Per la prima esercitazione dimensioniamo una trave reticolare a nostra scelta. Io ho pensato ad una travatura costituita da profili in acciaio a sezione circolare cava con  una maglia di 4x4 moduli piramidali ( dimensioni: 8x8x2 m).

1. Creare un nuovo modello

Per prima cosa ho bisogno di creare un nuovo modello per poter lavorare: quindi seleziono File> New Model> Select Template> Grid Only, facendo attenzione a scegliere le unità di misure corrette [ kN, m, C]; a questo punto posso inserire i dati che mi servono per costruire la mia griglia e il mio modulo di base:

Una volta creato il modulo iniziale, lo copio per formare la mia struttura reticolare 4x4; nel copiare faccio attenzione a non sovrapporre frame nelle direzioni x,y perché porterebbero a errori nel calcolo della struttura. Una volta ultimata, la mia struttura si presenta così:

2. Carichi e vincoli

A questo punto carichiamo la struttura attraverso una serie di forze concentrate nei nodi strutturali: forze di entità maggiore nei nodi centrali ( 100 kN), e minore in quelli perimetrali ( 50 kN); questo perché le aree di influenza dei nodi laterali sono la metà di quelli centrali, ciò significa che saranno sottoposti a forze più piccole. Per aggiungere delle forze seleziono le frame che mi interessano e poi Assign>Joint Loads> Forces, da questa finestra di dialogo posso creare nuove forze con intensità e direzione variabile: io creo forze f con direzione Z di intensità -100 o -50, perché rivolte verso il basso.

In seguito, assegno i vincoli cerniera sul piano xy ( per visualizzarlo: View> Set 2D View) selezionando i Grid Point che mi interessano e Assign>Joints>Restraints>Fast Restraints>Cerniera . Perché i nodi tra le aste vengano considerati dal programma tutte delle cerniere, dobbiamo poi effettuare il rilascio dei momenti: per questo seleziono tutti i frame e Assign>Frame>Release/Partial fixity> Release e spunto Start e End dei due Momenti flettenti che si generano nei due piani, l'uno minore l'altro maggiore. In questo modo in ogni nodo il momento sarà pari a 0. Per completare questa fase, assegno a tutti i frame una sezione circolare cava selezionando Assign>Frame>Frame Sections>Add new Property e creando  una sezione con le caratteristiche geometriche e i materiali che preferisco.

3. Analisi

Ora posso far analizzare al programma la mia struttura. Essendo una travatura reticolare con forze concentrate sui nodi mi aspetto che essa sia sottoposta a soli sforzi assiali N, senza quindi che si producano T (Shear) o M ( Moment). Per far partire l'analisi seleziono Run> Select Load Cases to Run e spunto solo le forze f; una volta salvato il file, SAP mi restituisce l'analisi del modello: da qui, posso verificare che la mia ipotesi di soli sforzi assiali sia corretta, oppure posso visualizzare la deformata della struttura.

Arrivati a questo punto, per poter lavorare con i dati fornitimi dal programma su Excel, ho bisogno delle Tabelle: quindi con CTRL+T ottengo delle tabelle su diverse caratteristiche della struttura; a me interessa la tabella Element Forces-Frames, da cui deduco il numero e il nome delle aste e le loro caratteristiche di sollecitazione.

A questo punto posso importare i dati su Excel, e procedere col dimensionamento delle sezioni.

4.Dimensionamento delle Aste Tese

Una volta che i dati relativi alle aste sono stati suddivisi tra aste tese e aste compresse, posso passare a riorganizzare quelli riguardanti le aste sottoposte a trazione e quindi procedere col dimensionamento delle sezioni.

Prima di tutto eliminiamo i doppioni che alle varie Station SAP ha calcolato, poi le riordiniamo dal più piccolo al più grande. Per progettare un'asta soggetta a trazione dobbiamo ricavare l'A_min, che ci assicura la resistenza della sezione a trazione. Una volta ottenuto, questo valore va ingegnerizzato, cioè confrontato con la tabella dei profili a sezione cava (da noi scelti per queste aste), per trovare l'area immediatamente più grande che soddisfi le nostre esigenze, di modo che A_d> A_min. La formula di progetto per le aste tese è

A_min= N/f_yd 

Dai calcoli così eseguiti, troviamo che per le 71 aste tese avremo bisogno di soli due profili diversi: 4 profilati 33,7x3,2 e 67 profilati 33,7x2,6.

5. Dimensionamento delle Aste Compresse

Le aste compresse, oltre a tener conto dell'A_min per la resistenza della sezione, sono soggette anche a instabilità, che dipende dalla luce e dalla snellezza dell'elemento che andiamo a dimensionare; per questo motivo dobbiamo tener conto dell'Inerzia e del raggio di inerzia offerti dalle sezioni; dobbiamo quindi verificare che A_min<A_d, I_min<I_d, rho_min<rho_d e che per Normativa lam<200. Eseguiti questi calcoli,dal confronto con le tabelle dei Profilati metallici ottengo 11 profili 76,1x3,6, 12 profili 60,3x2,9, 6 profili 60,3x3,6, 8 profili 48,3x2,6, 4 profili 42,4x3,2, 18 profili 42,4x2,6, 6 profili 33,7x2,9 e 22 profili 33,7x2,6.

Infine, per semplificare, raggruppo alcuni profilati insieme, sulla base delle caratteristiche geometriche ( sempre tenendo conto che per due sezioni diverse con momenti d'inerzia e aree maggiori/minori, devo dimensionarle prendendo in esame il caso più svantaggioso, cioè la sezione più sollecitata). Avrò quindi le mie 87 aste compresse così dimensionate:

• 11 profili 76,1x3,6
• 18 profili 60,3x3,6
• 8 profili 48,3x2,6
• 22 profili 42,4x3,2
• 28 profili 33,7x2,9

Creazione del modello di una travatura reticolare spaziale con SAP2000

1. Creo un nuovo file, partendo dalla creazione della griglia. Controllo anche che l’unità di misura sia corretta (KN, m, C).

2. Imposto la griglia per il mio modulo iniziale. Assegno come valore nelle direzioni x,y,z 2, ovvero il numero di colonne e righe che userò nel modulo. Decido la lunghezza dei miei frame, aste della travatura reticolare spaziale, di 2m nelle direzioni x e y e 4m nella direzione z.

3. Costruisco il modulo della struttura, una piramide con il vertice verso il basso di base 2x2 e altezza 4, successivamente copierò  il modulo fino ad ottenere la struttura complessiva facendo attenzione nella fase di copia a non copiare frame che altrimenti si sovrapporrebbero.

4. Eseguo il rilascio dei momenti nella struttura sicché essendo tutte cerniere interne il momento in esse sarà nullo. [Assign -> Frame -> Releases; spunto il momento di inizio e fine in 22 e 33].

5. Definisco la sezione delle mie aste [Define -> Section Propreties -> Frame Sections; metto “Add new property -> Pipe]. Fatto questo la assegno alla mia struttura.

6. Assegno i vincoli alla struttura. Mi sposto sul piano xy al livello z=0. Seleziono i nodi dove applicherò i vincoli e imposto la cerniera come vincolo. [Assign -> Joint -> Restraints].

7. Definisco i casi di carico [ Define -> Load patterns] levando il peso proprio e dando un nome alla mia forza (F). Successivamente mi sposto nel piano xy con z=4 e assegno questo carico su ogni nodo della struttura definendo il suo valore con F=-200 rispetto all’asse z, negativo in quanto la sua direzione è verso il basso (nei nodi esterni dimezzo il valore). [Assign -> Joint Loads -> Forces].

Analisi del Modello

8. Faccio partire l’analisi del modello, facendo attenzione ad eseguire solo l’analisi del caso di carico di cui ho bisogno (F).  8.1. Il programma mi mostra i risultati di deformazione dell’analisi. 8.2. Visualizzo il grafico di sforzo normale di cui successivamente mi ricaverò una tabella, per sicurezza controllo i grafici di taglio e momento, i quali dovranno essere uguali a zero se ho eseguito bene tutti i passaggi.

8.1. Il programma mi mostra i risultati di deformazione dell’analisi. 

8.2. Visualizzo il grafico di sforzo normale di cui successivamente mi ricaverò una tabella, per sicurezza controllo i grafici di taglio e momento, i quali dovranno essere uguali a zero se ho eseguito bene tutti i passaggi.

9. Apro le tabelle [Ctrl+T] con i risultati numerici della mia analisi impostando il caso di carico che ho analizzato. Utilizzerò la tabella “Element Forces – Frames”. Seguentemente la esporto in formato .xls per poterla aprire su Excel.

Dimensionamento Struttura

10. Dopo aver ordinato il foglio Excel individuo gli sforzi normali di trazione (+) e di compressione (-). Le lunghezze delle mie aste, essendo il modulo piramidale, sono: orizzontali= 2m, diagonali= 4,243m. Trovo gli ultimi dati che mi mancano: F_yk = 235 Mpa (scelto in base alla classe dell’acciaio), Y_m = 1,05 (coefficiente di sicurezza dell’acciaio), E= 210000 Mpa (Modulo di elasticità), ß = 1 (coefficiente dipendente dai vincoli), Ora ho tutti i dati che mi servono per compilare la tabella.

11. A questo punto devo usare la tabella in due modi diversi:

Per le aste sottoposte a una forza normale di trazione (+) userò la formula: A_min = N • 10 / F_yd .Otterrò una Area minima (A_min) di progetto che dovrò ingegnerizzare, ovvero assegnare all’asta un profilo scelto dal profilario di Area superiore all’A_min. Devo fare attenzione anche a non avere un λ > 200, in quel caso dovrò usare un profilo maggiore, in quanto mi servirà un raggio di inerzia più grande.

Per le aste sottoposte a una forza normale di compressione (-) devo usare un metodo leggermente diverso. Dovrò valutare l’A_min e l’I_min di progetto ed entrambe dovranno essere minori dell’area del profilato, questo perché a compressione c’è rischio che l’asta si curvi. Anche in questo caso λ dovrà essere minore di 200. Per trovare λ*, ρ_min e I_min userò queste formule: λ*= π​ • √(E / F_yd)  ; ρ_min= ß • l • 100 / λ* ; I_min= A_min • ρ_min²

In allegato troverete i risultati della prova della scorsa settimana. 

cari studenti e care studentesse,
questa terza lezione del seminario dal titolo "Ad Astra Per Aspera: a piccoli passi verso la progettazione strutturale" ha come sottotitolo "gli edifici non volano", affrontando il problema strutturale di edifici della modernità e della contemporaneità, che abbiano rilievo architettonico. 
Con questa lezione la variabilità delle soluzioni utilizzate vi verrà presentanta, insieme alla logica ad esse sottesa. 

Buon lavoro.

Il secondo tema affrontato dal seminario "Ad Astra Per Aspera" ha come sottotitolo "si fa presto a dire aggetti". Il tema degli aggetti viene esaminato dal punto di vista strutturale, parlando di morfologie e di loro dimensioni peculiari, ma anche di materiali, resistenze e deformabilità. 

Buon lavoro a tutti e tutte

La quinta esercitazione consiste nel calcolare la ripartizione di una forza orizzontale, come il sisma o il vento, sui diversi telai che compongono una struttura, attraverso il metodo delle rigidezze. 

Prendiamo in considerazione un generico edificio, il cui piano tipo è costituito da telai shear-type, un particolare tipo di telaio in c.a. che, oltre a trasmettere i carichi verticali a terra, è capace di svolgere il ruolo di controvento.

Step 1: calcolo delle rigidezze traslanti dei controventi dell'edificio

In pianta possiamo rappresentare i controventi come molle, ovvero vincoli cedevoli elastici, che esercitano una forza reattiva, ma subiscono comunque una deformazione.

Nella prima parte del foglio Excel ricaviamo la rigidezza traslante di ogni telaio, inserendo i dati relativi ai pilastri che compongono i telai stessi. Essendo i pilastri di sezione rettangolare, in particolare 30x50 cm avranno momenti di inerzia diversi in base al loro orientamento. I due valori ottenuti sono 112500,00 cm⁴ e 312500,00 cm⁴.

Step 2

Nello step 2 del foglio Excel sono riportate le rigidezze di ogni telaio, e la loro distanza relativa dall’origine.

Step 3 : calcolo del centro di massa

Nello step 3 del foglio Excel possiamo calcolare il centro di massa dell’impalcato in considerazione.
Per questo suddividiamo l’impalcato in due figure geometriche semplici, due rettangoli rispettivamente di area, A₁ e A₂. Infatti dati l’area e il baricentro di ognuno dei due rettangoli possiamo ricavare le coordinate del centro di massa, che risulterà sulla retta congiungente i due diversi centri di massa dei rettangoli.
Le coordinate del centro di massa saranno:

X_g = A₁*X_g1 + +A₂*X_g2 / A_tot  

Y_g = A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 / A_tot

Il centro di massa avrà coordinate G (19,69; 10,03).

Step 4 : calcolo del centro delle rigidezze

Possiamo ora calcolare a questo punto il centro delle rigidezze con il foglio Excel. Le cui coordinate risulteranno:

X_c= K_v1*d_v1 + K_v2*d_v2 + ... + K_vn*d_vn/ K_vtot 

Y_c= K_o1*d_o1 + K_o2*d_o2 + ...... + K_on*d_on/ K_otot 

Il centro delle rigidezze avrà coordinate C (19,34; 8,25).

Il centro di massa e il centro delle rigidezze, non sono molto distanti, ma non coincidendo generano un braccio rispetto alla forza applicata, e di conseguenza un momento.

Infatti la forza sismica F, sia in direzione X che in direzione Y, viene applicata nel centro di massa G, e avendo braccio rispetto al centro delle rigidezze C, genererà una rotazione oltre che una traslazione.

Step 5 : analisi dei carichi sismici

Nello step 5 del foglio Excel possiamo, attraverso l’analisi dei carichi sismici, ricavare la forza complessiva che agisce sul centro di massa. Inserendo infatti i valori di qs, qp e qa trovati nella prima esercitazione, per un solaio in laterocemento, e il coefficiente di contemporaneità ψ = 0,3, dato dalla destinazione d’uso dell’edificio, e il coefficiente di intensità sismica c = 0,10, dato dall’area geografica in cui si trova l’edificio, otteniamo il valore della forza sismica orizzontale (F = 280,14 kN).

La forza sismica F verrà applicata sia in X che in Y.

Step 6,7 : ripartizione forza sismica lungo X e lungo Y

In questi ultimi step la forza sismica viene ripartita sui controventi, e possiamo quantificare la cinematica dell’impalcato: la traslazione orizzonte u, la traslazione verticale v, e la rotazione φ.

u = = F/k_{o_tot} 

v = F/k_{v_tot}

φ = W/kφ 

Possiamo schematizzare gli effetti della forza sismica lungo X:

Possiamo schematizzare gli effetti della forza sismica lungo Y:

In questa quinta esercitazione dobbiamo calcolare la spartizione di una forza orizzontale (forza sismica o del vento) sui diversi telai che compongono la struttura che ho preso in esame, applicando il metodo delle rigidezze.

Come modello di studio prendo in esame un generico edificio con struttura in telai shear-type in cemento armato, che riesce a svolgere il ruolo di controvento oltre che trasmettere i carichi verticali a terra.

PRIMO STEP

Per prima cosa prendiamo in esame la pianta di carpenteria dell'edificio e andiamo ad individuare i telai orizzontali e verticali. Nel mio caso individuo un totale di 14 telai, divisi in:
-7 telai verticali
-7 telai orizzontali

I pilastri hanno sezione 30 cm x 50 cm. Divido i telai in:

v₁ = pilastri 1,8,15                                        o₁ = pilastri 1,2,3,4,5,6,7

v₂ = pilastri 2,9,16                                        o₂ = pilastri 8,9,10,11,12,13,14

v₃ = pilastri 3,10,17                                      o₃ = pilastri 15,16,17,18,19,20,21

v₄ = pilastri 4,11,18                                      o4 = pilastri 22,23,24

v5 = pilastri 5,12,19,22,25,28,31                    o5 = pilastri 25,26,27

v₆ = pilastri 6,13,20,23,26,29,32                    o₆ = pilastri 28,29,30

v₇ = pilastri 7,14,21,24,27,30,33                    o7 = pilastri 31,32,33

Indico nella struttura i controventi, rappresentandoli in pianta come delle molle. Sono un particolare tipo di vincolo che esercitano una forza reattiva ma allo stesso tempo subiscono una deformazione, tra la forza reattiva e la deformazione vi è una diretta proporzione. 

In questo primo step mi devo ricavarela rigidezza traslante di ogni telaio (k = 12 EI/ h³ + 12 EI/ h³). Bisogna stare attenti al diverso orientamento dei pilastri poichè questi offrono un momento d’inerzia diverso in base al loro orientamento (bh^3/12).  

I due valori possibili sono 112500.00 cm⁴ e 312500.00 cm⁴.

SECONDO STEP

Nella seconda tabella sono riportate le rigidezza dei controventi analizzati precedentementi, e la distanza di ciascuno di essi dall'origine.

TERZO E QUARTO STEP

In questo passo dobbiamo calcolare il centro di massa dell'impalcato. Per semplificare questo calcolo, divido la forma della mia pianta in figure geometricamente semplici ( la L dell'edificio viene divisa in due rettangoli). Misuro l’area di questi e la distanza dei loro centri d’area con l’origine fissata precedentemente. 
Con questi dati applico la formula per ottenere le due coordinate del centro di massa dell'impalcato:

X_g= A₁*X_g1 + A₂*X_g2 + A₃*X_g3 / A_tot

Y_g= A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 + A₃*Y_g3 / A_tot

Il mio centro di massa G ha come cordinate ( XG =18,48; Y_G= 10,68). A questo punto vado a sostituire nella formula del centro di massa, la rigidezza dei telai al posto delle aree e la loro distanza dall'origine degli assi, al posto di x_G1, x_G2, y_G1 e y_G2. E' possibile ora trovare le coordinate del centro delle rigidezze C dell'impalcato.

Il centro delle rigidezze ha come coordinate Xc= 18.51 m; Yc= 10.95 m. In questo caso il centro di massa e il centro delle rigidezze si trovano molto vicini. Ciò implica che l’impalcato colpito da una forza lungo X o da una forza lungo Y subirà semplicemente una traslazione, senza subire una rotazione. Invece se i due punti fossero capitati molto più distanti, questa distanza sarebbe servita come "braccio" del momento, sia in caso di una forza orizzontale, che nel caso di una forza verticale.

QUINTO STEP

Nella quinta tabella utilizziamo l'analisi dei carichi sismici per ricavare il valore della forza sismica complessiva agente sul centro di massa. A questo punto vado a riprendere i valori di q_s, q_p e q_a che ho ottenuto nella prima esercitazione, mentre la destinazione ad uso residenzia dell'edificio mi determina un coefficiente di contemporaneità di ψ = 0,3.

Il coefficiente di intensità sismica c viene determinato dall'area geografica dell'impalcato ed è pari a  c = 0,10.

F = 130, 32 KN è il valore della forza sismica da applicare in entrambe le direzioni (x;y)

SESTO E SETTIMO STEP

Negli ultimi due step le tabelle determinano la ripartizione della forza sismica sui vari telai e gli effetti che va a provocare sul telaio.

Nello specifico la sesta tabella prende in esame la traslazione e la rotazione scaturite da Fx, mentre la successiva analizza gli stessi effetti legati a Fy

Ripartizione forza sismica lungo X

Ripartizione forza sismica lungo Y

Gli effetti dell'azione sismica legati a Fx sono i seguenti:

Gli effetti dell'azione sismica legati a Fy sono i seguenti:

In diversi contesti meccanici usiamo il concetto di centro: centro di area, centro di massa, baricentro, centro di un sistema di forze, centro delle rigidezze di un sistema di controventi... la parola in comune e' CENTRO. E non e' un caso, dato che sottende un concetto in comune, ossia il centro di un sistema di vettori paralleli. 

Se si hanno incertezze in merito, e' bene chiarirsi le idee: cos'e' un centro di vettori paralleli? E come mai i concetti su citati ne condividono definizione e formulazione?

Nella dispensa in allego un piccolo aiuto: per chi debba recuperare, per chi voglia perfezionare, per chi intende imparare. 

Buono studio :-)

la Prof.
PS: e suggerite di passare da me a chiunque vi voglia convincere che la cultura non ha significato.