Esercitazione

Trave Vieredeel appoggiata

Esercitazione Trave Vierendeel

 

Possiamo indicare come RIGIDEZZA (K) il rapporto tra la FORZA (F) necessaria per imprimere uno spostamento e lo SPOSTAMENTO (δ).

F = k x δ

TELAIO SHEAR TYPE

Con questo modello possiamo indicare uno dei due comportamenti limite di un portale. La caratteristica principale di tale modello è che la trave viene considerata come un CORPO RIGIDO ovvero indeformabile. Questo permette negli incastri (tra trave e pilastro) di avere solo uno spostamento orizzontale (δ) della trave poiché gli unici elementi deformabili sono i pilastri. Come abbiamo accennato precedentemente una volta nota F lo spostamento dipende dalla rigidezza dei pilastri.

 

Analizzando i pilastri li possiamo osservare come una struttura 3 volte iperstatica (essendo doppiamente incastrato). Dobbiamo quindi imporre un CEDIMENTO a ridosso della trave ottenendo di conseguenza una DEFORMATA.

Passando all’INTEGRAZIONE DELLA LINEA ELASTICA abbiamo:

  in assenza di carico si ha perciò 

Dalle CONDIZIONI AL BORDO sappiamo che:

                                      

                             

Ottenute le equazioni dello SPOSTAMENTO v e della ROTAZIONE φ, derivando quest’ultima ricaviamo la CURVATURA χe di conseguenza il MOMENTO FLETTENTE ed il TAGLIO.

                                     

                                     

Possiamo ora diagrammare i due sforzi:

Ovviamente le REAZIONI VINCOLARI ottenute si trasmettono dal PILASTRO alla TRAVE.

Facendo ora l’EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE  della trave possiamo ottenere il valore di δ.

 

Di conseguenza la rigidezza complessiva è paria a:

 

 

TRAVE VIRENDEEL A MENSOLA

La TRAVE VIRENDEEL è costituita dalla sovrapposizione di più TEALI SHEAR TYPE e quindi possiamo ricorrere al modello precedentemente studiato per poterla analizzare.

In questo esercizio la Virendeel è disposta come una mensola ed composta da 6 telai. Il vantaggio di utilizzare la trave Virendeel è che per ogni campata il momento flettente deve essere pari 0 al centro e questo permette di avere valori minori nelle reazioni agli incastri.

Poiché nel nostro esercizio la struttura è ruotata è più corretto dire che ciò che prima era stato indicato con pilastri ora li identificheremo con travi e viceversa (abbiamo quindi in questo caso dei PILASTRI INFINITAMENTE RIGIDI e delle TRAVI DEFORMABILI). Come abbiamo visto precedentemente la FORZA agente sulla struttura si ripartisce in valori di TAGLIO nei pilastri (in questo caso travi) proporzionali alla loro rigidezza. Essendo quindi le nostre travi di pari luce, materiale e sezione avranno anche la stessa rigidezza.

Ciò comporta che ciascuna trave ha un taglio pari alla metà della forza agente sommata al taglio che proviene dalla trave precedente.

Da tali valori di taglio possiamo ottenere di conseguenza i MOMENTI FLETTENTI moltiplicando il valore del taglio per metà della luce della trave.

                       

    

Possiamo ora analizzare come il momento in ciascun nodo si trasmetta dalla trave al pilastro (grazie all’equilibrio dei momenti nei nodi).

Otteniamo così il seguente diagramma.

Una volta noti i momenti in ciascun pilastro dobbiamo ora ottenere i valori di TAGLIO, per farlo dobbiamo equilibrare a rotazione il pilastri, sommiamo i momenti e dividiamoli per la luce del pilastro.

Otteniamo così il seguente diagramma.

Ora rimane da determinare di quanto si deformi ogni campata ovvero a quanto equivale il suo abbassamento (δ), sappiamo che la rigidezza nel telaio shear type simmetrico è pari a 12EI/L³ per ciascuna trave, conoscendo il taglio in ciascuna campata otteniamo:

 

Otteniamo così la seguente DEFORMATA COMPLESSIVA.

 

Possiamo ora verificare la struttura in SAP, disegniamo un MODELLO 2D FRAMES identico a quello del nostro esercizio.

L’unica differenza rispetto agli esercizi che sono stati fatti finora è nell’assegnazione dei materiali: dobbiamo infatti assegnare un materiale qualsiasi ed un profilo qualsiasi alle travi, mentre per i pilastri che devono essere INFINITAMENTE RIGIDI possiamo agire sulla sezione (cambiando così il momento d’inerzia) oppure sul materiale (cambiando il modulo elastico). In questo caso si è scelto di assegnare direttamente un modulo elastico “estremamente elevato” ed abbiamo ottenuto così i seguenti diagrammi e deformata.

SFORZO ASSIALE

TAGLIO

MOMENTO

Possiamo notare delle differenze tra il modello ideale ed il risultato ottenuto dalla verifica in SAP. Questo è dovuto al fatto che SAP considera le travi rigide anche se di un valore molto piccolo e di conseguenza il momento nella struttura si distribuisce in maniera diversa. Per ovviare a ciò ed ottenere un risultato il più vicino possibile al modello ideale dobbiamo assegnare alle travi delle sezioni molto piccole o un modulo elastico molto minore, con questa piccola accortezza otteniamo i seguenti risultati.

SFORZO ASSIALE

TAGLIO

MOMENTO

 

TRAVE VIRENDEEL DOPPIAMENTE INCASTRATA

Anche in questo esercizio possiamo fare riferimento al TEALIO SHEAR TYPE, con la differenza che la struttura questa volta non rimanda ad una mensola bensì ad una trave doppiamente incastrata, visto che abbiamo due incastri anche nel lato destro; questo ci permette di sfruttare il CONCETTO DI SIMMETRIA.

Iniziamo come nell’esercizio precedente calcolando i diversi valori del TAGLIO facendo però attenzione al pilastro centrale dove agisce una forza F/2 a destra e una forza F/2 a sinistra (perché per il concetto di simmetria lo abbiamo immaginato diviso in 2).

Dai valori del taglio ricaviamo quelli del MOMENTO (sempre moltiplicando il taglio per metà della luce della trave).

 

            

Ora possiamo ottenere i momenti agenti nei pilastri grazie all’equilibrio dei momenti ai nodi, dobbiamo  ricordarci di unire il momento del nodo Ds con quello del nodo Dd che precedentemente avevamo considerato separati per poter applicare il concetto di simmetria.

Sempre come nell’esercizio precedente dai valori dei momenti possiamo ricavarci quello del taglio nei pilasti.

Rimane ora da determinare gli abbassamenti (δ) come abbiamo fatto precedentemente e otteniamo:

 

Otteniamo così la seguente DEFORMATA COMPLESSIVA

 

Possiamo ora verificare la struttura in SAP, disegnando un MODELLO 2D FRAMES identico a quello del nostro esercizio e ripetendo i passaggi dell’esercizio precedente.

SFORZO ASSIALE

TAGLIO

MOMENTO

TRAVE VIERENDEEL

 

In questo esercizio analizziamo una trave Vierendeel, ovvero una trave composta da due correnti collegati da montanti verticali con nodi ad incastro.

 

Si tratta dunque di una struttura internamente iperstatica e per risolverla possiamo considerare i montati infinitamente rigidi impedendo qualsiasi tipo di deformazione. In questo modo i collegamenti verticali non possono far altro che traslare verticalmente imprimendo una deformazione nei correnti orizzontali.

Lo studio di questa trave è dunque assimilabile a quello di un modello “shear type” dal quale riprenderemo i metodi di analisi.

 

Iniziamo con il calcolo delle reazioni di taglio del corrente orizzontale grazie all’equazione di equilibrio alla traslazione che eseguiremo separatamente in ognuno dei sei tratti.

tratto 2:

tratto 3:

tratto 4:

tratto 5:

tratto 6:

Disegno la deformata:

 

Per capire il diagramma del momento dei correnti orizzontali, possiamo osservare lo schema della deformata il quale ci indica che il punto di curvatura nullo (e di conseguenza il punto in qui il momento è pari a zero) si trova in mezzeria. Quindi possiamo capire che il valore del momento agli estremi delle aste orizzontali sarà pari al valore del taglio ricavato, moltiplicato per il braccio l/2.

 

 

Ora bisogna calcolare il valore del momento e del taglio delle aste verticali.

I momenti li troviamo facendo l’equilibrio alla rotazione delle aste verticali.

 

 

Il taglio va trovato equilibrando ai momenti appena ricavati una coppia di forze. 

Per finire i due diagrammi:

Confronto i risultati con SAP:

TRAVE VIERENDEEL DOPPIAMENTE APPOGGIATA

 

Questa volta analizzeremo nuovamente la trave vierendeel con la differenza che verrà vincolata in entrambi i bordi, e come in precedenza ci ricaveremo i valori di taglio, momento e spostamento di tutte le aste.

Notiamo come a differenza di prima, la struttura è perfettamente simmetrica, un aspetto che ci semplifichera molto i calcoli!

Partendo dal tratto centrale, analizziamo le reazioni alle forze verticali:

(come prima per ricavare il momento dei correnti orizzontali basta moltiplicare il valore del taglio per l/2)

disegno la deformata:

Equilibrio al nodo per ricavare il valore del momento delle aste verticali:

Equilibrio delle aste verticali per calcolare il valore del taglio:

Diagramma del taglio:

Diagramma del momento:

Confronto i risultati con SAP:

 

Esercitazione_6

trave VIERENDEEL doppiamente incastrata (metodo delle rigidezze)

 

 

1_

tipologia di esercizio

L’esercizio inquadra una struttura composta a telaio che usa lo schema del telaio Shear Type, questo tipo di analisi da come si potrà vedere, definirà valori del momento flettente molto minori rispetto al telaio con travi deformabili incernierate.

Come si potrà vedere successivamente la caratteristica principale del telaio Shear Type è quella di presentare una trave infinitamente rigida, la quale ha una rigidezza flessionale che ne impedisce la deformazione. I pilastri sono invece considerati deformabili, trascurandone però l’allungamento (il che avrebbe potuto generare una rotazione rigida della trave).

Fatta questa premessa sul sistema, si può comprendere come l’unico movimento che questo elemento può fare sia quello di traslare orizzontalmente.

La trave presenta inoltre caratteri di simmetria, è così possibile analizzare solo metà trave.

 

 

 

2_

analisi della trave Vierendeel

 

Dall’analisi della deformata della singola trave possiamo ricavare la deformata completa della trave Vierendeel:

 

Passiamo al calcolo del taglio utilizzando l’equilibrio delle forze orizzontali, il quale risulta essere costante nei ritti. Dalla precedente analisi si è quindi capito che la forza agente si ripartisce in maniera proporzionale alla rigidezza e alla luce. Presentando quindi i ritti le stesse caratteristiche in quanto: lunghezza, materiale, sezione; da queste premesse si può capire che quest’ultimi avranno la stessa rigidezza, quindi su ognuno di loro insisterà metà della forza agente.

 

Nodo_3s

F= 4*T

F= (4* (E*J)*(12/H³)* δ3s)

δ3s= (F*H³) / ((1/48)*(E*J)) ⇒ T= F*1/4

 

Nodo_4

F= 4/3*T

F= (4/3*(E*J)*(12/H³)* δ2)

δ2= (F*H³) / ((1/16)*(E*J)) ⇒ T= F*3/4

 

Nodo_5

F= 4/5*T

F= ((4/5)* (E*J)*(12/H³)* δ3)

δ3= (F*H³) / ((5/48)*(E*J)) ⇒ T= F*5/4

 

Gli altri 3 nodi della trave risultano già noti per simmetria.

 

 

 

Passiamo al calcolo del momento flettente, sapendo da considerazioni precedenti che la legge del momento avrà un nullo in L*1/2 ci serve un solo altro valore noto per tracciare il diagramma del momento. Questo valore verrà identificato dal momento con polo in L*1/2.

 

Nodo_3s

M3s= ((F*1/4) * (L*1/2)) ⇒ M3s= FL*1/8

 

Nodo_4

M4= ((F*3/4) * (L*1/2)) ⇒ M4= FL*3/8

 

Nodo_5

M5= ((F*5/4) * (L*1/2)) ⇒ M5= FL*5/8

 

Gli altri 3 nodi della trave risultano già noti per simmetria.

 

 

Passiamo al calcolo del momento flettente sui ritti, facendo l’equilibrio dei momenti del nodo.

 

Nodo_3s

MR3s= ((FL*1/4)*1/2) - ((FL*1/4)*1/2) ⇒ MR3s= 0

 

Nodo_4

MR4= ((FL*3/4)*1/2) + ((FL*1/4)*1/2) ⇒ MR4= FL*1/2

 

Nodo_5

MR5= ((FL*5/4)*1/2) + ((FL*3/4)*1/2) ⇒ MR5= FL

 

Gli altri 3 nodi della trave risultano già noti per simmetria.

 

 

 

Passiamo al calcolo del taglio sui ritti, avendo i momenti flettenti agli estremi del ritto concordi li possiamo sommare e dividere il risultato per la luce del ritto, definendo così il valore del taglio.

 

Nodo_3s

TR3s= ((0) + (0))/H ⇒ TR3s= 0

 

Nodo_4

TR4= ((FL*1/2) + (FL*1/2))/H ⇒ TR4= (FL)/H

 

Nodo_5

TR5= ((FL) + (FL))/H ⇒ TR5= (FL*/2)/H

 

Gli altri 3 nodi della trave risultano già noti per simmetria.

 

 

 

Passiamo al calcolo dello spostamento della trave Vierendeel, avendo definito che tutti i ritti della struttura hanno una rigidezza pari a 12*E*J/L³. Per definire lo spostamento utilizzeremo  l’equilibrio alla traslazione orizzontale della trave.

 

Nodo_3s

F*1/4 = T = ((12*E*J)/L³)*δ3s ⇒ δ3s= (F*L³) / (1/48*E*J)

 

Nodo_4

F*3/4 = T = ((12*E*J)/L³)*δ4 ⇒ δ4= (F*L³) / (1/16*E*J)

 

Nodo_5

F*5/4 = T = ((12*E*J)/L³)*δ5 ⇒ δ5= (F*L³) / (5/48*E*J)

 

Gli altri 3 nodi della trave risultano già noti per simmetria.

 

 

RISOLUZIONE DI UNA TRAVE VIERENDEEL MEDIANTE IL METODO DELLE RIGIDEZZE

 

 

Una trave Vierendeel è una somma di telai Shear Type, che sono strutturati in questo modo:

 

 

Gli elementi verticali sono incastrati a terra e la trave (che per definizione è indeformabile) è incastrata ai pilastri. L'insieme di questi elementi può essere considerato come telaio piano. Questo sistema ha un comportamento meccanico che gli consente di fare a meno di controventi, la resistenza ai carichi orizzontali (vento o sismi) è affidata ai pilastri, o meglio alla loro rigidezza.

Per evidenziarne i punti di forza di questo schema strutturale è utile confrontarlo con il portale con l'elemento di collegamento incernierato alla sommità dei pilastri.

 

 

In questo caso la rotazione dei pilastri non è in nessun modo vincolata nella parte sommitale, e tutto il momento flettente si concentra alla base dei pilastri, in corrispondenza dei vincoli. Sovrapponendo più telai di questo tipo (come nel caso di un edificio multipiano) e verificandone il comportamento meccanico all'applicazione di forze orizzontali si evidenzia come il momento si trasmette da piano a piano, crescendo esponenzialmente e scaricandosi nelle fondazioni. L'esempio, oltre a suggerire che questo tipo di portale non è adatto per strutture multipiano in zona sismica, mette in luce il comportamento sistemico delle strutture formate da più elementi.

Anche nel caso del portale con trave incastrata il momento cresce man mano che ci si avvicina alle fondazioni, ma la presenza delle travi infinitamente rigide, incidendo fortemente sulla deformata dei pilastri per via del vincolo che le collega ad essi, interrompe la continuità del momento provocando un comportamento diverso da quello del telaio precedentemente descritto. A parità di piani, di carichi applicati e di proporzioni della struttura adottando questo tipo di schema strutturale il momento che giunge alle fondazioni è nettamente inferiore rispetto al caso precedente, nonostante la rigidezza dei pilastri sia analoga.

 

La trave Vierendeel dell'esercizio è doppiamente incastrata. La deformazione del singolo portale sottoposto a un carico perpendicolare ai pilastri è qualitativamente così:

 

 

La trave è per definizione infinitamente rigida, di conseguenza non può che traslare o ruotare. I pilastri presentano solo deformazioni flessionali e non assiali. La forza F si ripartisce egualmente nei pilastri che presentano un taglio costante pari a F/2, che è scaricato negli incastri come reazione vincolare.

La trave è incastrata ai 2 pilastri e quindi trasla senza ruotare dato che essi hanno la stessa rigidezza e sono per definizione indeformabili assialmente, quindi presentano la stessa deformata flessionale. Essa è determinata dalle loro condizioni di vincolo: essendo doppiamente incastrati non possono ruotare agli estremi, la parte superiore presenta una traslazione δ, la cui entità è inversamente proporzionale alla rigidità dei pilastri.

 

Note queste informazioni è facile prevedere il comportamento sistemico della trave Vierendeel doppiamente incastrata. Ogni portale presenta un abbassamento δ, che in termini relativi sarà maggiore in corrispondenza dei vincoli e minore al centro della campata.

 

 

Considerata la simmetria di carichi, vincoli e struttura si può affermare che la deformata stessa sarà simmetrica, con l'asse di simmetria verticale al centro del sistema. Il comportamento del lato opposto a quello analizzato sarà anch'esso simmetrico.

 

 

Procedendo a partire dal telaio più lontano dagli incastri si ricava facilmente il taglio nelle travi (gli elementi orizzontali), che cresce di telaio in telaio (aumentando i carichi che si trasmettono attraverso di essi per giungere al vincolo).

 

 

Altrettanto semplice è determinare il momento flettente nelle travi, che si ottiene moltiplicando il taglio (che in ogni portale ha andamento costante) per L/2. Esso avrà andamento lineare, sarà zero al centro delle travi, dove la deformata presenta un flesso (dove la curvatura e di conseguenza il momento sono nulli).

 

 

Il momento flettente dei pilastri è ricavato mediante l'equilibrio dei momenti in ogni singolo nodo, dovendo il momento del pilastro bilanciare i 2 momenti concordi dei pilastri che nel suo estremo si incontrano.

 

 

Ovviamente la presenza di momento nei pilastri presuppone che ci sia anche il taglio. Esso viene ricavato altrettanto facilmente sommando i momenti agenti sulle travi che sono collegati al pilastro in questione e dividendoli per la lunghezza dello stesso.

 

 

 

Analizzando esclusivamente metà struttura il pilastro centrale risulterebbe essere sollecitato sia a taglio che a momento flettente, ma per il principio di sovrapposizione degli effetti quando esplicita la simmetria rappresentando la struttura per intero le sollecitazioni di quell'elemento strutturale sono opposte come in ogni pilastro e il suo corrispettivo simmetrico, con la differenza che in questo caso ci si trova proprio sull'asse di simmetria. Per questo le sollecitazioni si annullano, facendo risultare l'elemento scarico.

 

La verifica su SAP si mette in pratica modellando la struttura partendo da una semplice grid, l'accortezza sta nell'assegnare le sezioni corrette agli elementi strutturali: i pilastri infatti devono essere infinitamente rigidi, di conseguenza ad essi è stata associata una sezione composta da un materiale a cui è stato notevolmente aumentato il modulo di Young, rendendo infinitesime così le deformazioni anche in presenza di tensioni molto alte. 

Usando carichi più pesanti è stata riscontrata una rotazione dei pilastri, incoerente con il modello di telaio Shear Type precedentemente descritto. Questa rotazione è data dal fatto che in sap non è stata inserita la condizione di indeformabilità assiale delle travi.

Questi sono i diagrammi delle sollecitazioni risultato delle analisi, qualitativamente coerenti con quelli ottenuti mediante il calcolo manuale.

 

 

Esercitazione 6

Metodo delle rigidezze – Mensola Vierendeel

Lo schema di mensola Vierendeel qui sopra disegnato presenta un’analogia  (come già sottolineato nel caso della trave Vierendeel doppiamente incastrata) con il telaio shear type, progettato a forze orizzontali.

Fatta questa premessa e ipotizzando che il corrente inferiore e quello superiore abbiano pari rigidezza, risulta chiaro che questi sopportino in egual misura i carichi verticali a cui la trave è soggetta, da cui  si ottengono le seguenti reazioni vincolari ed i conseguenti valori del taglio:

Sempre per analogia con il telaio shear type, possiamo aspettarci che il diagramma del momento abbia un nullo a metà dei traversi e che abbia un andamento lineare. Troviamo quindi un altro valore che ci permetta di disegnare la retta “passante per due punti” che costituisce la legge del momento. Troviamo così il valore del momento con polo in L/2 per capire il valore del momento in 0 ed L.

M(0) = (F/2)*l/2 = Fl/4

Lo stesso calcolo viene effettuato per tutti i tratti, essendo così finalmente in grado di disegnare il seguente diagramma del momento:

Tramite l’analisi dell’equilibrio dei nodi possiamo poi arrivare a definire i diagrammi del momento dei ritti:

Una volta ottenuti tali valori, si può arrivare anche quelli del taglio, tramite l’analogia fra momento applicato e coppia di forze posta a opportuna distanza.

Si può così disegnare il seguente grafico del taglio:

Osservando poi che in un corpo continuo gli sforzi di taglio in un tratto diventano sforzi normali per i tratti ortogonali adiacenti, possiamo disegnare anche la legge dello sforzo normale per i traversi:

Possiamo infine ricavare gli spostamenti verticali dei ritti tramite la relazione T=(12EJ/l³)δ

F/2 = T = ((12*E*J)/L³)*δ1

δ1= (F*L³) / (1/24*E*J)

 

F = T = ((12*E*J)/L³)*δ2

 δ2= (F*L³) / (1/12*E*J)

 

F*3/2 = T = ((12*E*J)/L³)*δ3

δ3= (F*L³) / (1/8*E*J)

 

F*2 = T= ((12*E*J)/L³)*δ4

δ4= (F*L³) / (1/6*E*J)

 

F*5/2 = T = ((12*E*J)/L³)*δ5

δ5= (F*L³) / (1/24*E*J)

 

F*3 = T= ((12*E*J)/L³)*δ6

δ6= (F*L³) / (1/4*(E*J)

 

Esercitazione_5

trave VIERENDEEL (metodo delle rigidezze)

 

1_

tipologia di esercizio

L’esercizio inquadra una struttura composta a telaio che usa lo schema del telaio Shear Type, questo tipo di analisi da come si potrà vedere, definirà valori del momento flettente molto minori rispetto al telaio con travi deformabili incernierate.

Come si potrà vedere successivamente la caratteristica principale del telaio Shear Type è quella di presentare una trave infinitamente rigida, la quale ha una rigidezza flessionale che ne impedisce la deformazione. I pilastri sono invece considerati deformabili, trascurandone però l’allungamento (il che avrebbe potuto generare una rotazione rigida della trave).

Fatta questa premessa sul sistema, si può comprendere come l’unico movimento che questo elemento può fare sia quello di traslare orizzontalmente.

 

2_

analisi tramite l’integrazione della linea elastica

Si procede quindi con l’analisi dello spostamento δ ipotizzando un cedimento vincolare elastico in uno dei due estremi e analizzando la curvatura (in una struttura iperstatica un cedimento provoca una curvatura e di conseguenza una tensione) ed il momento flettente (analizzando la deformata e definendone il punto di flesso, possiamo dire che in quel punto il grafico del momento si annullerà).

Si procede quindi all’applicazione del metodo della linea elastica:

 

 

vs= (C₁*s³/6) + (C₂*s²/2) + (C₃*s) + C₄

φ(s)= (C₁*s²/2) + (C₂*s) + C₃

 

 

3_

analisi della deformata

Successivamente definisco le condizioni al bordo:

 

 

_estremo sinistro - incastro: s= 0

In questo punto  lo spostamento verticale e la rotazione della sezione della trave risultano essere pari a zero, quindi abbiamo:

v(0)= 0

φ(0)= 0

 

Sostituendo le due condizioni risultanti nelle rispettive equazioni, derivate sempre dall’integrazione dell’equazione della linea elastica per lo spostamento verticale a cui facciamo riferimento (q(s)= (d⁴v/ds⁴)*E*J) si può constatare che C₃ e C₄ sono nulle.

 

v(0)= 0 ⇒ C₄= 0

φ(0)= 0 ⇒ C₃*s = 0

 

_estremo destro - incastro: s= L

In questo punto  lo spostamento verticale e la rotazione della sezione della trave risultano essere pari a zero, quindi abbiamo:

v(L)= 0

φ(L)= 0

 

Sostituendo le due condizioni risultanti nelle rispettive equazioni, derivate sempre dall’integrazione dell’equazione della linea elastica per lo spostamento verticale a cui facciamo riferimento (q(s)= (d⁴v/ds⁴)*E*J) si può constatare che C₃ e C₄ sono nulle.

 

v(L) = -δ ⇒ C₂= -((6/L²)*δ)

φ(L) = 0 ⇒ C₁= ((12/L³)* δ)

 

4_

equazione di spostamento e rotazione

Sostituendo i valori definiti dall’analisi delle condizioni al bordo della trave possiamo definire le equazioni di spostamento e rotazione:

 

vs= (C₁*s³/6) + (C₂*s²/2) + (C₃*s) + C₄

⇒ C₁= ((12/L³)* δ) ⎫

⎬ ⇒ vs= (((12/L³)* δ)*s³/6) - (((6/L²)*δ)*s²/2)

⇒ C₂= -((6/L²)*δ) ⎭

 

φ(s)= (C₁*s²/2) + (C₂*s) + C₃

⇒ C₁= ((12/L³)* δ) ⎫

⎬ ⇒ φ(s)= (((12/L³)* δ)*s²/2) + (((6/L²)*δ)*s) + C₃

⇒ C₂= -((6/L²)*δ) ⎭

 

Si procede derivando l’equazione della rotazione per ottenere la curvatura, ricavandoci il momento flettente e derivando l’equazione del momento flettente ricavandoci il valore del taglio:

 

φ(s)’= χ ⇒ χ= (((12/L³)* δ)* s) - ((6/L²)*δ)

M= E*J*χ ⇒ M= (E*J)*((((12/L³)* δ)* s) - ((6/L²)*δ))

T= -Ms‘ ⇒ T= -((E*J)*(12/L³)* δ)

 

5_

calcolo dello spostamento e della rigidezza

Attraverso l’equilibrio alla traslazione orizzontale si arriva a definire la relazione che lega lo spostamento δ con lo sforzo di taglio a cui sono soggetti i pilastri. Infatti questi sono legati da una proporzionalità diretta tramite un fattore k definito come rigidezza del pilastro.

 

F= 2T ⇒ F= (2* (E*J)*(12/L³)* δ)

F= ((E*J)*(24/L³)* δ) ⇒ δ= ((F*L³)/(24*E*J))

⇒ k= ((24*E*J)/L³)

 

6_

analisi della trave Vierendeel

 

Dall’analisi della deformata della singola trave possiamo ricavare la deformata completa della trave Vierendeel:

 

Passiamo al calcolo del taglio utilizzando l’equilibrio delle forze orizzontali, il quale risulta essere costante nei ritti. Dalla precedente analisi si è quindi capito che la forza agente si ripartisce in maniera proporzionale alla rigidezza e alla luce. Presentando quindi i ritti le stesse caratteristiche in quanto: lunghezza, materiale, sezione; da queste premesse si può capire che quest’ultimi avranno la stessa rigidezza, quindi su ognuno di loro insisterà metà della forza agente.

 

Nodo_1

F= 2T

F= (2* (E*J)*(12/H³)* δ1)

δ1= (F*H³) / ((1/24)*(E*J)) ⇒ T= F*1/2

 

Nodo_2

F= T

F= ((E*J)*(12/H³)* δ2)

δ2= (F*H³) / ((1/12)*(E*J)) ⇒ T= F

 

Nodo_3

F= 2/3*T

F= ((2/3)* (E*J)*(12/H³)* δ3)

δ3= (F*H³) / ((1/8)*(E*J)) ⇒ T= F*3/2

 

Nodo_4

F= 1/2*T

F= ((1/2)* (E*J)*(12/H³)* δ4)

δ4= (F*H³) / ((1/6)*(E*J)) ⇒ T= F*2

 

Nodo_5

F= 2/5*T

F= ((2/5)* (E*J)*(12/H³)* δ5)

δ5= (F*H³) / ((5/24)*(E*J)) ⇒ T= F*5/2

 

Nodo_6

F= 1/3*T

F= ((1/3)* (E*J)*(12/H³)* δ5)

δ5= (F*H³) / ((1/4)*(E*J)) ⇒ T= F*3

 

 

 

Passiamo al calcolo del momento flettente, sapendo da considerazioni precedenti che la legge del momento avrà un nullo in L*1/2 ci serve un solo altro valore noto per tracciare il diagramma del momento. Questo valore verrà identificato dal momento con polo in L*1/2.

 

Nodo_1

M1= ((F*1/2) * (L*1/2)) ⇒ M1= FL*1/4

 

Nodo_2

M2= (F * (L*1/2)) ⇒ M1= FL*1/2

 

Nodo_3

M3= ((F*3/2) * (L*1/2)) ⇒ M1= FL*3/4

 

Nodo_4

M4= ((F*2) * (L*1/2)) ⇒ M1= FL

 

Nodo_5

M5= ((F*5/2) * (L*1/2)) ⇒ M1= FL*5/4

 

Nodo_6

M6= ((F*3) * (L*1/2)) ⇒ M1= FL*3/2

 

 

Passiamo al calcolo del momento flettente sui ritti, facendo l’equilibrio dei momenti del nodo.

 

Nodo_1

MR1= FL*1/4 ⇒ MR1= FL*1/4

 

Nodo_2

MR2= (FL*1/4) + (FL*1/2) ⇒ MR2= FL*3/4

 

Nodo_3

MR3= (FL*1/2) + (FL*3/4) ⇒ MR3= FL*5/4

 

Nodo_4

MR4= (FL*3/4) + (FL) ⇒ MR4= FL*7/4

 

Nodo_5

MR5= (FL) + (FL*5/4) ⇒ MR5= FL*9/4

 

Nodo_6

MR6= ((FL*5/4) + (FL*3/2) ⇒ MR6= FL*11/4

 

 

 

Passiamo al calcolo del taglio sui ritti, avendo i momenti flettenti agli estremi del ritto concordi li possiamo sommare e dividere il risultato per la luce del ritto, definendo così il valore del taglio.

 

Nodo_1

TR1= ((FL*1/4) + (FL*1/4))/H ⇒ TR1= (FL*1/2)/H

 

Nodo_2

TR2= ((FL*3/4) + (FL*3/4))/H ⇒ TR2= (FL*3/2)/H

 

Nodo_3

TR3= ((FL*5/4) + (FL*5/4))/H ⇒ TR3= (FL*5/2)/H

 

Nodo_4

TR4= ((FL*7/4) + (FL*7/4))/H ⇒ TR4= (FL*7/2)/H

 

 

Nodo_5

TR5= ((FL*9/4) + (FL*9/4))/H ⇒ TR5= (FL*9/2)/H

 

Nodo_6

TR6= ((FL*11/4) + (FL*11/4))/H ⇒ TR6= (FL*11/2)/H

 

 

 

Passiamo al calcolo della normale sui traversi, sapendo che essendo tratti ortogonali ai ritti, lo sforzo di taglio di quest’ultimi si trasmette come sforzo normale nei traversi.

 

Nodo_1

⇒ NR1= (FL*1/2)/H

 

Nodo_2

⇒ NR2= (FL*3/2)/H

 

Nodo_3

⇒ NR3= (FL*5/2)/H

 

Nodo_4

⇒ NR4= (FL*7/2)/H

 

Nodo_5

⇒ NR5= (FL*9/2)/H

 

Nodo_6

⇒ NR6= (FL*11/2)/H

 

 

 

Passiamo al calcolo dello spostamento della trave Vierendeel, avendo definito che tutti i ritti della struttura hanno una rigidezza pari a 12*E*J/L³. Per definire lo spostamento utilizzeremo  l’equilibrio alla traslazione orizzontale della trave.

 

Nodo_1

F/2 = T = ((12*E*J)/L³)*δ1 ⇒ δ1= (F*L³) / (1/24*E*J)

 

Nodo_2

F = T = ((12*E*J)/L³)*δ2 ⇒ δ2= (F*L³) / (1/12*E*J)

 

Nodo_3

F*3/2 = T = ((12*E*J)/L³)*δ3 ⇒ δ3= (F*L³) / (1/8*E*J)

 

Nodo_4

F*2 = T = ((12*E*J)/L³)*δ4 ⇒ δ4= (F*L³) / (1/6*E*J)

 

Nodo_5

F*5/2 = T = ((12*E*J)/L³)*δ5 ⇒ δ5= (F*L³) / (1/24*E*J)

 

Nodo_6

F*3 = T = ((12*E*J)/L³)*δ6 ⇒ δ6= (F*L³) / (1/4*(E*J)