Esercitazione

Esercitazione Metodo delle Rigidezze – Trave di VIERENDEEL

Dal punto di vista statico la trave di Virendeel può essere intesa come un telaio “ SHEAR TYPE” ribaltato.

LA caratteristica principale di un telaio così è che la trave viene considerata come corpo infinitamente rigido (indeformabile), questo permette uno spostamento solo orizzontale nelle travi (δ), poichè gli unici elementi deformabili sono i pilastri.

Possiamo dire che nota una forza F lo spostamento, la deformata (δ),dipende dalla rigidezza dei pilastri.

Nella trave di Vierendeel il procedimento è lo stesso soltanto che essendo un telaio “shear type” ribaltato avrà i pilastri infinitamente rigidi e le travi gli unici elementi deformabili.

Gli esercizi seguono:

• il primo analizzerà una Trave di VIERENDEEL a mensola
• il secondo Trave di VIERENDEEL doppiamente incastrata

Trave di VIERENDEEL a mensola

Trave di VIERENDEEL doppiamente incastrata

Turning Torso - Santiago Calatrava

Quando nel 2005 venne completato l'acclamato Turning Torso a Malmö, i sogni del committente (tale Johnny Örbäck, allora presidente della cooperativa HSB) divenivano finalmente realtà. Il nuovo quartiere super sostenibile e ultra accessorriato della piccola cittadina svedese aveva così un landmark adeguato, una moderna torre di Babele che celebrava l'egemonia della cooperativa nell'ambito dell'edilizia residenziale, la cui straniante invasività trovava lecita giustificazione grazie al diktat della progettazione sostenibile.

Di qualità architettonica discutibile, la peculiarità della torre che a noi interessa in questa sede è il suo dinamismo, generato da una virtuale torsione dell'edificio su sè stesso. L'immagine ci rende quindi facilmente intuibile in cosa consiste in realtà la deformazione dovuta a torsione, generata dall'azione di un momento torcente attorno all'asse longitudinale dell'oggetto. Man mano che ci allontaniamo dalla prima sezione incastrata dell'elemento in esame, tanto più le sezioni successive saranno deformate dalla forza torcente, come rappresentato dall'immagine:

Pertanto, nella progettazione del telaio di un edificio, il cui comportamento è sempre sistemico, è importante tenere presente che i momenti flettenti agenti su una trave forniscono ulteriori sollecitazioni alle travi perpendicolari ad essa, sottoforma di momenti torcenti. In questa esercitazione analizzeremo quindi, tramite SAP2000, le diverse rigidezze torsionali di alcuni profilati di acciaio e di alcune sezioni in calcestruzzo armato, tutti sottoposti alle stesse sollecitazioni. Utilizzeremo questo semplice schema strutturale:

Eliminiamo la trave a sbalzo dello schema iniziale e la sostituiamo applicando al nodo un momento pari a ql²/2. Non è necessario aggiungere sul nodo anche la risultante del carico ql, in quanto, per l'elevata rigidezza del pilastro, la deformabilità assiale è trascurabile. Dagli schemi notevoli, inoltre, sappiamo quali momenti flettenti e torsionali si svilupperanno all'interno delle travi per bilanciare il momento generato dal carico agente sulla mensola. L'equazione di equilibrio alla rotazione sarà pertanto:

ql²/2 = ϕ_a ( 4EI/l + 4EI/l + GIT/l)

dove ϕ_a è la rotazione del nodo di cui vogliamo conoscere il valore. Dalla formula deduciamo che essa sarà in funzione dei soliti coefficienti E (modulo elastico), I (momento di inerzia), l (luce della trave) e di un nuovo coefficiente G, che indica il modulo di elasticità tangenziale, il cui valore cambia a seconda del materiale adottato.

Una volta fissati questi concetti, possiamo cominciare a impostare il nostro modello su SAP:

La deformata è stata intenzionalmente accentuata per mettere in evidenza la rotazione effettiva del nodo lungo l'asse x (R1). Di seguito i diagrammi delle sollecitazioni:

Taglio

Momento

Torsione

Stabilito il comportamento meccanico con delle sezioni generiche, passiamo ora ad utilizzare profili diversi per l'asta soggetta a torsione, annotando di volta in volta come cambia il valore della rotazione ϕ_a  del nodo, in base al profilato e al materiale utilizzato. Iniziamo con l'acciaio:

Profilo IPE

Profilo tubolare

Profilo UPN

Sezione in CLS rettangolare

Sezione in CLS prefabbricato

Di seguito riportiamo una tabella che riassume i dati ottenuti:

Alla luce di quanto ottenuto, possiamo quindi concludere che:

- L'acciaio, grazie ad un modulo di elasticità tangenziale (G) molto più alto del calcestruzzo, è decisamente il più performante dei materiali per quanto riguarda la torsione, nonostante l'area delle sezioni utilizzate sia di gran lunga inferiore.

- Tra i 3 profili in acciaio utilizzati, quello con la migliore rigidezza torsionale si è rivelato essere il profilo tubolare cavo, in quanto le tensioni tangenziali aumentano all'aumentare della loro distanza dall'asse torsionale. Avendo il profilo tubolare, per sua conformazione geometrica, una distanza media dall'asse risulta quindi essere la migliore soluzione.

- Le sezioni aperte invece costituiscono la peggiore scelta delle 3 in acciaio, ma comunque risultano essere sempre decisamente più rigide rispetto a delle sezioni in calcestruzzo piene, nonostante le sezioni piena siano avvantaggiate da un valore di I_t più alto.

Dimensionamento di un solaio ligneo

Si vuole dimensionare una trave di un solaio ligneo costituito da due campate di dimensioni 5X7 metri ciascuna.

Disegnamo quindi la struttura in pianta, e vediamo che la trave più sollecitata risulta essere la trave n.2, perchè la sua area di influenza è maggiore rispetto a quella delle altre due.

Consideriamo il solaio costituito dai seguenti elementi, con peso specific “P” e spessore “s” indicati:

pavimento in gres: P= 0,2 KN/mq; s=1,5 cm.

sottofondo: P=0,54 KN/mq; s=3 cm.

isolantein fibra di legno: P=0,0072 KN/mq; s=4 cm.

caldana: P=0,28 KN/mq; s=4cm.

tavolato: P=0,21 KN/mq; s=3 cm.

travetti: P=5 KN/mc; s=25 cm

Ci sono tre tipi diversi di carico che le travi del solaio devono sopportare:

Carichi strutturali “qs”, che sono quelli degli elementi strutturali

Carichi permanenti non strutturali “qp”.

Carichi accidentali “qa”, che per edifici residenziali è stimato pari a 2 KN/mq.

Procediamo così con i calcoli per determinare i vari carichi agenti considerando un’area pari a ad 1mq:

qs:

-travetti in legno (10X25 cm)

6KN/mc*1m*1m*0,25m=1,5 KN/mq

-tavolato:

0,21KN/mq*1m*1m*0,035m=0,00735 KN/mq

qp:

-caldana:

0,28 KN/mq*1m*1m*0,04m=0,011 KN/mq

-isolante in fibra di legno:

0,0072KN/mq*1m*1m*0,04m=0,00029KN /mq

-sottofondo:

0,54 KN/mq*1m*1m*0,03m=0,016 KN/mq

-pavimento in gres porcellanato:

0,2 KN/mq*1m*1m*0,01m=0,002 KN/mq

-incidenza degli impianti:

0,50 KN/mq.

qa:

2,00 KN/mq

calcolo  i carichi totali moltiplicandoli ognuno per il proprio coefficienti di sicurezza

qsTOT = 1,49 KN/mq

qpTOT= 0,04 KN/mq

qaTOT= 3 KN/mq

Ora si utilizza il foglio excel per poter determinare il valore del momento e scrivendo altri valori come il Kmod(= coefficiente di degrado nel tempo, che dipende dal carico e dall’umidità), e la resistenza caratteristica a flessione fmk pari a 24 N/mm^2 nel legno di classe GL24c.

La resistenza di progetto fd dovrà quindi essere pari alla σ ammissibile:

                                            σ ammissibile=fd

e sapendo che:

                                         fd=kmod*fmk/γm                                                   

completiamo la tabella inserendo i dati richiesti e troviamo la  e l’altezza della trave data una base che si ipotizza di 35 cm di spessore:

  Troviamo così che l’altezza necessaria della trave è 35,86 cm.

Ripartizione delle forze sismiche

Consideriamo un impalcato sottoposto a forze orizzontali, quali il sisma o l'azione del vento. In tal caso, nello schema meccanico i controventi giocano un ruolo essenziale e vengono associati ,per il loro comportamento elastico, a delle molle con una data rigidezza (k).

L'impalcato è caratterizzato da undici appoggi di sezione uguale (0,5x0,5m ) e altezza h=3m ed, essendo in calcestruzzo, ha modulo di Young E=21000 N/mm².

Calcolo dunque il momento d'Inezia IX, Iy:

In seguito, posso calcolare la rigidezza k. Trattandosi di un telaio infinitamente rigido, considero la formula:

STEP 1: calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

Inserisco i valori dei momenti di inerzia e delle rigidezze nel foglio exel per ciascun telaio.

Step 2: tabella sinottica controventi e distanze

inserisco i valori delle distanze di ciascuna molla dall'origine del sistema di riferimento (pilastro 3)

Step 3: calcolo del centro di massa

Step 4: calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

Step 5: analisi dei carichi sismici

Step 6: ripartizione forza sismica lungo X

Step 7: ripartizione forza sismica lungo Y

Nell’analisi meccanica di una struttura travi-pilastri, il più delle volte, o almeno per me,  si pone particolare attenzione alle sollecitazioni dovute a momento, taglio e sforzo normale. Nell’esercizio seguente si vuole capire, invece, in quale misura la torsione influisce nel comportamento di sistema della struttura stessa.

SCHEMA DI CALCOLO                                                                                             DEFORMATA

Lo sbalzo soggetto al carico distribuito è stato sostituito con il corrispondente valore del momento flettente applicato nel nodo, il quale ruota provocando nell’asta 3 una torsione. Le aste 1 e 2 hanno lo stesso comportamento che è riconducibile allo schema notevole già esaminato nei blog in precedenza.

Il problema presenta un’incognita (rotazione “ϕ” del nodo) che sarà trovata scrivendo l’equilibrio contro la rotazione del nodo:

ql²/2 = ϕ ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJT/l3)

L’esercizio sarà svolto utilizzando il programma SAP2000 dal quale otterremo i valori delle caratteristiche di sollecitazione delle aste considerando, in un primo momento, che queste siano di calcestruzzo ed abbiano una sezione circolare. Successivamente si cambierà di volta in volta sezione e materiale all’asta 3.

L’obiettivo è quello di capire se e quanto, al variare della rigidezza torsionale dell’asta 3, i valori delle sollecitazioni nelle aste 1 e 2 cambiano.

Si ricorda che per una generica sezione il momento torsionale vale:

MT = (G*JT/l) ϑ(l) dove:

G = modulo di elasticità tangenziale (dipende dal materiale)

                         Calcestruzzo:      Gcls = 10⁷KN/m²

                         Acciaio:               Gsteel = 8*10⁷KN/m²

JT = momento di inerzia polare (dipende dalla sezione)

ϑ(l) = angolo unitario di rotazione

(G*JT/l) rappresenta la RIGIDEZZA TORSIONALE delle generica asta di lunghezza "l".

Di seguito vengono esaminate le diverse sezioni. Per ognuna sarà riportato il valore del momento e del taglio massimo nelle aste 1 e 2.

1

      MATERIALE: calcestruzzo

      SEZIONE: circolare piena   →   Jt = Ip = πR⁴/2 = π (0,36)⁴/2 = 0,026 m⁴

Deformata                                  Taglio=3,36 Kn                       Momento = -6,78 Kn m

2

MATERIALE: calcestruzzo

SEZIONE: rettangolare   →   Jt = c2 ab³ = (0,281) 0,67 * (0.15)³ = 6,3 e-4 m⁴

Il valore di c2 è tabellato e viene definito dal rapporto di forma della sezione e cioè altezza/base.In questo caso a/b = 0.67/0.15 = 4,444 →c2 = 0,281

Deformata                                Taglio= 3,56Kn                          Momento = -7,19 Kn m

3

MATERIALE: acciaio

SEZIONE: rettangolare   →   Jt = c2 ab³ = (0,281) 0,67 * (0.15)³ = 0,026 m⁴

In questo caso a/b = 0.67/0.15 = 4,444 →c2 = 0,281

Deformata                                  Taglio= 2,81Kn                        Momento= -5,69 Knm

4

      MATERIALE: acciaio

      SEZIONE: quadrata cava   →   Jt = 4 Ω² t / lm = 4 * (0,038 m²)²  (0,01) / (0,78 m) = 7,4 e-5 m⁴

Deformata                                 Taglio= 3,58 Kn                            Momento = -7,25 Kn m

5

      MATERIALE: acciaio

      SEZIONE: doppio T   →   Jt = ΣJTi = 2,13 e-7 + 5,55 e-8 + 2,13 e-7 = 4,81 e-7 m⁴

Deformata                                 Taglio= 3,71 Kn                           Momento = -7,49 Kn m

6

      MATERIALE: calcestruzzo

      SEZIONE: quadrata piena   →   Jt = c2 ab³ = (0,14) 0,20 * (0,20)³ = 2,2 e-4 m⁴

      a/b = 0.20/0.20 = 1 →c2 = 0,14

Deformata                                 Taglio= 3,66 Kn                                Momento = -7,39 Kn m

7

      MATERIALE: acciao

      SEZIONE: quadrata piena   →   Jt = c2 ab³ = (0,14) 0,20 * (0,20)³ = 2,2 e-4 m⁴

      a/b = 0.20/0.20 = 1 →c2 = 0,14

Deformata                                  Taglio= 3,34Kn                       Momento = -6,75 Kn m

Nella tabella che segue viene stilata “una classifica” delle sezioni esaminate in base alla rigidezza torsionale.

Si può notare che:

Le sezioni in acciaio offrono una maggiore resistenza torsionale rispetto a quelle in calcestruzzo in quanto queste ultime hanno un modulo di elasticità tangenziale 8 volte superiore a quello in cls.

Le sezioni piene, grazie ad un maggiore valore di JT, offrono maggiore rigidezza torsionale rispetto alle sezioni cave.

Le sezioni chiuse resistono meglio a torsione rispetto alle sezioni aperte.