Esercitazione

La TORSIONE in un elemento si verifica quando esso è soggetto a momenti uguali e opposti che agiscono all’estremità, paralleli al piano di sezione cioè intorno al suo asse longitudinale; l’elemento risponderà a tali sollecitazioni in base alla sua RIGIDEZZA TORSIONALE Rt data dalla geometria della sezione (MOMENTO D’INERZIA POLARE Jt), dal materiale (MODULO DI ELASTICITA’ TANGENZIALE G) e dalla LUNGHEZZA l dell’elemento stesso.

Questo ci interessa soprattutto nelle strutture tridimensionali poiché i momenti flettenti che agiscono su una trave generano MOMENTI TORCENTI Mt in quelle perpendicolari ad essa in base alla ROTAZIONE φcausata dall’inflessione della trave e a Rt della trave soggetta a torsione.

 

TELAIO 3D

Analizzeremo ora una struttura tridimensionale composta da travi e pilastri di lunghezza l pari a 3m; le due travi sono poste ortogonalmente tra loro nel piano xy, il carico uniformemente distribuito sulla mensola di l 1m è pari a 10 kN/m (q); lo scopo dell’esercitazione è osservare come la sezione di una trave e il suo materiale influisca sul momento torcente a parità di azioni esterne.

Per prima cosa possiamo semplificare la struttura adottando un sistema equivalente, per farlo bisogna sostituire la mensola e il suo carico distribuito con il momento concentrato M al nodo pari a ql²/2 (ovvero pari all’azione del carico distribuito); questo momento che ruota intorno all’asse y genererà una flessione nella trave e nel pilastro posti nel piano xz e di conseguenza una torsione nella trave che giace nel piano yz.

 

Conoscendo la deformata possiamo ricavare il valore dei momenti flettenti e di quello torsionale in funzione della ROTAZIONE φ_a grazie agli schemi notevoli e fare così l’equilibrio alla rotazione nel nodo.

 

Possiamo indicare come rigidezza nel nodo A

 

                         

Ora possiamo inserire nelle formule sopra ottenute i valori corrispondenti ad una sezione rettangolare 15x67cm in C.A. e successivamente verificare il risultato in SAP.

 

       

Sappiamo che C₂  è un coefficiente tabellato che tiene conto del rapporto del lato maggiore sul lato minore della sezione (a/b).

Possiamo utilizzare SAP per controllare i valori da noi ottenuti (essendo il programma più accurato) e utilizzare tali dati per il calcolo in modo d’avere un riscontro migliore con le verifiche finali.

 

 

Eseguendo i calcoli otteniamo

 

Verifichiamo se l'equazione è soddisfatta:

Passiamo ora a modellare la struttura in SAP utilizzando una 3D Grid applicando questa volta direttamente il momento concentrato equivalente all’azione del carico distribuito sulla mensola.

                   

Iniziamo verificando il comportamento della struttura con una sezione generica.

DEFORMATA

SFORZO ASSIALE

TAGLIO

MOMENTO

TORSIONE

Impostiamo ora la sezione RETTANGOLARE 15x67 cm in C.A. e lanciamo il calcolo.

Possiamo vedere che il risultato ottenuto è pressoché identico a quello ricavato dal calcolo a mano.

ROTAZIONE φ_A = 6,8 * 10^{^-5}

Ripetiamo l’analisi con una sezione CIRCOLARE PIENA in C.A. di diametro 36 cm (stessa area della sezione rettangolare).

 

Cambiamo materiale e vediamo come cambi la rotazione utilizzando tre diversi profili in ACCIAIO:

- HEA 20x20 cm

 

- SCATOLARE 20x20 cm

 

- TUBOLARE d. 25 cm

 

Riassumiamo ora nella seguente tabella i valori delle rotazioni ed il contributo di ciascuna asta in base alla sezione ed al materiale adottato.

Osservando la tabella ed in particolare la rigidezza dell’asta 3 (quella soggetta a torsione) si può concludere che sezioni dello stesso materiale reagiscano meglio (cioè ricevono più carico) se hanno un profilo chiuso rispetto a quelle aperte; questo perché le tensioni  tangenziali, che aumentano all’aumentare della distanza dall’asse torsionale, riescono a distribuirsi ad una distanza media maggiore, ciò spiega perché il tubolare funzioni meglio dello scatolare e perché il profilo HEA invece sia il peggiore avendo l’asse dell’anima che passa per il centro torsionale e molta della sua area abbia una reazione molto piccola.

E’ interessante inoltre come profili in acciaio nonostante le dimensioni delle sezioni molto minori reagiscano meglio rispetto a sezioni piene in C.A., questo è dovuto al modulo di elasticità tangenziale che è circa 8 volte maggiore.

Nel complesso però bisogna ammettere che in questa struttura la sezione rettangolare in calcestruzzo è quella che garantisce una deformazione minore, questo si spiega perché il contributo dato dalla rigidezza torsionale nell’assorbimento del momento concentrato è molto minore rispetto a quello fornito dalla rigidezza flessionale data dal modulo di elasticità e dal momento d’inerzia (molto più elevati nel calcestruzzo e nella sezione rettangolare rispetto alle altre ipotesi fatte).

 

GRATICCIO

Analizzeremo ora un graticcio composto da due travi di lunghezza l totale pari a 6m; le due travi sono poste ortogonalmente tra loro nel piano xy (incastrandosi a l/2 di una trave e a l/3 dell’altra, questo causa un momento torcente in una delle travi); il carico concentrato nell’incastro tra le due travi è pari a 10 kN (F); lo scopo dell’esercitazione è osservare come la sezione di una trave e il suo materiale influisca sul momento torcente a parità di azioni esterne.

 

Il nodo centrale oggetto di analisi ha 6 GDL ovvero 3 rotazioni e 3 traslazione possibili, la condizione di carico da noi studiata però non genera traslazione lungo l’asse x e y inoltre non ci sono rotazioni intorno ad x e z; rimangono da determinare quindi solo lo SPOSTAMENTO δ e la ROTAZIONE φ_y.

Otteniamo così le seguenti deformate:

Nella trave BD, in essa F agisce esattamente al centro quindi si avrà solamente uno spostamento δ dato che la tangente della deformata in quel punto è orizzontale e di conseguenza la rotazione è nulla.

Nella trave AC invece F agisce a l/3 questo comporta che a parità di spostamento δ ci sarà anche una rotazione, questo perché la tangente alla deformata non orizzontale e si avrà di conseguenza anche una rotazione φ_y.

Possiamo sfruttare il principio di sovrapposizione degli effetti separando le incognite in modo da poter analizzare gli effetti di ciascuna per poi sommarli.

Iniziamo con lo studio della deformata della trave BD dovuta allo SPOSTAMENTO δ, possiamo ricondurci agli schemi notevoli di una trave doppiamente incastrata per conoscere i valori della rigidezza e ottenere così gli sforzi di TAGLIO e MOMENTO FLETTENTE.

Ripetiamo lo stesso procedimento studiando la deformata della trave AC dovuta solo allo SPOSTAMENTO δ.

Nella trave AC è presente anche la ROTAZIONE φ_y, possiamo quindi dalla deformata e dagli schemi notevoli ricavarci i valori del MOMENTO FLETTENTE e di conseguenza del TAGLIO.

 

La  ROTAZIONE φ_y nel nodo causa anche un MOMENTO TORCENTE nella trave BD, questo si ripartisce nelle  due campate con un momento proporzionale alla lunghezza di ciascuna campata e con verso opposto a quello della rotazione.

                        

Conosciamo ora le azioni generate dallo in ciascuna trave SPOSTAMENTO δ e dalla ROTAZIONE φ_y e possiamo sommare i loro effetti e scrivere le equazioni di equilibrio.

 

 

Ora dobbiamo solamente mettere a sistema le due equazioni e ricavarci le incognite.

Risolvendo la prima equazione abbiamo:

Possiamo imporre che:             

Otteniamo così:

Risolvendo la seconda equazione otteniamo:

 

 

Ora possiamo inserire nelle formule sopra ottenute i valori corrispondenti ad una sezione rettangolare 15x67cm in C.A. con F=10KN, l=6m e successivamente verificare il risultato in SAP.

       

Sappiamo che C₂  è un coefficiente tabellato che tiene conto del rapporto del lato maggiore sul lato minore della sezione (a/b).

Possiamo utilizzare SAP per controllare i valori da noi ottenuti (essendo il programma più accurato) e utilizzare tali dati per il calcolo in modo d’avere un riscontro migliore con le verifiche finali.

 

 

Eseguendo i calcoli otteniamo

 

Passiamo ora a modellare la struttura in SAP utilizzando una 3D Grid impostando le condizioni di carico e vincolo come nella struttura sopra esaminata ricordiamoci inoltre di assegnare alle travi la sezione RETTANGOLARE 15x67 cm in C.A.

Lanciamo il calcolo e otteniamo:

DEFORMATA

TAGLIO

MOMENTO FLETTENTE

MOMENTO TORCENTE

Possiamo vedere che il risultato ottenuto è pressoché identico a quello ricavato dal calcolo a mano.

ROTAZIONE φ_y = 2 * 10^{^-5}

SPOSTAMENTO δ = 5,8 * 10^{^-5}

Ripetiamo l’analisi con una sezione CIRCOLARE PIENA in C.A. di diametro 36 cm (stessa area della sezione rettangolare).

 

Cambiamo materiale e vediamo come cambi la rotazione e lo spostamento utilizzando tre diversi profili in ACCIAIO:

- HEA 20x20 cm

 

- SCATOLARE 20x20 cm

 

- TUBOLARE d. 25 cm

 

Riassumiamo ora nella seguente tabella i valori delle rotazioni ed il contributo di ciascuna asta in base alla sezione ed al materiale adottato.

Dalla tabella ottenuta vengono confermate le osservazioni fatte per il telaio 3d.

Prendiamo una pianta tipo di cui vogliamo studiare la ripartizione delle forze sismiche, e di cui vogliamo conoscere la molla più sollecitata; considereremo la pianta come un corpo rigido in grado solo di spostamenti rigidi (traslazioni e rotazioni), mentre i telai li considereremo come corpi elstici, in grado quindi di deformarsi.

PIANTA:

PILASTRO:

I pilastri hanno tutti la stessa sezione ma, a seconda del telaio considerato, varia il loro momento di inerzia:

STEP 1:

Come prima cosa dobbiamo calcolare la rigidezza traslante di ogni telaio, ossia il coefficiente di proporzionalità tra la forza F e lo spostamento δ:

STEP 2:

Raccogliamo quindi tutte le rigidezze dei telai e delle loro distanze da uno stesso punto individuato sulla pianta, che coincide con il pilastro 16 (in basso a sinistra):

STEP 3:

Il centro di massa di un sistema è il punto geometrico corrispondente al valor medio ( visivamente un punto) della distribuzione della massa del sistema nello spazio. La posizione del centro di massa dell'intera pianta è frutto della suddivisione in "forme note" della stessa, per una questione di semplicità; di ogni area nota è stato individuato il baricentro attraverso il momento statico (area * distanza):

 

STEP 4:

Il centro delle rigidezze è, analogamente al centro delle masse, il valor medio ( visivamente un punto) della distribuzione delle rigidezze del sistema. Conoscere la sua posizione rispetto al centro delle masse è fondamentale per sapere se c'è (e quanta) rotazione si genera del sistema.

STEP 5:

La determinazione dei carichi sismici è strettamente legata al peso della struttura a dell'intero impalcato:

STEPS 6 & 7:

Per verificare che la struttura è isostatica, il numero di gradi di libertà deve essere uguale al numero dei vincoli applicati

Ve + A = 2N

3 + 33 = 2*18

36 = 36

dove: Ve= VINCOLI ESTERNI

           A= NUMERO ASTE

           N= NUMERO DI NODI

-TROVARE LE REAZIONI VINCOLARI

i vincoli si ripartiscono il carico, sopportando ognuno 9/2 F, essendo la struttura simmetrica e simmetricamente caricata.

-TROVARE LO SFORZO CHE SI GENERA SULLE VARIE ASTE

utilizziamo il metodo delle SEZIONI di RITTER, cioè un taglio sulla trave reticolare che seziona al massimo 3 aste, avendo così 3 equazioni e 3 incognite cioè gli sforzi normali delle aste tagliate

per trovare le forze delle aste nei correnti inferiori e superiori utiliziamo le equazioni di equilibrio alla rotazione scegliendo il poloche ci permette di annullare più incognite

Per la forza N68 scelgo il polo nel nodo 7

 

il risultato è negativo ciò significa che la direzione della forza IPOTIZZATA è sbaglaita

                                        ASTA E' COMPRESSA

Per la forza N57 scelgo polo in 6

 

                                            ASTA TESA

Per la forza N67 dell'asta diagonale, fare l'equilibrio alla rotazione non è la strada più semplice dato che non abbiamo un polo in cui si annullano le altre due forze (essendo parallele). La forza diagonale è scomponibile nelle sue componenti verticali e orizzontali, quindi la cosa più semplice da fare è calcolare l'equilibrio alla traslazione (verticale o orizzontale)

calcolando la traslazione orizzontale non prendiamo in considerazione la forza del carico e dei vincoli

                   ASTA TESA

 

N56 equilibrio alla traslazione verticale

               ASTA COMPRESSA

N46 polo in 5

          ASTA COMPRESSA

 

N35 polo in 4

                   ASTA TESA

N45 traslazione orizzontale

                  ASTA TESA

 

N34 traslazione verticale

 

                 ASTA COMPRESSA

N34 polo in 3

             ASTA COMPRESSA

 

N13 polo in 2

                                                 ASTA SCARICA

N23 traslazione orizzontale

                ASTA TESA

N78 traslazione verticale

                                           ASTA COMPRESSA

N79 polo in 8

           ASTA TESA

 

N810 poli in 9

     ASTA COMPRESSA

N89 traslazione orizzontale

                             ASTA TESA

La parte sinistra della struttura è risolta, e per simmetri conosciamo anche la destra. Per risolvere l'asta centrale analiziamo il nodo 10, tutte le forze sono equilibrate, tranne la forza F esterna, quindi la forza N9-10 sarà uguale ad F     

                                                         ASTA COMPRESSA

ROSSO = PUNTONE               BLU = TIRANTE

 

VERIFICA IN SAP
 

apriamo un file col modello GRIND ONLY impostando la griglia con le dimensioni della nostra struttura reticolare

Disegnamo le aste, assegnamo i vincoli ed il rilascio per interrompere la trasmissione del momento, impostiamo il peso prorio della trave pari a zero

e avviamo l'analisi

DEFORMATA

DIAGRAMMA SFORZO NORMALE

 

 

In una struttura travi e pilastri, dove le travi sono perpendicolari tra loro, se una trave è soggetta a flessione inevitabilmente un’altra sarà soggetta a torsione, questa esercitazione ci chiede di analizzare come quest’ultima influisce nel comportamento meccanico complessivo.

La struttura tridimensionale ha 3 aste incastrate di lunghezza 3 m ciascuna con uno sbalzo di 1 m al quale è applicato un carico distribuito, la struttura è un colpo unico con 6 gradi si libertà, e gli incastri impediscono 3 spostamenti e 3 rotazioni ciascuno, quindi la struttura è 12 volte iperstatica.

E’ possibile trovare un sistema equivalente dove lo sbalzo viene sostituito con il valore corrispondente del momento flettente applicato sul nodo che ruota attorno all’asse y, quindi la sua azione sarà visibile nel piano x-z, mentre la trave in direzione y subirà un momento torcente visibile solo nel piano della sua sezione.

Il momento generato dal carico agente sulla mensola genera a sua volta dei momenti flettenti e torsionali ricavabili dagli schemi notevoli. La nostra incognita è la rotazione del nodo 

Scriviamo l’equilibrio contro la rotazione del nodo:

  

        

                          

La rigidezza torsionale si somma alle rigidezze flessionali delle altre aste, più questa aumenta più l’asta perpendicolare contribuisce alla suddivisione del carico.

Per capire in che misura contribuisce sono state fatte varie prove in SAP con sezioni e materiali diverse e poi confrontati i risultati. Ma prima di procedere facciamo una piccola verifica a mano con la sezione rettangolare in calcestruzzo armato di base=0.15m e altezza=0.67m, dopo esserci calcolati i valori del momento d’inerzia Ix, momento di inerzia polare  Jt che dipende dalla sezione, e del modulo di elasticità tangenziale G che dipende dal materiale:

  

  

                   

       

       (valore tabellato in base al rapporto tra a/b)

  

Per maggiore sicurezza confrontiamo questi valori con quelli in SAP

  

  

 

E per avere un riscontro più veritiero con le verifiche che faremo in SAP procediamo con i calcoli utilizzando questi ultimi valori

     

    

       

   

 

La struttura in SAP è stata modellata a partire da una 3D Grid

DIAGRAMMA MOMENTO                                                                                  DIAGRAMMA TAGLIO

DIAGRAMMA SFORZO NORMALE                                                                      DIAGRAMMATORSIONE

Le diverse sezioni scelte hanno la stessa area e un momento d’inerzia simile, ma hanno diversa rigidezza torsionale.

·         Sezione RETTANGOLARE in CALCESTRUZZO ARMATO

·         Sezione CIRCOLARE PIENA in CALCESTRUZZO ARMATO

·         Sezione DOPPIA T in ACCIAIO

·         Sezione QUADRATA CAVA in ACCIAIO

·         Sezione TUBOLARE in ACCIAIO

Proprietà materiali:

   

Dopo aver avviato l'anaisi per ogni sezione scelta, si sono riportati tutti i valori in una tabella riassuntiva

Le sezioni in acciaio offrono una maggiore resistenza torsionale rispetto a quelle in calcestruzzo in quanto hanno un modulo di elasticità tangenziale maggiore, e le sezioni piene offrono una maggiore resistenza torsionale rispetto alle sezioni cave grazie ad un maggiore valore di JT, cosi come anche le sezioni chiuse rispetto a quelle aperte. Infatti se guardiamo la tabella dei contributi delle aste, tra le sezioni in calcestruzzo quella tubolare dà un contributo maggiore rispetto alla rettangolare, e tra quelle in acciaio la sezione a doppia T è quella che dà un contributo minore, essendo una sezione aperta.

In conclusione la sezione con una maggior resistenza torsionale è la tubolare in acciaio, questo non significa però che nel comportamento meccanico complessivo questa sezione è quella che ci provoca una rotazione minore, in quanto questa dipende anche dalla resistenza flessionale delle altre due aste che risulta essere  maggiore nella sezione rettangolare in calcestruzzo, in quanto ha un momento d’inerzia maggiore.

 

L’esercitazione questa volta richiede di risolvere un sistema iperstatico e quindi di trovare i valori di Momento e Taglio per ogni sezione della struttura in studio.

L’iperstaticità indica che un corpo ha più vincoli rispetto ai suoi gradi di libertà. Per risolvere una struttura del genere si può usare un metodo chiamato “delle forze”, in cui si trasformano i vincoli in modo da riportare l’asta ad un sistema isostatico e restituendo i vincoli levati sottoforma di forza contrastante il movimento che il vincolo bloccava.

I vincoli perciò devono essere declassati. Ma come riconoscere i vincoli da declassare e quali no? In base alla conoscenza acquisita riguardo ai valori di abbassamento e rotazione nelle condizioni di carico si capisce quale è il vincolo da dover togliere in modo che il movimento dell’asta potrà essere riconducibile a quello di una struttura isostatica. Nel nostro caso il sistema migliore è quello di cambiare i 3 vincoli interni da cerniera esterna a cerniera interna a B, C e D. 

Il sistema ora è diventato isostatico ma differisce rispetto a quello di partenza. Per riportarlo allo stato originario ma mantenendo il nuovo vincolo dato basta aggiungere una reazione di momento, che chiameremo x₁ x₂ x₃, alle cerniere interne in modo da ristabilire il vincolo che indica che la parte a destra e a sinistra della cerniera non ruotino ma rimangano come un singolo elemento.

In questo caso noi siamo già a conoscenza del valore di rotazione dell’asta isostatica quindi è abbastanza agevole la risoluzione del sistema.

Grazie alla simmetria della struttura posso porre x₁=x₃.

A questo punto sappiamo che la rotazione nelle cerniere deve essere uguale a zero e possiamo quindi scrivere l’equazione di compatibilità cinematica: 

Sostituendo i valori dei momenti ai nodi nell’equazione e mettendo a sistema le corrispondenti equazioni contenenti x1 e x2 otterròi due risultati:

eguaglio

Una volta saputi i valori di x₁ ed x₂ applico il principio di sovrapposizione degli effetti e quindi studio la struttura dividendola in due schemi: uno dipendente dal carico q e l’altro dipendente dalle reazioni vincolari x.

q)

x)

In tutti e due i casi posso scomporre la struttura in 4 aste isostatiche doppiamente appoggiate e andare a studiare le reazioni vincolari e quindi sommarli tra loro.

q)

x)

 

Dopo aver trovato finalmente le reazioni vincolari sovrappongo i due sistemi di reazioni e avere lo schema delle reazioni vincolari della nostra trave iperstatica di partenza.

Disegnamo ora i grafici di Taglio e Momento.

Per capire la rigidezza torsionale, abbiamo analizzato un nodo 3d costituito da tre aste incastrate e una mensola isostatica con carico distribuito. La struttura è 12 volte iperstatica in quanto essendo tridimensionale, un incastro ha 6 equazioni di vincolo e non 3. 

Come primo passaggio posso semplificare i calcoli sostituendo la mensola isostatica con l’effetto che produce ovvero un momento in corrispondenza del nodo. La forza ql verticale provocata dal carico, che diventa sforzo normale sul pilastro, teoricamente ci sarebbe, ma non viene in realtà considerata perché è un contenuto piccolissimo. Infatti, il pilastro è indeformabile assialmente, non si abbassa o accorcia in maniera visibile. Otteniamo quindi la seguente struttura equivalente:

Il momento ql²/2 applicato nel nodo provoca una rotazione, così le aste AB e AC ruotano in maniera antioraria. 

Il diagramma dei momenti mostra i valori ottenuti attraverso lo svolgimento della linea elastica sottostante.

Dal diagramma dei momenti, visto precedentemente, notiamo che il momento al nodo non si ribalta quindi suggerisce che il nodo non è in equilibrio. Infatti il momento ql²/2 oltre a provocare momento flettente nelle aste AB e AC che stanno sul piano xz ,  provoca un momento torcente nell’asta perpendicolare a queste AD che giace sul piano yz. Vengono così introdotti due concetti di rigidezza: flessionale e torsionale.

EQUILIBRIO AL NODO

Ora analizzo come può variare la rigidezza torsionale a seconda del materiale e delle sezioni.

Lo studio sarà effettuato prima attraverso dei calcoli manualmente poi con sap per confronto.

Iniziamo con il CALCESTRUZZO

DATI

L = 6m

q= 5 KN

ql²/2= 90 KN m

Riproducendo anche su sap il nodo 3d con le 3 aste incastrate e un momento di 90 kN m applicato nel nodo, iniazialmente do a tutte e tre le aste una sezione di calcestruzzo rettangolare come per i calcoli manuali. nel definire la sezione è importante che anche su sap il cls abbia lo stesso modulo di elasticità e modulo di elasticità tangenziale.

Analizzando questa struttura ottengo:

LA DEFORMATA E I VALORI DELLA ROTAZIONE

R₂=0,00094

DIAGRAMMA MOMENTO TORCENTE

Nella seconda applicazione provo a cambiare la sezione della terza asta AD, assegnandogli una sezione circolare di diametro  0,36 m.

Lo riporto su sap e ottengo:

La DEFORMATA e i valori della rotazione: 

R₂=0,00092

Momento torcente

Vediamo ora l'ACCIAIO

Scegliendo per tutte e tre le aste una sezione HE di questo tipo:

Applicando un momento lungo y pari a 90 KN m

Ottengo i seguenti risultati:

DEFORMAZIONE

R2=0,0059

MOMENTO TORCENTE

Ora cambio la sezione alla terza trave assegnandogli una sezione scatolare di questo tipo:

R2=0,00556

DIAGRAMMA MOMENTO TORCENTE

Dai risultati ottenuti possiamo notare che le sezioni in acciaio hanno una maggiore resistenza torsionale rispetto a quelle in cls, ma soprattutto le sezioni chiuse sono più rigide di quelle aperte, come possiamo notare nell'ultimo esempio dove il momento torcente è maggiore. 

In questo esercizio si vuole capire come influisce la torsione in un sistema strutturale . Analizzeremo una struttura tridimensionale e vedremo come il momento agente sul nodo si ripartisce in parte in momento flettente e in parte in momento torcente. 

SCHEMA DI CALCOLO

                           

La mensola è soggetta al carico distribuito che posso  sostituire , essendo un tratto isostatico in un contesto iperstatico, con il corrispondente valore del momento flettente applicato nel nodo. La struttura si trova in uno spazio tridimensionale presenta dunque sei gradi di libertà. poichè le aste sono indeformabile assialmente avremo che ux, uy, uz saranno uguale a zero.

Quello che agisce sulla struttura è un momento ql²/2 che provoca una rotazione. Il momento oltre a far ruotare le aste lungo xz provoca un momento torcente sull'asta perpendicolare.

                        

 

Il problema presenta un’incognita la rotazione che sarà trovata scrivendo l’equilibrio contro la rotazione del nodo:

ql²/2 = φy ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJT/l3)

dove ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJT/l3) = Rn ⇒RIGIDEZZA DEL NODO 

 

Ora svolgeremo l'esercizio in SAP trovandoci i valori di sollecitazioni delle varie aste e lo faremo cambiando di volta in volta sezioni e materiali per vederne come reagiscono le aste a seconda del materiale (acciaio e calcestruzzo) . 

Ricordiamo che  per una generica sezione il momento torsionale vale:

MT = (G*JT/l) ϑ(l)

dove:

G = modulo di elasticità tangenziale (dipende dal materiale)

Calcestruzzo:  Gcls = 10⁷ KN/m²

Acciaio: Gsteel = 8*10⁷ kN/m²

JT = momento di inerzia polare (dipende dalla sezione)

ϑ(l) = angolo unitario di rotazione

(G*JT/l) rappresenta la rigidezza torsionale delle generica asta di lunghezza "l".

 

Definiamo ora il carico e le luci delle aste

q = 10kN/m

l = 2m

My = ql²/2 = 20 kN/m

 

Calcestruzzo

• Sezione rettangolare 

       

Jt = c₂ * ab³

è tabelleto in funzione di a/b . In questo caso c2 = 0,291

Jt = (0,291) 0,63 * (0,15)³ = 0,0006475 m³

ql²/2 = φ ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJt/l3)

E (modulo di elasticità) = 21000000 kN/m²

I (momento di inerzia) = bh³/12 

G = 10000000 kN/m²

Rn = ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJt/l3) 

φy = ql²/2 / Rn 

Svolgiamo ora l'esercizio in SAP assegnando alle aste una sezione rettangolare piena in cls armato e applichiamo il momento agente lungo l'asse y

 

                                  deformata                                                                momento ( -9,30)

 

                     

φy= 0,0004314  

• Sezione circolare 

   

I (momento di inerzia) = pgreco*r⁴ /64 = 0,008245 m⁴

Jp = momento polare di inerzia = pgrego r⁴/ 2 = 0,00164 m³

Rn = ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJp/l3)

φy = ql²/2 / Rn 

                          deformata                                                                momento ( -8,35)                   

φy= 0,0003863

Acciaio

•  Sezione quadrata cava

Jt = 4Ω²t/ lm = 0,00006859 m²

Rn= ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJt/l3)

φy = ql²/2 / Rn 

                           deformata                                                                momento ( -9,85)  

 

φy = 0,0001121

• Ipe

E (modulo di elasticità) = 21000000 kN/m²

G (modulo di elasticità tangenziale) = 80000000 kN/m²

Jt  = 0,0000004833 m³

Rn= ( 4EI/l1 + 4EI/l2 + GJt/l3)

φy = ql²/2 / Rn 

                      deformata                                                                momento ( -9,99)  

φy = 0,0001138

 

Dai risultati ottenuti si può notare che le sezioni in acciaio offrono una maggiore resistenza rispetto a quelle in calcestruzzo in quanto possiedono un modulo di elasticità tangenziale superiore. Tra le sezioni in acciaio quella che risulta avere una migliore rigidezza torsionale è il profilo chiuso cavo, in quanto le tensioni tangenziali aumentano all'aumentare della loro distanza torsionale.

in questa esercitazione studiamo una struttura reticolare tridimenionale con l'ausilio del programma SAP2000, al fine di valutare gli effetti di un carico distribuito su una struttura isostatica di questo tipo. 

la struttura è stata disegnata precedentemete su Rhinoceros per motivi di comodità e poi importata su SAP con il formato .IGS

una volta importato il disegno è bene ridurre la tolleranza di errore del file in modo che, se a seguito dell'importazione, le linee avessero subito qualche variazione come un minimo distanziamento, con il comando MERGE TOLERANCE tutto questo verrebbe evitato e le linee a una distanza inferiore al valore da noi impostato si considererebbero unite

per rendere la stuttura reticolare isostatica assegniamo 3 vincoli a tre nodi inferiori (comandi ASSIGN-JOINT-RESTRAINTS)

assegniamo alle aste una sezione tubolare in acciaio e il peso proprio nullo, in modo che non influenzi l'analisi 

assegniamo un carico distribuito ai nodi superiori pari a 50KN (comandi ASSIGN-JOINT LOADS-FORCES)

avendo a che fare con una trave reticolare in cui i nodi sono cerniere dobbiamo impostare il rilascio dei momenti, un operazione che dichiara l'intrasmissibilità dei momenti attraverso le cerniere.

ora possiamo avviare l'analisi, ottenendo l'immagine accentuata della deformata

da questa analisi possiamo ottenere anche delle tabelle (esportabili su excel) con riportati per esempio i valori delle reazioni vincolari o i valori di taglio e memento per ogni asta che compone la trave, come accade nella tabella riportata sotto.