Esercitazione

Rigidezza torsionale

Andiamo ad analizzare la rigidezza torsionale in un sistema tridimensionale iperstatico.

La struttura è composta da una T con un braccio perpendicolare, la forza distribuita è applicata sul braccio privo di vincolo e l'azione può essere riassunta con il momento agente che va a provocare.

In una prima analisi isolo la struttura A-D-B e vado a calcolare i momenti agenti nei corpi A-D e B-D a causa del momento
ql²/2

Tramite l'integrazione della linea elastica ottengo i due momenti nei nodi: (4EI/l)φ

La rotazione della struttura provoca una torsione della asta D-C: (GJt/l)φ

Il momento agente viene ripartito nelle tre aste: M_tot= [(4EI/l)φ + (4EI/l)φ + (GJt/l)φ]* φ

A questo punto modello la struttura con sap inserisco i vincoli ed applico il momento agente

Vado a calcolare la deformata

E vado a visionare i tre diagrammi del: Taglio

Momento

e Torsione

Ora applico alla struttura due profili e materiali differenti
Il primo profilo è uno scatolare rettangolare in acciaio 0,3m * 0,15m con uno spessore di 0,006m

Il secondo profilo è un elemento 0,2m * 0,1m in cemento privo di ferri

 

 

Esercitazione_2.1

trave reticolare piana (risoluzione a mano e tramite software SAP2000)

 

 

1_

Il sistema proposto risulta essere un sistema isostatico, quindi per poterlo risolvere si ricorre ad uno schema equivalente di trave appoggiata-appoggiata per risolvere le reazioni vincolari e successivamente al metodo delle sezioni di Ritter per risoluzione delle aste della reticolare, quale metodo delle sezioni riesce a definire gli sforzi normali presenti sulle aste, definendo di conseguenza la loro natura di puntoni o tiranti.

 

 

2_

Si procede con la risoluzione di uno schema equivalente di trave appoggiata-appoggiata per definire le reazioni vincolari, nel caso dell’esercizio:

RUA = 0 

RVA + RVB - (9*F) = 0 ⇒ RVA = RVB = (1/2*(9*F))

 

 

3_

Si procede con l’applicazione del metodo delle sezioni di Ritter (metodo degli equilibri parziali), in questo metodo, la parte di struttura che deve essere in equilibrio viene individuata da una sezione che taglia le aste, dove le 3 aste tagliate non devono mai convergere nello stesso nodo. Questo metodo analizza le azioni di contatto presenti nelle aste andando a definire il loro sforzo normale e la loro classificazione (puntoni o tiranti).

 

 

sezione verticale_1

 

Eql. alla rotazione

MD= F*L + NAC*L - (1/2*(9*F))*L = 0 => NAC = (1/2*(7*F)) _puntone

Eql. delle forze verticali

(√2/2)*NAD - F + (1/2*(9*F)) = 0 => (√2/2)*NAD  = -(1/2*(7*F))

=> NAD = -(1/√2*(7*F)) _tirante

Eql. delle forze orizzontali

NBD + (1/2*(7*F)) - (1/2*(7*F)) = 0 => NBD = 0 _scarica

sezione obliqua_1

 

Eql. delle forze verticali

NAB + (1/2*(9*F)) - (1/2*(7*F)) = 0 => NAB = -F _tirante

 

sezione verticale_2

 

Eql. alla rotazione

ME= F*L  + (2*(F*L))+ NCF*L - (1/2*(9*F))*(2*L) = 0 => NCF = (1/2*(3*F)) _puntone

Eql. delle forze verticali

(√2/2)*NCE - 2*F + (1/2*(9*F)) = 0 => (√2/2)*NCE  = -(1/2*(5*F))

=> NCE = -(1/√2*(5*F)) _tirante

Eql. delle forze orizzontali

NDE + (1/2*(3*F)) - (1/2*(5*F)) = 0 => NDE = F _puntone

sezione obliqua_2

 

Eql. delle forze verticali

- NDc + (1/2*(9*F)) - 2*F = 0 => NDC = - (1/2*(5*F)) _tirante

 

sezione verticale_3

 

Eql. alla rotazione

MD= F*L  + (2*(F*L)) + (3*(F*L)) + NFH*L - (1/2*(9*F))*(3*L) = 0 => NFH = (1/2*(15*F)) _puntone

Eql. delle forze verticali

(√2/2)*NFG - 3*F + (1/2*(9*F)) = 0 => (√2/2)*NCE  = -(1/2*(3*F))

=> NFG = -(1/√2*(3*F)) _tirante

Eql. delle forze orizzontali

NEG + (1/2*(15*F)) - (1/2*(3*F)) = 0 => NEG = 6*F _puntone

sezione obliqua_3

 

Eql. delle forze verticali

- NEF + (1/2*(9*F)) - 3*F = 0 => NEF = - (1/2*(3*F)) _tirante

 

sezione verticale_4

 

Eql. alla rotazione

MI= F*L  + (2*(F*L)) + (3*(F*L)) + (4*(F*L)) + NHJ*L - (1/2*(9*F))*(4*L) = 0

=> NHJ = 8*F _puntone

Eql. delle forze verticali

(√2/2)*NHI - 4*F + (1/2*(9*F)) = 0 => (√2/2)*NCE  = -(1/2*F)

=> NHI = -(1/√2**F) _tirante

Eql. delle forze orizzontali

NGI  + 8*F - (1/2**F)  = 0 => NGI = (1/2*(15*F)) _puntone

sezione obliqua_4

 

Eql. delle forze verticali

- NGH + (1/2*(9*F)) - 4*F = 0 => NGH = 1/2*F _puntone

 

sezione obliqua_5

 

Eql. delle forze verticali

- NIJ + (1/2*(9*F)) - 5*F = 0 => Nij = - (1/2*(3*F)) _tirante

 

4_

Successivamente alla risoluzione del sistema della trave reticolare si procede con la graficizzazione del diagramma dei sforzi normali delle aste, come si può vedere in fingura:

 

 

 

5_

Successivamente alla risoluzione a mano del sistema della trave reticolare si procede con la verifica tramite il software SAP.

La modellazione viene effettuata per comodità direttamente in SAP.

creare un nuovo file con una griglia utile al disegno dell’asta:

FILE > NEW MODEL >

QUICK GRID LINES > impostare 9 assi sull’asse x, 1 sull’asse y e 2 sull’asse z > impostare come GRID SPACING la dimensione che vorremo dare alla lunghezza della trave

 

le impostazioni date alla griglia dovrebbero produrre una condizione analoga alla seguente:

 

disegnare le aste della trave seguendo la spaziatura della griglia preimpostata.

 

assegnare i vincoli: 

selezionare il punto > ASSIGN > JOINT RESTRAINTS > spuntare le sollecitazioni che il vincolo da posizionare trattiene

 

assegnare un incastro a sinistra ed un carrello a destra

 

Dato che in una struttura reticolare tutti i vincoli interni sono cerniere, dobbiamo fare un’operazione di rilascio del momento ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 – END 0.

 

N.B. In questo tipo di esercizi, impostiamo l’analisi in modo che non consideri il peso proprio della struttura (che costituirebbe un carico distribuito su travi che si deve considerare scariche). 

Ciò viene fatto creando un nuovo LOAD PATTERN che abbia 0 come coefficiente di moltiplicazione del carico SELF WEIGHT MULTIPLER.

 

Si procede con l’assegnazione dei carichi con il comando ASSIGN > JOINT LOADS > FORCES, trattandosi di un’idealizzazione per la quale i carichi sono concentrati tutti nei nodi.

 

N.B. si possono anche analizzare gli sforzi a cui sono sottoposti i vincoli dando il comando SHOW FORCES/STRESSES > JOINTS.

 

Possiamo ora avviare l’analisi. Il software mostra per prima cosa l’andamento della deformata.

 

Si può richiedere al programma di analizzare gli sforzi assiali (unici presenti) con il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > AXIAL FORCE

 

In questo breve post pubblico la prima esercitazione, che, a causa di un fraintendimento, non si trova collocata assieme a quella sulle travi reticolari piane. Tratteremo in questo ambito sempre di travi reticolari, ma in questo caso non più giacenti su un piano bidimensionale, bensì nell'intero dominio tridimensionale dello spazio. Proprio per questa loro caratteristica, esse ben si prefigurano a resistere alle sollecitazioni agenti su tutti e tre gli assi cartesiani e, se ben progettate, grazie alla prefabbricazione ed alla standardizzazione degli elementi costitutivi, il costo della loro opera risulta diminuito, i lavori in cantiere sono semplificati e terminati più rapidamente. Morfologicamente esse si presentano come una consistente quantità di aste collegate tra loro in modo da formare un grigliato. Grazie a questa disposizione, i carichi isolati agenti in alcuni punti dell'opera non sono sopportatati soltanto dagli elementi direttamente caricati, ma anche da altri che si trovano a notevole distanza dai carichi stessi. Le considerevoli tensioni negli elementi direttamente caricati diminuiscono, mentre aumentano quelle negli altri elementi, così da ottenere una distribuzione più omogenea delle sollecitazioni nell'insieme della struttura. Nella maggior parte dei casi, come riportato in foto, il nodo tra le aste è costituito da una cerniera 3D, che permette la rotazione lungo i tre assi.

Vediamo quindi come disegnare un tale sistema con SAP2000. Iniziamo innanzitutto modellando su AUTOCAD una maglia sul piano xy, costituita da linee singole (non polilinee) di lunghezza 2 m di lato, a formare un quadrato con 2 vertici collegati da una diagonale:

Dobbiamo ora completare lo schema anche sul piano z, ricordandoci di evitare che alcune linee si sovrappongano o siano assegnate al layer 0:

 

Una volta salvato il file di AUTOCAD in .dxf, possiamo importarlo in SAP2000:

 

 

 

Scegliamo l’acciaio come materiale delle aste, assegnandogli una sezione tubolare (pipe), tramite il comando DEFINE > SECTION PROPERTIES > FRAME SECTIONS:

Assegniamo ora i carichi, applicandoli su tutti i nodi superiori della travatura reticolare, come il modello di queste travi ci impone. E' opportuno inoltre, prima di avviare l’analisi, scaricare ogni asta dal peso proprio della struttura, in quanto costituirebbe un carico distribuito su aste il cui modello ci obbliga a considerare scariche. Creiamo quindi un nuovo LOAD PATTERN che abbia 0 come coefficiente di moltiplicazione del carico SELF WEIGHT MULTIPLER:

 

Dato che in una struttura reticolare le aste hanno come vincoli interni delle cerniere, occorre eseguire un’operazione di rilascio del momento, tramite il comando ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 – END 0:

Avviando al solito modo l'analisi, ci verrà restituita sullo schermo la deformata e, cliccando su SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > AXIAL FORCE, anche il diagramma degli sforzi assiali delle aste, unici sforzi reagenti della struttura:

 

Non ci rimane che quantificare a quali tensioni sia soggetta ogni asta, tramite l'apposito tasto di tabellazione dei valori, apponendo sul menù che si apre la spunta alla casella ELEMENT FORCES - FRAMES:

Esportiamo la tabella ottenuta su Excel, riportando come valori solo quello dello sforzo normale (N), dell'area e delle tensioni σ  = (N/A) di ogni asta, in funzione delle quali si sceglierà opportunamente l'acciaio da usare. In particolare si noti come i valori negativi indichino le aste compresse (puntoni), mentre quelli positivi le aste tirate (tiranti).

 

Risoluzione di una trave reticolare piana

Metodo delle sezioni di Ritter

Si ricercano I valori della normale a cui sono soggette le aste, tese o compresse, della struttura qui disegnata:

Essendo il sistema isostatico, si possono immediatamente  trovare le reazioni vincolari del carrello e della cerniera esterni.

Si procede quindi a ricercare le azioni di contatto delle aste interne con il metodo di Ritter. Tale metodo divide la struttura in due parti, sezionando tre aste per volta, analizzando le azioni di contatto che si liberano in conseguenza al distacco effettuato. 

Taglio 1

Eql. alla rotazione

M(A)= FL + N1L – (9/2)FL = 0

=> N1 = (7/2)F

Eql. delle forze verticali

sinN9– F + (9/2)F = 0

=> sinN9= -(7/2)F = cos N9

=> N9= (7/2) √2F

Eql. delle forze orizzontali

N17+ (7/2)F – (7/2)F = 0

=> N17= 0

 

Taglio 2

Eql. alla rotazione

M(a) = N25L – (9/2)FL + (7/2)FL = 0

=> N25= (9/2)F – (7/2)F = F

 

Taglio 3

Eql. delle forze verticali

- (9/2)F + 2F + sinN10= 0

=> sinN10= (9/2)F – 2F = (5/2)F  = cos N10

=> N10= (5/2)F √2

Eql. alla rotazione

M(C)= FL + F 2L – (9/2)F 2L + N2L = 0

=> N2= (9/2)F – 3F = (3/2)F

 

Taglio 4

Eql. delle forze verticali

sinN11+ 3F – (9/2)F = 0

=> sinN11= (3/2)F

=> N11= (3/2)F √2

Eql. alla rotazione

M(E)= N3L + 3F 2L – (9/2)F 3L = 0

=> N3= (15/2)F

Eql. delle forze orizzontali

N19+ (3/2)F – (15/2)F = 0

=> N19= 6F

 

Taglio 5

Eql. delle forze verticali

SinN12 + 4F – (9/2)F = 0

=> SinN12 = F/2

=> N12 = (√2/2)F

Eql. alla rotazione

M(G)= 4F 2L – (9/2)F 4L + N4L = 0

=> N4= 10F

Eql. delle forze orizzontali

N20 – 10F + F/2 = 0

=> N20 = (19/2)F

 

Per simmetria, le aste a queste simmetriche saranno soggette agli stessi valori delle azioni di contatto.

 

Trovati tali valori si può procedure all’individuazione delle aste tese e di quelle compresse:

Si può infine procedere a verificare l’esercizio modellando la struttura in SAP2000.

Vengono impostati, per semplicità di verifica rispetto ai calcoli manuali, una L = 1m e un carico applicator sui nodi di F = 10 KN

N.B. Trattandosi di una struttura reticolare in cui tutte le aste sono collegate da cerniere interne, si deve effettuare il rilascio del vincolo alla rotazione a tutte le aste.

Inoltre, dato che per il modello utilizzato consideriamo la struttura caricata solo di forze puntuali in corrispondenza dei nodi, dobbiamo eliminare dall’analisi il contributo del peso proprio della struttura, che costituirebbe per questa un carico distribuito sulle aste.

Si può quindi lanciare l'analisi dello sforzo normale (a destra una vista della deformata):

Si controllano i risultati ottenuti con quelli di calcolo a cui si sostituiscano i parametri con i carichi e le dimensioni stabilite.

Per verifica si controlli anche che le sollecitazioni di taglio e momento flettente siano nulle.

ESERCIZIO 1: TRAVE VIRENDEEL A SBALZO

SCHEMA INIZIALE:

Per risolvere la trave Virendeel, essa può essere trattata come un telaio Shear-Type sdraiato orizzontalmente;

quindi supponiamo che:

- i pilastri siano infinitamente rigidi,

- i ritti siano deformabili

- per effetto delle forze esterne i pilastri traslano, senza deformarsi, di una quantità δ

DEFORMATA:

OSSERVAZIONI:

Conoscendo il valore dello spostamento trasversale  δ è possibile determinare il valore delle caratteristiche di sollecitazione e delle rigidezze dei traversi.

FONDAMENTALE:

Avvalendoci dello schema noto riguardante la trave doppiamente incastrata, risolto in classe con le equazioni della linea elastica, possiamo risolvere la trave Virendeel.

                                                                                                    SCHEMA NOTO

                                                                               

RISOLUZIONE:

1-TAGLIO NELLE TRAVI

N.B: per ogni incognita spostamento avremo un’equazione alla traslazione verticale.

A.      F= 2T

T= 12EIδ/L³

F= (24EI/L³)×δ

δ= FL³/24EI

T= (12EI/L³)×(FL³/24EI)= F/2

B.      F + F/2 + F/2= 2T

F + F/2 + F/2= (24EI/L³)×δ

2F= (24EI/L³)×δ

F= (12EI/L³)×δ

δ= FL³/12EI

T= (12EI/L³)×(FL³/12EI)= F

C.     F + F + F= 2T

F + F + F= (24EI/L³)×δ

3F= (24EI/L³)×δ

F= (8EI/L³)×δ

δ= FL³/8EI

T= (12EI/L³)×(FL³/8EI)= 3/2F

D.     F + 3/2F + 3/2F= 2T

F + 3/2F + 3/2F= (24EI/L³)×δ

4F= (24EI/L³)×δ

F= (6EI/L³)×δ

δ= FL³/6EI

T= (12EI/L³)×(FL³/6EI)= 2F

E.     F + 2F + 2F= 2T

F + 2F + 2F= (24EI/L³)×δ

5F= (24EI/L³)×δ

F= 24EI/5L³)×δ

δ= 5FL³/24EI

T= (12EI/L³)×(5FL³/24EI)= 5/2F

F.     F + 5/2F + 5/2F= 2T

F + 5/2F + 5/2F= (24EI/L³)×δ

6F= (24EI/L³)×δ

F= 4EI/L³)×δ

δ= FL³/4EI

T= (12EI/L³)×(FL³/4EI)= 3F

2-MOMENTO NELLE TRAVI

N.B: per calcolare il momento basta moltiplicare la forza di taglio complessiva agente su quella parte di trave per il suo braccio L/2.

A.      (F/2)×(L/2)= FL/4

B.      F × L/2= FL/2

C.      3/2F × L/2= 3/4 FL

D.      2F × L/2= FL

E.      5/2F × L/2= 5/4 FL

F.      3F × L/2= 3/2 FL

3-MOMENTO NEI RITTI

N.B: Nella trave Virendeel vale  ancora M=EIχ , ma χ=0 e EI=∞, ma M è ancora un numero Reale.

Facendo l'equilibrio ai nodi ci accorgiamo che, questi, non sono in equilibrio; perciò, per garantire l'equilibrio complessivo della struttura, anche sui ritti insisterà un momento che sarà semplicemente calcolato effettuando, appunto, l'equilibrio al nodo.

A.      ribaltando il momento per continuità= FL/4

B.      (FL/4) + (FL/2)= 3/4 FL

C.      (FL/2) + (3/4FL)= 5/4 FL

D.      (3/4FL) + (FL)= 7/4 FL

E.      (FL) + (5/4FL)= 9/4 FL

F.      (5/4FL) + (3/2FL)= 11/4 FL

4-TAGLIO NEI RITTI

N.B: per determinare il valore del Taglio, prodotto dalla presenza del momento derivante dall'equilibrio al nodo, sommerò i valori dei momenti all'estremità e li dividerò per il braccio; (m1+m2)/L.

A.      [(FL/4)+(FL/4)]/2L= F/4

B.      [(3/4FL)+(3/4FL)]/2L= 3/4F

C.      [(5/4FL)+(5/4FL)]/2L= 5/4F

D.      [(7/4FL)+(7/4FL)]/2L= 7/4F

E.      [(9/4FL)+(9/4FL)]/2L= 9/4F

F.      [(11/4FL)+(11/4FL)]/2L= 11/4F

5-SFORZO NORMALE 

N.B: per determinare il valore dello Sforzo Normale, basta ribaltare il valore del taglio presente nei ritti sulle travi e il valore del taglio presente nelle travi sui ritti tenendo conto delle forze esterne "F" applicate sui nodi.

6-DIAGRAMMI

ESERCIZIO 2: TRAVE VIRENDEEL DOPPIAMENTE INCASTRATA

OSSERVAZIONI:

Questo secondo esercizio risulta essere molto simile a quello svolto precedentemente; in questo caso però abbiamo una trave Virendeel doppiamente incastrata su entrambe la estremità. Un dato molto importante, che facilita il procedimento risolutivo dell'esercizio, è la simmetria della struttura e dei carichi esterni. Possiamo quindi analizzare solamente la metà di sinistra.

Ovviamente fanno fede tutte le considerazioni fatte nell'esercizio n.1 perciò lo svolgimento di questo sarà molto più immediato

SCHEMA INIZIALE:

DEFORMATA:

RISOLUZIONE:

1-TAGLIO NELLE TRAVI

A.      F= 4T

T= 12EIδ/L³

F= (48EI/L³)×δ

δ= FL³/48EI

T= (12EI/L³)×(FL³/48EI)= F/4

B.      F + F/4 + F/4= 2T

F + F/4 + F/4= (24EI/L³)×δ

3/2F= (24EI/L³)×δ

F= (16EI/L³)×δ

δ= FL³/16EI

T= (12EI/L³)×(FL³/16EI)= 3/4 F

C.     F + 3/4 F + 3/4 F= 2T

 F + 3/4 F + 3/4 F= (24EI/L³)×δ

5/2F= (24EI/L³)×δ

F= (48EI/5L³)×δ

δ= 5FL³/48EI

T= (12EI/L³)×(5FL³/48EI)= 5/4 F

2-MOMENTO NELLE TRAVI

A.      (F/4)×(L/2)= FL/8

B.      (3/4 F)×(L/2)= 3/8 FL

C.      (5/4 F)×(L/2)= 5/8 FL

3-MOMENTO NEI RITTI

N.B: il momento nel ritto "A" è nullo per la considerazione di simmetria fatta all'inizio

A.      NULLO

B.      (FL/8) + (3FL/8)= 1/2 FL

C.      (3FL/8) + (5FL/8)=  FL

4-TAGLIO NEI RITTI

A.      NULLO

B.      [(1/2FL)+(1/2FL)]/2L= 1/2F

C.      [(FL)+(FL)]/2L= F

5-DIAGRAMMI

6-VERIFICA IN SAP

Qui sotto sono state riportate una serie di scatti fatti durante la risoluzione di una trave Virendeel doppiamente incastrata. F=10Kn, L(trave)=3m, L(ritto)=6m.

Ivalori ed i grafici delle sollecitazioni corrispondono perfettamente all'esercizio svolto a mano fatto salva qualche piccola divergenza dovuta a questioni di arrotondamento decimale!!!!

Padiglione della Fiera di Rimini - GMP Architekten

Dopo aver iniziato a trattare la torsione nel precedente post, vediamo in questo caso quali sono le implicazioni di tale tensione su un sistema più complesso, quale il graticcio. Gli impalcati a graticcio sono costituiti da un numero variabile di travi longitudinali, fra loro affiancate e collegate puntualmente da elementi irrigidenti trasversali, detti traversi. Le travi principali, poste ad interasse i, ed i traversi, posti ad interasse j, formano una maglia generalmente rettangolare pari a ixj. Dal punto di vista del comportamento strutturale, gli impalcati a graticcio hanno una minore rigidezza torsionale rispetto a quelli a cassone e rispetto le travi reticolari spaziali, ma sono sicuramente un giusto compromesso tra i sistemi a telaio ordinari e strutture più ardite, senza trascurare l'oggettiva e significativa istanza estetica di tali sistemi: è esemplificativa in merito la copertura dei padiglioni della Fiera di Rimini (vd. foto).

In questa esercitazione proveremo a risolvere manualmente uno stralcio dell'impalcato, verificando in seguito la bontà del procedimento eseguito tramite SAP2000. Lo schema in questione è il seguente:

 

Per la deformata e i valori di taglio e momento, ci riferiamo agli ormai celebri schemi notevoli della trave doppiamente incastrata:

In questo caso abbiamo però una complicazione. Le due travi del graticcio si intersecano ad 1/3 della trave AC, permettendo così alla forza applicata nel nodo di generare una rotazione ϕy. Il risultato della deformata nella trave AC sarà quindi uguale alla somma dell'abbassamento δ e della rotazione ϕy, mentre sulla trave BD agirà esclusivamente l'abbassamento, in virtù della curvatura χ=0 in corrispondenza del punto di applicazione della forza:
 

 
Ai fini dello svolgimento dell'esercizio sarà quindi opportuno separare l'azione dei due diversi effetti, per poi sovrapporli alla fine. Iniziamo dall'abbassamento δ sulla trave AC:

Passiamo ora all'abbassamento δ sulla trave BD:

Nel caso della trave BD, i momenti flettenti si annullano l'uno con l'altro e verranno quindi ignorati nella successiva equazione di equilibrio alla rotazione. Lasciamo agire ora solo la rotazione ϕy sulla trave AC, riferendoci agli schemi notevoli della rotazione su una trave doppiamente incastrata:

 

 

Come già spiegato in precedenza, la trave BD è esente da sollecitazioni rotazionali, ma sappiamo anche che la flessione sull'asse x provoca inevitabilmente la torsione sull'asse perpendicolare, su cui giace la trave in questione:

 

La trave reagirà quindi alla sollecitazione con un momento torcente di verso opposto alla rotazione ϕy.

Dopo aver esaminato tutti gli effetti separatamente, possiamo ora sovrapporli tra di loro, scrivendo prima l'equazione di equilibrio alla traslazione verticale e poi quella di equilibrio alla rotazione:

 

Abbiamo quindi un sistema di 2 equazioni in 2 incognite. Per non affrontare tutto il calcolo a mano si è scelto di adottare il software Mathematica 8, tramite il quale ricavare i valori delle incognite ϕy e δ:

Quindi:

                                          δ = 2Fl³/1113EI                                       ϕy = 9Fl²/742 (3EI+4I_t )

Non ci rimane che portare il nostro semplice graticcio su SAP2000, per vedere come varia l'abbassamento e la rotazione del nodo a cui è applicata la forza, in funzione della rigidezza del sistema intero, che ricordiamo essere la somma della rigidezza flessionale e della rigidezza torsionale. Iniziamo disegnando l'impalcato con delle sezioni generiche, e verificando la congruenza della deformata e dei diagrammi delle sollecitazioni:

Deformata:

Taglio:

Momento:

Lasciando sempre fissa la sezione della trave AC (IPE500), variamo la sezione della BD e riportiamo i valori dell'abbassamento e della rotazione del nodo d'intersezione su un'apposita tabella. Come sezioni di prova adotteremo una IPE500, una scatolare e una tubolare:

 

 

 

 

Come già dimostrato nella precedente esercitazione, i profili chiusi (ed in particolare i profili tubolari) offrono una maggiore rigidezza torsionale, che, inevitabilmente, comporta anche un minore abbassamento del nodo d'intersezione delle travi.

Tutte le strutture mostrate e studiate fin ora, sono casi di strutture a due dimensioni e che come tali, tengono soprattutto conto delle tre sollecitazioni più evidenti a cui sono sottoposti travi e pilastri: sforzo normale, taglio, momento.
Le strutture non vivono però in uno spazio bidimensionale, ne sono semplici sistemi composti da trave appoggiata su due pilastri. Avendo quindi l’esigenza di cominciare ad affrontare strutture più aderenti alla realtà, dobbiamo trasferirci nello spazio tridimensionale e, per iniziare, analizzare una struttura semplice sviluppata sui tre assi x,y,z.
Poco tempo fa si è già affrontato in generale, il comportamento sistemico della struttura che compone un intero edificio. Ora facciamo uno zoom su questa struttura, per capire e studiare cosa succede a quelle parti di struttura immediatamente più vicine ad uno sbalzo.
Lo sbalzo è una questione che va affrontata su più fronti. Inizialmente va capito come esso influisce sull’equilibrio dell’intero edificio, di modo che non avvenga un ribaltamento; in seguito, una volta dimensionata la trave che va a sbalzo, si deve comprendere in che modo viene influenzato il dimensionamento delle parti di struttura su cui agisce il momento esercitato dalla trave a sbalzo.
Con questo pretesto, nel seguente esercizio, si prende finalmente in considerazione una sollecitazione che non è evidente in uno spazio bidimensionale, si sta parlando della torsione, vero tema di questo post.
La torsione è una sollecitazione causata da un momento attorno all’asse della trave. Vediamo nell’esempio come tale  sollecitazione può nascere.

Esercizio 1: torsione_sbalzo

 

Prima di iniziare l'analisi della struttura, posso semplificare il sistema, sostituendo la mensola con un momento in corrispondenza del nodo. Posso porre poi la condizione che, assumendo il pilastro indeformabile assialmente, non ci sia sforzo normale.

Il momento nato dalla presenza dello sbalzo, richiede alla struttura adiacente la capacità di contrastarlo e di non ribaltarsi. Quindi è richiesta alle aste una certa rigidezza per contrastare la rotazione a cui sono sottoposte. Le aste AB e AC sviluppano quindi una rigidezza flessionale, mentre l'asta AD sviluppa una rigidezza torsionale.

 

Per prima cosa trovo i valori dei momenti che nascono nelle due aste e che le portano a ruotare. Ciò è possibile mettendo come ipotesi che il nodo A ceda anaelasticamente a rotazione, questo mi permette di risolvere la struttura iperstatica tramite l'ormai consolidato metodo della linea elastica. Di seguito la formula per trovare il momento:

L'equazione di equilibrio dei momenti riulta la seguente (tra parentesi le rigidezze di ogni singola asta):
 

Mi ricavo la formula per trovare la rotazione, in cui Ra è la somma delle rigidezze e quindi la rigidezza complessiva della struttura:

Ora ho la formula per trovare i tre momenti che si oppongono all'azione ribaltante della mensola:
 
Scelto il valore del carico distribuito q=10KN, passo ora ad analizzare il comportamento della struttura a seconda del materiale e della sezione che scelgo per le travi, ponendo particolare attenzione al comportamento della trave AD soggetta a torsione.

Con l'aiuto di Sap2000 inizio l'analisi; per prima cosa scelgo un profilo a doppio T in acciaio e mi ricavo i valori necessari ai calcoli dei momenti:

E=1,999x10⁸ KN/m²
I= 5,554x10^-5 m⁴
G_s= 80x10⁶ KN/m²
I_t=Σ_i=1 I_ti I_ti=c_2ixa_ixb_i³  c₂=a/b=0,333
I_t(ala)=22,47x10^-8 m⁴
I_t(anima)=5,66x10^-8 m⁴
I_t=50,6x10^-8 m⁴   

Trovati i valori di ql² e di R_a posso calcolare il valore della rotazione:

ϕ_a=20/22213,49= 9^.10^-4

Sostituiti i valori nelle formule dei momenti, ottengo questi risultati:
M₁= M₂= 9,994 KNm          M₃=0,012 KNm

Verifico la deformata e i risultati su sap:

I risultati corrispondono. Si nota che il contributo della trave AD a contrastare il momento ribaltante della mensola, è quasi nullo.
Provo a cambiare la sezione proprio dell'asta AD, con l'intento di aumentare la sua rigidezza.
Adotto questa volta un profilo scatolare:

Calcolo il momento d'inerzia torsionale: I_ti= 4Ω²xt/l_m= 9497,4x10^-8 cm⁴

ϕ_a= 20/24732,64= 8^.10^-4

Ottengo questi risultati per i momento e noto che il contributo dell'asta AD è aumentato, perciò, un profilo scatolare è più indicato per situazioni soggette a torsione:

M₁= M₂= 8,97 KNm          M₃=2,04 KNm

Verifico su Sap2000 deformata, momento e torsione.

 

Risulta interessante come ultimo passo, vedere se e come cambiano i valori adottando una struttura in calcestruzzo armato.
Adotto in questo caso una sezione rettangolare:

E=24,86x10⁶ KN/m²

I= 3,76x10^-3 m⁴

G_cls= 10⁷ KN/m²

Calcolo il momento d'inerzia torsionale:

I_t=c₂xaxb³  c₂=a/b=0,291 (tabellato)

I_t=6,58x10^-4 m⁴

ϕ_a= 20/208870= 9,5^.10^-4

Ottengo questi risultati:
M₁= M₂= 8,95 KNm          M₃=2,09 KNm

Insomma riscontro una netta somiglianza di comportamento con la struttura precedente, utilizzando però una sezione molto più alta di prima.

 

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Esercizio 2: torsione_graticcio

Un graticcio è un intreccio di travi principali ortogonali fra loro, che collaborano per portare i pesi. Si tratta dunque di una struttura priva di una gerarchia di elementi che ripartiscono i pesi man mano, ma di una serie di elementi tutti identici. Infatti, un graticcio di travi è distinguibile da una struttura classica attraverso due metodi: l’analisi del momento d’inerzia delle travi, è identico per ciascuna trave essendo esse tutte uguali fra loro in un graticcio; studiando la natura del nodo che unisce le varie travi, nel caso del graticcio un nodo incastro, dato che deve trasmettere il momento (per una struttura classica invece il nodo deve trasmettere solo taglio).
La rigidezza torsionale è un parametro che assume notevole importanza nel graticcio, dal momento che, nella maggior parte dei casi, ad una flessione in una direzione, corrisponde una torsione nell’altra. A questo punto è di notevole importanza la conformazione e il materiale della sezione dell’elemento strutturale, poiché nella formula della rigidezza della struttura, compare il Momento d’inerzia torsionale, diverso a seconda della sezione in esame.
Per capire di cosa stiamo parlando, analizziamo un graticcio semplice, composto da due travi perpendicolari fra loro, una a e l’altra a . Sul nodo facciamo agire una forza concentrata.

 

                          

A una prima analisi il nodo possiede 6 gradi di libertà, posso ipotizzare però che le aste siano indeformabili assialmente, quindi che le traslazione lungo gli assi x e y siano impediti. So anche di non avere una rotazione attorno all’asse z, ne attorno all’asse x. Rimangono quindi due gradi di libertà δ e ϕ_y che posso facilmente trovare attraverso l’equazioni di equilibrio alla traslazione verticale e alla rotazione.

Attraverso la sovrapposizione degli effetti studio gli effetti di δ e ϕ_y sulle 2 aste e trovo l’equilibrio alla traslazione e alla rotazione. Per prima cosa analizzo lo spostamento δ sull'asta AC, facendo riferimento ai valori dello schema strutturale della trave doppiamente incastrata:

 

Analizzo l'abbassamento sull'asta BD:

Si nota che i momenti flettenti che agiscono sulle due parti di trave, si annullano a vicenda e quindi non andranno a sommarsi nell'equazione dell'equilibrio alla rotazione.

Adesso analizzo l'effetto della rotazione ϕ_y sull'asta AC, generata dalla forza concentrata agente a un terzo dell'asta:

Questa rotazione, provoca sull'asta ortogonale BD una torsione a cui si opporà un momento torcente:

Posso ora sovrapporre gli effetti, arrivando a questi due schemi e alle relative equazioni di equilibrio, rispettivamente alla traslazione e alla rotazione:

 

Dall'equazione dei momenti ricavo δ in funzione di ϕ_y:

in cui  

Sostituisco δ/l nell'equazione dell'equilibrio alla traslazione e ricavo ϕ_y:

 

A questo punto posso decidere un materiale e una sezione da dare alle travi del graticcio. Per comodità di calcoli utilizzo la stesso profilo IPE utilizzato nell'esercitazione precedente.

E=1,999x10⁸ KN/m²

I= 5,554x10^-5 m⁴

G_s= 80x10⁶ KN/m²

I_t=50,6x10^-8 m⁴

Sostituisco i valori sopra riportati e ottengo questi risultati:

Posso ricavare ora il valore dei momenti agenti sulla struttura:

Verifico deformata e i valori ottenuti su Sap2000.

Ripeto la stessa analisi utilizzando il profilo in cls dell'esercitazione precedente:

 

E=24,86x10⁶ KN/m²

I= 3,76x10^-3 m⁴

G_cls= 10⁷ KN/m²
I_t=6,58x10^-4 m⁴

Sostituisco i valori sopra riportati e ottengo questi risultati:

Valore dei momenti:

Verifico su Sap