Esercitazione

Esercitazione 2_Trave iperstatica (metodo della linea elastica)

Inviato da lorenzo.procaccini il Sab, 13/04/2013 - 22:07

Per risolvere questa trave iperstatica si ricorre al metodo d’integrazione della linea elastica che ci permette di ottenere l’incognita richiesta, cioè lo spostamento verticale massimo vs della deformata.

Iniziamo analizzando le 8 equazioni fondamentali:

- 3 eq. di EQUILIBRIO

$\left\{\begin{matrix}N'+q_{1}=0 & & \\ T'+q_{2}=0 & & \\ M'+T=0 & & \end{matrix}\right.$

- 3 eq. di CONGRUENZA

$\left\{\begin{matrix}\varepsilon=u' & & \\ \varphi =v' & & \\ \chi =\varphi ' & & \end{matrix}\right.$

-2 eq. del LEGAME COSTITUTIVO

$\left\{\begin{matrix}N=EA\varepsilon & & \\ M=EI\chi & & \end{matrix}\right.$

Si prendo in analisi le 5 equazioni che sono legate allo spostamento vs che sono:

⎧(dT/ds) + q₂=0

⎢(dM/ds) + T=0

⎨M=E*I*χ

⎢χ=(dφ/ds)

⎩φ=(dv/ds)

Ora bisogna ottenere da queste equazioni v in funzione di s, per far ciò bisogna eseguire i questi passaggi:

sapendo che:

$\frac{dT}{ds}+q_{2}=0$ e $T=-\frac{dM}{ds}$

sostituendo otteniamo:

$\frac{d}{ds}\left ( -\frac{dM}{ds} \right )+q_{2}=0$ $-\frac{d^{2}M}{ds^{2}}+q_{2}=0$ $\frac{d^{2}M}{ds^{2}}=q_{2}$

sapendo che:

$\chi =\frac{d\varphi }{ds}$ $\varphi =\frac{dv}{ds}$ $\chi =\frac{d}{ds}\left ( \frac{dv}{ds} \right )=\frac{d^{2}v}{ds^{2}}$

sostituendo otteniamo:

$M=EI\chi =EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}}$ $\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left ( EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}} \right )=q_{2}$ $EI\frac{d^{4}v}{ds^{4}}=q_{2}$

otteniamo così l'EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA

$\frac{d^{4}v}{ds^{4}}=\frac{q_{2}}{EI}$

Svolgiamo ora le opportune integrazioni:

$\frac{d^{3}v}{ds^{3}}=\frac{q_{2}}{EI}s+C_{1}$

$\frac{d^{2}v}{ds^{2}}=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{2}}{2}+C_{1}s+C_{2}$

$\frac{dv}{ds}=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{3}}{6}+C_{1}\frac{s^{2}}{2}+C_{2}s+C_{3}$

$v\left ( s \right )=\frac{q_{2}}{EI}\frac{s^{4}}{24}+C_{1}\frac{s^{3}}{6}+C_{2}\frac{s^{2}}{2}+C_{3}s+C_{4}$

Passiomo ora ad analizzare le condizioni al bordo dalle quali si ottiene:

- nell'incastro all'estremo sinistro dove s=o si ha v(0)=0 e $\varphi \left ( 0 \right )=0$ da cui si ricava C₃=0 e C₄=0

- nel carrello all'estremo destro dove s=l si ha:

- $v\left ( l \right )=0$ da cui si ottiene $v\left ( l \right )=-\frac{ql^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+C_{2}\frac{l^{2}}{2}=0$

- $M\left ( l \right )=0$ sapendo che M=E*I*χ; possiamo cosiderare solo la curvatura perchè E ed I sono costanti

$M\left (l \right )=-\frac{ql^{2}}{2EI}+C_{1}l+C_{2}=0$

Mettendo quindi a sistema queste due equazioni e risolvendo si ha:

$C_{2}=\frac{q_{2}l^{2}}{2EI}-C_{1}l$ $-\frac{q_{2}l^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+\left ( \frac{q_{2}l^{2}}{2EI}-C_{1}l \right )\frac{l^{2}}{2}=0$

$-\frac{q_{2}l^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}}{6}+ \frac{q_{2}l^{4}}{4EI}-C_{1} \frac{l^{3}}{2}=0$

$-\frac{q_{2}l^{4}+6q_{2}l^{4}}{24EI}+C_{1}\frac{l^{3}-3C_{1}l^{3}}{6}=0$

$\frac{5q_{2}l^{4}}{24EI}-\frac{C_{1}l^{3}}{3}=0$

$C_{1}=\frac{5q_{2}l^{4}}{24EI}*\frac{3}{l^{3}}=\frac{5}{8}\frac{q_{2}l}{EI}$

$C_{2}=\frac{q_{2}l^{2}}{2EI}-\left ( \frac{5q_{2}l}{8EI} \right )l=\frac{4q_{2}l^{2}-5q_{2}l^{2}}{8EI}=-\frac{q_{2}l^{2}}{8EI}$

Ora dobbiamo determinare per quale valore di s si ha v_max. Sapendo che all’abbassamento verticale massimo corrisponde un valore nullo della derivata della funzione che approssima la deformata della trave è sufficiente, quindi, derivare la funzione v_(s)e trovare i valori di s per i quali la derivata si annulla.

$\varphi =\frac{dv}{ds}=-\frac{q_{2}s^{3}}{6EI}+C_{1}\frac{s^{2}}{2}+_{2}s+C_{3}$

Si ottiene un'equazione di 3° grado dove dobbiamo sostituire i valori di C ottenuti precedentemente.

$\varphi =-\frac{q_{2}s^{3}}{6EI}+\frac{5q_{2}ls^{2}}{16EI}-\frac{q_{2}l^{2}s}{8EI}=0$

$\varphi =s\left ( -\frac{q_{2}s^{2}}{6EI}+\frac{5q_{2}ls}{16EI}-\frac{q_{2}l^{2}}{8EI} \right )$

si ha quindi come prima soluzione $s=0$

$s=\left ( \frac{5q_{2}l^{2}}{16EI}\pm \sqrt{\frac{25q_{2}l^{2}}{256E^{2}I^{2}}-4\frac{q{_{2}}^{2}l^{2}}{48E^{2}I^{2}}} \right )*\frac{3EI}{q_{2}}$

Ipotizzando una trave di lunghezza unitaria (l=1) e risolvendola otteniamo s=1,296 (non accettabile poichè esterno alla trave) e s=0,5784.

Possiamo ora calcolarci lo spostamento massimo:

$v\left ( 0,57 \right )=\frac{q_{2}\left ( 0,57 \right )^{4}}{24EI}+\frac{5q_{2}l\left ( 0,57 \right )^{3}}{48EI}-\frac{q_{2}l\left ( 0,57 \right )^{2}}{16EI}=-\frac{0,25q_{2}l^{2}}{48EI}$

$l=1\rightarrow v\left ( 0,57 \right )=-0,00536\frac{q_{2}}{EI}$

Utilizzando le equazioni studiate all'inizio possiamo ottenere i valori di taglio e momento in punti noti:

$M=EI\frac{d^{2}v}{ds^{2}}=-\frac{q_{2}s^{2}}{2}+\frac{5q_{2}l}{8}s-\frac{q_{2}l^{2}}{8}$

$M\left ( 0 \right )=-\frac{q_{2}l^{2}}{8}$ $M\left ( l \right )=\frac{q_{2}s^{2}}{2}+\frac{5q_{2}l}{8}s-\frac{q_{2}l^{2}}{8}$

$T=-M\left ( s \right )=q_{2}s-\frac{5q_{2}l}{8}$

$T\left ( 0 \right )=-\frac{5q_{2}l}{8}$ $T\left ( l \right )=q_{2}l-\frac{5q_{2}l}{8}=-\frac{3}{8}q_{2}l$

Rimangono ora i diagrammi:

- Il diagramma del taglio ha un andamento lineare e si ha un taglio negativo massimo in prossimità dell’incastro e uno positivo massimo nel carrello destro mentre l’intersezione con l’asse della trave corrisponde a s=0,578.

- Il diagramma del momento ha un andamento parabolico, con un massimo negativo nell’incastro, curvatura verso il basso e valore zero nel carrello mentre si ha il momento massimo positivo ad s=0,578.

VERIFICA IN SAP

Iniziamo creando un nuovo file selezioniamo il preset GRIND ed impostiamo 2 sul numero di assi della griglia lungo x ed e 1 come GRIND SPACING lungo x (in modo da ottenere una trave di lunghezza unitaria come si era ipotizzato nell’esercizio precedente).

Ora si deve disegnare la trave di lunghezza AB ed aggiungere il punto a 0,5784 clicchiamo sul comando DRAW SPECIAL JOINT, selezioniamo il punto A ed impostiamo una distanza 0,5784 sull’offset x.

Si passa all’assegnazione dei vincoli, dopo aver selezionato il punto > ASSIGN > JOINT RESTRAINTS > scegliere il tipo di vincolo ( incastro nel nodo a sinistra, carrello in quello a destra).

Dobbiamo ora togliere il contributo del peso proprio della trave dai carichi, andiamo in DEFINE > LOAD PATTERNS > SELF WEIGHT MULTIPLER = 0 > assegnargli un nome (peso_nullo) > ADD NEW LOAD PATTERN.

Si deve ora assegnare il carico uniformemente distribuito, selezioniamo l’asta ed andiamo in ASSIGN > FRAME LOADS > DISTRIBUTED > selezioniamo la nostra trave di peso nullo ed impostiamo l’unità di misura voluta (nel nostro caso N, m, °C) > nella casella UNIFORM scrivere il carico (-10 KN, negativo poiché verso il basso).

Rimane solamente da lanciare il calcolo. Per farlo andiamo in RUN ANALYSIS > disattiviamo le voci MODAL E DEAD e clicchiamo RUN NOW.

La prima cosa che mostra il software è la deformata.

Per visualizzare il TAGLIO usiamo il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > SHEAR 2/2.

Per visualizzare il MOMENTO usiamo il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > MOMENT 3/3.

Dobbiamo ora definire il profilo in ACCIAIO d’assegnare alla trave.

Iniziamo impostando uno scatolare cavo 40x30cm spessore 2mm, andiamo in DEFINE > SECTION PROPERTIES > FRAME SECTIONS ed impostiamo i nostri parametri. Successivamente si deve selezionare l’asta e assegnargli il profilo appena creato utilizzando il comando ASSIGN > FRAME > FRAME SECTIONS.

Fatto ciò possiamo lanciare nuovamente il calcolo e d esportarci le tabelle che si ottengono dall’analisi per farlo andiamo in DISPLAY > SHOW TABLES > spuntiamoANALYSIS RESULTS.

Ottengo così le seguenti tabelle:

Ripetiamo la stessa procedura, questa volta assegnamo alla trave un profilo in CALESTRUZZO ARMATO h=50cm b=25cm.

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Esercitazione

RISOLUZIONE DI UNA TRAVE RETICOLARE PIANA E DI UNA TRAVE RETICOLARE 3D

Inviato da valentina.liguori il Sab, 13/04/2013 - 21:43

RETICOLARE PIANA - METODO DI RITTER -

SCHEMA DI CALCOLO

Per prima cosa verifico che la struttura sia isostatica; il numero dei gradi di libertà della struttura deve essere pari al numero di vincoli applicati su questa.

Ve + a = 2n

dove

Ve= vincoli esterni

a= numero aste

n= numero nodi

3 + 33 = 2 * 18

36 = 36

da questa uguaglianza si deduce che la struttura è isostatica.

Trovo ora le reazioni vincolari che risultano essere entrambe 9/2F poichè la struttura è simmetrica e simmetricamente caricata. Le reazioni vincolari sono dunque simmetriche.

Effettuo ora la sezione di ritter che divide la struttura in due, tagliando tre aste che convergono nello stesso nodo.

SEZIONE 1

Una volta effettuato il taglio virtuale si mettono in evidenza gli sforzi normali agenti sulle sezioni delle aste

N.B. Disegnare le forze N uscenti dalla sezione significa che sto considerando che le aste sezionate siano sottoposte a trazione (tiranti).

Scrivo le tre equazioni di equilibrio a rotazione cambiando ogni volta il polo, che scelgo nel punto di incontro di due delle tre aste tagliate

Trovo N₂₄ facendo polo nel punto 3

- N₂₄*L +FL - 9/2FL = 0

N₂₄= - 7/2F

N₂₄è negativo quindi l'asta 24 è un puntone

Trovo N₁₃ facendo polo nel punto 2

N₁₃*L= 0

L'asta 13 risulta essere scarica

Trovo N₂₃ facendo l'equilibrio alla traslazione orizzontale

√2/2 N₂₃ -7/2F = 0

N₂₃ = 7V2 /2F

N₂₃è positivo , l'asta 23 è un tirante

SEZIONE 2

Equazione alla traslazione verticale

N₁₂ + 9/2F = 0

N₁₂ = -9/2F

L'asta 12 risulta essere compressa

SEZIONE 3

Trovo N₃₅ facendo polo in 4

N₃₅*L + FL - 9/2FL = 0

N₃₅ = 7/2F

L'asta 35 è tesa

Trovo N₃₄facendo la traslazione verticale

N34 - F + 9/2F = 0

N34 = -7/2F

L'asta 34 è compressa

SEZIONE 4

Trovo N46 facendo polo in 5

N₄₆*L + 3FL - 9/2F * 2L = 0

-N₄₆= - 6F

L'asta 46 è compressa

Trovo N₄₅ facendo l'equilibrio alla traslazione orizzontale

√2/2 N₄₅ - 6F + 7/2F = 0

N₄₅ = (5V2)/2 F

L'asta 45 è tesa

SEZIONE 5

Trovo N₅₇ facendo polo in 6

N₅₇*L + 3FL - 9/2F * 2L = 0

N₅₇ = 6F

L'asta 57 è tesa

Trovo N₅₆ facendo l'equilibrio alla traslazione verticale

9/2F - 2F + N₅₆ = 0

N₅₆ = -5/2 F

SEZIONE 6

Trovo N₆₈ facendo polo in 7

-N₆₈*L - 9/2F*3L + 6FL= 0

N₆₈ = -15/2F

L'asta 68 è compressa

Trovo N₆₈ facendo l'equilibrio alla traslazione orizzontale

N₆₇ √2/2 - 15/2F + 6F = 0

N₆₇ = 3√2/2F

SEZIONE 7

Trovo N₇₉ facendo polo in 8

9/2F - 3F + N₇₈ = 0

N₇₈ = -3/2F

L'asta 78 è compressa

SEZIONE 8

Trovo N₈₁₀ facendo polo in 9

-N810*L - 9/2F*4L + 10FL= 0

N₈₁₀ = -8F

L'asta 810 è compressa

Trovo N₈₉ facendo l'equilibrio alla traslazione orizzontale

N₈₉ √2/2 + 15/2F + 8F = 0

N₈₉= F√2/2

SEZIONE 9

Trovo N₉₁₀ facendo l'equilibrio alla traslazione verticale

- 4F + 9/2F + N₉₁₀= 0

N910= - F/2

Lìasta 910 è compressa

Siccome la struttura è simmetrica e simmetricamente caricata , l'ho analizzato solamente per metà siccome le reazioni vincolari risultano essere simmetriche

RETICOLARE 3D - SAP -

Disegnano la pianta, creando un nuovo layer , dato che SAP non legge in layer 0 di autocad, partendo da un modulo base L di 2 x 2 , facendo attenzione che ogni asta sia un elemento separato e la completiamo portando3d

Selezioniamo tutto ed esplodiamo. Salviamo il file in formato dxf in modo da poterlo importare in SAP Apriamo SAP e importiamo il file autocad

FILE- IMPORT- AUTOCAD- dxf FILE

Si aprirà una tendina impostiamo come unità di misura KN, m, C e come “ Global Up Direction” impostiamo l’asse z ; diamo ok. Si aprirà un’altra tendina, nella voce “Frame” impostiamo il layer con il quale abbiamo disegnato, in questo caso layer 1

Una volta importata la struttura, bisogna eliminare gli errori , ossia fare in modo che le aste convergano bene nei nodi.

EDIT - EDIT POINTS - MERGE JOINTS - MERGE TOLERANCE (inserire un valore basso)

Inseriamo i vincoli

ASSIGN - JOINT - RESTRAINT

Quando si disegna in SAP, esso disegna sempre in automatico una sezione , quando importiamo il disegno invece non lo fa. Assegniamo una sezione, selezioniamo il disegno :

DEFINE - SECTION PROPERTIES - FRAME SECTION - ADD NEW POPERTY

selezioniamo il materiale; in questo caso abbiamo scelto una sezione circolare in acciaio

Assegnamo poi la forza concentrate ( -40 , negative perchè la forza spinge verso il basso)

Rendiamo tutti i nodi delle cerniere interne e andiamo ad assegnargli il rilascio.

ASSIGN - FRAME - RELEASIS - MOMENT 3-3 - spuntiamo le caselle END e START

Il valore deve essere zero

Definiamo il peso proprio della struttura, dandogli valore zero

DEFINE - LOAD PATTERNS - SELF WEIGHT MULTIPLIER = 0

2. Una volta fatto ciò , facciamo partire l’analisi senza tenere conto del MODAL

ANALYZE - RUN ANALYZE e leggiamo i risultati

DEFORMATA

REAZIONI VINCOLARI

DIAGRAMMA SFORZO NORMALE

Andando su DISPLAY - SHOW TABLES ci appare una tabella degli abachi disponibili. Clicchiamo su ANALYSIS RESULTS . Ci compare una tabella in cui sono mostrati tutte le aste con i relativi sforzi normali

Possiamo inoltre esportare questa tabella in excel

FILE - EXPORT CURRENT TABLES - TO EXCEL

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Esercitazione

PREDIMENSIONAMENTO TRAVE IN LEGNO. Esercitazione manuale + Excel.

Inviato da Hadi.Mounajed il Sab, 13/04/2013 - 20:43

House in Akiya - Architect Cafe/Mikio Tai

Il legno, unitamente alla pietra, è stato uno dei primi materiali a cui l'architettura si è rivolta ed era anche l'unico che poteva indifferentemente essere impiegato a compressione, a trazione e, soprattutto, a flessione. Quando nell'Ottocento, grazie anche al contributo della teoria delle strutture, si raggiungono elevate luci con le strutture in legno (capriate, reticolari rettilinee, cupole reticolari e strutture lamellari), l'introduzione della ghisa e dell'acciaio ne decretano il declino, situazione che è rimasta tale fino alla seconda metà del Novecento con la diffusione del legno lamellare. Nonostante le ampie possibilità di grande luci con il legno lamellare (sono stati superati i 70 metri di luce con cupole in lamellare) anche il legno naturale ha ritrovato nuove applicazioni soprattutto nelle regioni in cui è rimasto vivo l'insegnamento della tradizione come in Finlandia e in centro Europa (Baviera, Austria, Svizzera). Analogamente in Giappone, luogo di antichissima tradizione costruttiva con il legno, diversi architetti sono attualmente impegnati nella rielaborazione delle soluzioni costruttive con questo materiale.

In questa esercitazione proveremo a predimensionare una trave in legno di un'abitazione con struttura a telaio. Ci verrà in soccorso un foglio di calcolo excel, molto utile nella prima fase della progettazione di un edificio, per farsi un'idea riguardo le probabili dimensioni da adottare. La pianta strutturale dell'abitazione in questione è così progetatta:

La trave in questione è la 1-2 sull'allineamento B. Prima di poter inserire qualsivoglia dato sul foglio excel, dobbiamo analizzare i carichi che gravano sulla trave:

Carico strutturale (Q_s), che indica l'entità del carico intrinseco di tutti gli elementi componenti la struttura che gravano sulla trave;

Carico permanente (Q_p), che indica l'entità del carico di tutti gli elementi che compongono il solaio, ma che non hanno funzione strutturale, con l'aggiunta eventuale del sovraccarico di tutte le partizioni interne al di sopra del solaio;

Carico accidentale (Q_a), che indica l'entità del carico di tutti gli elementi variabili al di sopra della trave, quali, ad esempio, arredi, persone, agenti atmosferici.

A parte il carico accidentale (il cui valore è prestabilito dalla normativa, in base alla destinazione d'uso del manufatto architettonico), dobbiamo ricavarci gli altri due tramite dei semplici calcoli, che variano a seconda della stratigrafia del solaio. Ipotizziamo che il nostro solaio sia strutturato in questo modo:

A = Trave in legno lamellare;

B= Travetti in legno lamellare;

C= Assito in legno di castagno;

D= Caldana in calcestruzzo;

E= Isolante termo acustico;

F= Massetto di allettamento in calcestruzzo;

G= Pavimento in legno di rovere.

Nel caso specifico di un solaio in legno a doppia orditura, per il corretto calcolo del carico strutturale gravante sulla trave, abbiamo bisogno di definire prima, sempre con lo stesso foglio di calcolo, le dimensioni dei travetti.

PREDIMENSIONAMENTO DEI TRAVETTI

Carico strutturale Q_s

Assito in legno di castagno (s = 0.035 m) P = V x g = (1m x 1m x 0,035m) x 6 kN/mc Q_s = 0,21 kN/mq

Carico permanente Q_p

Pavimento in parquet di rovere (s = 0,02 m) 8 KN/mc x 0,02 m = 0,16 kN/mq

Massetto (s =0,03 m) 20 KN/mc x 0,03 m = 0,6 kN/mq

Isolante termo-acustico (s= 0,05 m) 0,6 KN/mc x 0,05 m = 0,03 kN/mq

Caldana (s= 0,04 m) 10 KN/mc x 0,04 m = 0,4 kN/mq

Impianti (da normativa) 0,5 kN/mq

Tramezzi (da normativa) 1 kN/mq

Q_p = 2,69 kN/mq

Carico accidentale Q_a = per civile abitazione la normativa stabilisce Q_a = 2 kN/mq

Sommando i carichi avremo quindi:

Q_tot= 0,21 + 2 + 2,69 = 4,90 kN/mq

Una volta trovato il carico distribuito incidente su 1 mq di superficie, moltiplico il valore per l'area di influenza i, al fine di trovare il valore del carico lineare che grava sul singolo travetto:

Q = 3,90 kN/mq x 1 m = 4,90 kN/m

A questo punto scegliamo la classe di resistenza del legno lamellare per i travetti, una GL240 con resistenza caratteristica a flessione di 24 N/mmq. Inseriamo nel foglio excel anche il valore del K_mod(una variabile che tiene conto del fatto che il legno è un materiale organico, e quindi soggetto a deterioramento) ed esso, tramite la formula:

f_d = K_mod x fk / γ_m = 0,6 x 24 N/mmq / 1,45 = 9,93 N/mmq

calcola la tensione di progetto massima. Ipotizziamo, inoltre, che il sistema di fissaggio del travetto alla trave sia assimilabile a quello di una trave doppiamente appoggiata; ne ricaviamo che il momento flettente è pari QL^2/8. Non rimane altro che inserire la luce del nostro travetto (3,85 m) e ipotizzare una base per il predimensionamento (0,12 m):

Approssimiamo h e avremo un travetto predimensionato di 12 x 25 cm. Verifichiamo ora che la sezione del travetto sia corretta, sommando al Q_s iniziale il carico del travetto al metro quadro:

Travetto in legno lamellare di conifere Q_travetto = [(0,12 m x 0,25 m x 1 m) x 3,73 kN/mc] / 1 mq = 0,11 kN/mq

Q_s'= Q_s + Q_travetto = 0,32 kN/mq

Il travetto risulta quindi verificato: GL24h 12x25 cm. Passiamo ora al predimensionamento della trave.

PREDIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE

Una volta dimensionati i travetti, non rimane che trovare la sezione della trave, ripetendo lo stesso procedimento:

Carico strutturale Q_s

Assito in legno di castagno (s = 0.035 m) (1m x 1m x 0,035m) x 6 kN/mc = 0,21 kN/mq

Travetto in legno lamellare di conifere (0,12 m x 0,25 m x 1 m) x 3,73 kN/mc = 0,11 kN/mq

Q_s = 0,32 kN/mq

Carico permanente Q_p

Pavimento in parquet di rovere (s = 0,02 m) 8 KN/mc x 0,02 m = 0,16 kN/mq

Massetto (s =0,03 m) 20 KN/mc x 0,03 m = 0,6 kN/mq

Isolante termo-acustico (s= 0,05 m) 0,6 KN/mc x 0,05 m = 0,03 kN/mq

Caldana (s= 0,04 m) 10 KN/mc x 0,04 m = 0,4 kN/mq

Impianti (da normativa) 0,5 kN/mq

Tramezzi (da normativa) 1 kN/mq

Q_p = 2,69 kN/mq

Carico accidentale Q_a = 2 kN/mq

Sommando i carichi avremo quindi:

Q_tot= 0,32 + 2 + 2,69 = 5,01 kN/mq

Anche in questo caso, per trovare il carico che grava su 1 metro lineare di trave, moltiplico il carico distribuito per l'area di influenza della trave (i):

Q = 5,01 kN/mq x 3,55 m = 17,78 kN/m

Scegliamo anche per la trave un legno lamellare con classe di resistenza GL240 e calcoliamo, come in precedenza, il momento per una trave doppiamente appoggiata. Inseriamo la luce della trave (6 m) e ipotizziamo una base di partenza di 30 cm:

Approssimiamo h anche per la trave e ipotizziamo una trave di legno lamellare di 30 x 45 cm. Procediamo alla verifica allo stesso modo, aggiungendo il peso proprio della trave al Q_s precedente:

Trave in legno lamellare di conifere Q_trave = [(0,30 m x 0,45 m x 1 m) x 3,73 kN/mc] / 1 mq = 0,50 kN/mq

Q_s'= Q_s + Q_trave = 0,82 kN/mq

La trave risulta quindi verificata: GL24h 30x45 cm.

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Esercitazione

Esercitazione 1_Trave reticolare

Inviato da lorenzo.procaccini il Sab, 13/04/2013 - 18:56

TRAVE RETICOLARE 2D

Uno dei metodi per superare grandi luci è quello di utilizzare TRAVI RETICOLARI; tali strutture sono costituite da ASTE ognuna soggetta solamente a SFORZO ASSIALE (per avere tale condizione le forze esterne devono agire come carico concentrato nei nodi) e collegate per mezzo di CERNIERE INTERNE in modo da formare TRIANGOLI; la forma triangolare permette di creare strutture che non si deformano dove rimangono però 3 GDV liberi (GDL= 3x3=9 GDV=3x2=6) che devono essere assegnati a vincoli esterni (cerniera e carrello), per questo motivo la trave reticolare nel suo complesso può essere considerata come una trave appoggiata.

Analizziamo ora una trave reticolare composta da 8 campate con un carico concentrato pari a F in ciascuno dei nodi superiori.

Come abbiamo detto precedentemente la trave reticolare può essere ricondotta ad uno SHEMA ISOSTATICO EQUIVALENTE di trave doppiamente appoggiata in modo da ottenere le reazioni vincolari.

R_ua = 0 R_ub = 0

R_va + R_vb = 9F => R_va = R_vb = 9F/2

Abbiamo quindi determinato le reazioni vincolari esterne, ora dobbiamo determinare le sollecitazioni su ciascuna asta e per farlo possiamo procedere in due modi o con il METODO DEI NODI o con il METODO DELLE SEZIONI DI RITTER.

Il metodo dei nodi consiste nell’analizzare ciascun nodo e le aste ad esso collegate in modo da equilibrare tutte le forze che agiscono su di esso, il problema di tale metodo è che non si possono avere più di un’incognita nella stessa direzione (considerando anche le componenti di forze inclinate).

Il metodo delle sezioni di Ritter invece taglia la struttura in modo da analizzare al massimo tre aste incognite contemporaneamente, facendo attenzione che le aste sezionate non siano collegate allo stesso nodo; avremo a questo punto la trave reticolare divisa in due parti che devono essere in equilibrio, si procede perciò con l’equilibrio alla rotazione di una delle due parti facendo polo in uno dei nodi dove concorrono almeno due aste in modo da non considerare le loro incognite risolvendo un’asta per volta.

Una trave reticolare può essere risolta usando uno solo dei due metodi o entrambi questo permette a volte di velocizzare i passaggi.

Per risolvere questo esercizio possiamo applicare le sezioni di Ritter come in figura e il metodo dei nodi per il nodo 1 e 10 poiché presentando solo aste verticali e orizzontali risulta più immediato, inoltre essendo la struttura simmetrica basta analizzare solo una parte delle aste e poi per simmetria avremo ottenuto l’analisi completa.

Iniziamo dall’analisi del NODO 1, in esso è presente un’azione esterna verticale e nessuna forza orizzontale, poiché non sono non ci sono aste inclinate l’unica che concorre all’equilibrio è l’ASTA 1-2 che risulta COMPRESSA ed è quindi un PUNTONE mentre l’ASTA 1-3 risulta SCARICA.

Passiamo ora ad effettuare la prima sezione virtuale (sezione di Ritter) in questo caso la SEZIONE A-A’. Per prima cosa dobbiamo disegnare gli sforzi assiali N che agisco su ciascuna asta, imponendoli di VERSO USCENTE stiamo ipotizzando che le aste sia soggette a TRAZIONE e quindi siano dei TIRANTI, se dai calcoli le forze risultassero negative significa che il verso corretto sia ENTRANTE, che l’asta sia COMPRESSA e di conseguenza un PUNTONE. In questa sezione sappiamo già che l’asta 1-3 è scarica quindi ci concentreremo solo sulle altre due aste sezionate avendo come incognite N_2-3 e N_2-4.

Facciamo l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 3 (la forza N_2-3 ha braccio nullo quindi non sarà presa in considerazione) e potremmo ricavarci N_2-4.

$-N_{2-4}l + Fl - \frac{9}{2}Fl = 0\Rightarrow N_{2-4}=-\frac{7}{2}F$

N_2-4risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Per conoscere N_2-3possiamo fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale, prima però dobbiamo scomporre la forza nei suoi 2 vettori componenti, in questo caso pari entrambi a N_2-3(√2/2)poiché l’asta è inclinata di 45°.

$N_{2-3}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{7}{2}F\Rightarrow N_{2-3}=7F\frac{\sqrt{2}}{2}$

N_2-3risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Continuiamo con la SEZIONE B-B’ questo risulta essere un caso particolare, per determinare N_3-5potremmo fare sia l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 4 sia l’equilibrio alla traslazione orizzontale poiché è l’unica forza orizzontale incognita, optiamo per la seconda perché immediata.

$N_{3-5}=\frac{{7}}{2}F$ $N_{3-5}=\frac{{7}}{2}F$

N_3-5risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Per ottenere N_3-4possiamo fare l’equilibrio alla traslazione verticale.

$N_{3-4} + \frac{9}{2}F - F=0\Rightarrow N_{3-4}=-\frac{7}{2}F$

N_3-4risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Analizziamo ora la SEZIONE C-C’. Per ottenere N_4-6facciamo l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 5.

$-N_{4-6}l + 3Fl - \frac{9}{2}Fl=0\Rightarrow N_{4-6}=-6F$

N_4-6risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Per ricavare N_4-5basta fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale come per il caso di N_2-3.

$N_{4-5}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{7}{2}F-6F =0 \Rightarrow N_{4-5}=5F\frac{\sqrt{2}}{2}$

N_4-5risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Nella SEZIONE D-D’ possiamo scegliere, come nella sezione B-B’, indifferentemente come procedere; per ricavarci N_5-7 facciamo l’equilibrio alla traslazione orizzontale.

$N_{5-7}=6F$

N_5-7risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Con l’equilibrio alla traslazione verticale ricaviamo N_5-6.

$N_{5-6}-2F + \frac{9}{2}F =0\Rightarrow N_{5-6}=-\frac{5}{2}F$ $N_{5-6}-2F + \frac{9}{2}F =0\Rightarrow N_{5-6}=-\frac{5}{2}F$

N_5-6risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Nella SEZIONE E-E’. Per ottenere N_6-8facciamo l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 7.

$-N_{6-8}l + 6Fl - \frac{27}{2}Fl =0\Rightarrow N_{6-8}=-\frac{15}{2}F$

N_6-8risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Per ricavare N_6-7basta fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale.

$N_{6-7}\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{15}{2}F+6F =0 \Rightarrow N_{6-7}=3F\frac{\sqrt{2}}{2}$

N_6-7risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Nella SEZIONE G-G’ per ricavare N_7-9possiamo fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale.

$N_{7-9}=\frac{15}{2}F$

N_7-9risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

per ricavare N_7-8possiamo fare l’equilibrio alla traslazione verticale.

$N_{7-8}-3F +\frac{9}{2}F =0 \Rightarrow N_{7-8}=-\frac{3}{2}F$

N_7-8risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Nella SEZIONE H-H’. Per ottenere N_8-10facciamo l’equilibrio alla rotazione con polo nel nodo 9.

$-N_{8-10}l + 10Fl - 18Fl =0\Rightarrow N_{8-10}=-8F$

N_8-10risulta negativa ed è quindi un PUNTONE.

Per ricavare N_8-9basta fare l’equilibrio alla traslazione orizzontale.

$N_{8-9}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{15}{2}F-8F =0 \Rightarrow N_{8-9}=F\frac{\sqrt{2}}{2}$

N_8-9risulta positiva ed è quindi un TIRANTE.

Abbiamo così risolto la parte sinistra della trave reticolare ed ora per simmetria possiamo conoscere gli sforzi assiali delle aste nella parte destra. Rimane da analizzare solo l’asta centrale e per comodità utilizzeremo il metodo dei nodi.

Osservando il NODO 10 possiamo vedere che l’unica forza incognita è N_9-10che deve equilibrare la forza esterna F, l’asta sarà quindi un PUNTONE con N_9-10 = F.

Possiamo ora verificare i nostri calcoli ricorrendo a SAP.

Per prima cosa dobbiamo crere un nuovo file per poter disegnare la trave reticolare in esame FILE > NEW MODEL > GRIND ONLY ricordandoci di utilizzare le unità di misura corrette (kN, m, °C).

Impostiamo 9 spazi lungo x e 2 lungo z, con una lunghezza L unitaria.

Successivamente si impostano i vincoli attraverso il comando ASSIGN > JOINT RESTRAINTS ricordandosi di assegnare un carrello ed una cerniera in modo da ottenere un sistema isostatico.

Nella trave reticolare tutti i vincoli interni sono cerniere e non incastri come da default di SAP, dobbiamo quindi rilasciare il momento a destra e a sinistra di ogni nodo, per farlo andiamo in ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 – END 0.

Bisogna ora impostare che il peso proprio dell’asta non venga considerato in fase di calcolo, andando ad aggiungere ai “load patterns” uno che abbia lo 0 alla voce “self weight multiplier”andiamo quindi su DEFINE > LOAD PATTERNS > ADD NEW LOAD PATTERNSe impostiamo come SELF WEIGHT MULTIPLIER = 0.

Ora bisogna assegnare il carico e per farlo selezioniamo i nodi superiori e ricorriamo al comando ASSIGN > JOINT LOADS > FORCES impostiamo un carico puntuale su ognuno di essi di -10 KN.

Possiamo ora lanciare il calcolo e visionare il diagramma di SFORZO ASSIALE.

Possiamo constatare che i calcoli a mano risultano corretti.

TRAVE RETICOLARE 3D

Per aiutarci nella modellazione si è scelto di ricorrere ad Autocad.

Si è quindi disegnata una trave reticolare spaziale di lunghezza 3L, larghezza 2L e altezza L (con L=2m), con l’accortezza di non utilizzare polilinee (poiché il reticolo è composto da aste singole) e utilizzare un layer diverso da quello di default (che non viene letto da SAP). Dopodiché basta salvare in formato DXF 2000 (DXF più recenti non garantiscono la compatibilità).

Ora da SAP dobbiamo importare il DXF precedentemente creato. Per fa ciò dobbiamo utilizzare il comando FILE > IMPORT > AUTOCAD.DXF FILE ricordandoci di utilizzare le unità di misura corrette (kN, m, °C) e di impostare in Frames "cad" dal menù a tendina in modo che vengano lette le aste.

Fatto ciò selezioniamo l’intero reticolo ed usiamo EDIT > EDIT POINT > MERGE JOINTS > MERGE TOLERANCE > 0,01 (per impostare un errore nella giunzione delle aste di 1 cm).

Successivamente si impostano i vincoli attraverso il comando ASSIGN > JOINT RESTRAINTS ricordandosi di utilizzare cerniere e carrelli in modo che non giacciano sullo stesso asse.

Ora bisogna assegnare un materiale ed un profilo alle aste. Dopo aver selezionato tutte le aste, clicchiamo su DEFINE > SECTION PROPERTIES > FRAME SECTIONS si è scelto di utilizzare un tubolare in acciaio da 100x5. Successivamente si devono selezionare tutte le aste e bisogna assegnargli il profilo precedentemente creato utilizzando il comando ASSIGN > FRAME > FRAME SECTIONS.

Ora bisogna assegnare il carico e per farlo selezioniamo i 12 nodi superiori e ricorriamo al comando ASSIGN > JOINT LOADS > FORCES impostiamo un carico puntuale su ognuno di essi di -40 KN (si è scelto questo valore tenendo conto dell’area di incidenza del solaio superiore e il segno negativo serve a dargli la direzione verso il basso).

Dato che in una struttura reticolare tutti i vincoli interni sono cerniere, dobbiamo fare un’operazione di rilascio del momento ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 END 0 altrimenti verrebbero considerati incastri e ciè falserebbe i risultati.

Prima di lanciare il calcolo dobbiamo poter riconoscere le aste i cui valori verranno tabellati per far ciò andiamo in SET DISPLAY OPTIONS > FRAMES/CABLES/TENDONS >spuntiamo LABELS.

Rimane solamente da lanciare il calcolo. Per farlo andiamo in RUN ANALYSIS > disattiviamo le voci MODAL E DEAD e clicchiamo RUN NOW.

La prima cosa che mostra il software è la deformata.

Per visualizzare le reazioni vincolari invece dobbiamo andare in SHOW FORCES/STRESSES > JOINTS.

Per visualizzare gli sforzi assiali (unici presenti) usiamo il comando SHOW FORCES/STRESSES > FRAME/CABLES > AXIAL FORCE.

Possiamo ottenere le tabelle con gli sforzi assiali nelle aste con il comando DISPLAY > SHOW TABLES > spuntiamoANALYSIS RESULTS > ELEMENT FORCES – FRAMES.

SdC(b) (LM PA)

Esercitazione

DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE IN ACCIAIO

Inviato da martina.zaccagnino il Sab, 13/04/2013 - 16:30

STRATI DELLA SEZIONE

1_ pavimento in parquet di quercia_ 8KN/mc (sp. 0,025 m)

2_allettamento_ 2KN/mc (sp. 0,015m)

3_massetto_ 20KN/mc (sp. 0,03m)

4_isolante termico_ 3KN/mc (sp. 0,03m)

5_lamiera grecata EGB 210con soletta in cls_ 2,50KN/mq

6_trave secondaria

7_trave principale

DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE SECONDARIA

Analisi dei carichi:

Carichi strutturali q_s:

_lamiera grecata EGB 210 con soletta in cls = 2,50KN/mq STRATI DELLA SEZIONE

Carichi permanenti q_p:

_ pavimento in parquet di quercia = 8KN/mc * 0,025 m = 0,2 KN/mq

_allettamento = 2KN/mc * 0,015m = 0,03 KN/mq

_massetto = 20KN/mc * 0,03m = 0,6 KN/mq

_isolante termico = 3KN/mc * 0,03m = 0,09 KN/mq

_tramezzi e impianti = 1,5 KN/mq

Carichi accidentale q_a:

_edificio adibito a civile abitazione = 2,00 KN/mq

Facciamo la somma dei carichi totali applicando ai carichi i coefficienti di sicurezza sfavorevoli:

Q_tot= (q_s* γ_s)+ (q_p* γ_p) + (q_a* γ_a)= (2,50KN/mq * 1,3) + (2,42 KN/mq * 1,5) + (2,00KN/mq * 1,5) = 9,88KN/mq

Avremmo :

q_s= 3,25 KN/mq
q_p= 3,63 KN/mq
q_a= 3,00 KN/mq

Otteniamo un carico ripartito lineare moltiplicando il Q_totper l’interasse così da ottenere Q_tot/lineare = 9,88 KN/m.

Con l'entrata in vigore del D.M. del 14 gennaio 2008 gli acciai da carpenteria devono appartenere al grado da S 235 a S 460. Scelgo per questa sezione la classe di resistenza Fe 360/S235.

Fatto questo andiamo ad inserire i valori trovati nel foglio exel

Inserito l’interasse e i carichi trovati e il carico lineare scriviamo il momento che è = (ql²)/8. Il momento trovato è pari a 44,46 KN*m. Scriviamo la tensione di snervamento caratteristica scelta e troviamo così W_x.

Il profilo corrispondente al valore di 217,57 cm³è la sezione IPE 220 che ha un valore di W_xpari a 252,0 cm³. Non potevamo prendere la sezione IPE 200 poiché il valore di W_xè più piccolo.

PRIMA VERIFICA

Peso della trave = 26,2 Kg/m (valore tabellato) calcolato al metro lineare àcorrisponde a 0,26 KN/mq

Aggiungiamo ai carici strutturali il peso proprio della trave e lo andiamo a inserire nel foglio exel. Troviamo che il valore del q_s= 3,51 KN/mq

Possiamo vedere che la trave con sezione IPE 220 è verificata poiché avendo inserito il peso proprio della trave il W_xè rimasto inferiore a quello della sezione.

DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE PRINCIPALE

Analisi dei carichi:

Carichi strutturali q_s:

_lamiera grecata EGB 210 con soletta in cls = 2,50KN/mq

_trave secondaria = 0,22 KN/mq

Carichi permanenti q_p:

_ pavimento in parquet di quercia = 8KN/mc * 0,025 m = 0,2 KN/mq

_allettamento = 2KN/mc * 0,015m = 0,03 KN/mq

_massetto = 20KN/mc * 0,03m = 0,6 KN/mq

_isolante termico = 3KN/mc * 0,03m = 0,09 KN/mq

_tramezzi e impianti = 1,5 KN/mq

Carichi accidentale q_a:

_edificio adibito a civile abitazione = 2,00 KN/mq

Facciamo la somma dei carichi totali applicando ai carichi i coefficienti di sicurezza sfavorevoli:

Q_tot= (q_s* γ_s)+ (q_p* γ_p) + (q_a* γ_a)= (2,72KN/mq * 1,3) + (2,42 KN/mq * 1,5) + (2,00KN/mq * 1,5) =10,17 KN/mq

Otteniamo un carico ripartito lineare moltiplicando il Q_totper l’interasse così da ottenere Q_tot/lineare = 61,02 KN/m.

Anche per questa trave scegliamo il fattore di snervamento pari a S235 N/mm² e li andiamo ad inserire nel foglio exel.

Inserito l’interasse e i carichi trovati e il carico lineare scriviamo il momento che è = (ql²)/8. Il momento trovato è pari a 488,16 KN*m. Scriviamo la tensione di snervamento caratteristica e troviamo così W_x.

Il profilo corrispondente al valore di 2388,87 cm³è la sezione IPE 550 che ha un valore di W_xpari a 2668,0 cm³.

PRIMA VERIFICA

Peso della trave = 106,0 Kg/m (valore tabellato) calcolato al metro quadrato àcorrisponde a 1,04 KN/mq

Aggiungiamo ai carici strutturali il peso proprio della trave e lo andiamo a inserire nel foglio exel. Troviamo che il valore del q_s= 4,55 KN/mq

Possiamo vedere che la trave con sezione IPE 550 non è verificata poiché la sezione ha un valore minore di W_xrispetto a quello trovato. Scegliamo così la sezione successiva di IPE 600 con valore di W_xpari a 3070,0 cm³.

SECONDA VERIFICA

Peso della trave = 122,0 Kg/m àcorrisponde a 1,19 KN/mq

Aggiungiamo ai carici strutturali il peso proprio della trave e lo andiamo a inserire nel foglio exel. Troviamo che il valore del q_s= 4,7 KN/mq

Possiamo vedere che la trave con sezione IPE 600 è verificata poiché la sezione ha un valore minore di W_xrispetto a quello tabellato.

Abbiamo trovato le sezioni delle due travi per una luce di 8 m.

SdC(b) (LM PA)

Esercitazione

4_ESERCITAZIONE SUL DIMENSIONAMENTO DI UNA TRAVE INFLESSA_12-04-2013

Inviato da pierangelo.perna il Sab, 13/04/2013 - 14:37

Obiettivo dell’esercitazione è il dimensionamento di massima di una trave soggetta a momento flettente M, ovvero il calcolo dell’altezza della sezione, fatto per 3 diversi tipi di materiali: legno, acciaio e cemento armato.

Prima di tutto è opportuno sottolineare i 2 concetti chiave di questo procedimento, ossia il PESO e la TENSIONE. Il primo inteso non solo come carico effettivamente gravante sulla struttura (che come vedremo andrà calcolato), ma anche come parametro di riferimento imprescindibile in un processo che punta all’ottimizzazione del materiale prescelto in un’ottica di rapporto qualità-prezzo del nostro prodotto. Il secondo, invece, costituisce sostanzialmente la chiave di ogni nostra considerazione, in quanto il dimensionamento si basa su un assunto: la tensione massima riscontrabile nella trave può essere al massimo pari a quella ritenuta convenzionalmente ammissibile per quel determinato materiale.

Passando alla parte operativa, il dimensionamento riguarderà il solaio rappresentato in figura e in particolare la trave più sollecitata, ossia quella con la maggiore area di influenza. Per poter fare un raffronto circa l’incidenza di quest’ultimo parametro si procederà anche al calcolo dell’altezza per una sezione con area di influenza minore e l’intero iter verrà ripetuto per i 3 diversi materiali.

LEGNO

ANALISI DEI CARICHI

Il legno rappresenta il caso più semplice dei 3. Il primo passo consiste nella definizione del pacchetto che compone il solaio e nell’analisi dei carichi che la trave dovrà sopportare. Ogni strato è caratterizzato da un materiale e dal relativo Peso Specifico (KN/m³). Dal momento che il risultato che cerchiamo è un carico distribuito (KN/m²), moltiplichiamo il peso specifico per la lunghezza e la larghezza considerate, oltre che per lo spessore del singolo strato. Infine, dividiamo per la superficie analizzata.

Una volta ottenuto il peso di ognuno degli strati componenti il solaio, li combino per avere il carico totale q, dato dalla somma dei carichi strutturali q_s, dei carichi permanenti non strutturali q_p(ai quali aggiungiamo sempre 1 KN/m²per gli impianti e 0,5 KN/m²per i tramezzi) e dei carichi accidentali q_a, relativi alla destinazione d’uso degli ambienti (nel nostro caso 2 KN/m²destinazione residenziale), tutti moltiplicati per l’interasse i legato all’area d’influenza della trave.

NB:dopo aver dimensionato una prima volta la trave calcolo anche il suo peso proprio, ottenendo un carico strutturale q_s* maggiore di quello precedente per il quale ridimensiono la trave ottenendo un’altezza h maggiore.

CALCOLO DELL’ALTEZZA H

Ottenuto il carico totale q, sono in grado di calcolare il momento flettente M agente sulla trave, considerando il sistema statico equivalente ad una trave doppiamente appoggiata con momento flettente massimo pari a ql²/8. L ovviamente si riferisce alla luce della trave presa in esame.

Per quanto riguarda la tensione sig_am, questa dipende dal tipo di legno scelto e, più in generale, è data dal prodotto del coefficiente riduttivo k_mod (normato, tiene conto della durata del carico e della classe di servizio del progetto)e della resistenza a flessione caratteristica fm,k, ulteriormente ridotta dal coefficiente di sicurezza gamma (nel legno lamellare pari a 1,45).

L’ultimo passaggio sfrutta la Formula di Navier, in quanto da essa possiamo ricavarci il modulo di resistenza W e, dopo aver posto la tensione sigma massima pari a quella ammissibile, anche l’altezza h che cercavamo.

NB:I primi 2 valori di h si riferiscono rispettivamente alla trave più sollecitata (i = 4,5 m) e ad una qualsiasi (i = 2,25 m), con il carico strutturale q_s; mentre gli altri 2 sono riferiti alle medesime travi, ma con un carico strutturale q_s* che tiene conto del peso proprio della trave.

ACCIAIO

ANALISI DEI CARICHI

Per quanto concerne l’acciaio la prima parte relativa all’analisi dei carichi è identica a quella precedente. Si procede sempre alla definizione della stratigrafia e al calcolo del peso totale di ogni strato, al fine di sommarli poi per ottenere il carico totale q.

CALCOLO DELL’ALTEZZA H

Anche il calcolo del momento flettente M non riporta differenze rispetto al calcolo precedente.

Lo stesso non si può dire per la tensione: nel caso dell’acciaio abbiamo differenti valori di resistenza caratteristica fy,k, a seconda del tipo di acciaio utilizzato (nel nostro caso abbiamo usato 3 diversi acciai con fy,k pari 235, 275 e 355). La tensione sig_am è uguale a quella caratteristica fy,k ridotta dividendo per il solito coefficiente di sicurezza gamma, il quale per l’acciaio da carpenteria è pari a 1,15.

Il passo finale si fonda sempre sulla Formula di Navier, ma paradossalmente è più semplice rispetto al legno: è sufficiente porre sempre la tensione sigma massima uguale a quella ammissibile e ricavarsi il modulo di resistenza W_xminimo; successivamente occorre cercare sul profilario il primo profilo con modulo di resistenza superiore a quello trovato.

NB:I primi 3 valori di W_x con relativo profilo IPE si riferiscono alla trave più sollecitata (i = 4,5 m), con il carico strutturale q_se tensioni fy,k crescenti; mentre i successivi 3 sono riferiti ad una trave qualsiasi (i = 2,25 m), sempre un carico strutturale q_s e tensioni crescenti; i 3 seguenti si riferiscono alla trave più sollecitata, con carico strutturale q_s* che tiene conto del carico proprio della trave, e gli ultimi 3 ad una trave qualsiasi sempre con carico strutturale q_s*.

CEMENTO ARMATO

ANALISI DEI CARICHI

Anche per il cemento armato la parte relativa alla stratigrafia del solaio e all’analisi dei carichi non subisce variazioni.

CALCOLO DELL’ALTEZZA H

Anche il calcolo del momento flettente M non riporta differenze rispetto al calcolo precedente.

Per quanto riguarda la tensione, a seconda del cls precelto, avremo una tensione sig_ca data dalla resistenza caratteristica fy, moltiplicata per un coefficiente riduttivo alfa_ccpari a 0,85 e divisa per il coefficiente riduttivo gamma pari a 1,5.

L’ultimo passaggio in questo caso è più complicato poiché bisogna tener conto del fatto che il materiale non è omogeneo, ma è composto da due materiali diversi (cls e acciaio) con tensioni e deformazioni differenti. Il tutto va, quindi, “omogeneizzato”, mediante un coefficiente di omogeneizzazione n.

Una volta omogeneizzati i materiali e le rispettive tensioni, poniamo queste uguali alla tensione ammissibile e esplicitiamo x_c in funzione della nostra incognita h, sfruttandoproprietà dei triangoli simili. Così facendo ci imbattiamo in un altro parametro fondamentale, ossia alfa.

A questo punto sappiamo che il momento flettente M è dato da una coppia: la compressione C relativa al calcestruzzo e la trazione T relativa all’armatura d’acciaio.

Eguagliando i momenti dati dal prodotto di queste due forze con il braccio b* possiamo esplicitare l’altezza h (h_u nell’immagine sopra) che stiamo cercando.

NB:I primi 3 valori di H si riferiscono alla trave più sollecitata (i = 4,5 m), con il carico strutturale q_se tensioni Rck crescenti; mentre i successivi 3 sono riferiti ad una trave qualsiasi (i = 2,25 m), sempre un carico strutturale q_s e tensioni crescenti; quello seguente si riferisce alla trave più sollecitata, con Rck pari a 50 e carico strutturale q_s* che tiene conto del carico proprio della trave, mentre l’ultimo ad una trave qualsiasi sempre con carico strutturale q_s* e Rck 50.

SdC(b) (LM PA)

Esercitazione

dimensionamento trave inflessa.pdf

ESERCITAZIONE 3 - DIMENSIONAMENTO TRAVE IN LEGNO LAMELLARE

Inviato da lavinia.sabatini il Sab, 13/04/2013 - 14:09

Saper fare un dimensionamento di massima di una trave soggetta a MOMENTO FLETTENTE è basilare ai fini della progettazione; il dimensionamento infatti serve a stabilire se la struttura riesce a resistere ai carichi a cui è sottoposta.

La resistenza si misura in TENSIONE, motivo per cui nelle tabelle finali si verificherà che le tensioni di progetto siano inferiori a quelle cosiddette ammissibili.

1) PIANTA:

Il dimensionamento riguarderà il solaio rappresentato in figura e in particolare la trave più sollecitata

Luce 7m _ Interasse 5 m

2) SEZIONE

3) ANALISI DEI CARICHI:

4) -Dimensionamento trave maggiormente sollecitata:

Ho inserito nel foglio elettronico i carichi precedentemente calcolati e la misura della base ipotizzata.

ottengo un hmin = 53.43 cm;

per stare in sicurezza e adattarmi ai formati commerciali prendo una sezione 35x55 cm.

Aggiungo ora al calcolo precedentemente effettuato il peso proprio della trave:

Vediamo nel riquadro rosso a sfondo verde che la trave non è verificata; provo allora adottando una trave 35x60 cm e vedo, nell'ultima riga sopra allegata, che questa soddisfa la verifica.

SdC(b) (LM PA)

Esercitazione

DIMENSIONAMENTO TRAVE IPE PER SOLAIO IN ACCIAIO

Inviato da marco.scandurra il Sab, 13/04/2013 - 13:40

SOLAIO IN ACCIAIO

Carichi permanenti strutturali (qs):

- Soletta in CLS

Volume/mq = 0,1m x 1,0m x 1,0m = 0,1 mc/mq

Peso specifico: 2300 kg/mc à 23 kN/mc

Peso soletta al mq: 0,1mc/mq x 23 kN/mq = 2,3 kN/mq

- Rete elettrosaldata

Diametro: 5mm, Maglia: 100mm x 100mm

Peso al mq: 3,1 kg/mq à 0,03 kN/mq

- Lamiera grecata

Spessore: 1,0mm

Peso al mq: 9,58 kg/mq à 0,09 kN/mq

qs = 2,42 kN/mq

Carichi permanenti non strutturali (qp):

- Pavimento(parquet in rovere)

Spessore: 2cm = 0,02m

Peso specifico: 720 kg/mc à 7,2 kN/mc

Volume/mq = 0,02m x 1,0m x 1,0m = 0,02 mc/mq

Peso pavimento al mq: 0,02mc/mq x 7,2 kN/mq = 0,14 kN/mq

- Massetto

Spessore: 4cm = 0,04m

Peso specifico: 2300 kg/mc à 23 kN/mc

Volume/mq = 0,04m x 1,0m x 1,0m = 0,04 mc/mq

Peso pavimento al mq: 0,04mc/mq x 23 kN/mq = 0,92 kN/mq

- Impianti

0,2 kN/mq

- Controsoffitto

Spessore: 15mm

Peso specifico: 17 kg/mq à 0,17 kN/mq

- Tramezzi

0,2 kN/mq

qp = 2,23 kN/mq

Carichi accidentali (qa):

Per edifici per uffici chiusi al pubblico: 2,0 kN/mq

qa = 2,0 kN/mq

Inserendo i valori di carico ottenuti, le caratteristiche del tipo di acciaio scelto (specificandone la resistenza fy,k) nel foglio excel, ottengo un valore Wx(max) = 347,61 cm^3.

Scelgo quindi di utilizzare una trave IPE 270, con Wx = 428,9 cm^3 > 347,61 cm^3.

Ora devo effettuare un’ulteriore verifica inserendo il peso proprio della trave IPE scelta all’interno dei carichi permanenti strutturali.

Peso trave al mq = 42,2 Kg/m / 4,0m (interasse) = 10,55 Kg/mq à 0,1 kN/mq

qs’ = (2,42 + 0,1) kN/mq = 2,51 kN/mq

Sostituendo ora il valore qs con il valore qs’ nel foglio excel, ottengo un valore Wx(max) = 352,84 cm^3.

Quindi la sezione IPE 270 è verificata in quanto Wx = 428,9 cm^3 > 352,84 cm^3.

SdC(b) (LM PA)

Esercitazione

Esercitazione: Dimensionamento trave in legno con Excel

Inviato da niccolò.canulli il Sab, 13/04/2013 - 12:50

Dimensionamento di una trave in legno

Inizio analizzando la tessitura del mio solaio ed andando a dimensionare la trave maggiore e quindi più sollecitata

Per il solaio ho cosiderato un edificio residenziale multipiano, quindi il pacchetto è un interno-interno

Vado a calcolare i miei carichi

qs Carico strutturale (travetti; caldana; tavolato)

Prendo dei travetti in pioppo di dimensione 6cm * 8cm, considero che in un metro quadro di solaio ne posso trovare due e li vado a calcolare per il peso specifico del materiale che è di circa 5,00 kN/m³

(5,00 kN/m³ * 0,08 m * 0,06 m * 1 m * 2)/1m²= 0,048 kN/m²

Ora devo aggiungere il peso degli elementi strutturali che compongono il pacchetto che ho scelto

Tavolato _ 3,5 cm _ 0,21 kN/m²
Caldana _ 4 cm _ 0,28 kN/m²

Il totale dei mio qs è di 0,538 kN/m²

qp Carico permanente (isolante; massetto; paveimento; inc.tramezzi; inc.impianti)

Isolante fibra di legno _ 4 cm _ 0,0075 kN/m²
Massetto _ 3 cm _ 0,54 kN/m²
Pavimento in Gres _ 1 cm _ 0,20 kN/m²

A questi carichi vado a sommare:
Incidenza degli impianti _ 1,00 kN/m²
Incidenza dei tramezzi _ 0,50 kN/m2

Il totale dei mio qp è di 2,2475 kN/m²

qa Carico accidentale (da normativa per la tipologia di edificio: ad uso residenziale)

Ambiente ad uso residenziale _ 2,00 kN/m²

Carico totale q

Grazie alla tabella excel vado a determinare il carico totale sommando i carichi qs, qp, qa e moltiplicandoli per l'interasse di influenza della trave (i) di 4m: 19,142 kN/m

Ora vado a calcolare il Mmax della trave moltiplicando il carico (q) ottenuto per il quadrato della luce della trave (l) e dividendoli per 8: [q * (l)²]/8 = 86,139 kN/m

Vado a calcolare la mia ϭ max, che equivale alla mia resistenza di progetto, moltiplicando il valore di resistenza tipica del materiale (fm,k) che nel legno equivale a 24 N/mm²per il coefficiente di degrado (kmod) che nel legno ha un valore di 0,6 e divido per il coefficiente di sicurezza 1,45: (fm,k*kmod)/1,45 = 9,93 N/mm²

Ricavato il vaore del ϭ ammissibile determino una trave di base 25 cm e vado a ricavare l'altezza con la tabella excel

La trave ottenuta ha una b = 25cm e una h = 48cm, ora andremo a verificare la struttura aggiungendo ai carichi strutturali qs anche il peso della trave ricavata
Per prima cosa ricavo il peso proprio della trave: (4,00 kN/m³* 0,25m * 0,48m * 1m)/ 1m² = 0,48 kN/m²
Ora vado ad inserire il peso della mia trave nei carichi strutturali e ripeto il procedimento di prima

qs Carico strutturale (TRAVE; travetti; caldana; tavolato)

TRAVE _ 25cm*48cm*100cm _ 0,48 kN/m²
Travetti _ 8cm*6cm*100cm _ 0,048 kN/m²
Tavolato _ 3,5 cm _ 0,21 kN/m²
Caldana _ 4 cm _ 0,28 kN/m²

Totale qs = 1,018 kN/m²

Inserisco nuovamente i miei valori nella tabella excel e lasciando invariata la dimensione della base (25cm) verifico che l'altezza di 48cm che ho preso sia sufficiente

Il valore dell'altezza è inferiore ai 48cm quindi posso utilizzare una trave di 25cm*48cm

SdC(b) (LM PA)

Esercitazione

Dimensionamento trave in legno

Inviato da alessandro.mast... il Sab, 13/04/2013 - 12:25

Dimensionamento Trave in un solaio in Legno

1. Disegnare il solaio:

Dimensionare il solaio con interasse trave 3 m

Scegliere l’orditura del solaio

2. Trovare la trave più sollecitata e la rispettiva area di influenza dei carichi

3. Solaio in legno sistema a secco con riscaldamento (porzione di 1m)

Calcolare i pesi agenti sulla trave

4. qs Peso di 1mq di solaio Lamellare conifero

· Peso di 2 Travetti (b=0.08m h=0.1m) γ = 6 kn/mc V=0.008mc P=γ *V

P1=0.048 kn/mq*2=0.096 kn/mq

· Peso di 20 Tavole (b=0.1m h=0.03m) γ = 6 kn/mc V=0.003mc P=γ *V

P2=0.018 kn/mq*20=0.36 kn/mq

Qs=P1+P2=0.456 kn/mq

5. qp Sovraccarico permanente di 1 mq

· Sottofondo di riempimento a secco con graniglia di marmo γ = 1.4 kn/mc P=γ *Spessore

P3= 1.4 kn/mc * 0.05 m= 0.07kn/mq

· Isolante termico-acustico in fibra di legno γ = 0.5 kn/mc P=γ *Spessore

P4= 0.5 kn/mc * 0.02 m= 0.01kn/mq

· Lastra di fibrogesso γ = 0.35 kn/mc P=γ *Spessore

P5= 0.35 kn/mc * 0.03 m= 0.01kn/mq

· Pavimento in ceramica γ = 20 kn/mc P=γ *Spessore

P6= 20 kn/mc * 0.015 m= 0.3 kn/mq

· Avendo il riscaldamento a pavimento il peso degli impianti è maggiore di 0.5 kn/mq e diventa P7= 0.8 kn/mq

· Tramezzi P8=1 kn/mq

QP=P3+P4+P5+P6+P7+P8=2.19 kn/mq

6. Qd Carico accidentale

· Ambienti ad uso residenziali P9=2 kn/mq

Qd= 2 kn/mq

7. Una volta trovati i carichi agenti nella trave più sollecitata si inseriscono i dati sul foglio Excel

i=6 metri

qs=0.456 kn/mq qp=2.19 kn/mq qd= 2 kn/mq

q= somma de carichi*i

luce=lunghezza trave

M=momento pari a ql²/8

Fm,k= resistenza a flessione del legno lamellare classe GL 24c pari a 24 N/mm²

Kmod=coefficiente correttivo che tiene conto dell’effetto della durata del carico sia dell’umiduta della struttura poichè ho scelto un legno lamellare incollato EN 14080 classe 2 il Kmod permanente è 0.6

γ_amm=sigma ammissibile

b=la base della trave la dimensioniamo noi, io ho impostato b=18 cm

Dai calcoli effettuati la dimensione della trave viene b=18cm h=22.93cm ma poiché la dimensione delle travi lamellari sono multiplo di 4 cm la trave ultima è di b=18cm h=24 cm

SdC(b) (LM PA)

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