SdC(b) (LM PA)

cari studenti e care studentesse, sia per l'imminente esame, sia per il futuro vi allego una dispensa in due parti, redatte da Maria Luisa Regalo nel progetto e-learning finanziato dall'Ateneo, interamente dedicata all'analisi di strutture isostatiche semplici ancorche' di interesse progettuale. E' fuorviante pensare di affrontare la progettazione di edifici complessi quali l'Architettura li concepisce senza saper gestire dei semplici solai, delle mensole, degli aggetti o dei portali. 

Insieme a Maria Luisa abbiamo selezionato un numero significativo di questi esempi che sono contenuti nelle 100 pagine che seguono nei due allegati. A chi servono? a chi sente di avere problemi in merito, a chi e' obbligato a sostenere un recupero di crediti acquisiti solo formalmente, a chiunque abbia voglia di imparare. 

Al lavoro:  e non credete a chi vi dice che la cultura e' una sovrastruttura e che non serve a nulla. Non fatevi mai convincere di questo. 

La prof.

INTRODUZIONE:

In questa quinta esercitazione ci occuperemo di come si distribuisce una forza orizzontale, sia essa di natura sismica e atmosferica (venti), sui diversi telai che compongono la struttura intelaiata piana che, in questo caso, sarà ad un solo piano.

La collaborazione tra travi e pilastri permette, non solo di portare i carichi verticali alle fondazioni, ma anche di sopportare le azioni orizzontali rendendo pilastri-travi dei controventi.

Adotteremo in questo caso una struttura in cemento armato, con una particolare classe tipologica di controventi, ovvero il telaio Shear-type. Questo telaio presenta tutti nodi ad incastro e la trave che viene ipotizzata infinitamente rigida a flessione, rispetto ai pilastri, cui viene attribuita rigidezza k.

NOTA: Ricordo che, affinché un sistema di controventamento sia efficace, gli impalcati vanno considerati corpi rigidi sul proprio piano (al di fuori del quale, invece, si inflettono), per cui i controventi reagiscono alla forza orizzontale, di qualsivoglia natura, che tende a spostarli, attraverso la loro elasticità; il che implica che un controvento, nel piano dell’impalcato, sia un appoggio cedevole elasticamente: hanno comportamento elastico.

Nella figura precedente è rappresentato un telaio shear-type a due ritti, dove la forza F sposta il traverso, trascinando con sé i due pilastri, che si comportano come una trave doppiamente incastrata. Il legame tra forza F e spostamento δ è esplicitato nella seguente formula F= [(12EI₁/h³) + (12EI₂/h³)] δ (che vale per un telaio shear-type a due piedritti), dalla quale si ricava che la rigidezza traslante k di ogni pilastro vale 12EI/h³, sapendo che F=kδ.

Ne consegue che, in un caso generico, la rigidezza traslante di un telaio Shear-Type composto da n pilastri è pari a:

Con questa esercitazione, quindi, saremo in grado di determinare la reazione elastica di ogni controvento che, secondo il principio di azione-reazione sarà uguale ed opposta alla forza orizzontale che ogni singolo controvento è chiamato a ricevere attraverso il solaio.

DISEGNO:

Disegno la pianta strutturale dell’edificio e numero i telai presenti:

Telai // all’asse y                                                                          

Telaio 1v  pilastri 1-5;  Telaio 2v pilastri 2-6-9; Telaio 3v pilastri 3-7-10;  Telaio 4v pilastri 4-8 

Telai // all’asse x

Telaio 1o pilastri 1-2-3-4 ; Telaio 2o pilastri 5-6-7-8;  Telaio 3o pilastri 9-10      

Trattandosi di vincoli cedevoli elasticamente, i controventi vengono assimilati a molle, dotate di una certa rigidezza.

DIMENSIONAMENTO:

Dopo aver aperto il foglio di calcolo excel, inserisco i dati a mia disposizione:

• E = modulo elastico di Young (espressi in Mpa o N/mm²); per cls con classe di resistenza C20/25
• H = altezza dei pilastri (nel mio caso valgono m 3.50)
• I = il momento di inerzia di ciascuno pilastro*¹ che collabora alla formazione di ogni telaio

*¹ Il momento di Inerzia viene calcolato lungo le due direzioni principali.

• Momento di inerzia dei pilastri:

            Pilastro m 0.5*0.3

In questa esercitazione, con l’ausilio del “metodo delle rigidezze”, ho studiato come si ripartisce una forza orizzontale , come quella che genera un sisma od il carico del vento, sui diversi telai che compongono una struttura. Nel caso preso in esame la struttura è interamente realizzata in cemento armato e composta da telai piani. Tali elementi oltre a trasmettere i carichi verticali alle fondazioni, funzionano da controventi perché sono in grado di sopportare i carichi orizzontali.

Come prima cosa ho individuato i telai che costituiscono la struttura da me progettata (5.1); ovvero 16 telai di cui 8 verticali ed 8 orizzontali,

5.1

In particolare:

-Telaio 1 v  composto da pilastri: 1-4-7-10-13-16-24-32;

- Telaio 2v  composto da pilastri: 2-5-8-11-14-17-25-33;

- Telaio 3v  composto da pilastri: 3-6-9-12-15-18-26-34;

- Telaio 4v  composto da pilastri: 19-27-35;

- Telaio 5v  composto da pilastri: 20-28-36;

- Telaio 6v  composto da pilastri: 21-29-37;

- Telaio 7v  composto da pilastri: 22-30-38;

- Telaio 8v  composto da pilastri: 23-31-39;

- Telaio 1o  composto da pilastri: 1-2-3;

- Telaio 2o  composto da pilastri: 4-5-6;

- Telaio 3o  composto da pilastri: 7-8-9;

- Telaio 4o  composto da pilastri: 10-11-12;

- Telaio 5o  composto da pilastri: 13-14-15;

- Telaio 6o  composto da pilastri: 16-17-18-19-20-21-22-23;

- Telaio 7o  composto da pilastri: 24-25-26-27-28-29-30-31;

- Telaio 8o  composto da pilastri: 32-33-34-35-36-37-38-39.

A questo punto  ho potuto schematizzare i telai con delle molle nel piano, in quanto rappresentano dei vincoli cedevoli elasticamente.(5.2)

5.2

Per calcolare la rigidezza traslante di tutti i controventi, ho dovuto ricavare per  prima cosa il momento d’inerzia di ogni pilastro, stando attento al loro orientamento. Nel ,io caso essendo tutti quadrati hanno tutti uno stesso momento di inerzia  (I=bh^3/12) pari a 213333 cm⁴. Ipotizzando che i talai fossero tutti di tipo shear type ho potuto facilmente ricavare la loro rigidezza. Nel caso fossero telai composti da solo due pilastri la forza aggente su di essi sarebe stata F= (12 EI₁/h³+12 EI₂/h³) δ  la rigidezza sarà pari a

 k=12 EI₁/h³+12 EI₂/h³.

Nel caso esaminato i telai sono composti da più pilastri la rigidezza sarà pari a k=12E/h³(I₁+I₂+…+I_n).

con l’aiuto di un foglio di calcolo excel ho potuto ricavare tutte le rigidezze traslanti.(5.3)

5.3

In una seconda tabella ho potuto riassumere le rigidezze dei singoli telai ed la loro distanza dall’origine degli assi di riferimento. (5.4)

5.4

A questo punto ho ricavato il centro della massa dell’impalcato (G) e poiché è costituito da una forma complessa l’ho sudiviso in modo tale da ottenere forme elementari.(5.5)

5.5

In questo modo ho ottenuto un impalcato composto da due rettangoli di cui ho facilmento individuato il centro di massa G₁ e G₂ e quindi ho ricavato le coordinate del centro di massa dell’intero impalcato:

Gx=A₁^.Gx₁+ A₂^.Gx₂/ A_tot ;      Gy=A₁^.Gy₁+ A₂^.Gy₂/ A_tot .    

In tal modo ho trovato il centro  dell’area dell’impalcato, ma essendo questo di eguale densità in tutti i punti corrisponde al centro di massa dell’impalcato.(5.6)

5.6

Sommando i prodotti delle rigidezze dei telai per le loro distanze dall’origine degli assi di riferimento e dividendo il tutto per la rigidezza totale ho potuto trovare le coordinate del centro di rigidezza (C).(5.7)(5.8)

5.7

5.8

Con questi dati posso sapere se l’impalcato in caso di una forza che agisce sul centro di massa subisce o meno una rotazione. Non si ha rotazione soltanto quando il centro di massa corrisponde con il centro delle rigidezze.

Calcolato il centro di rigidezza ho potuto ricavare la distanza di ogni telaio da questo per potermi ricavare la rigidezza torsionale dell’impalcato(K_φ) sommando i prodotti delle rigidezze dei controventi per il quadrato della lor distanza dal punto di riferimento.(5.9)

5.9

A questo punto ho calcolato i carichi sismici per ricavarmi la forza sismica agente sul centro di massa. Per fare ciò ho ricavato il carico totale permanente G= (q_s+q_p)A_tot ed il tutale dei carichi accidentali Q= q_a^.A_tot..

Seguendo le norme tecniche per le costruzioni (NTC2008) calcolo la combinazione sismica W= G+ψ₂^.Q : in cui ψ₂ è il coefficiente di contemporaneità e vale 0,3 per gli edifici adibiti ad ufficio.

La forza del sisma F=W^.c  quindi un peso per un’ accelerazione.  C è un coefficiente riduttivo che indica l’accelerazione che apporta il sisma che è generalmente inferiore a quella di gravità e dipende dalle zone in cui si costruisce.(5.10)

5.10

Con i dati ricavati fin’ora posso determinare la ripartizione della forza sismica sui controventi e le reazioni cinematiche che ne conseguono. Per fare ciò considero sia che la forza agisca in direzione orizzontale lungo x e sia in direzione verticale y generando in entrambi i casi oltre che una rotazione una traslazione.

Per ricavarmi la traslazione orizzontale e la rotazione ad essa correlata come prima cosa calcolo il momento torcente agente in questa direzione (M) facendo il prodotto tra la forza sismica e la sua distanza dal centro delle rigidezze. Dopo di che posso ricavarmi lo spostamento orizzontale (u) dato dal rapporto tra la forza del sisma e la rigidezza totale in questa direzione. Con il momento torcente posso ricavarmi la rotazione suscitata da tale forza (φ) facendo il rapporto tra il momento torcente e la rigidezza torsionale.

Con i dati ricavati possiamo calcolarci la reazione elastica dei controventi orizzontali ad una forza orizzontale (F_o-n)= k _o-n(u+ φ^.dd_o-n);mentre la reazione elastica dei controventi verticali a tale sforzo è

(F_v-n)= k_v-n^. φ^.dd_o-n. (5.11)(5.12)

5.11

5.12

Considerando una forza agente lungo l’asse verticale oltre a calcolare il momento torcente e la rotazione calcolo la traslazione verticale (v) data dal rapporto tra la forza sismica e la rigidezza totale dei controventi verticali. Invece la reazione elastica dei controventi orizzontali sottoposti a sforzo verticale è (F_o-n)= k_o-n^. φ^.dd_o-n. Mentre quella di quelli verticali è (F_v-n)= k _v-n(u+ φ^.dd_v-n). (5.13)(5.14)

5.13

5.14

La quinta esercitazione consiste nel calcolo della ripartizione di una forza orizzontale agente su una struttura (constituita da telai Shear-Type) in cemento armato utilizzando il metodo delle rigidezze.

La struttura presa in esame utilizza dei pilastri (0.4 cm x 0.3 cm) cosi composta:

• telaio 1v    pilastri 1 e 5
• telaio 2v    pilastri 2 e 6
• telaio 3v    pilastri 3 - 7 -9
• telaio 4v    pilastri 4 - 8 - 10
• telaio 1o    pilastri 1 - 2 - 3 - 4 
• telaio 2o    pilastri 5 - 6 - 7 - 8
• telaio 3o    pilastri 9 - 10

Rappresentiamo i controventi con delle molle dal momento che sono dei vincoli cedevoli elasticamente, rappresentano cioè le forze che i telai oppongono quando l'impalcato viene spostato. 

STEP 1 

Per calcolare le rigidezze dei controventi, iniziamo con l’inserire i dati relativi ai pilastri e i loro momenti d’inerzia: quello minore pari a 90000cm⁴ e momento di inerzia maggiore 160000 cm⁴. 

Sapendo che la rigidezza di ogni pilastro del telaio Shear-Type è data dalla formula: K= 12EI / h^3.

Nel caso in cui un telaio è costituito da più pilastri, la rigidezza k è definita: K= 12E / h³(I₁+I₂+...+I_n).

STEP 2

In questa tabella vengono inseriti i valori delle rigidezze di ogni controvento e le relative distanze dall’origine del sistema.

STEP 3

a questo punto possiamo calcolare il centro di massa (che nel caso di un impalcato con densità di massa uniforme, coincide con il centro di area). 

Per calcolare il centro di massa occorre suddividere l’impalcato in due figure geometriche elementari, calcolare le aree e le distanze del loro centro geometrico. 

Il centro di massa sarà quel punto in cui verrà applicata la forza sismica. 

(X_g= A₁*X_g1 + +A₂*X_g2 / A_{tot ;} Y_g= A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 / A_tot).

STEP 4

il foglio excel calcola il totale delle rigidezze sia orizzontale che verticale, e ricava le coordinate del centro delle rigidezze: 

X_c= K_v1*d_v1 + K_v2*d_v2 + ... + K_vn*d_vn/ K_vtot 

Y_c= K_o1*d_o1 + K_o2*d_o2 + ...... + K_on*d_on/ K_otot

il centro di massa ed il centro delle rigidezze non coincidono. A questo punto è opportuno fare delle cosiderazioni:

1. la forza sismica viene applicata nel centro di massa.
2. se il centro di massa si trova sullo stesso asse del centro delle rigidezze, l’impalcato traslerebbe soltanto (verticalmente o orizzontalmente)
3. poiché il centro di massa si trova su un asse differente da quello del centro delle rigidezze, l’impalcato oltre a traslare subisce anche una rotazione. Questo perché la distanza tra i due centri diventa il braccio della forza F, e si  genera un momento.

STEP 5

Passiamo ora ad analizzare i carichi che agiscono sull’impalcato

• qs (carichi strutturali) 
• qp (carichi permanenti)
• qa (carichi accidentali)

Sapendo che G= (qs + qp) x Atot

Possiamo calcolare il peso sismico W utilizzando il coefficiente di  contemporaneità (ψ)      W= G +  ψ2j x Q

Ora è possibile calcolare la forza agente che verrà applicata al centro di massa:

F= W x c      (c= coefficiente di intensità sismica)

STEP 6 e 7

Si nota come la forza sismica si ripartisce sui controvento sia in direzione x che in direzione y.

Successivamente quantifica la cinematica dell’impalcato:

traslazione orizzontale    u = F/k_{o_tot} 

traslazione verticale      v = F/k_{v_tot}

rotazione      φ = W/kφ .

L'esercitazione consiste nel calcolare su un impalcato la ripartizione di forze orizzontali (che simulano le azioni del vento o del sisma). Per farlo utilizziamo il metodo delle rigidezze. 

L'impalcato in questione è composto da 7 telai shear-type in cemento armato: 4 verticali (1-5, 2-6, 3-7-9, 4-8-10) e 3 orizzontali (1-2-3-4, 5-6-7-8, 9-10).

Rappresentiamo i controventi con delle molle dal momento che sono dei vincoli cedevoli elasticamente, rappresentano cioè le forze che i telai oppongono quando l'impalcato viene spostato. 

Per calcolare la rigidezza di ogni telaio usiamo il foglio Excel dove inseriamo i dati relativi ai pilastri che lo costituiscono. Si tratta in questo caso di pilastri di sezione 30x40cm con momento d'inerzia minore pari a 90000cm⁴ e momento di inerzia maggiore 160000 cm⁴.

La rigidezza dei pilastri del telaio shear type è data dalla formula: K=12EI/h³. Nei casi in cui il telaio è costituito da più pilastri K=12E/h³(I₁+I₂+...+I_n).

In questa seconda tabella sono riportate le rigidezze di ogni controvento e le rispettive distanze dal punto O.

A questo punto calcoliamo il centro di massa dell'impalcato, il punto in cui verrà applicata la forza sismica; per farlo abbiamo bisogno di ricondurre la pianta dell'impalcato a figure semplici, in questo caso due rettangoli. Dati l'area e il baricentro di ognuno dei due possiamo ricavare le coordinate del centro di massa dell'intera figura  (X_g= A₁*X_g1 + +A₂*X_g2 / A_{tot ;} Y_g= A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 / A_tot).

Possiamo calcolare a questo punto il centro delle rigidezze con il foglio excel. Le cordinate di C sono X_c= K_v1*d_v1 + K_v2*d_v2 + ... + K_vn*d_vn/ K_vtot ; Y_c= K_o1*d_o1 + K_o2*d_o2 + ...... + K_on*d_on/ K_otot .

Il centro di massa ed il centro di rigidezza non coincidono. Poichè la forza del sisma viene applicata nel centro di massa, se questo fosse sullo stesso asse del centro delle rigidezze l'impalcato traslerebbe soltanto; in questo caso subirà anche una rotazione in quanto la distanza fra i due centri diventa il braccio della forza F.

Per calcolare la forza sismica inseriamo nel file excel i dati relativi ai carichi del solaio (G,Q) ed i coefficienti di contemporaneità (ψ) e d'intensità sismica (c) che varia a seconda della zona.

F = W * c , dove W = G + (Q *  ψ) .

L'ultimo step definisce come la forza si ripartisce sui controventi prima in direzione x poi in direzione y e quantifica la cinematica dell'impalcato: traslazione orizzontale, traslazione verticale e rotazione, rispettivamente u = F/k_{o_tot} ,    v = F/k_{v_tot} e  φ = W/kφ .

La quinta esercitazione consiste nel calcolare la ripartizione di una forza orizzontale, come

può essere il sisma o il vento, sui diversi telai che compongono una struttura. 

Prendiamo in considerazione un generico edificio, il cui piano tipo è costituito da telai

shear-type, un particolare tipo di telaio in c.a. che, oltre a trasmettere i carichi verticali a

terra, è capace di svolgere il ruolo di controvento.

STEP 1

La pianta strutturale dell'edificio preso in considerazione è composta da 7 telai, di cui 4

verticali e 3 orizzontali.

I pilastri hanno sezione 25 cm x 50 cm.

Possiamo dividere i telai in questo modo:

v₁ = pilastri 1 e 2                                        o₁ = pilastri 1, 3, 5 e 8

v₂ = pilastri 3 e 4                                        o₂ = pilastri 2, 4, 6 e 9

v₃ = pilastri 5, 6 e 7                                    o₃ = pilastri 7 e 10

v₄ = pilastri 8, 9 e 10

Posso rappresentare in pianta i controventi come molle, ovvero come vincoli elastici. Questi

sono un particolare tipo di vincoli che esercitano una forza reattiva ma allo stesso tempo

subiscono una deformazione. Forza reattiva e deformazione sono direttamente proporzionali. 

Nella prima parte del foglio Excel mi ricavo la rigidezza traslante di ogni telaio data dalla

formula k = 12 EI/ h³ + 12 EI/ h³.

Bisogna però fare attenzione al momento d'inerzia di ogni pilastro, diverso a seconda del loro

orientamento.

I due valori possibili sono 65.104 cm⁴ e 260.416 cm⁴.

STEP 2

Nella seconda tabella sono riportate le rigidezza di ogni telaio, e la distanza di ciascuno di

essi dall'origine.

STEP 3 e STEP 4

La terza e quarta tabella servono a trovare il centro di massa G e il centro delle rigidezze C.

Per calcolare G suddivido l'impalcato in due figure elementari

1) il rettangolo verde, di area pari a 147,00 mq

2) il rettangolo arancione, di area pari a 73,50 mq

Dopo aver individuato il centro di massa dei due rettangoli, trovo G dell'impalcato con la

seguente formula:

x_G = A₁ x_G1 + A₂ x_G2  / A_tot

y_G = A₁ y_G1 + A₂ y_G2  / A_tot

Il centro di massa G dell'impalcato ha coordinate (12,83; 6,42).

Sostituendo nella formula del centro di massa la rigidezza dei telai al posto dell'area e la loro

distanza da O al posto di x_G1, x_G2, y_G1 e y_G2 è possibile trovare il centro delle rigidezze C

dell'impalcato.

Il centro delle rigidezze C dell'impalcato ha coordinate (14,95; 3,75).

Siccome la forza sismica F, sia in direzione x che in direzione y, viene applicata nel centro di

massa, se G e C coincidessero l'impalcato sarebbe soggetto solo a traslazione verticale e

orizzontale. In questo caso però G e C non coincidono e la loro distanza crea un braccio che

genera un Momento. Quindi la forza sismica, oltre alla traslazione, provocherà anche una

rotazione.

STEP 5

Nella quinta tabella attraverso l'analisi dei carichi sismici siamo in grado di ricavare la forza

sismica complessiva che agisce sul centro di massa. Ho ripreso i valori di q_s, q_p e q_a trovati

nella prima esercitazione, mentre il valore del coefficiente di contemporaneità ψ = 0,3 è dato

dalla destinazione d'uso ( residenziale) dell'edificio. Il valore del coefficiente di intensità

sismica c è invece dato dall'area geografica dell'edificio e in questo caso c = 0,10. 

La forza sismica F = 130, 32 KN e deve essere applicata sia in direzione x che in

direzione y. 

STEP 6 e STEP 7

Le ultime due tabelle servono a capire la ripartizione della forza sismica sui vari telai e quali

effetti essa produca sull'impalcato. Nella tabella 6 si analizza la traslazione e la rotazione

dovute a Fx, mentre nella tabella 7 quelle dovute a Fy.

Schematicamente possiamo dire che gli effetti dovuti a Fx sono:

Mentre quelli provocati da Fy sono:

Nella quinta esercitazione si studia attraverso il metodo delle rigidezze come i diversi telai che costituiscono la struttura si ripartiscono una forza orizzontale. In questo caso una forza sismica, ma lo stesso procedimento vale anche per il vento. La tecnologia dell'impalcato utilizzata è il cemento armato ed è costituito da telai di tipo Shear-Type.

Per questa esercitazione ho preso in esame un piano tipo semplificazo del progetto per il Laboratorio di progettazione 1M.

STEP 1_ Prima di tutto disegno la pianta di carpenteria dell'edificio che voglio andare a studiare.

In tutto ho 16 telai di cui: 6 telai verticali e 10 telai orizzontali. i pilastri impiegati nella struttura sono 30x40.

I telai che compongono la struttura sono:

1o costituito da pilastri: 1-2-3-4-5-6                               1v costituito da pilastri: 1-7-13-17-21-25

2o costituito da pilastri: 7-8-9-10-11-12                         2v costituito da pilastri: 2-8-14-18-22-26

3o costituito da pilastri: 13-14                                       3v costituito da pilastri: 3-9

4o costituito da pilastri: 17-18                                       4v costituito da pilastri: 4-10

5o costituito da pilastri: 21-22                                       5v costituito da pilastri: 3-11-15-19-23-27

6o costituito da pilastri: 25-26                                       6v costituito da pilastri: 6-12-16-20-24-28

7o costituito da pilastri: 15-16

8o costituito da pilastri: 19-20

9o costituito da pilastri: 23-24

10o costituito da pilastri: 27-28

Sostituisco poi i telai con delle molle che rappresentano i controventi. Queste molle svolgono per l'impalcato la funzione di vincolo cedevole elasticaemente.

Devo modificare il foglio Excel per aumentare il numero dei controventi relativi al mio progetto. Inoltre mi studio il momento d'inerzia lungo i due assi X ed Y di ogni pilastro (I = b*h³/12). I pilastri avranno momento d'inerzia diverso in base al loro orientamento in pianta. I due valori saranno I = 160000 cm⁴        I = 90000 cm⁴

STEP 2_ In questa tabella vengono inserite le distanze di tutti i vincoli cedevoli dall'origine. Inoltre vengono calcolate le rigidezze dei controventi.

STEP 3_ Ora ci calcoliamo il centro di massa dell'impalcato. Ci dividiamo la pianta di carpenteria in figure geometriche semplici (in questo caso rettangoli). Nella mia pianta riesco a ricrearmi 3 rettangoli di dimensioni diverse. MI calcolo l'area di questi rettangoli e la distanza dei loro centri d'area dall'origine. In questo caso il loro centro d'area corrisponde al centro delle masse. Attraverso la cartella Excel riesco a ricavare le due coordinate del centro di massa dell'impalcato.

A1 = 56 m²           A2 = 224m²        A3 = 120m²

Ora non mi resta che applicare una semplice formula per ottenere le due coordinate del centro di massa

X_g= A₁*X_g1 + A₂*X_g2 + A₃*X_g3 / A_tot

Y_g= A₁*Y_g1 + A₂*Y_g2 + A₃*Y_g3 / A_tot

STEP 4_ mi calcolo la rigidezza totale dei controventi e le coordinate del centro delle rigidezze. Le coordinate le trovo sempre attraverso la tabella Excel.

Una volta trovato il centro delle rigidezze con le sue coordinate lo porto sulla pinata di carpenteria e vedo che non coincide con il centro delle masse. In questo caso l'impalcato colpito sia da una forza lungo x che una forza lungo y, oltre a subire una traslazione semplice, subisce anche una rotazione. Infatti la distanza fra i due centri diventa il braccio della forza F e si genera momento.

STEP 5_ Definisco il carico della struttura e analizzo la forza sismica dove F = W*c

Adesso devo calcolarmi G Q W per poter fare l'analisi dei carichi sismici

G = (q_s + q_p) x A_tot 

Q = q_a x A_tot ​

W = G + (Q x  ψ)

Il coeff. c corrisponde alla pericolosità sismica dell'area, serve a ridurre l'accelerazione del di gravità. per Roma c = 0,10

STEP 6 e 7_Nelle ultime due tabelle studio come la forza sismica agisce sui controventi. Analizziamo anche gli effetti che la forza provoca su questi ( traslazione verticale e orizzonatele e rotazione)

RIPARTIZIONE DELLE FORZE SISMICHE

Obbiettivo: calcolo della forza orizzontale ripartita su una struttura costituita da telai

Pilastri:  0.30cm x 0.45cm    l(altezza pilastri) = 3.50m

Telaio Av = pilastro 1-5                                   Telaio Ao = pilastro 1-2-3-4

Telaio Av = pilastro 2-6-9                                Telaio Bo = pilastro 5-6-7-8

Telaio Cv = pilastro 3-7-10                              Telaio C0 = pilastro 9-10-11

Telaio Dv = pilastro 4-8-11

Possiamo individuare i telai rappresentandoli come molle (vincoli cedevoli elasticamente)

Calcolo della rigidezza traslante dei telai SHARE- TYPE

• Controventi verticali

k=  12EIx/ l^3 (per ciascun pilastro)       con Ix = bh^3/12 = 0.45 x (0.3)^3/12= 101250 cm4

K(telaio 1-5) = 2 x 12EIx/ l^3= 11902.4 KN/m

K(telaio 2-6-9)= k(telaio 3-7-10)= k(telaio 4-8-11) = 3 x 12EIx/ l^3= 17853 KN/m

• Controventi orizzontali

k=  12EIy/ l^3 (per ciascun pilastro)       con Iy = hb^3/12 = 0.45 x (0.3)^3/12= 227812.5cm4

K(telaio 1-2-3-4)= k(telaio 5-6-7-8) = 4 x 12EIy/ l^3= 53559.2 KN/m

K(telaio 9-10)= 2 x 12EIy/ l^3= 40169.4 KN/m

Calcolo delle distanze dei controventi dal punto O

Si fissa l’origine di un sistema di riferimento e si calcolano le distanze dei controventi ddo, ddv(orizzontali e verticali) da O

Calcolo del centro di massa dell’impalcato

Obbiettivo: calcolo del punto dell’impalcato in cui sarà concentrata la forza sismica

Si divide l’impalcato in figure geometriche semplici di cui calcoliamo l’area e le coordinate del centro di massa (ripetto a O).

[il centro di massa coincide con il centro d’area quando l’impalcato ha massa uniforme]

A1= 36m2    CM= ( 3m, 3m);      A2= 80m2    CM= (13.5m, 6m);     

Il foglio di calcolo permette di ottenere le coordinate del centro di massa dell’intero impalcato

CMtot=  [(x1*A1+ x2*A2) / Atot, (y1*A1+ y2*A2 +)/Atot]

Calcolo del centro delle rigidezze dell’impalcato

Obbiettivo: calcolo del braccio della forza sismica che produce una rotazione rigida dell’impalcato.

Il foglio Excel calcola    Kvtot    e    Kotot

CR= [ (kv2* ddv2 + Kvn* ddvn)/ Kvtot , ko2* ddo2 + Kon* ddon)/ Kotot )

Si calcolano anche le distanze d dei controventi (orizzontali e verticali) da CR

Il foglio di calcolo permette di ottenere quindi il valore della rigidezza torsionale totale   Kφ= K*d^2

Kφtot = Kv1*dv1^2 + Kvn*dn^2  + Ko1* do1^2 + Kon*don^2

Analisi dei carichi sismici

Obbiettivo: calcolo della forza sismica concentrata, proporzionale al peso dell’impalcato

Fs (forza sismica) = W(peso edificio) x c      

con W= G +γ x Q

con   G= (qs + qp)x Atot impalcato = (2.69 + 2.9) x 216 KN= 1207,44 KN

con  Q= qa x Atot impalcato = 2.00 x 216 KN= 432 KN

con  γ(coef. Contemporaneità - uffici)= 0.3

W= 1006.2 + 0.3 x 360 KN= 1337 KN

Fs = 4452.15 x 0.15 = 200.6 KN

La forza sismica può colpire l’impalcato orizzontalmente o verticalmente. Dovranno essere analizzate entrambe le ipotesi

• Ripartizione della forza sismica lungo x

Quando la forza sismica agisce in direzione x , sono i controventi ORIZZONTALI a rispondere alla sollecitazione. F produrrà una traslazione orizzontale e una rotazione rigida.

Il foglio Excel calcola gli spostamenti prodotti

U= traslazione orizzontale = F / Kotot      U= 200.6 KN / ktot KN/m= 0.001m

La rotazione rigida è trascurabile. Pertanto le forze reattive alla forza sismica saranno prodotte dai soli controventi orizzontali.

F1= F2= 72.93 KN      F3= 54.7 KN

• Ripartizione della forza sismica lungo y

Quando la forza sismica agisce in direzione y , sono i controventi VERTICALI a rispondere alla sollecitazione. F produrrà una traslazione verticale e una rotazione rigida.

V= traslazione verticale=  F / Kvtot      v= 200.6 KN / ktot KN/m= 0.003m

La rotazione rigida è trascurabile. Pertanto le forze reattive alla forza sismica saranno prodotte dai soli controventi verticali.

F1= 36.46 KN          F2=F3=F4 54.7 KN