SdC(b) (LM PA)

In questa esercitazione bisogna prendere in esame una trave reticolare. Utilizzo il programma SAP 2000, per la modellazione della trave stessa, per poi dimensionarla aiutandomi con un file Excell.

1. Modellazione

Scelgo una griglia modulare, basata su 6 quadrati di lati 2m x 2m, con riferimenti X = 3, Y= 4, Z = 2. Su questa griglia decido di costruirmi una trave reticolare a base quadrangolare. Per disegnarla mi sono costruita un cubo che poi ho copiato più volte per comporre la struttura. A questo punto devo verificare di non aver copiato più volte uno stesso segmento e quindi di non aver creato doppioni. Vado su  Edit_Merge duplicate, dopo aver selezionato tutta la struttura, e mi accerto di non avere doppi. Un altra verifica che è opportuno fare è la verifica di tolleranza dei nodi. Seleziono tutta la struttura e vado su Edit_Edit points_Merge joints e confermo il valore pari a 0,1.

 2. Materiale e Carichi

A questo punto la mia struttura è finita e quindi posso passare a porre i miei vincoli. Decido di mettere 4 cerniere agli appoggi. Dato che la struttura reticolare lavora a sforza normale di trazione o compressione, bisogna svincolare i nodi al momento. Seleziono quindi tutta la struttura e poi vado su Assign_Frame_Release/Partial Fixity e blocco Moment (2-2) e Moment (3-3).
Procedo con la caratterizzazione della mia struttura definendo il materiale (tubolare in acciaio) ed assegno ai nodi superiori una forza F pari ad F=-150 KN (Assign_Joints Load).

3. Analisi

La trave reticolare è caratterizzata da solo sforzo normale, quindi devo verificare che siano assenti sforzi di taglio e di momento. Vado a vedere le sollecitazioni N,T,M. Constato che sia il taglio che il momento sono nulli, mentre gli sforzi normali sono presenti e diversi asta per asta. Esporto tutti i dati relativi alla mia struttura su un foglio di calcolo elettronico Excel per procedere con il dimensionamento delle aste.

4. Dimensionamento

Dopo aver ordinato il foglio Excel , ho per ogni singola asta il valore dello sforzo normale di trazione (+) o compressione (-). Ovviamente non ho tutte aste di dimensioni uguali, infatti all'infuori del mio quadrato ho anche la dua diagonale.
- Aste orizzontali = 2 m
- Aste diagonali = 2.83 m
- Aste inclinate = 2 m
 

4.1 Trazione  
Devo riportare tutti i valori di N di trazione all'interno del mio file Excel, a aggiungo le caratteristiche dell'acciaio scelto (f_yk=235 MPa) ed il coefficiente γ_m=1,05. A questo punto ottengo una A_min (cm²)=(N*10)/f_yd. Ora posso scegliere i profileti tubolari prendendo i profili in base a questi valori ingegnerizzandoli.

4.2 Compressione
Per la compressione la questione varia. La prima parte rimane identica al procedimento per la trazione, ma bisogna anche considerare il fenomeno di instabilità.
Aggiungo quindi i valori di E=210000 MPa, beta=1, e la lunghezza dell'asta considerata. Arrivo così ad ottenere i tre dati fondamentali per poter dimensionare le mie aste.

-Lambda= pi*sqrt(E/f_cd)
-Rho_min= (l₀*100)/Lambda
-I_min= E*(Rho_min)².

Inizio il dimensionamento delle aste in base ai valori di Rho_min e I_min. L'ultima verifica di cui devo tenere conto è la Lambda finale che deve risultare <200.

La seconda esercitazione prevede l’analisi di una struttura reticolare tridimensionale, attraverso l’utilizzo del software SAP2000.

Il modello realizzato con SAP, ha un modulo di base quadrato, ed è quindi una struttura reticolare formata da diversi cubi reticolari.

Il primo passo è quello di realizzare il modello con SAP, che nel mio caso ha come modulo di base un quadrato, di lato 2m per 2m. La griglia con cui viene realizzato il modello tridimensionale, che è quindi formato da diversi cubi, varia in modo diverso su x,y e z.
Attribuendo i diversi valori, x=3, y=4 e z=2, ottengo un modello formato da sei cubi di lato 2m, e  con diagonali di 2,83 m.

In seguito, dopo aver verificato che nella struttura non ci siano duplicati delle stesse aste, assegniamo la cerniera come vincolo ai quattro appoggi angolari.
Inoltre svincoliamo i nodi al momento in tutte le direzioni, in quanto la struttura reticolare lavora a solo sforzo normale, di trazione o compressione.

Un ulteriore passo è quello di definire un materiale, in questo caso un tubolare in acciaio, e assegnare ai nodi superiori una forza, in questo caso F pari a 150 kN.

A questo punto è possibile far partire l’analisi lineare statica, che ha come oggetto l’azione della forza F, da noi impostata.

Posso adesso vedere la struttura deformata e i diagrammi delle sollecitazioni, a cui è sottoposta la struttura, che in questo caso dovranno essere nulli per T e M.

Posso inoltre, attraverso una tabella, che verrà poi esportata in Excel, ottenere i diversi valori di sforzo assiale, di trazione o compressione, sulle diverse aste.

Esportata la tabella, contrassegnati i valori delle aste diagonali (in rosso), posso eliminare i duplicati, e procedere con il dimensionamento delle aste, attraverso l’utilizzo di un ulteriore foglio di calcolo Excel, in cui dividiamo le aste tese (valori positivi) da quelle compresse (valori negativi).

Trazione
Per dimensionare le aste a trazione, aggiungo i valori di N di trazione al foglio di calcolo Excel, le caratteristiche dell’acciaio scelto (fyk = 235 MPa), ed il coefficiente  γ_m = 1,05, e ottengo per ogni asta una area minima. In base a questo valore posso dimensionare le aste, che dovranno avere una area maggiore del valore ottenuto.

Compressione
Per dimensionare le aste a compressione, invece, aggiungo i valori di N a compressione al foglio di calcolo Excel, le caratteristiche dell’acciaio scelto (fyk = 235 MPa), il coefficiente  γ_m = 1,05, ed ottengo nel modo precedente una area minima per ogni asta.
Poiché per la compressione dobbiamo considerare anche il fenomeno di instabilità, bisogna aggiungere anche i valori del modulo di elasticità dell’acciaio, E = 210000 MPa, e di un coefficiente che dipende dai vincoli delle aste, beta = 1.

Ottengo, attraverso questi dati, tre diversi valori, Lambda, Rho_min e I_min, necessari per il dimensionamento delle aste. I profilati scelti dovranno infatti soddisfare tutti e tre questi valori.

 MODELLAZIONE

• Innanzitutto apriamo il programma Sap2000.
• Nella schermata vuota, andiamo su FILE→New Model.
  Si aprirà una finestra in cui dobbiamo inserire le giuste unità di misura e il template da utilizzare. Nel nostro caso, scegliamo KN,m,C e dopo clicchiamo su Grid Only in modo da poter avere nel foglio di lavoro una griglia guida tridimensionale.
  Dopo aver cliccato  si aprirà un'ulteriore finestra "Quick Grid Lines" in cui andremo ad inserire il numero delle linee di costruzione nella sezione "Number of Grid Lines" e il valore della loro spaziatura nella sezione "Grid Spacing". Nel nostro caso, creiamo una griglia formata da un modulo cubico 3m x 3m che si ripete 35 volte in un rettangolo 5 x 7 moduli.

• Con lo strumento linea disegniamo il nostro cubo reticolare aiutandoci con le linee guida precedentemente costruite.
• Selezioniamo il cubetto lasciando una facciata libera per evitare sovrapposizioni, premiamo Ctrl+C e Ctrl+V, spunterà una finestrella che ci permetterà di inserire le coordinate del vettore copia che stiamo effettuando.
  In questo caso, essendo la campata di 3m, diamo alla X valore 3 e diamo l'ok.
• Ripetiamo l'operazione in modo da creare una fila.
  
• Ripetiamo l'operazione anche nella direzione y in modo da riempire la nostra campata di 15m x 21m

VINCOLI ESTERNI

• Selezioniamo i quattro punti estremi della nostra struttura
• Andiamo su Assign→Joint→Restraints
• Si aprirà la finestra "Joint Restraints" in cui andremo a selezionare la cerniera.
• Diamo l'ok.

CERNIERE INTERNE

• Andiamo su Assign→Frame→Releases/Partial Fixity
• Si aprirà la finestra "Assign Frame Releases" , andando a spuntare su Moment 22 e Moment 33 sia nello Start sia all'End, rendiamo libera la rotazione all'inizio e alla fine di ogni asta.
• Diamo l'ok.

Otterremo questa visualizzazione:

ASSEGNAZIONE DELLA SEZIONE

Sap2000 non ci permettere di effettuare i calcoli se non assegnamo prima una sezione alla struttura. 

• Andiamo dunque su Assign→Frame→Frame Section.
• Si aprirà una finestra "Frame Property" nella quale andremo ad aggiungere una nuova proprietà con "Add New Property"
• Nella finestra "Add Frame Section Property" possiamo scegliere il materiale dal menù a tendina, in questo caso l'acciaio, e la sezione, in questo caso scegliamo "Pipe"
• Rinominiamo la sezione come TRAVE nella nuova finestra aperta e diamo l'ok.

ASSEGNAZIONE DEI CARICHI

• Per creare un nuovo caso di carico andiamo su Define→Load Patterns
• Si aprirà una finestra, all'interno della quale andiamo ad aggiungere un nuovo carico F con valore 0 nella colonna del coefficiente del peso proprio, in modo che questo non abbia influenza sulla nostra valutazione.
• Diamo l'Ok.

• Assegnamo dunque il carico appena creato selezionando prima la faccia superiore della nostra struttura reticolare.
• Andiamo poi su Assign→Joint Loads→Forces in modo da avere carichi solo sui Joints (Nodi).
• Si aprirà una finestra all'interno della quale selezioniamo il carico prima creato e al quale attribuiamo un valore, in questo caso -80kN nel verso dell'asse Z.

ANALISI

• Come possiamo vedere sulla destra dell'immagine sottostante, i carichi puntuali sono stati assegnati solo sui nodi, come volevamo.
• Diamo adesso il via all'analisi cliccando sull'icona evidenziata nello screenshot.
• Si aprirà una finestra che ci chiederà quale caso di carico vogliamo far agire. Selezioniamo dunque i casi a noi estranei e facciamo in modo che per loro risulti "Do Not Run" tramite l'apposito pulsante.
  Allo stesso modo, sul nostro caso di carico dovrà risultare "Run".
• NOTA BENE: per far partire l'analisi, clicchiamo su "Run Now" e non su "Ok".

Una volta effettuata l'analisi, questo è ciò che otterremo:

RISULTATI

• Per visualizzare i risultati dell'analisi, andiamo su Display→Show Tables
• Si aprirà una finestra che ci permetterà di spuntare ciò che effettivamente vogliamo inserire all'interno delle tabelle dei risultati; spuntiamo dunque "ANALYSIS RESULTS" e diamo l'ok.

• Si apre una finestra in cui sono già visibili le tabelle dei risultati. Dal menù a tendina, andiamo a selezionare Element Forces - Frames.​
• Per esportare la tabella su Excel, andiamo su FILE→Export Current Table→ To Excel.
  In questo modo possiamo gestire meglio i valori ottenuti.

EXCEL

La tabella così ottenuta non è ancora ottimale all'utilizzo. A noi è necessario avere per ogni asta/frame un valore di sforzo normale e un valore di luce.

Andiamo dunque a pulire la tabella seguendo questi procedimenti:

• Eliminiamo le colonne inutili lasciando F, Station, Output Case e P.
• Selezioniamo tutte le righe che si riferiscono alle aste diagonali e coloriamo il testo di un altro colore. Riconosciamo queste aste dai valori con molti numeri dopo la virgola ottenuti nella colonna Station.

• Ordiniamo adesso tutti i dati secondo il colore del carattere in modo da dividere le aste diagonali dalle altre, e creiamo una nuova colonna all'interno della quale velocemente andiamo ad inserire la luce delle aste.
• Adesso, con il comando DATI→Rimuovi duplicati andiamo a rimuovere tutti i duplicati rispetto alla colonna Frame.
• Riordiniamo la tabella questa volta rispetto ai dati dello sforzo normale contenuti della colonna P, in modo da dividere le compressioni (valori negativi) e le trazioni (valori positivi).
• Iniziamo con il copiare la colonna dei valori di sforzo normale a trazione.

• Apriamo adesso il foglio di calcolo riservato al dimensionamento di un asta reticolare in acciaio e incolliamo i valori precedentemente ottenuti nella nuova tabella sotto la colonna N.
• Ordiniamo i valori rispetto a questa colonna in ordine decrescente.
• Come possiamo vedere dallo screenshot, il foglio, dopo aver inserito N, f_yk e il coefficiente di sicurezza relativo al materiale, calcola la tensione di progetto e , conseguentemente, l'area minima necessaria affinchè il materiale resista allo sforzo.
• Prendiamo ovviamente in considerazione l'area minima più grande ottenuta, relativa allo sforzo normale di trazione più grande a cui può essere sottoposta una trave, e ingegneriziamo l'area in base a questo, ottenendo un profilato cavo  a sezione circolare di dimensioni d=219,1mm e area 33,6 cm².

• Spostandoci adesso sul foglio dedicato alla compressione, andiamo ad incollare i valori ottenuti a compressione e le relative luci nelle colonne apposite.
• Anche qui, ordiniamo i valori rispetto ad N questa volta in modo crescente in modo da avere il valore negativo più grande in alto.
• Completiamo la tabella inserendo le varie informazioni richieste, ottenendo i valori di Area minima.
• A questo punto non possiamo ingegnerizzare, poichè le aste troppo snelle sottoposte a compressione potrebbero essere soggette ai fenomeni di instabilità. Dobbiamo dunque controllare questi fenomeni andando a calcolare l'inerzia e il suo raggio attraverso l'inserimento di ulteriori dati all'interno del foglio.
• Andiamo ad evidenziare l'asta diagonale e l'asta normale più caricate. Ingegnerizzando quella diagonale che aveva ottenuto il valore più alto di inerzia minima ( riconoscibile dal fatto che è rimasta scritta in un colore diverso) otteniamo un profilo con un'area di 47cm².
  Ma come possiamo vedere, l'area minima dell'asta normale evidenziata in alto è gia superiore, essendo di 48,18 cm². Ingegneriziamo dunque in base a questi valori.

• Se confrontiamo i valori ottenuti a trazione e quelli a compressione, noteremo che l'area minima a compressione è più grande di quella a trazione (33,6cm²) e dunque viene scelta per l'ingegnerizzazione quella a compressione, ottenendo un profilato a sezione circolare di diametro 323,9 mm e spessore 5,9 mm.

La sezione è verificata in quanto la sua snellezza non supera il 200.

In questa terza esercitazione andremo a dimensionare una trave a sbalzo, comunemente detta mensola, nelle tre principali tecnologie (Legno, Acciaio, Cemento Armato).

La prima parte di dimensionamento ha un procedimento simile a quello utilizzato nella prima esercitazione, rimando dunque QUI per il calcolo di :

• carichi
• momento massimo (ricordando però che in questo caso ci troviamo in uno schema statico differente e che quindi il Momento nell'incastro sarà ql²/2 e non più ql²/8)
• altezza minima (e conseguente ingegnerizzazione della sezione).

Una volta terminata questa prima fase, dobbiamo controllare che nell'estremo libero la mensola non si abbassi troppo, operando non più dunque allo SLU (Stato Limite Ultimo), ma allo SLE (Stato Limite d'Esercizio) in modo da controllare che gli spostamenti non impediscano l'utilizzo della costruzione.

Operiamo:

• Abbiamo l'altezza della sezione ingegnerizzata con una base di 30cm: 50cm
• Inseriamo informazioni sul materiale : E (modulo elastico di Young) = 8000 N/mm2
• Viene calcolata l'inerzia come b x h³/12= 312500 cm⁴
• Viene calcolato il carico di esercizio q_e=(q_s+q_p+ ψ₁₁xq_a) x interasse = 16KN/m
• Una volta ottenuto il carico totale allo SLE e specificato il modulo elastico E e il momento d'inerzia I_x, possiamo calcolare lo spostamento massimo per la mensola V_max = ql⁴/8EI_x = 0,66cm

La sezione risulta verificata in quanto il rapporto tra la luce e lo spostamento massimo per le travi deve essere maggiore di 250.

• Con i calcoli della prima esercitazione abbiamo ottenuto il modulo di resistenza a flessione W_x e ingegnerizzato la sezione come IPE 360.
• Inseriamo nel foglio il relativo modulo di inerzia I ricavato dalla tabella dei profilati.
• Sempre dalla tabella dei profilati ricaviamo anche il peso proprio e lo inseriamo nel foglio, stando attenti a portare i kg/m in kN/m
• Il foglio calcola il carico di esercizio q_e=(q_s+q_p+ ψ₁₁xq_a) x interasse + peso = 26,2032KN/m
• Inseriamo il modulo elastico dell'acciaio E=210000N/mm²
• Una volta ottenuto il carico totale allo SLE e specificato il modulo elastico E e il momento d'inerzia I_x, possiamo calcolare lo spostamento massimo per la mensola v_max= ql⁴/8EI_x = 0,77cm

La sezione è verificata in quanto il rapporto tra la luce e lo spostamento massimo per le travi risulta maggiore di 250.

• Con la prima esercitazione avevamo ingegnerizzato l'altezza tenendo già in considerazione il peso proprio della trave.

Inseriamo adesso le ultime informazioni che sono necessarie:

• Area = b x h = 0.18m²
• Peso= b x h x peso specifico del CLS (2500kN/m³) = 4.38 kN/m
• Carico d'esercizio  q_e=(q_s+q_p+ ψ₁₁xq_a) x interasse + peso = 35.83 kN/m
• Inseriamo il modulo elastico del CLS E=21000 N/mm²
• Il foglio calcola l'inerzia I_x= b x h³/12= 714583 cm⁴
• Una volta ottenuto il carico totale allo SLE e specificato il modulo elastico E e il momento d'inerzia I_x, possiamo calcolare lo spostamento massimo per la mensola v_max= ql⁴/8EI_x = 0,24cm

La sezione è verificata in quanto il rapporto tra la luce e lo spostamento massimo risulta maggiore di 250.

La terza esercitazione prevede il dimensionamento di una trave a sbalzo, e come fatto nel dimensionamento della trave maggiormente sollecitata nella prima esercitazione, useremo tre materiali differenti: legno, acciaio e calcestruzzo armato. 

PER I PACCHETTI SOLAIO E I CARICHI APPLICATI faccio riferimento alla prima esercitazione postata.

http://design.rootiers.it/strutture/node/1685

La prima parte dell’analisi per ciascuna trave nelle tre tecnologie risulta uguale alla prima esercitazione: si ragiona alla SLU(stato limite ultimo), poiché si otteneva una h min per mezzo del qu, considerando lo stato ultimo della struttura (collasso). La seconda parte invece riguarda l’analisi allo SLE (stato limite di esercizio), in questa verifica la struttura non viene compromessa ma abbiamo fenomeni di instabilità e vibrazioni. Partendo dal qe ottengo un vmax.

All’interno del telaio scelto (usato per tutte e tre le analisi), si individua la trave a sbalzo maggiormente sollecitata e si evidenzia la sua area di influenza.  La trave presa in esame è la trave lungo l’asse B, che individua un’area di interasse 3,5 m e una luce di 3 m. Nel caso della trave a sbalzo (mensola) il momento massimo è differente rispetto a quello di una trave doppiamente appoggiata. Mmax= ql2/2

LEGNO

totale qs (0.15 + 0.24) KN/mq = 0.39 KN/mq

totale qp (1 + 0.5 + 0.72 + 0.45 + 0.54 + 0.16) KN/mq = 3.37 KN/mq

ambiente ad uso residenziale 2 KN/mq

qu= (1,3 x 0.39 + 1,5 x 3.37 + 1,5 x 2) x 3 = 29,97 KN/m

Il momento max risulta: Mmax= ql2/2= 134,85 KNm

Impostando i dati relativi al materiale e impostando una base b= 30 cm ottengo una hmin= 53,00 cm. Ingegnerizzo la sezione con h= 55 cm. 

Una volta impostata la sezione posso iniziare la verifica allo stato limite di esercizio

qe= (qs + qp + 0,5 x qa) x interasse

qe= (0,39 + 3,37 + 0,5 x 2) x 3,5= 17 KN/m

Imposto il modulo elastico E = 8000 MPa e ottengo una Ix= (b x h3)/12= 415938 cm4

Dopo aver calcolato il Vmax= 0,51 cm, posso passare alla verifica Ix/vmax >250

SEZIONE VERIFICATA

Aggiungendo il peso proprio della trave:

p= (0,3 x 0,55 x 1) x 5 = 0,825 KN/mq

qu= 29,97 + 1,3 x 0,825= 31,04 KN/m

La sezione ingegnerizzata risulta comunque verificata.

ACCIAIO 

totale qs (0.224 + 0.1 + 0.96) KN/mq = 1.28 KN/mq

totale qp (1 + 0.5 + 0.54 + 0.36 + 0.16 + 0.163) KN/mq = 2.69 KN/mq

ambiente ad uso residenziale 2 KN/mq

q= (1,3 x 1.28 + 1,5 x 2.69 + 1,5 x 2) x 3,5 = 30,45 KN/m

Il momento max risulta: Mmax= ql2/2= 137,01 KNm

Impostando i dati relativi al materiale fyk =235 MPA ottengo un Wx,min= 612,17 cm3.

Per questo motivo ho selezionato come profilo un IPE 300 con un Wx pari a 628,36 cm3.

Posso iniziare ora la verifica allo stato limite di esercizio

qe= (qs + qp + 0,5 x qa) x interasse + peso

qe= (1,28 + 2,69 + 0,5 x 2) x 3,5 + 0,42= 17,82 KN/m

Imposto il modulo elastico E = 8000 MPa e ottengo una Ix= (b x h3)/12= 210000 cm4

Dopo aver calcolato il Vmax= 1,028 cm, posso passare alla verifica Ix/vmax >250

291,9>250

SEZIONE VERIFICATA

CALCESTRUZZO ARMATO

totale qs (0.672 + 0.6 + 0.96) KN/mq = 2.23 KN/mq

totale qp (1 + 0.5 + 0.54 + 0.36 + 0.18 + 0.12) KN/mq = 2.37 KN/mq

ambiente ad uso residenziale 2 KN/mq

q= (1,3 x 2.23 + 1,5 x 2.37 + 1,5 x 2) x 3,5 = 33,09 KN/m

Il momento max risulta: Mmax= ql2/2= 148,9 KNm

Imposto i dati relativi al materiale scelto (fyk e fck) e ottengo per una base di 30 cm, un’altezza minima di 46,28 cm che ingegnerizzo con una h=50 cm

Anche aggiungendo ai carichi il peso proprio della trave

q trave (0.006261) mc/mq x 78.5 KN/ mc = 0.49 KN/mq

q= (1,3 x 2.23 + 1,5 x 2.37 + 1,5 x 2) x 43,5 + 1,3 x 0.49 =33,58 KN/m

La sezione scelta risulta comunque verificata.

Posso iniziare ora la verifica allo stato limite di esercizio: qe= 23,35 KN/m

Imposto il modulo elastico E = 21000 MPa e ottengo una  Ix= (b x h3)/12= 312500 cm4

Dopo aver calcolato il Vmax= 0,36 cm, posso passare alla verifica Ix/vmax >250

832,74>250

SEZIONE VERIFICATA