Esercitazione

Esercitazione_4

trave su più appoggi (risoluzione di un sistema iperstatico attraverso il metodo delle forze)

1_

tipologia di esercizio

L’esercizio inquadra una struttura composta da una trave su più appoggi, la quale risulta di conseguenza iperstatica. Per procedere quindi con la risoluzione dello schema verrà applicato il metodo delle forze, il quale metodo prevede il declassamento dei vincoli, sostituendoli con forze o momenti, corrispondenti alle reazioni vincolari escluse dallo schema. Questo metodo ha come obbiettivo la risoluzione di uno schema iperstatico mediante schemi isostatici equivalenti.

2_

analisi della trave

La scelta del declassamento dei vincoli viene definita dalla conoscenza del valore di abbassamento e rotazione (deformata della trave) sotto condizioni di carico distribuito o momenti flettenti. Per procedere quindi con la risoluzione dello schema iperstatico, si declassano le cerniere B-C-D, rendendole di conseguenza passanti (quindi interne) e aggiungendo delle coppie di momenti nei punti B-C-D. Le coppie di momenti riescono a ripristinare la condizione di vincolo esclusa precedentemente, garantendo di conseguenza una simmetria nella rotazione della cerniera interna.

3_

equazioni di compatibilità cinematica

Successivamente vengono definite le equazioni di compatibilità cinematica della trave, dove abbiamo:

tratto A-B

ΔφB = ΔφD = 0 per simmetria dello schema trave

ΔφB = ΔφBs + ΔφBd ⇒ ΔφBs = ((q*L³)*(1/24*E*J)) - ((xBs*L)*(1/3*E*J))

⇒ ΔφBd = - ((q*L³)*(1/24*E*J)) + ((xBd*L)*(1/3*E*J)) + ((xCs*L)*(1/6*E*J))

ΔφBs = ((q*L³)*(1/24*E*J))-((xBs*L)*(1/3*E*J)) = -((q*L³)*(1/24*E*J))+((xBd*L)*(1/3*E*J))+((xCs*L)*(1/6*E*J)) = ΔφBd

⇒ ΔφB = ((q*L²)*(1/8)) - (ΔφC*(1/4))

tratto B-C

ΔφB = ΔφD = 0 per simmetria dello schema trave

ΔφC = 0

ΔφC = ΔφCs + ΔφCd ⇒ ΔφCs = ((q*L³)*(1/24*E*J)) - ((xBd*L)*(1/6*E*J)) - ((xCs*L)*(1/3*E*J))

⇒ ΔφCd = - ((q*L³)*(1/24*E*J)) + ((xDs*L)*(1/6*E*J)) + ((xCd*L)*(1/6*E*J))

ΔφCs = ((q*L³)*(1/24*E*J))-((xBd*L)*(1/6*E*J))-((xCs*L)*(1/3*E*J)) = -((q*L³)*(1/24*E*J))+((xDs*L)*(1/6*E*J))+((xCd*L)*(1/6*E*J)) = ΔφCd

⇒ Δφc = ((q*L²)*(1/14))

ΔφB = ((q*L²)*(1/8)) - (ΔφC*(1/4))

⇒ ΔφB = ((q*L²)*(1/8)) - (((q*L²)*(1/14))*(1/4))

⇒ ΔφB = ((q*L²)*(3/28))

4_

equazioni di equilibrio

Successivamente vengono definite le equazioni di equilibrio della trave, dove abbiamo:

tratto A-B

RVA = (q*L*(1/2)) - (q*L*(3/28) ⇒ RVA = (q*L*(11/28))

RVBs = (q*L*(1/2)) + (q*L*(3/28) ⇒ RVBs = (q*L*(17/28))

tratto B-C

RVBd = (q*L*(1/2)) + (q*L*(3/28) - (q*L*(1/14) ⇒ RVBd = (q*L*(15/28))

RVCs = (q*L*(1/2)) - (q*L*(3/28) + (q*L*(1/14) ⇒ RVCs = (q*L*(13/28))

tratto C-D

RVCd = (q*L*(1/2)) - (q*L*(3/28) + (q*L*(1/14) ⇒ RVCd = (q*L*(13/28))

RVDs = (q*L*(1/2)) + (q*L*(3/28) - (q*L*(1/14) ⇒ RVDs = (q*L*(15/28))

tratto D-E

RVDd = (q*L*(1/2)) + (q*L*(3/28) - (q*L*(1/14) ⇒ RVCd = (q*L*(15/28))

RVE = (q*L*(1/2)) - (q*L*(3/28) ⇒ RVE = (q*L*(11/28))

Successivamente vengono definite le reazioni vincolari complessive del sistema analizzato:

RVA = (q*L*(11/28))

RVBs = (q*L*(17/28)) ⎫

           +                 ⎬ ⇒ RVB = (q*L*(8/7))

RVBd = (q*L*(15/28)) ⎭

RVCs = (q*L*(13/28)) ⎫

           +                 ⎬ ⇒ RVC = (q*L*(13/14))

RVCd = (q*L*(13/28)) ⎭

RVDs = (q*L*(15/28)) ⎫

           +                 ⎬ ⇒ RVD = (q*L*(8/7))

RVDd = (q*L*(17/28)) ⎭

RVE = (q*L*(11/28))

5_

sollecitazioni di taglio e momento flettente

Successivamente vengono definite le sollecitazioni a taglio ed i punti di nullo del taglio, quest’ultimi eguagliando il valore del taglio nel dato tratto a 0 (sapendo che il punto di nullo definisce come suggerito dal nome il punto dove il taglio presenta un valore pari a 0):

taglio

tratto A-B

Ts = - (q*L*(11/28)) + q*s

s = 0 ⇒ T0 = - (q*L*(11/28))

s = L ⇒ TL = (q*L*(17/28))

Ts = 0 ⇒ - (q*L*(11/28)) + q*s = 0

⇒ s = L*(11/28)

tratto A-B + B-C

Ts = - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) + q*s

s = L ⇒ TL = - (q*L*(15/28))

s = 2*L ⇒ T2L = (q*L*(13/28))

Ts = 0 ⇒ - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) + q*L = 0

⇒ s = L*(15/28)

tratto A-B + B-C + C-D

Ts = - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) - (q*L*(13/14)) + q*s

s = 2*L ⇒ T0 = - (q*L*(13/28))

s = 3*L ⇒ T0 = (q*L*(15/28))

Ts = 0 ⇒ - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) - (q*L*(13/14)) + q*2*L = 0

⇒ s = L*(13/28)

tratto A-B + B-C + C-D + D-E

Ts = - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) - (q*L*(13/14)) - (q*L*(8/7)) + q*s

s = 3*L ⇒ T0 = - (q*L*(17/28))

s = 4*L ⇒ T0 = (q*L*(11/28))

Ts = 0 ⇒ - (q*L*(11/28)) - (q*L*(8/7)) - (q*L*(13/14)) - (q*L*(8/7)) + q*3 = 0

⇒ s = L*(17/28)

momento

tratto A-B

Ms = ((q*L*(11/28))*s) - ((q*s²)*1/2)

s = 0 ⇒ M0 = 0

s = L ⇒ ML = - (q*L²*(3/28))

s = L*(11/28) ⇒ ML1 = (q*L*(121/1568))

tratto A-B + B-C

Ms = + (((q*L*(11/28))*(L+s)) + ((q*L*(8/7))*(s)) - ((q*(L+s)²*1/2)

s = 0 ⇒ M0 = - (q*L²*(3/28))

s = L ⇒ ML = - (q*L²*(1/14))

s = L*(15/28) ⇒ ML1 = (q*L*(7/196))

tratto A-B + B-C + C-D

Ms = + (((q*L*(11/28))*(2*L+s)) + (((q*L*(8/7))*(L+s)) + ((q*L*(13/14))*s) - ((q*(L+s)²* 1/2)

s = 0 ⇒ M0 = - (q*L²*(1/14))

s = L ⇒ ML = - (q*L²*(3/28))

s = L*(13/28) ⇒ ML1 = (q*L*(7/196))

tratto A-B + B-C + C-D + D-E

Ms = + (((q*L*(11/28))*(3*L+s)) + (((q*L*(8/7))*(2*L+s)) + (((q*L*(13/14))*(L+s)) + ((q*L*(8/7))*s) - ((q*(L+s)²*1/2)

s = 0 ⇒ M0 = - (q*L²*(3/28))

s = L ⇒ ML = 0

s = L*(11/28) ⇒ ML1 = (q*L*(121/1568))

Una trave virendeel  presenta molte analogie con un telaio shear type, con l’unica differenza che è posizionato in orizzontale, e quindi invece di avere travi infinitamente rigide avrà i pilastri infinitamente rigidi e travi deformabili. 

La trave virendell  viene utilizzata perché il suo particolare comportamento permette di spezzare il diagramma del momento in ogni campata e ridurre i valori delle reazioni agli incastri.

Iniziamo con l’analizzare il modello shear type. Il portale ha una trave composta da un corpo rigido indeformabile, se applichiamo una forza F la trave non potendo ne deformarsi ne ruotare, è soggetta alla sola traslazione orizzontale  , che dipende dalla rigidezza dei pilastri

Il pilastro risulta essere doppiamente incastrato, quindi 3 volte iperstatico, ipotiziamo un cedimento vincolare nell'incastro B in modo da analizzarne curvatura e momento anche in assenza di carico.

Attraverso l'integrazione della linea alestica possiamo ricavarci il taglio ed il momento:

                 nel nostro caso non abbiamo carico quindi q=0               

Dalle condizioni a bordo sappiamo che:

Otteniamo così le equazioni di spostamento e rotazione

Deriviamo la rotazione per ottenere la curvatura, e di conseguenza il momento flettente ed il taglio che ne è la derivata

Le reazioni vincolari si trasmettono da pilastro a treve

Attraverso l'equilibrio alla traslazione orizzontale calcoliamo dello spostamento e della rigidezza

Ora possiamo affrontare l'esercizio sulla TRAVE VIRENDELL A MENSOLA

Come abbiamo visto dal modello precedente, la forza agente sulla struttura si ripartisce nel TAGLIO delle travi in proporzione alla loro rigidezza, poichè abbiamo travi con la stessa luce e stesso materiale, anche la rigidezza sarà uguale.

Ciascuna trave ha un taglio pari alla metà della forza agente sommata al taglio che proviene dalla trave precedente.

Per ottenere il momento flettente moltiplichiamo il taglio per metà della luce

Analizziamo come il momento si trasmette da trave a pilastro attraverso l'equilibrio del nodo

Ottenuti i valori dei momenti, ci ricaviamo quelli del taglio facendo l'equilibrio alla rotazione dei pilastri, sommiamo i momenti e dividiamo per la luce del pilatro

Determiniamo l'abbassamento () in ogni campata, sappiamo che la rigidezza nel telaio shear type simmetrico è pari a 12EI/L³ per ciascuna trave, conoscendo il taglio in ciascuna campata otteniamo:

La deformata sarà:

VERIFICA IN SAP

Nel disegnare il modello in sap l'unica accortenza che dobbiamo avere è quella di dire al programma che i pilastri sono infinitamente rigidi tenendo presente che il programma non conosce il modello ideale di corpo rigido, ma possiamo simularlo con un modulo di elasticità molto elevato. Questo però non basta per ottenere i risulatati simili al modello ideale, dato che SAP considera le travi come corpi rigidi, e quindi c'è una distribuzione diversa del momento. Per avvicinarci ancora di più la modello ideale attribuiamo una sezione molto piccola o un modulo di elasticità basso alle travi.

DEFORMATA

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

DIAGRAMMA SFORZO ASSIALE

TRAVE VIRENDEEL DOPPIAMENTE INCASTRATA

Il procedimento è analogo all'esercizio precedente, con la sola differenza che in questo caso la trave è doppiamente incastrata e per la simmetria della struttura possiamo effettuare dei ragionamenti su metà di essa.

Questo comporta che nell'analizzare solo la prima parte della struttura la forza del pilastro centrale deve essere considerata a metà.

Analogamente a prima ci calcoliamo il taglio

e di conseguenza il momento, dividendo il taglio per metà della luce

Attraverso l'equilibrio dei nodi ci troviamo i momenti agenti sui pilastri, ricordandoci che il nodo D sarà la somma dei momenti provenienti da sinistra e da destra.

dai momenti ci ricaviamo il taglio nei pilastri

ed infine gli abbassamenti ()

DEFORMATA

VERIFICA IN SAP

DEFORMATA

DIAGRAMMA DEL MOMENTO

DIAGRAMMA DEL TAGLIO

DIAGRAMMA DELLO SFORZO ASSIALE

In questo blog si vuole determinare come e in che misura il seguente impalcato reagisce ad una forza orizzontale (sisma – vento), tramite l’azione dei controventi. Il soggetto in esame altro non è che il telaio (travi e pilastri allineati nello stesso piano) il quale non ha solo il compito di ripartire i carichi verticali ma anche quelli orizzontali.

Nello schema i controventi, in quanto hanno un comportamento elastico, vengono rappresentati come delle molle ognuna caratterizzata da una propria rigidezza, che può variare in funzione di alcuni parametri (ad esempio la sezione dei pilastri). Conoscendo il valore delle distanze delle molle dal punto di rotazione O (origine del sistema di coordinate), la dimensione dei pilastri(30cm x 40cm, h= 320 cm), il materiale utilizzato (calcestruzzo armato con modulo di Young E=210000 N/mm²), possiamo iniziare il calcolo dell’impalcato soggetto alla forza orizzontale “F”.

1-      Calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

In questo passaggio si vuole determinare quale è la forza, e quindi rigidezza, che i vari telai, presi in esame uno ad uno, oppongo alla traslazione lungo il loro asse. La rigidezza del telaio è il risultato della somma della rigidezza di ogni pilastro ad esso appartenete (proprio come nel modello shear-type) e vale:

Kᴛ = 12E Itot/h³

2-      Tabella sinottica controventi e distanze

Di seguito vengono riportate in tabella le rigidezze traslanti dei telai e la loro distanza dal punto di rotazione O

3-      Calcolo del centro di massa

Siccome non è immediatamente riconoscibile il centro di massa, in quanto l’impalcato non è simmetrico, si procede semplificando l’impalcato stesso in forme semplici, rettangoli e/o quadrati, di cui vengono trovati facilmente i baricentri. Il centro di massa dell’intero impalcato non sarà altro che la somma delle coordinate, lungo x ed y, per le rispettive aree, diviso l’area totale dell’impalcato.

 Xg= (ΣXi * Ai) / Atot        con i che va da 1 a 3

 Yg= (ΣYi * Ai) / Atot

4-      Calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

Il centro delle rigidezze è il centro del sistema di forze considerate, in cui viene applicata la risultante delle rigidezze traslanti dei controventi lungo l’asse x ed y. Ora non resta che ricavare le distanze dei controventi dal centro delle rigidezze in modo da trovare il valore della rigidezza torsionale (Kϕ) dell’impalcato che rappresenta la rigidezza complessiva a rotazione delle molle.

 Xc= (ΣKyi * dyi) / Kytot   con i che va da 1 a 4

 Yc= (ΣKxi * dxi) / Kxtot

 Kϕ= (ΣKi * di²)

5-      Analisi dei carichi sismici

A questo punto viene definita la forza sismica, applicata nel centro di massa, come il prodotto tra  la massa dell’impalcato e l’accelerazione del suolo dovuto al sisma.

F = m a

La massa dell’impalcato “W” è data dalla somma del carico totale permanente “G” e del carico totale accidentale “Q” per il coefficiente di intensità sismica “ψ” (da normativa), dove:

G =  (carico strutturale (qs ) + sovraccarico permanente (qp)) * l’area totale dell’impalcato (Ωtot)
Q = sovraccarico accidentale (qa) * l’area totale dell’impalcato (Ωtot)
L’accelerazione è data dalla normativa e dipende dal sito in esame. Prendiamo come riferimento la zona di Roma dove il valore della accelerazione è di 0,12.

6-      Ripartizione della forza sismica

Si arriva, infine a definire le incognite del problema e cioè la traslazione “u” lungo gli assi di riferimento e la rotazione “ϕ” dell impalcato per poi trovare il momento torcente  prodotto dalla forza sismica e ripartirla, cioè quantificare la forza che ogni controvento offre al sistema.

In generale l’impalcato esaminato ha un buon comportamento sismico in quanto centro delle masse e centro delle rigidezze sono molti vicini e ciò rende il momento torcente abbastanza contenuto, evitando che la rotazione sia eccessiva. Infine è interessante notare il comportamento di sistema dei controventi. I telai con un valore maggiore della rigidezza assorbono una quantità maggiore della forza sismica.

Chi più ha, più paga… mi sembra giusto!

Ripartizione forza sismica

Scelgo un impalcato di riferimento, nello specifico questo è composto da tre telai piani lungo l'asse x tra i nodi (1-2-5-7)(2-4-6-8)(9-10) e quattro telai piani lungo l'asse y tra i nodi (1-2)(3-4-9)(5-6-10)(7-8).
I vincoli della struttura vengono rappresentati come molle poichè, anche se il solaio è rigido, i controventi godono di una loro elasticità di base.

A questo punto devo scegliere un profilo in acciaio da adottare nella struttura: in questo caso ho preso una trave IPE 200

Scelto il profilo vado a calcolare, con l'ausilio della tabella excel tutti i telai che compongono la struttura
lungo l'asse x:

e lungo l'asse y:

Una volta inseriti i dati dei miei telai e del profilo che vado ad utilizzare la TABELLA SINOTTICA CONTROVENTI E DISTANZE del mio foglio excel determina i valori delle rigidezze della struttura.

Nella fase successiva devo determinare il centro di massa del mio solaio, quindi divido la struttura in due corpi rettangolari e trovo geometricamente i loro centri

Ora so le coordinate dei due centri A (11;3) e B (13;11) rispetto al sistema cartesiano di riferimento che ho adottato ed inserendo le due aree e le coordinate posso ricavare il centro di massa dell'intera struttura C (11,63 ; 5,50)

La posizione del centro di massa dell'impalcato e i suoi valori di rigidezza mi permettono di determinare il centro delle rigidezze: il punto in cui si applica la risultante delle forze resistenti

A questo punto si va a calcolare il valore della spinta orizzontale esercitato dal sisma sulla mia struttura

I valori di sovraccarico permanente e accidentare ed il carico permanete sono normati e vengono analizzate sul telaio specifico nel calcolo del carico totale permanente ed accidenale.

Ora devo determinare come la spinta orizzontale del sisma si va ripartendo sui miei telai lungo le due direzioni x e y e come questa spinta provoca la rotazione della struttura:
lungo l'asse x:

e lungo l'asse y:

Analizzando il telaio shear-type abbiamo assimilato il concetto di rigidezza: essa può essere espressa come la forza necessaria ad imprimere uno spostamento unitario, dal momento che la forza F è pari alla rigidezza K per lo spostamento d. In sostanza è ciò che lega la causa (forza) all’effetto prodotto (spostamento): maggiore è la rigidezza, maggiore dovrà essere la forza necessaria a produrre un medesimo spostamento.

Trattando il tema dei controventi e, di conseguenza, della risposta alle azioni orizzontali di varia natura (sisma, vento, ecc.) che una struttura deve necessariamente essere in grado di sopportare, è opportuno fare una precisazione: l’efficacia di un sistema di controventi risiede nella possibilità di considerare l’impalcato in questione come un corpo infinitamente rigido sul piano orizzontale. Esso, quindi, è incapace di deformarsi se soggetto a forze agenti lungo il suo medesimo piano e si inflette nel caso dell’azione di forze verticali che qui però non trattiamo. I controventi, dunque, possono essere considerati vincoli elastici cedevoli, i quali contrastano le forze agenti sul loro stesso piano. La loro elasticità consente al corpo rigido degli spostamenti indotti dalla forza agente, alla quale corrisponde una reazione proporzionale alla rigidezza (vedi telaio shear-type). 

Nel caso più semplice di controventi con eguale rigidezza avremo una medesima ripartizione della forza agente e il corpo rigido traslerà.

Quando, invece, abbiamo controventi con rigidezze tra loro differenti sappiamo che la forza agente verrà ripartita in proporzione alle rigidezze appunto, quindi anche gli spostamenti ddiversi per ogni molla. Di conseguenza, il corpo rigido non si limiterà a traslare, ma ruoterà. Questo avviene nei casi in cui l’asse della forza agente F non corrisponde all’asse dei centri delle rigidezze, ossia l’asse della forza reagente risultante equivalente alle 2 reazioni singole.

Gli spostamenti finali, quindi, risentono della traslazione dlungo al direzione di F e di una rotazione attorno al centro delle rigidezze. In sostanza le due grandezze fondamentali sono la rigidezza traslante K_de la rigidezza rotazionale K_fi. 

Lo scopo dell’esercitazione seguente è quello di analizzare un impalcato strutturale, calcolando la rigidezza traslante, il centro di massa, il centro delle rigidezze, la rigidezza rotazionale e quantificando la ripartizione delle azioni orizzontali (sismiche) sui diversi controventi.

Pianta strutturale e sistema di controventi

STEP 1

Dopo aver individuato i pilastri che compongono i 7 telai dell’impalcato assegno ad ognuno di loro un materiale (in questo caso ca) e una sezione (b=10 cm; h=15 cm). L’obiettivo è calcolare la rigidezza traslante K_ddi ogni telaio, ovvero la  somma delle rigidezze dei singoli pilastri che lo compongono, la quale come sappiamo dipende dal modulo di Young E, dal Momento d’Inerzia I e dalla luce L (nello specifico l’altezza h).

STEP 2

Raccogliamo in una tabella i valori delle rigidezze traslanti dei telai e le distanze degli stessi da un punto O ritenuto origine del sistema di riferimento. Come vedremo queste distanze relative ci serviranno nel calcolo del centro delle rigidezze.

STEP 3

A questo punto calcoliamo il centro di massa del nostro impalcato: il procedimento è puramente i natura geometrica e consiste nel suddividere la pianta in forme semplici (rettangoli) delle quali calcolo il corrispondente centro di massa. Una volta ottenute le coordinate dei 2 centri di massa dei 2 rettangoli, con una semplice media ponderata abbiamo le coordinate del centro di massa dell’impalcato.

STEP 4

Il quarto step prevede il calcolo del centro delle rigidezze, per il quale necessitiamo delle distanze dall’origine O prima annotate. Infatti, anche in questo caso si tratta di una media ponderata: moltiplichiamo il valore della rigidezza traslante di ogni telaio per la relativa distanza dal punto O e dividiamo la somma ottenuta per la rigidezza traslante totale, sia in orizzontale che in verticale (ossia lungo gli assi x e y del nostro sistema di riferimento perché va ricordato che le forze agenti sono sempre orizzontali e che si sta analizzando il piano dell’impalcato).

Dopo aver individuato il centro delle rigidezze annotiamo le distanze da esso di ogni controvento poiché sono necessarie ai fini del calcolo della rigidezza rotazionale Kfi: essa è data dalla sommatoria dei prodotti delle rigidezze traslanti di ogni telaio per il quadrato della relativa distanza dal centro delle rigidezze.

STEP 5

Il quinto passo consiste nell’analisi dei carichi agenti sull’impalcato e sulla loro combinazione (allo SLE dal momento che i valori non vengono amplificati dai coefficienti g). La somma del carico permanente totale e di quello accidentale totale, moltiplicata per il coefficiente di contemporaneità, ci dà il valore dei pesi sismici, i quali, a loro volta, divisi per il coefficiente di intensità sismica, danno il valore della forza sismica orizzontale. 

STEP 6-7

Ora non ci resta che quantificare la ripartizione della forza sismica F lungo l’asse x e lungo quello y e, nello specifico, per ognuno dei controventi.

Innanzitutto, ricordiamo che nel momento in cui la forza agente abbia un asse differente da quello del centro delle rigidezze (come nel nostro caso), il corpo non si limita a traslare, ma ruota anche. Per poter conoscere il valore di questa rotazione, calcoliamo il Momento Torcente M per l’asse x, moltiplicando la forza sismica F per il suo braccio, ovvero la differenza tra l’ordinata del centro delle rigidezze e quella del centro di massa, e per l’asse y, utilizzando come braccio la differenza tra le ascisse dei due centri. Poi, calcoliamo la traslazione orizzontale, dividendo F per la rigidezza traslante orizzontale, la traslazione verticale, dividendo F stavolta per la rigidezza traslante verticale, e le rotazioni, dividendo i rispettivi Momenti Torcenti per la rigidezza rotazionale.

A questo punto siamo in grado di conoscere la ripartizione della forza sismica, sia lungo l’asse x che lungo quello y, e il valore delle reazioni dei singoli controventi.

Edificio della Prefettura - L'Aquila

Era il 6 aprile 2009 alle ore 3:32 quando la città de L'Aquila e i paesi circostanti venivano colpiti da una scossa sismica dell'VIII grado della scala Mercalli. I danni furono ingenti, sia per le vittime che per la molteplicità di beni storici e artistici devastati. In molti, subito dopo la sciagura, si appellarono alla negligenza dei progettisti, i quali avevano deliberatamente ignorato il DM 2008, il quale prevede una serie di normative atte alla progettazione di impalcati idonei a resistere all'azione delle spinte orizzontali, quali appunto il sisma. Per questo, oggigiorno, risulta assolutamente indispensabile per un progettista avere un bagaglio di conoscenze che gli permettano di progettare un edificio, la cui struttura comprenda degli elementi irrigidenti finalizzati all'assorbimento delle spinte orizzontali. Tali elementi vengono chiamati controventi.

In questa esercitazione andremo quindi ad esaminare qual è l'azione di una forza orizzontale su di un impalcato così strutturato:

Dobbiamo innanzitutto fare due considerazioni:

- ipotizzando che il solaio sia un diaframma rigido, il suo comportamento meccanico sarà tale da poterlo equiparare a quello di un corpo rigido. Gli spostamenti che esso potrà compiere saranno, quindi, la traslazione orizzontale, la traslazione verticale e la rotazione;

- il comportamento meccanico dei telai invece è quello dei corpi elastici, che si deformano assorbendo il carico orizzontale come se fossero delle molle.

Giova inoltre sottolineare che, avendo i controventi delle rigidezze diverse, la struttura non trasla solamente, bensì, generandosi un braccio pari alla distanza del centro delle masse dal centro delle rigidezze, essa è soggetta anche a rotazione. Nel caso in cui il braccio fosse eccessivo, la struttura sarebbe soggetta ad un momento troppo grande che la porterebbe inevitabilmente al collasso.

Da notare, infine, che i pilastri dell'impalcato (30x40 cm) sono disposti secondo due orientamenti diversi e avranno quindi momenti d'inerzia diversi:

Ora, tramite un foglio di calcolo Excel, vediamo come si comporta il suddetto impalcato, quando è soggetto ad una forza orizzontale.

STEP 1: calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

Come primo passo, abbiamo calcolato la rigidezza traslante di ogni controvento costituente l'impalcato. A sinistra vi sono i telai paralleli l'asse y, mentre a destra lungo l'asse x. In tutto e due i casi la K_T risultante di ogni telaio deriva dalla formula:

che non è nient'altro che la formula del taglio in un corpo rigido, dove:

E = modulo di Young (21000 per il calcestruzzo)

ΣiJi = sommatoria dei momenti di inerzia di pilastri del telaio

h = altezza dei pilastri dell'impalcato

STEP 2: tabella sinottica controventi e distanze

In questa tabella riassuntiva sono semplicemente riportate le rigidezze calcolate precedentemente e le distanze dei controventi dal punto O.

STEP 3: calcolo del centro di massa

Una volta stabilite le rigidezze dei telai e le loro distanze dall’origine O, l’impalcato è stato suddiviso in tre aree:

A1= 60 m²               A2 = 36 m²                  A3 = 18 m²

delle quali sono stati calcolati i rispettivi centri di massa, semplicemente tracciando le diagonali di ogni rettangolo. Ottenute le coordinate relative, abbiamo calcolato il centro di massa dell’intera struttura tramite questa semplice formula:

X_G = (A₁ x_G1 + A₂ x_G2 + A₃ x_G3) / (A₁ + A₂ + A₃) = 5,18 m

Y_G = (A₁ y_G1 + A₂ y_G2 + A₃ y_G3) / (A₁ + A₂ + A₃) = 6,47 m

STEP 4: calcolo del centro di rigidezze e delle rigidezze globali

X_c = Σ_i k_vd_v / k_{v tot.}

Y_c =  Σ_i k_od_o / k_{o tot.}

Infine è possibile calcolare anche la rigidezza torsionale totale pari a:

k_Φ = Σ_ik_i dd_i²

STEP 5: analisi dei carichi sismici

Q = carico totale accidentale = q_a A_tot

STEP 6: ripartizione della forza sismica lungo l'asse x e lungo l'asse y

               F_y^O= K_y^O * dd_y^O * ϕ_y    per i controventi verticali

Ripartizione della forza sismica lungo l'asse X:

Ripartizione della forza sismica lungo l'asse Y:

Trave Vierendeel

Il secondo esercizio sulla trave Vierendel è su doppio incastro ed è composta da 6 telaio shear type, sovrapposti e ruotati, in questo caso la struttura è simile al comportamento ad una trave doppiamente incastrata.

La struttura è simmetrica, quindi è necessario dividere la forza centrale in F/2.

Data la simmetria è sufficiente risolvere metà trave per poi ribaltare i risultati.

Trovare il taglio nei pilastri tramite l’equilibrio delle forze orizzontali tenendo conto che la forza viene assorbita dai 4 incastri e non più solo da due come l’esercizio precedente.

Diagramma taglio

È possibile trovare il momento e lo spostamento δdei traversi  tramite  

M= 6EI/l²*δ T= 12 EI/l³*δ  dove   δ= Tl³/12 EI

1.      T=F/4   M=Fl/8  δ=Fl³/48EI

2.      T=3F/4   M=3Fl/8  δ=3Fl³/48EI

3.      T=5F/4   M=5Fl/8  δ=5Fl³/48EI

Per determinare  Il momento dei traversi è possibile moltiplicare il taglio per il braccio che è pari ad  l/2.

Diagramma momento

Per trovare il momento sui montanti, bisogna scrivere l’equilibrio ai nodi.

Diagramma momento sui montanti

Per trovare i tagli è necessario sommare la coppia dei momenti agenti sul montante e dividendoli per la luce su cui lavorano (2L)

Taglio sui montanti

Deformata

In questo esercizio analizziamo una trave vierendeel, composta da due correnti orizzontali collegati da montanti verticali, nel quale tutti i nodi sono ad incastro.

La trave può essere rappresentata come un modello Shear-Type, ovvero uno schema che si basa sul concetto di trave infinitamente rigida, la quale ha una rigidezza flessionale che ne impedisce la deformazione . Mentre i pilastri, collegati con nodi ad incastro, non si si deformano se sottoposti a qualsiasi sforzo assiale.

                          . 

Inizio a calcolare i valori del taglio grazie all'equazione di equilibrio alla traslazione analizzando ogni tratto (da 1 a 6) della struttura. 

Posso ora disegnare il diagramma del taglio per gli elementi orizzontali:

Mentre per trovare il valore del momento agli estremi delle aste orizzontali mi basta moltiplicare il valore del taglio per metà della lunghezza (l/2).

deformata:

Possiamo notare dal diagramma della deformata, che la curvatura è nulla nel punto di flesso(in mezzeria) e di conseguenza anche il momento sarà nullo.

Ora mi calcolo momento e taglio delle aste verticali:

Per il momento faccio l'equilibrio alla traslazione:

alcolo i valori dei tagli, equilibrando ai momenti appena ricavati una coppia di forze:

Diagramma del Taglio

Diagramma del Momento

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Abbiamo analizzato un' altro esempio di trave Vierendeel vincolata a entrambi i bordi e ne abbiamo calcolato gli spostamenti ed i diagrammi di taglio e momento sugli elementi orizzontali e verticali. Questa volta l'esercizio risulta semplificato perchè si può sfruttare la simmetria di questo schema strutturale.

Come fatto nell'esercizio precedente calcolo i valori di taglio partendo dall'asta centrale.

Disegno il diagramma del taglio per gli elementi orizzontali:

Per trovare i valori dei momenti, mi basta anche qui moltiplicare il valore del taglio per metà della

lunghezza (l/2).

Deformata:

Ora mi calcolo momento e taglio delle aste verticali 

Equilibrio dei nodi:

Equilibrio delle aste:

Diagramma del Taglio

Diagramma del Momento