SdC(b) (LM PA)

La quinta esercitazione consiste nel calcolo della ripartizione di una forza orizzontale (sismica o del vento) agente su una struttura a telai Shear-Type in cemento armato utilizzando il metodo delle rigidezze.

La struttura presa in analisi è caratterizzata da 3 telai orizzontali e 4 telai verticali e i pilastri sono di dimensioni 30x50cm, di altezza 3,50m.

I controventi sono per il solaio vincoli cedevoli elasticamente quindi vengono rappresentati nel piano dell’impalcato come molle di adeguata rigidezza.

STEP1

Poichè i telai sono modellizzati come degli Shear-Type sappiamo che ogni ritto contribuirà alla rigidezza traslante con un contributo di 12EI/h³.

K=(12EI₁)/ h³ + (12EI₂) h³+ … + (12EI_n)/h³

Quindi per calcolare la rigidezza traslante di ogni controvento sarà necessario inserire nel foglio excel il modulo di Young proprio del materiale(E), l’altezza dei pilastri (h) e il loro modulo d’inerzia (I):

Imax=bh³/12=(30cm)*(50cm)³/12= 312500cm⁴

Imin= hb³/12=(50cm)*(30cm)³/12= 112500cm⁴

STEP2

In questo step vengono calcolate le distanze dei controventi dal punto O, origine del sistema di riferimento.

STEP3

Per il calcolo del centro di massa è necessario suddividere l’impalcato in figure elementari, calcolare le rispettive aree e individuare le coordinate del loro centro geometrico. Dunque sarà possibile calcolare il centro di massa (che nel caso di un impalcato con densità di massa uniforme coincide con il centro d’area)

XG = [(A₁ * x_G1)+(A₂ * x_G2)]/Atot

YG = [(A₁ * y_G1)+(A₂ * y_G2)]/Atot

STEP4

Oltre a calcolare la rigidezza totale orizzontale (k_otot) e verticale(k_vtot), il foglio di calcolo ricava le coordinate del centro delle rigidezze

XC = [(k_v1*d_v1)+ (k_v2*d_v2)+ (k_v3*d_v3)+ (k_v4*d_v4)]/k_vtot

YC = [(k_o1*d_o1)+ (k_o2*d_o2)+ (k_o3*d_o3)]/k_otot

Ora è dunque possibile rappresentare nell’impalcato il centro di massa G e il centro delle rigidezze C.

Sapendo che la forza sismica verrà applicata al centro di massa, possono essere fatte delle osservazioni.

Se la forza sismica è orizzontale allora l’impalcato trasla di una quantità u e ruota in modo antiorario.

Se la forza sismica è verticale allora l’impalcato trasla di una quantita v e ruota in modo antiorario.

In questo step vengono inoltre ricalcolate le distanze dei controventi dal centro di rigidezza per ricavare la rigidezza torsionale k_φ

k_φ = (k_v1*dd_v1²)+ (k_v2*dd_v2²)+ (k_v3*dd_v3²)+ (k_v4*dd_v4²)+(k_o1*dd_o1²)+ (k_o2*dd_o2²)+ (k_o3*dd_o3²)

STEP5

Inserendo i valori dei carichi strutturali (qs), permanenti (qp) e accidentali (qa) è possibile ricavare il carico totale permanente (G) e il carico totale accidentale (Q)

G=(q_s + q_p) * A_tot

Q=q_a * A_tot

Dunque calcoliamo il peso sismico W introducendo un coefficiente di contemporaneità ψ_2j(che in ambienti residenziali è pari a 0.3).

W= G + ψ_{2j *} Q

Introducendo un coefficiene di intensità sismica c(a Roma pari a 0,10) è possibile calcolare la forza che applicheremo al centro delle masse

F= W *c

STEP6

Oltre il calcolo della traslazione orizzontale u

u=F/ k_otot

viene calcolato il momento generato dalla forza sismica

M=F* (YG-YC)

Dunque, conoscendo anche k_φ,  si ricava la rotazione φ

Φ = M/ k_φ

Quindi è possibile capire come si ripartisce la forza sismica lungo x sui controventi.

La reazione elastica di quelli orizzontali sarà il prodotto della rigidezza traslante per la somma degli spostamenti (traslazione orizzontale e rotazione per braccio).

F_{o_n}= k_{o_n} *(u + φ*dd _{o_n})

La reazione elastica di quelli verticali sarà il prodotto della rigidezza traslante per lo spostamento (rotazione per braccio).

F_{v_n}= k_{v_n} * φ*dd _{v_n}

STEP7

Oltre il calcolo della traslazione verticale v

v=F/ k_vtot

viene calcolato il momento generato dalla forza sismica

M=F* (XG-XC)

Dunque, conoscendo anche k_φ,  si ricava la rotazione φ

Φ = M/ k_φ

Quindi è possibile capire come si ripartisce la forza sismica lungo y sui controventi.

La reazione elastica di quelli orizzontali sarà il prodotto della rigidezza traslante per lo spostamento (rotazione per braccio).

F_{o_n}= k_{o_n} *φ*dd _{o_n})

La reazione elastica di quelli verticali sarà il prodotto della rigidezza traslante per la somma degli spostamenti (traslazione verticale e rotazione per braccio).

F_{v_n}= k_{v_n} * (v + φ*dd _{v_n})

La quinta esercitazione consiste nel calcolare attraverso il metodo delle rigidezza come una forza orizzontale (vento o sismica) si ripartisca sui telai che compongono la struttura.

Per questa esercitazione ho preso in considerazione una struttura semplificata di un piano tipo dell’edificio in fase di progettazione nel Laboratorio di Progettazione Architettonica del prof. Desideri.

La struttura è in calcestruzzo armato.

Il primo passo consiste nel disegnare la pianta di carpenteria e individuare i telai verticali e orizzontali. In questo caso si hanno 11 telai, 6 verticali e 5 orizzontali.

To1 = p. 1, p. 2, p. 3, p. 4

To2 = p. 5, p. 6, p. 7, p. 8

To3 = p. 9, p. 10

To4 = p. 11, p. 12, p. 13, p. 14

To5 = p. 15, p.16, p. 17, p, 18

Tv1 = p. 1, p. 5, p. 9, p. 11, p. 15

Tv2 = p. 2, p. 6, p. 10, p. 12, p. 16

Tv3 = p. 3, p.7

Tv4 = p. 4, p. 8

Tv5 = p. 13, p. 17

Tv6 = p.14, p. 18

La sezione dei pilastri presi in considerazione è di 30x40 cm

Devo calcolare il momento d’inerzia rispetto all’asse x e all’asse y

Ix = bh³/12 = 40x30³/12 = 90.000 cm⁴

Iy = bh³/12 = 30x40³/12 = 160.000 cm⁴

Una volta calcolato inserisco il momento d'inerzia nella tabella excel. Ho dovuto modificare tutto il foglio excel e le relative formule per poter prendere in considerazione più di 7 telai.

Una volta fatto questo, posso rappresentare in pianta i controventi come delle molle.

A questo punto bisogna calcolare il centro di massa della struttura. Per poter fare ciò devo dividere la struttura in figure geometriche elementari. Questo rende possibile trovare il centro d'area, che coincide con il centro di massa in questo caso,  di ogni figura per poi trovare quello comune. Divido la mia struttura in 3 rettangoli.

Rettangolo 1: Area 60 mq

Rettangolo 2: Area 33 mq

Rettangolo 3: Area 45 mq

Per trovare il centro dell'intero impalcato devo applicare due semplici formule, una per le coordinate x e una per le coordinate  y

X_g= A₁*X_g1 + A₂*X_g2 + A₃*X_g3 / A_{to  Le formule sono delle sommatorie, se avessi avuto quattro aree avrei dovuto utilizzarne 4.}

Y_g= A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 + A₃*Y_g3 / A_tot

Rappresento il centro d'area nel mio impalcato:

Nel disegno si può vedere come ho suddiviso la struttura nei 3 rettangoli e dove è posizionato il centro d'area.

Adesso devo trovare il centro delle rigidezze. CI sono due possibilità, la prima che coincida con il centro d'area, e la seconda che sia spostato. La prima opzione è la più favorevole, ma in questo caso, ancora prima di fare i calcoli ci si accorge che i due punti non si potranno mai trovare nello stesso punto. Quindi la struttura oltre a subire una traslazione subisce anche una rotazione. Per fare in modo che la rotazione sia piccola devo fare in modo che il braccio sia molto ridotto. Da cosa è dato il braccio? il braccio è la distanza tra il cento delle rigidezze e il centro d'area dell'impalcato.

Mi calcolo le coordinate del centro delle rigidezze e poi lo schematizzo nella pianta dell'impalcato.

Adesso devo calcolarmi G Q W per poter fare l'analisi dei carichi sismici

G = (q_s + q_p) x A_tot 

Q = q_a x A_tot ​

 W = G + (Q x  ψ)

Il coeff. c invece è un valore da inserire e corrisponde alla pericolosità sismica dell'area, serve a ridurre l'accelerazione del di gravità. per Roma c = 0,10

L'ultima fase è vedere come la forza sismica agisce sui controventi orizzontali e verticali:

Per questa esercitazione ho calcolato la ripartizione di una forza orizzontale, sismica o del vento, su un telaio di cemento armato utilizzando il metodo delle rigidezze. Come modello di studio ho preso in esame un piano tipo del progetto de Laboratorio di progettazione. I telai sono di tipo Shear-type poichè rappresentano bene i comportamenti dei telai in cemento armato.

- Come prima cosa rappresento la pianta strutturale del mio impalcato individuando 18 telai di cui 12 orizzontali e 6 verticali.

- I telai che compongono la struttura sono:

Telaio 1o: 1-8-15-17-24-31

Telaio 2o: 2-9-16-18-25-32

Telaio 3o: 3-10

Telaio 4o: 4-11

Telaio 5o: 5-12

Telaio 6o: 6-13

Telaio 7o: 7-14

Telaio 8o: 19-26

Telaio 9o: 20-27

Telaio 10o: 21-28

Telaio 11o: 22-29

Telaio 12o: 23-30

Telaio 1v: 1-2-3-4-5-6-7

Telaio 2v: 8-9-10-11-12-13-14

Telaio 3v: 15-16

Telaio 4v: 17-18-19-20-21-22-23

Telaio 5v: 24-25-26-27-28-29-30

Telaio 6v: 31-32

-I pilastri utilizzati misurano 60 x 30 cm.

- Come seconda fase rappresento la pianta dei controventi 

- Adesso usufruendo del foglio excel posso ricavare la rigidezza traslante  

K=12EI/h³

 Ovviamente il foglio va modificato per potersi adattare al numero dei contriventi della struttura. Bisogna fare attenzione all'orientamento dei pilastri poichè il momento di inerzia varierebbe in base all'orientamento secondo la formula 

bh³/12

- Nella seconda tabella sono evidenziate le rigidezze dei controventi, verticali ed orizzontali, e le rispettive distanze dal punto di origine O

-Per calcolare il centro di massa dell'impalcato divido queto in figure geometriche semplici, inquesto caso rettangoli e ne misuro l'area di ognuno. Calcolo anche la distanza dei loro centri d'area con l'origine e procedo nel calcolare le due coordinate del centro di massa:

X_g= A₁*X_g1 + A₂*X_g2 + A₃*X_g3 / A_tot

Y_g= A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 + A₃*Y_g3 / A_tot

- Successivamente bisogna ricavare la rigidezza totale dei controventi e le cordinate del centro delle rigidezze utilizzando le seguenti formule:

X_c= K_v1*d_v1 + K_v2*d_v2 + ...... + K_vn*d_vn/ K_vtot

Y_c= K_o1*d_o1 + K_o2*d_o2 + ...... + K_on*d_on/ K_otot

Riportando il centro delle rigidezze sulla pianta di carpenteria mi rendo conto che le possibilità sono due e nel caso del mio impalcato sussiste il secondo caso
- Caso1= Centro delle masse e centro delle rigidezze coincidono.
In questo caso l’impalcato colpito da una forza lungo X o da una forza lungo Y subisce una traslazione.

-Caso2= Centro delle masse e centro delle rigidezze non coincidono.
In questo caso l’impalcato colpito sia da una forza lungo  X o da una forza lungo Y oltre a subire una traslazione semplice, subisce anche una rotazione. 

-Procedo con la mia analisi per ricavare la Forza sismica agente sul centro. Per ottenere questo valore calcolo il carico permanente totale G ed il carico accidentale totale Q, dove:

G = (q_s + q_p) * A_tot
Q = q_a * A_tot 

Lo step successivo è il calcolo dei pesi sismici (W) attraverso un coefficiente di contemporaneità che è possibile ricavare dalle norme tecniche per le costruzioni. Questo valore è pari a

W = G + (Q *  ψ) 

Un ulteriore coefficiente c varia in funzione della sismicità della zona; è un valore che va a ridurre l’intensità della Forza sismica. Essendo il mio progetto sito a Roma prendo il valore relativo all'area romana, pari ad c= 0,10

La Forza sismica totale è pari a

F = W * c

- Il sesto e il settimo step analizzano come la forza sismica agisce sui controventi e gli effetti che essa provoca , traslazione e rotazione orizzontali e verticali.

Mentre la sesta tabella permette di calcolare la forza sismica lungo x, la settima tabella quella lungo y.

- Gli effetti prodotti dalla forza sismica sulla struttura saranno:

lungo l'asse x 

traslazione

rotazione

lungo l'asse y

traslazione

rotazione

Con la quinta esercitazione vado a calcolare come diversi telai, assunti shear type, si ripartiscano la forza orizzontale, che può essere quella sismica o del vento, attraverso il metodo delle rigidezze. La tecnologia adottata per l'impalcato è quella del cemento armato, con pilastri 30x40 cm, orientati in maniera diversa.

In totale l'impalcato dell'edificio presenta 8 telai, 4 verticali e 4 orizzontali, costituiti dai pilastri:

1-V : 1-2

2-V : 3-4

3-V : 5-6-7-8

4-V : 9-10-11-12

1-O : 5-9

2-O : 1-3-6-10

3-O : 2-4-7-11

4-O : 8-12

Usando i simboli dei controventi, vincoli cedevoli elasticamente, vado a indicarli in pianta:

L'altezza dei pilastri segue inoltre quella dell'esercitazione precedente, cioè 3 metri, dato utile, insieme al modulo di Young e del Momento d'Inerzia di ogni singolo pilastro, calcolato in base al loro orientamento.

Nel secondo step si riassumono le distanze di ciascun controvento dall'origine:

Calcolo ora il centro di massa, attraverso la grandezza delle aree semplici che si ricavano dall'impalcato, due rettangoli, e le coordinate dei loro centri d'area, che vengono inseriti nella formula:

X_G= A₁*X_g1 + A₂*X_g2 + A₃*X_g3 / A_tot

Y_G= A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 + A₃*Y_g3 / A_tot

Con il totale delle rigidezze orizzontali e verticali, e le rigidezze di ogni singolo controvento insieme al loro braccio rispetto all'origine, calcolo il centro delle rigidezze, con le formule:

X_C= K_V-2*d_V-2 + K_V-3*d_V-3 + K_V-4*d_V-4 / K_Vtot

Y_C= K_O-2*d_O-2 + K_O-3*d_O-3 + K_O-4*d_O-4 / K_Otot

_{E ricavo la distanza di ogni singolo controvento dal centro delle rigidezze:}

I due centri, quello di massa e quello delle rigidezze, si trovano a non coincidere, creando eventualmente un braccio che va a provocare nella struttura, con una forza applicata, un momento oltre che una traslazione semplice.

Ora è il momento di calcolare la forza sismica: prima di tutto riporto i carichi del solaio in cemento armato delle esercitazioni precedenti, poi moltiplico i carichi strutturali e accidentali con l'area del solaio. Introduco il coefficiente di contemporaneità ψ, che risulta dalle norme tecniche essere 0,30 per edifici residenziali, e calcolo il peso sismico.

Con l'ultimo coefficiente c di riduzione della forza sismica calcolo quest'ultima; c è un dato legato alla sismicità della zona presa in esame, ad esempio Roma, e quindi risulta essere 0,10 secondo le norme.

Infine si calcola come la forza sismica agisce sui controventi, provocando traslazioni orizzontali e verticali, insieme alla rotazione, prima lungo X e poi lungo Y:

Di seguito rappresento le traslazioni e le rotazioni, fortemente sovradimensionate per rendere l'idea dello spostamento e della direzione:

La quinta esercitazione consiste nel calcolare come i diversi telai che costituiscono la struttura, si ripartiscano una forza orizzontale (forza sismica o del vento), applicando il metodo delle rigidezze.
Come modello di studio prendo in considerazione un piano tipo del mio progetto del Laboratotio 1MA. La tecnologia dell’impalcato è il cemento armato ed è costituito da telai di tipo Shear-Type (in maniera tale da esser coerente con il foglio excel datoci a disposizione, senza modificare la parte riguardante la rigidezza dei controventi).

Il primo step consiste nel disegno della pianta strutturale dell’edificio preso come modello di studio. Nel mio caso individuo un totale di 22 telai, divisi in:
-14 telai verticali
-8 telai orizzontali

I telai che compongono la struttura sono:
1_O, costituito dai pilastri: 1-9-17-23-27-31-35-39
2_O, costituito dai pilastri: 2-10-18
3_O, costituito dai pilastri: 3-11-19-24-28-32-36-40
4_O, costituito dai pilastri: 4-12
5_O, costituito dai pilastri: 5-13
6_O, costituito dai pilastri: 6-14-20-25-29-33-37-41
7_O, costituito dai pilastri: 7-15-21
8_O, costituito dai pilastri: 8-16-22-26-30-34-38-42
1_V, costituito dai pilastri: 1-2-3-4-5-6-7-8
2_V, costituito dai pilastri: 9-10-11-12-13-14-15-16
3_V, costituito dai pilastri: 17-18-19
4_V, costituito dai pilastri: 20-21-22
5_V, costituito dai pilastri: 23-24
6_V, costituito dai pilastri: 25-26
7_V, costituito dai pilastri: 27-28
8_V, costituito dai pilastri: 29-30
9_V, costituito dai pilastri: 31-32
10_V, costituito dai pilastri: 33-34
11_V, costituito dai pilastri: 35-36
12_V, costituito dai pilastri: 37-38
13_V, costituito dai pilastri: 39-40
14_V, costituito dai pilastri: 41-42

Ricordo che la misura da me scelta per i pilastri è di 30x40 cm.
Indico nella struttura i controventi, rappresentandoli in pianta come delle molle. Queste per l’impalcato rappresentano dei vincoli cedevoli elasticamente.

Ho modificato il foglio Excel di default per poterlo adattare al numero dei miei controventi. Nel primo step ricavo la rigidezza traslante di ogni telaio (K=12EI/h^3). Bisogna stare attenti al diverso orientamento dei pilastri poichè questi offrono un momento d’inerzia diverso in base al loro orientamento (bh^3/12). I valori offerti sono 90.000 cm⁴ ed 160.000 cm⁴.

Nella seconda tabella sono riassunte le rigidezze dei controventi analizzati precedentementi e vengono anche riportare le distanze dall’origine di tutti i vincoli cedevoli elasticamente (controventi).

Il passo successivo consiste nel calcolare il centro massa dell’impalcato. Per semplificare le operazioni divido questo in figure geometricamente semplici (rettangoli). Riconosco nel mio impalcato tre rettangoli, di cui due di uguale area. Misuro l’area di questi e la distanza dei loro centri d’area (che in questo caso coincide con il centro delle masse) con l’origine fissata precedentemente. Avendo tutti i dati a disposizione applico una semplice formula per ottenere le due coordinate del centro di massa dell’impalcato:

X_g= A₁*X_g1 + A₂*X_g2 + A₃*X_g3 / A_tot

Y_g= A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 + A₃*Y_g3 / A_tot

Il quinto step consiste nel ricavare la rigidezza totale dei controventi e le coordinate del centro delle rigidezze. Queste coordinate si trovano applicando le formule:

-X_c= K_v1*d_v1 + K_v2*d_v2 + ...... + K_vn*d_vn/ K_vtot

-Y_c= K_o1*d_o1 + K_o2*d_o2 + ...... + K_on*d_on/ K_otot

Riporto il centro delle rigidezze sulla pianta di carpenteria. Gli scenari possibili sono:
- Caso1= Centro delle masse e centro delle rigidezze coincidono.
In questo caso l’impalcato colpito da una forza lungo X o da una forza lungo Y subirà semplicemente una traslazione.
-Caso2= Centro delle masse e centro delle rigidezze non coincidono.
In questo caso l’impalcato colpito sia da una forza lungo  X o da una forza lungo Y oltre a subire una traslazione semplice, subisce anche una rotazione. In quanto la distanza fra i due centri diventa il braccio della forza F, generando così un Momento.
In conclusione è meglio avere i due centri il più vicino possibile, in modo tale da avere un braccio piccolo e di conseguenza una momento piccolo.

Il mio studio rientra nel secondo caso, ovvero i due centri non coincidono. Di conseguenza le due forze (una lungo X e l’altra lungo Y) genereranno sia una traslazione che una rotazione.
Procedo con il mio studio per ricavare la Forza sismica agente sul centro. Per ottenere questo valore calcolo il carico permanente totale G ed il carico accidentale totale Q, dove:

- G = (q_s + q_p) * A_tot = 2517,94 KN
- Q = q_a * A_tot ​= 2517,94 KN
Step successivo è il alcolo dei pesi sismici (W) attraverso un coefficiente di contemporaneità che è possibile ricavare dalle norme tecniche per le costruzioni. Questo valore è espresso in KN ed è pari ad:

- W = G + (Q *  ψ) = 3273,33 KN

Necessita un ulteriore coefficiente c, che varia in funzione della sismicità della zona. Questo è un valore che va a ridurre l’intensità della Forza sismica, poichè in natura non esiste un terremoto che abbia una accelerazione pari a quella gravitazionale, in quanto questo avrebbe degli effetti catastrofici. Essendo il mio progetto sito a Roma prendo il valore relativo all'area romana, pari ad c= 0,10

Infine la Forza sismica totale è pari ad F = W * c.

I due passaggi conclusivi (step 6 e step 7) analizzano come la forza sismica agisca sui controventi e quali sono gli effetti prodotti su questo (traslazione u_o/v_o e la rotazione φ). Lo step 6 analizza la forza sismica lungo X, mentre lo step 7 analizza lo forza sismica lungo Y.

Gli effetti prodotti saranno:

FORZA SISMICA LUNGO X

 Traslazione

 Rotazione

FORZA SISMICA LUNGO Y

 Traslazione

 Rotazione