezza dei pilastri 3,50 m

I = momento di inerzia: 266.000 cm⁴ per il pilastro con b 0,50 cm e h 0,40 cm e 416.000 cm⁴ per il pilastro con b 0,40 cm e h 0,50 cm

                

Applico la seguente formula:

                                              

            

STEP 2

Si riportano nella tabella le rigidezze appena calcolate e le distanze dei  diversi controventi dall’origine 0.

           

STEP 3

Divido l’impalcato in due figure semplici e trovo il centro di massa e l’area di ognuno di esse.

Si trovano le coordinate del centro di massa tramite la formula:

                                              

          

In realtà questa formula individua il centro d’area dell’impalcato ma poichè la densità dell’impalcato è uniforme il centro d’area e il centro di massa coincidono,  diversamente non utilizzabile.

STEP 4

Possiamo calcolare:

1. Rigidezza totale orizzontale e verticale
2. Coordinate del centro delle rigidezze dell’impalcato
3. Rigidezza torsionale totale

Per la 1 basta sommare tutte le rigidezze traslanti dei controventi orizzontale e poi di quelle verticali.

Per la 2 si utilizza la formula:

                                            

e si posiziona così il centro di massa ed il centro delle rigidezze appena trovato all'interno del sistema di riferimento in cui si è disegnato l'impalcato.

Si applicano nel punto G prima una forza orizzontale e poi una verticale.

Se il punto C e il punto G coinciderebbero, l'impalcato soggetto a queste forze (sisma, vento...) traslerebbe nella stessa direzione della forza esterna e non ruoterebbe.

Questi punti non essendo coincidenti tra loro, l'impalcato non solo trasla nella direzione della forza applicata ma subisce una rotazione dovuta dal momento prodotto dalla forza esterna rispetto al centro delle rigidezze.

           

 

STEP 5

Definiti i carichi q_s, q_p e q_a agenti sull'impalcato, trovo il carico totale permanente G tramite la formula:

                                                      G = ( q_s +  q_p  ) A_tot

ed il carico totale accidentale Q tramite la formula:

                                                      Q = qa x A_tot

Ora è possibile calcolare il peso sismico W:

                                                      W = G + Ψ_2j x Q 

Ψ_2j = coefficiente di contemporaneità, in questo caso 0,3 categoria B uffici.

Il peso sismico W rappresenta la forza peso dell'edificio, data dal prodotto tra la massa dell'edificio e l'acelerazione di gravità. Poichè il sisma ha un accelerazione mediamente più piccola dell'accelerazione di gravità si introduce un coefficiente di intesità sismica c, che varia a seconda del luogo in cui si progetta il nostro edificio, in questo caso 0,100.

                                                      F = W x c

           

 

STEP 6 - 7

Si considera nello STEP 6 una forza sismica che agisce in direzione x provocando una traslazione orizzontale nell'impalcato ed una rotazione rigida.

                                                     u = F / K_{o_tot}

Mentre nello STEP 7 si considera una forza sismica che agisce in direzione y provocando una traslazione verticale nell'impalcato ed una rotazione rigida.

                                                    v = F / K_{v_tot}

rotazione impressa all'impalcato: 

                                                    ϕ = M / K_ϕ

Possiamo ora ricavare la forza sui singoli controventi quando la forza è parallela all'asse x utilizzando le formule :

                                            

Possiamo ora ricavare la forza sui singoli controventi quando la forza è parallela all'asse y utilizzando le formule :

                                          

       

       

 

Step 1:

Dato un impalcato in calcestruzzo armato come in figura con pilastri 400x600, calcolo le ripartizione delle forze orizzontali attraverso il metodo delle rigidezze.

Si identificano nell' impalcato tutti i telaio che fungono da controventi per le forze orizzontali che agiscono sulla struttura, quindi:

v1 - pilastri: 1-4-7-9

v2 - pilastri: 2-5-8-10

v3 - pilastri: 3-6

 

o1 - pilastri: 1-2-3

o2 - pilastri: 4-5-6

o3 - pilastri: 7-8

o4 – pilastri: 9-10

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Il Modulo di Yang è pari a 21000 N/mm² per il calcestruzzo, l' altezza dell' impalcato è 3,00m, successivamente calcolo i due momenti di inerzia negli assi x e y del profilo rettangolare pari a Ix = bh³/12  e Iy = b³h/12 (72000 cm⁴ e 32000 cm⁴). Faccio delle semplificazioni e  considero l’ impalcato come una struttura a telaio Shear-Type con infinita rigidità assiale. Questo ci permette di calcolare la rigidezza traslante K_T di ogni telaio:

k= (12 EI) / h³

Calcolando la somma delle rigidezze dei singoli pilastri, riusciamo a determinare la rigidezza traslante di tutto il telaio, poiché il telaio Shear-Type ha una rigidezza pari a:

K_telaio= (12 E) / h³ x sommatoria dei Momenti di Inerzia

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Step 2:

Si riportano in tabella tutte le rigidezze calcolate prima, con relative distanze tra esse e l’origine degli assi posto in basso a sinistra dell’impalcato:

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Step 3:

Data la difficoltà nel trovare il centro di massa G(Xg;yg) si scompone, come in figura, la struttura in due parti.

Troviamo le coordinate del centro d’area dell’ impalcato facendo il rapporto tra la somma delle aree moltiplicate per le rispettive coordinate dei propri centro d’ area e l’ area totale dell’ impalcato.

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Step 4:

La tabella si divide in due parti:

• Prima calcoliamo le rigidezze totali sia in direzione verticali che orizzontali sommando tutte le rigidezze dei controventamenti nello step 1.
• Poi viene calcolata “Kφ” la rigidezza torsionale che si ricava tramite la sommatoria di tutte le rigidezze ricavate nello step-1 per la loro distanza dal centro delle rigidezze, ricavato nello step-4.

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Step 5:

A questo punto si ricavano i carichi G(kN) e Q(kN), in accordo con le norme tecniche vigenti, dalle seguenti formule:

G = (Qs + Qp) x A_tot

Q = Qa x A_tot

Si distinguono due carichi differenti per il calcolo:

 W(kN)= peso sismico: poiché il carico G rappresenta il carico strutturale e il sovraccarico permanente, mentre il carico Q racchiude tutti i carichi accidentali moltiplicati con un coefficiente di contemporaneità ψ dato da normativa.

W = G + (Q x ψ)

Questo carico W rappresenta il peso sismico e poiché ha un’accelerazione più piccola di quella di gravità, si moltiplica alla forza peso con un coefficiente riduttivo da normativa (c) secondo la sismicità del luogo:

F = W x c 

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Step-6-7:

Si dovrà ora quantificare la ripartizione, per ogni singolo controvento, della forza sismica F lungo l’asse x e lungo quello y. L’impalcato scelto ha il centro di massa non coincidente con il centro delle rigidezze: questo comporta, nel momento che la forza sismica agisce, una traslazione e una rotazione.

Per poter conoscere il valore di questa rotazione, si calcola:

•  Momento Torcente M per l’asse x, moltiplicando la forza sismica F per il suo braccio, ovvero la differenza tra l’ordinata del centro delle rigidezze e quella del centro di massa, e per l’asse y, utilizzando come braccio la differenza tra le ascisse dei due centri.
• Traslazione orizzontale, facendo il rapporto tra F e la rigidezza totale orizzontale;
• Traslazione verticale, facendo il rapporto tra F e la rigidezza totale verticale,
• Le conseguenti Rotazioni, dividendo i rispettivi Momenti Torcenti per la rigidezza torsionale totale “Kφ” (kN/m):

L’obiettivo di questa quinta esercitazione è quello di calcolare come viene ripartita una forza orizzontale, come ad esempio quella sismica o quella del vento, su un telaio che compone una struttura, applicando il metodo delle rigidezze. 

Si prende in considerazione un edificio in calcestruzzo armato ad un solo piano la cui struttura è composta da telai piani. Questi elementi strutturali, oltre a trasmettere i carichi verticali alle fondazioni, possono svolgere il ruolo di controventi poiché sono in grado di sopportare anche le azioni orizzontali.

Nella pianta strutturale si possono individuare 7 telai, 3 paralleli all’asse y e 4 paralleli all’asse x:

1v --> pilastri  1-6-9                             1o --> pilastri  1-2-3-4

2v --> pilastri  2-4-7-10                        2o --> pilastri 4-5

3v --> pilastri 3-5-8                              3o --> pilastri 6-7-8

                                                            4o --> pilastri 9-10

I controventi, essendo vincoli cedevoli elasticamente, possono essere schematizzati nel piano dell'impalcato come molle, aventi ognuno una propria rigidezza.

Ipotizzando che ogni telaio sia modellato come Shear-Type, la rigidezza si calcola come segue:

F = (12EI₁ / h³ + 12EI₂ / h³) d

F = k d

k = (12EI₁ / h³ + 12EI₂ / h³)

E’ possibile dunque calcolare la rigidezza traslante associata ad ogni controvento sommando le rigidezze dei singoli pilastri che lo compongono.

 

E = modulo elastico cls armato = 21000 Mpa                         

I = momento d’inerzia del pilastro che varia a seconda dell’orientamento -->       I_x = bh³ / 12                  I_y = b³h / 12

       

    Sezione del pilastro

    b = 25 cm

    h = 40 cm

    Ix = 133333,33 cm⁴

    Iy = 52083,33 cm⁴  

 

Di seguito sono riportati, in una tabella riassuntiva, i valori delle rigidezze dei controventi e le relative distanze dall’ origine.

A questo punto è necessario calcolare le coordinate del centro di massa. In questo caso quest’ ultimo coincide con il centro d’area perché si ipotizza che la densità di massa sia uniforme su tutto l’impalcato.

Si suddivide l’impalcato in figure elementari e vengono indicati i centri d’area di ognuna di queste figure. A questo punto le coordinate del centro di massa valgono:

xC_m = A₁ xC₁ + A₂ xC₂ / A_tot  = 3,65

yC_y = A₁ yC₂ + A₂ yC₂ / A_tot = 3,15

Ora è possibile calcolare:

• rigidezza totale orizzontale, somma delle rigidezze dei singoli controventi orizzontali;
• rigidezza totale verticale, somma delle rigidezze dei singoli controventi verticali;
• coordinate del centro delle rigidezze;
• rigidezza torsionale totale.

 

Le coordinate del centro di rigidezza valgono:

x_c = k_v1 d_v1 + k_v2 d_v2 + k_v3 d_v3 / k_v,tot = 2,71

y_c = k_o1 d_o1 + k_o2 d_o2 + k_o3 d_o3 + k_o4 d_o4 = 2,03

Ora si possono posizionare il centro di massa ed il centro delle rigidezze all’interno del sistema di riferimento in cui si è disegnato l’impalcato.

 

Come si nota dall’ immagine, i due punti in questo caso non coincidono. Dunque, applicando una forza in direzione orizzontale o verticale nel centro di massa dell’impalcato, oltre alla traslazione si verificherà una rotazione indotta dal momento prodotto dalla forza esterna rispetto al centro delle rigidezze.

Calcolando tutte le distanze dei controventi dal centro delle rigidezze, è possibile ricavare anche il valore della rigidezza torsionale:

k_{j =} k_v1 dd²_v1 + k_v2 dd²_v2 + k_v3 dd²_v3 + k_o1 dd²_o1 + k_o2 dd²_o2 + k_o3 dd²_o3 + k_o4 dd²_o4­ = 87336281211,66

Ora bisogna effettuare l’analisi dei carichi sismici per ricavare la forza sismica che agisce nel centro di massa, considerando i carichi strutturali, permanenti ed accidentali di un solaio in cls armato di una civile abitazione.

 

CARICHI STRUTTURALI

 

• Soletta in cls -->  γ = 25,00 KN/mc

                                       s = 40 mm = 0,04 m

                                       p.p. =  25 x 0,04 = 1 KN/mq

 

• Travetti -->  γ = 25,00 KN/mc

                              Smedio = 0,12 x 0,2 / 0,50 = 0,048 m

                              p.p. =  25 x 0,048 = 1,20 KN/mq

 

• Pignatte -->  γ = 8,00 KN/mc

                               Smedio = 0,38 x 0,2 / 0,50 = 0,152 m

                               p.p. =  8 x 0,152 = 1,22 KN/mq

 

TOTALE CARICHI STRUTTURALI = 3,42 KN/mq

 

CARICHI PERMANENTI

• Pavimento in gres (s = 20 mm)  à p.p. =0,40 KN/mq
• Massetto di allettamento in cls alleggerito --> γ=20,00 KN/mc

                                                                                    s = 80 mm = 0,08 m

                                                                                    p.p. =  20 x 0,08 = 1,6 KN/mq 

• Isolante acustico (s = 30 mm) --> p.p. =0,30 KN/mq
• Massetto in malta di cemento -->  γ = 25,00 KN/mc

                                                                  s = 40 mm = 0,04 m

                                                                 p.p. =  25 x 0,04 = 1 KN/mq 

• Intonaco (s = 20 mm)  --> γ = 18,00 KN/mc

                                                     s = 20 mm = 0,02 m

                                                     p.p. =18 x 0,02 = 0,36 KN/mq

• Incidenza impianti --> 0,5 KN/mq
• Incidenza tramezzi --> 1,60 KN/mq

TOTALE CARICHI PERMANENTI = 5,76 KN/mq

 

CARICHI ACCIDENTALI

• Cat. A _ Civile abitazione à 2 KN/mq

 

Vengono calcolati il carico totale permanente G ed il carico totale accidentale Q a partire dal valore dei carichi per unità di superficie [kN/mq].

G = (q_s + q_p) A_tot = 446,15 kN

Q = q_a A_tot = 97,20 kN

In accordo con le norme tecniche per le costruzioni (NTC2008), utilizziamo la combinazione sismica per calcolare i pesi sismici.

W = G + y_2j Q = 475,31 kN                        y_2j = coeff. di contemporaneità indicato dalla norma

Il peso sismico W rappresenta la forza peso dell’edificio, data dal prodotto tra la massa dell’edificio e l’accelerazione di gravità. Dato che il sisma  produce un’accelerazione mediamente più piccola dell’accelerazione di gravità, si introduce un coefficiente di intensità sismica cche tiene conto della sismicità del luogo di progettazione dell’edificio.

F = W c =  47,53 kN

Infine è necessario ripartire la forza sismica sui controventi ed i relativi effetti dinamici sull’ impalcato in termini di traslazione e di rotazione rigida.

Si considerano 2 casi:

1_ Forza sismica agente in direzione x, traslazione orizzontale e rotazione rigida;

2_ Forza sismica agente in direzione y, traslazione verticale e rotazione rigida.

 

Spostamento orizzontale -->  u = F / k_o,tot

Spostamento verticale --> v = F / k_v,tot

Rotazione --> j = M / k_j                           

Determinati i valori dei gradi di libertà è possibile ricavare la forza sui singoli controventi nei due casi di carico.

1 _ F // x

 Controventi orizzontali --> F_{o_n} = k_{o_n} (u + j dd_{o_n})

 Controventi verticali --> F_{v_n} = k_{v_n}  j dd_{v_n}

2_ F // y

Controventi verticali --> F_{v_n} = k_{v_n} (v +  j dd_{v_n})

Controventi orizzontali --> F_{o_n} = k_{o_n}  j dd_{o_n}

cari ragazzi e ragazze, con l'aiuto del vostro collega Tommaso ho stilato il seguente programma.. e' in allegato. Mi raccomando soprattutto di andarvi a rivedere l'introduzione al corso..

intelligenti pauca..

buon lavoro
la prof

 

 

 

 

INTRODUZIONE:

In questa esercitazione vedremo come si ripartisce una forza orizzontale (di natura sismica o atmosferica) sui telai che compongono la struttura intelaiata, che in questa esercitazione sarà di un solo piano.

Il sistema trave-pilastro permette, oltre che trasmettere i carichi verticali alle fondazioni, di sopportare le forze orizzontali rendendo i sistemi pilastro-trave dei controventi. La struttura esaminata sarà in cemento armato, e la tipologia dei controventi è chiamata telaio SHEAR-TYPE, che presenta tutti nodi all'incastro e la trave è ipotizzata infinitamente rigida a flessione rispetto ai pilastri, che vengono dotati di rigidezza k.

N.B.: Affinchè un sistema di controventamento sia efficace, gli impalcati vengono considerati corpi rigidi sul proprio piano (mentre al di fuori si inflettono) perciò i controventi reagiscono alla forza orizzontale che tende a spostarli, con la loro elasticità, ciò impone che un controvento, nel piano impalcato, sia un appoggio cedevole elasticamente.

Nella figura sopra è rappresentato un telaio shear-type a due ritti, dove la forza F sposta il traverso, che di conseguenza trascina con se i pilastri (si comportano come una trave doppiamente appoggiata). Il legame tra F e sigma (spostamento) è esplicitato nella formula F= [(12EI₁/h³) + (12EI₂/h³)]sigma (valevole per un telaio shear-type a due piedritti), dalla quale si ricava che k (rigidezza traslante di ogni pilastro)=12EI/h³,poichè F=k*sigma. Nel caso generale:

Grazie a questa esercitazione saremo in grado di determinare la reazione elastica di ogni controvento che sarà uguale ed opposta alla forza orizzontale che ogni singolo controvento è chiamato a ricevere attraverso il solaio (secondo il principio di azione-reazione).

DISEGNO:

Telai // all'asse y

Telaio 1v pilastri 1-5-9 ; Telaio 2v pilastri 2-6-10 ; Telaio 3v pilastri 3-7 ; Telaio 4v pilastri 4-8

Telai // all'asse x

Telaio 1o pilastri 1-2-3-4 ; Telaio 2o pilastri 5-6-7-8 ; Telaio 3o pilastri 9-10

Trattandosi di vincoli cedevoli elasticamente, i controventi vengono assimilati a molle.

DIMENSIONAMENTO:

Apro il file Excel, inserisco i dati di cui dispongo:

E=Modulo Elastico di Young (in Mpa o N/mm²); per cls con classe di resistenza C20/25

H=altezza dei pilastri (nel mio caso 3,5 m)

I=momento di inerzia di ciascun pilastro (calcolato lungo le due direzioni principali) che collabora alla formazione di ogni telaio.

Momento d'inerzia dei pilastri:

Pilastro m 0,5*0,3                     b=30 cm      h=50 cm       I_x= bh³/12 = 312500 cm4            I_y= hb³/12 = 112500 cm⁴                                                      

Inserisco i risultati nei calcoli e ottengo la rigidezza traslante dei miei 7 telai.

Nella seconda tabella riassumo le rigidezze dei controventi e inseriamo la distanza  dei rispettivi controventi dal punto di origine del sistema di riferimento da me adottato.

Nella terza tabella calcolo il centro di massa dell'impalcato, suddividendo l'area in forme geometriche  semplice delle quali mi ricaverò i singoli centri d'area.

Una volta trovate le coordinate rispetto a O dei singoli centri di massa, il file Excell mi calcola l'area totale dell'impalcato e il centro di massa totale grazie alle formule:

N.B. Le formule adottate si riferiscono ad un impalcato la quale densità sia omogenea su tutta l'area, trovandomi così sia il centro d'area che quello di massa, poichè coincidenti. Se la densità non fosse omogenea le formule adottate non sarebbero più valide.

Nella quarta tabella troviamo:

K_o=rigidezza totale orizzontale (somma delle rigidezze dei singoli controventi orizzontali)

K_v=rigidezza totale verticale (somma delle rigidezze dei singoli controventi verticali)

X_c e Y_c=coordinate dei centri di rigidezze dell'impalcato

K_phi=rigidezza torsionale totale.

Il centro delle rigidezze viene calcolato con la somma delle combinazioni tra le rigidezze e le rispettive distanze dal punto di origine. il tutto diviso per la rigidezza totale.

N.B.: La forza sismica deve essere applicata nel centro di massa G.

Dopodichè, posiziono i punti G e C (centro delle rigidezze) nello schema del mio impalcato, potendo così intuire se esso sarà soggetto solo a traslazione o anche a rotazione, ciò dipenderà dalla coincidenza o meno dei due punti.

In questo caso C e G non coincidono, anche se per poco, perciò in presenza di una forza orizzontale l'impalcato sarà soggetto sia a traslazione che a una rotzione, quest'ultima dovuta al braccio tra forza e centro delle rigidezze, creando un momento.

Con la quinta tabella effettuo l’analisi dei carichi sismici per ricavare la forza sismica che agisce nel centro di massa.

Riprendo i valori ottenuti nell'esercitazione per il dimensionamento della trave.

A partire da questi valori, il file calcola:

• G= il carico totale permanente, dato dal prodotto fra l’area totale e la somma dei carichi strutturali e permanenti
• Q= il carico totale accidentale, dato dal prodotta fra l’area totale e il carico accidentale
• W= Peso sismico o forza peso, calcolato attraverso la combinazione sismica, che richiede l’uso di ψ*²
• F= Forza sismica, data dal prodotta fra il peso sismico e c (coefficiente di intensità sismica in base alla localizzazione dell’edificio)

*² trattasi di un coefficiente di contemporaneità che tiene conto della funzione/categoria dell’impalcato; nel mio caso ho preso il valore riferito agli ambienti ad uso residenziale.

Le ultime due tabelle indicano come si ripartisce la forza sismica ai vari controventi, a seconda che essa agisca lungo l’asse x o l’asse y, e gli effetti cinematici (traslazione e rotazione rigida) sull’impalcato.

La sesta tabella ricava la forza sismica agente lungo X, la quale causa una traslazione orizzontale u ed una rotazione ϕ.

Il file di calcolo elabora i seguenti dati:

• M= momento torcente dato dalla formula F ^. (Y_c - Y_g)*³
• U_o= traslazione orizzontale dove u=F/ k_{o_tot}
• ϕ= rotazione cui è sottoposto l’impalcato; vale f= M/k_ϕ *⁴

*³ Nel mio caso è un valore positivo, quindi implica un momento antiorario.

*⁴ k_ϕ  è la rigidezza torsionale totale ricavata nella tabella 4.

La settima tabella ricava, invece, la forza sismica agente lungo Y, la quale, a sua volta, causa una traslazione verticale u ed una rotazione ϕ.

Nella tabella successiva, viene ripetuto lo stesso ragionamento, considerando la traslazione verticale:

• U_v= traslazione verticale dove u=F/ k_{v_tot}

Una volta determinati i valori dei gradi di libertà, posso ricavare la forza agente sui singoli controventi nei due casi di carico (verticale e orizzontale).

Noti u_{_o}, v_{_o}, ϕ, posso determinare le reazioni elastiche di ogni controvento attraverso le seguenti formule:

CASO 1 – Forza // all’asse X

• Fo_n=ko_n(u+ϕ∙ddo_n)       per i controventi orizzontali
• Fv_n=kv_n∙ϕ∙ddv_n            per i controventi verticali

CASO 2 – Forza // all’asse Y

• Fv_n=kv_n(v+ϕ∙ddv_n)       per i controventi verticali
• Fo_n=ko_n∙ϕ∙ddo_n            per i controventi orizzontali

Come già detto, si considera la forza nel piano dell’impalcato prima agente in direzione orizzontale e poi agente in direzione verticale; perciò analizziamo i due casi.