L'esercitazione consiste nel dimensionare una mensola (nei tre sistemi costruttivi di legno, acciaio e c.a.) e di calcolarne l'abbassamento massimo.

Uso lo stesso solaio di carpenteria della prima esercitazione (dimensionamento di una trave) aggiungendogli uno sbalzo di 2m.

SOLAIO IN LEGNO

Dati i carichi calcolati nel precedente solaio li adatto alla porzione di solaio portato dalla mensola più sollecitata (quello evidenziato in rosso). Trovato il carico ultimo (qu) posso ricavare il momento massimo, che in una mensola è q_u*l²/2. Inseriti poi i valori caratteristici del legno (lamellare GL24H) per ricavare la tensione di progetto (fd)  ipotizzo una base per la sezione della mensola da cui ottengo un'altezza da ingegnerizzare.

Ne risulta che la mensola ha una sezione di 25cmX45cm.

Inseriti poi dati relativi all'elasticità del materiale ed all'inerzia della sezione ricalcolo il carico ultimo allo stato limite di esercizio (qe) poichè l'abbassamento che ci interessa calcolare non porta al collasso della struttura ma ad una sua perdita di funzionalità.

A questo punto posso calcolare l'avvassamento v_max=q_e*l⁴/8*E*I_x .

Per capire se è un abbassamento eccessivo faccio riferimento alla disequazione l/v_max >= 250 .

SOLAIO IN ACCIAIO

Allo stesso modo calcolo il carico ultimo ed il momento massimo anche nella mensola in acciaio; inseriti poi i dati relativi alla tensione dell'acciaio (S235) posso calcolare il modulo di resistenza W_x,min in base al quale scelgo la trave dalla tabella delle IPE.

Scelgo una IPE270 della quale inserisco in tabella peso e momento d'inerzia.

Calcolo il q_e e di conseguenza l'abbassamento massimo. Infine verifico che l/v_max >= 250 .

SOLAIO IN CEMENTO ARMATO

Calcolati anche per la mensola in c.a. il carico ultimo ed il momento massimo ed inseriti i dati tensionali sia dell'acciaio delle barre, sia del calcestruzzo, ricavo le tensioni di progetto di entrambi i materiali (fyd, fcd); imposto una base per la trave (scelgo 25cm + 5cm di copriferro) e ricavo un'altezza minima di 25,42cm che ingegnerizzo a 35cm. A questo punto ricavo il peso unitario della trave che andrò a sommare al carico strutturale qs per verificare l'altezza ottenuta.

Inseriti i dati relativi all'inerzia, al peso ed all'elasticità della trave calcolo il q_e e di conseguenza l'abbassamento massimo. Infine verifico che l/v_max >= 250 .

Questa terza esercitazione consiste nel dimensionare una trave a sbalzo in legno, in acciaio

e in c.a., in modo che alla fine il valore dello spostamento massimo v_max  soddisfi la

disequazione l / v_max > 250.

La prima differenza rispetto alla prima esercitazione è nel valore del momento massimo:

infatti lo schema statico di riferimento non è più quello della trave doppiamente appoggiata

(M_max = q_ul²/8) ma quello della mensola (M_max = q_ul²/2). Inoltre per questa esercitazione

bisogna prendere in considerazione il valore del modulo elastico E proprio di ogni materiale e

del momento di inerzia I_x, che servono a calcolare lo spostamento massimo.

Prendo in esame la trave maggiormente sollecitata, ovvero la trave B.

SOLAIO IN LEGNO

La sezione del solaio è la stessa di quella usata nella ESERCITAZIONE 1, per questo motivo

ho già i valori q_s = 0,33 KN/mq      q_p = 3, 22 KN/mq       q_a = 2 KN/mq, che mi

determinano  q_u = 33,036 KN/mq.

Scelgo un legno lamellare GL24H che ha f_m,k = 24,00 MPa, k_mod = 0,80  e y_m = 1,45.

Imposto come base 25 cm e, siccome viene determinata un'altezza minima di 43,26 cm,

scelgo un altezza di 45 cm. Inserisco poi il modulo elastico del materiale  E = 8000 N/mm²

e il momento di inerzia I_x = 189844 cm⁴.

A questo punto il sistema calcola lo spostamento massimo e siccome

 l / v_max = 427,25 > 250 la trave 25 cm x 45 cm risulta verificata. 

SOLAIO IN ACCIAIO

Anche per il solaio in acciaio ho già i valori q_s = 2,31 KN/mq      q_p = 2,672 KN/mq    

q_a = 2 KN/mq, che mi determinano q_u = 40,044 KN/mq.

Scelgo poi un acciaio S235 che ha f_y,k = 235 N/mm².

Siccome W_x,min = 559,13 cm³ , scelgo un profilato IPE 330 (W_x = 713, 1 cm³) e inserisco il

suo I_x = 11770 cm⁴ e il suo peso P = 0,49 KN/m. 

Inserendo poi il modulo elastico dell'acciaio E = 210000 N/mm², il sistema calcola lo

spostamento massimo e siccome l / v_max = 518,269 > 250 la trave scelta risulta verificata.

SOLAIO IN C.A.

Anche per il solaio in c.a. ho già i valori q_s = 2,46 KN/mq      q_p = 2,852 KN/mq       

q_a = 2 KN/mq, che mi determinano q_u = 41,90 KN/mq.

A seconda dell'acciaio e del cls che scelgo per la trave inserisco f_y,k e f_c,k, che nel mio caso

sono  f_y,k = 450 N/mm²  e  f_c,k  = 60 N/mm². 

Imposto una base di 20 cm e, siccome l'altezza minima viene di 33,96 cm, scelgo un'altezza

di 40 cm.

Il sistema, aggiungendo il peso proprio della trave, calcola un'altezza minima di 33,96 cm e

quindi la trave 20 cm x 40 cm risulta verificata. 

Inserendo poi il modulo elastico E = 21000 N/mm² , il sistema calcola I_x = 106667 cm⁴.

Ne deriva lo spostamento massimo e siccome il rapporto l / v_max = 420,90 > 250 la trave

scelta risulta verificata anche in relazione all'abbassamento. 

Appena si apre il programma controllare le unità di misura, poi in questo caso utilizziamo GRID ONLY per realizzare la nostra trave reticolare. Dare le dimensione delle aste della trave di progetto (2m di lunghezza) ed il numero di assi (dei cubi della trave) sugli assi x, y, z

Con il comando FRAME  ripassare tutti i lati del cubo più le controventature di tutte le facce stando attenti a non passare più volte sulla stessa asta! Per verificare che non ci siano più linee una sopra l'altra EDIT(dopo aver selezionato tutto il cubo)-MERGE DUPLICATES-OK

Per velocità non mi metto a ridisegnareuno per uno i cubi ma copio quello già disegnato. Lo seleziono esclusa la prima faccia -CTRL C - CTRL V e mi compare un PASTE COORDINATES. farò lo stesso passaggio per tutti e tre gli assi (nell'immagine qui sotto è stato ricopiato sull'asse x dandogli un valore 2 essendo ogni sta lunga 2m.

seleziono tutto - EDIT - EDIT POINTS - MERGE POINTS ti dovrebbe dare una tolleranza di 0,1

Ora poniamo i vincoli e facciamo l'analisi della trave. selezionare i 4 spigoli più esterni - ASSIGN- JOINT - RESTRAINS - scelgo la cerniera - OK

Essendo una struttura reticolare tra tutte le aste ci dovranno essere delle cerniere interne - evidenzio tutto - ASSIGN - FRAME - RELEASES e seleziono sia MOMENT 22 che MOMENT 33

Ora diamo una sezione a tutte le aste della struttura - seleziono tutto - ASSIGN - FRAME - FRAME SECTION - ADD NEW PROPERTY- STEEL - PIPE - cambio nome e dò OK - selezionare la nuova sezione - OK (a questo punto comparirà il nome assegnato alla sezione delle aste su ognuna di esse)​

per mettere il carico seleziono tutte le cerniere superiori - ASSIGN - JOINT LOADS - FORCES - seleziono la sezione fatta in precedenza e do una carico che in questo caso corrisponde a -100 Kn (negativa perchè rivolta verso il basso)

Facciamo partire l'analisi (in alto vi è un simbolo come il play) però modifichiamo lo stato e l'azione di DEAD e MODAL ponendogli DO NOT RUN

Facciamo partire l'analisi con RUN NOW e salvo il tutto in una cartella.

Per trasferire le tabelle di analisi su EXCEL - FILE - CURRENT TABLES - TO EXCEL

Una volta trasferito tutto su Excel eliminiamo tutte le colonne a destra della colonna di P

Rimuovo tutti i duplicati - DATI - RIMUOVI DUPLICATI

Riordino la tabella rispetto ai dati dello sforzo normale ( della colonna P) in modo tale da dividere le compressioni(valori negativi) dalle trazioni (valori positivi). Entrambi li riporto nelle opportune tabelle di trazione e compressione (sotto la colonna N) scaricabili dal portale di meccanica. 

Nel foglio dopo aver inserito N, fyk e il coefficente di sicurezza relativo al materiale viene calcolata la tensione di progetto e l'area minima necessaria affinchè il materiale resista alla sforzo. vado sul sagomario e miscelgo l'area subito più grande rispetto l'area minima ottengo così l'area ingenierizzata.

Dimensionamento di una trave a sbalzo

Per la seconda esercitazione abbiamo dimensionato una trave a sbalzo.

La trave a sbalzo apparterrà ad un solaio di nostra scelta. Quello preso in considerazione è costituito in modo tale che la trave a sbalzo più sollecitata è quella centrale, con le seguenti caratteristiche:

Interasse: 3,5 m

luce: 2 m

Da qui proseguiremo quindi con il dimensionamento della trave nei confronti delle tre tipologie costruttive: legno, calcestruzzo armato e acciaio

Solaio in legno

La prima tecnologia analizzata è quella di un solaio in legno, costiuito dai seguenti elementi:

Pavimento: 7,5 KN/Mc (2 cm)

sottofondo di allettamento: 18 KN/Mc (3 cm)

isolante: 0,2 KN/Mc (4 cm)

caldana: 25 KN/Mc (4 cm)

tavolato: 6 KN/Mc (3,5 cm)

travetti: 5,3 KN/Mc travetti 10x15

Calcolo ora il carico strutturale, il carico permanente e il carico accidentale.

pavimento:      7,5 x 1 x 1 x 0,02 = 0,15 KN/mq

sottofondo:     18 x 1 x 1 x 0,03 = 0,54 KN/mq

isolante:          0,2 x 1 x 1 x 0,04 = 0,008 KN/mq

caldana:          25 x 1 x 1 x 0,04 = 1 KN/mq

tavolato:          3,5 x 1 x 1 x 0,035 = 0,122 KN/mq

travetti:            3,5 x 10 x 10 x 2 = 0, 106 KN/mq

qs: 1 + 0,106 + 0,122= 1,22 KN/mq

qp: 0,36 + 0,54 + 0,008 + 0,5 + 1 = 2,19 KN/mq

qa: 2 KN/mq 

Prendendo quindi in considerazione la misura di interasse della trave, il valore dei carichi strutturali, permanenti e accidentali otterremo il carico qu= 1,3qs + 1,5qp + 1,5qa = 27,5 KN/m

Inserisco poi la luce della trave a sbalzo.

Calcolerò così il momento max Mmax: ql^2/2 = 55 KNm

Scegliamo di utilizzare un legno massiccio C24 con resistenza caratteristica fmk: 24 KN/mmq , coeff. di riduzione kmod:0,5 . Introduciamo poi un ulteriore fattore di riduzione ym= 1,5 da normativa.

Fissando una base di 30 cm otterremo una altezza min di hmin= ( 6 X Mmax x 1000/ b x fd,C)^0,5 = 38,56

La nostra sarà quindi una trave in legno C24 30 x 40.

Calcoleremo poi il carico di esercizio qe: (qs + qp + 0,5qa)x interasse= 15 KN/m e da questo sarà valutato l'abbassamento max Vmax= qe x 10 x ( l x 100)^4/8 x E x Ix = 0, 46 cm

Solaio in acciaio

Il solaio in acciaio sarà costiutito dai seguenti elementi:

pavimento: 7,5 KN/mc (2 cm)

sottofondo: 18 KN/mc ( 30 cm)

isolante: 0,2 KN/mc ( 40 cm)

soletta: 2,5 KN/mq ( 15 cm di cui lamiera grecata 7,5 cm)

travetti: 78,5 KN/mc  IPE 100

Calcolo quindi i carichi agenti

qs:  (2,5 x 1 x 1) + (78,5 x 0,001032 x 2) = 2,66 KN/mq

qp: (0,2 x 0,04 x 1 x 1) + (18 x 0,03 x 1 x 1) + (18 x 0,02 x 1 x 1) + 0,5 + 1 = 2,4 KN/mq

qa: 2 KN/mq

Calocleremo quindi, ugualmente a prima, il carico ultimo qu: 35,2 KN/m e il momento massimo Mmax: 70,40 KNm

Utilizzeremo un acciaio S235 con resistenza caratteristica fyk:235 N/mmq e fyd: fyk/1,05= 223,81 N/mmq

Otterremo quindi la resistenza elastica Wx: Mmax/fyd= 314,58 cm^3

Il profilato da noi scelto sarà quello corrispondente al valore di Wx subito maggiore ossia Wx=428,9 ossia una IPE 270

Possiamo ora inserire il peso e il momento d'inerzia corrispondenti

Calcoleremo il carico di esercizio qe: ( qs + qp + 0,5qa) x interasse + peso= 21, 57 KN/m

Infine prendendo in considerazione il modulo elastico E=210000 N/mmq calcoliamo l'abbassamento massimo

Vmax= qe x 10 x (l x 100)^4 / 8 x E x Ix

Solaio in laterocemento

Formato dai seguenti elementi:

pavimento: 40 kg/mq ( 2 cm)

massetto: 19 KN/mc ( 3 cm)

isolante: 20 kg/ mq ( 6 cm)

soletta cls: 24 KN/mc (16 cm) con pignatte 16 x 40 x 25 da 9,1 kg/mq

Calcoliamo quindi i carichi agenti

qs: (24 x 1 x 1 0,04) + (24 x 2 x 0,16 x 0,1 x 1) + (9,1 x 8)= 2, 46 KN/mq

qp: 0,4 + (19 x 0,003 x 1 x 1) + (0,2 x 0,06 x 1 x 1) + (18 x 0,01 x 1 x 1)= 1,162 KN/mq

qa: 2 KN/mq

Calcoliamo come le altre volte il carico ultimo e il momento max.

Utilizzeremo per la nostra sezione un acciaio S450 con resistenza caratteristica fyk=450 N/mmq e fyd= 391,3 N/mmq e calcestruzzo C30 con resistenza caratteristica fck: 30 N/mmq e fcd: 0,86 x fck/1,5= 17 N/mmq

scegliendo una base del nostro profilato b= 30 cm otterremo una altezza utile hu: 25,22 a cui sommeremo il copreiferro da noi scelto pari a 5 cm, ottenendo così una altezza minima Hmin=31,22 cm

Sceglieremo quindi di utilizzare una sezione 30 x 50

Inserendo quindi il modulo elastico E otterremo il suo abbassamento massimo ossia Vmax=0,06 cm

La terza esercitazione prevede il dimensionamento e la verifica di deformabilità della mensola più sollecitata del solaio di carpenteria in tre diverse tecnologie: legno, acciaio e cemento armato.

Utilizzeremo un foglio di calcolo Excel, molto simile a quello della prima esercitazione, ma in questo caso diviso in due parti diverse.
Una prima parte, in cui ragioniamo in termini di SLU, uguale al foglio utilizzato nella prima esercitazione.
Una seconda parte, in cui invece ragioniamo in termini di SLE, in cui otteniamo i valori relativi allo spostamento e la deformabilità della mensola.
Questi due tipi di analisi diversi presuppongono inoltre coefficienti di sicurezza diversi.

Legno

Per questo solaio  la mensola maggiormente sollecitata è quella centrale, che presenta una luce di 2m e un interasse di 3m.
Poiché il solaio preso in considerazione è lo stesso della prima esercitazione, i valori dei diversi carichi presenti (strutturale, permanente e accidentale) sono gli stessi.

Inserendo i valori ottenuti nel foglio di calcolo excel, otteniamo il valore del carico ultimo, ottenuto moltiplicando i diversi carichi agenti per i rispettivi coefficienti di sicurezza.

Ottenuto il valore del carico ultimo possiamo inoltre trovare il valore del momento massimo, che per una mensola, di lunghezza l e sottoposta a carica q, equivale a  ql²/2.

Per il progetto scegliamo un legno lamellare GL24H, con resistenza a flessione caratteristica
fm,k = 24 MPa, e scegliamo come coefficiente di durata del carico kmod = 0,8 e come coefficiente parziale di sicurezza del materiale γ m = 1,45.
Con l’utilizzo di questi dati è possibile calcolare la tensione ammissibile di progetto fd.

Impostando in seguito la base della trave da calcolare, ci viene fornita l’altezza minima della stessa.

Scegliendo quindi una base di 25 cm otteniamo un’altezza minima di circa 31 cm.
Essendo questo valore il valore minimo dell’altezza della trave, scegliamo un’altezza di 40 cm, ottenendo una trave di sezione 25cm x 40 cm.

Dopo aver dimensionato la trave inizia la parte relativa allo SLE, inserendo il valore del modulo elastico del legno, E = 8000 MPa, ottengo i valori del carico allo SLE, qe, che non tiene in considerazione il peso proprio della trave, essendo il legno un materiale leggero, del momento di inerzia, I_x, e dello spostamento massimo, v_max = 0,26 cm.
Questo dato mi conferma il progetto, in quanto il rapporto tra il momento di inerzia e quello dello spostamento è maggiore di 250 ( I_x/ v_max >250).

Acciaio

Per questo solaio  la mensola maggiormente sollecitata è quella centrale, che presenta una luce di 2m e un interasse di 3m.
Poiché il solaio preso in considerazione è lo stesso della prima esercitazione, i valori dei diversi carichi presenti (strutturale, permanente e accidentale) sono gli stessi.

Inserendo i valori ottenuti nel foglio di calcolo excel, otteniamo il valore del carico ultimo, ottenuto moltiplicando i diversi carichi agenti per i rispettivi coefficienti di sicurezza.

Ottenuto il valore del carico ultimo possiamo inoltre trovare il valore del momento massimo, che per una mensola, di lunghezza l e sottoposta a carica q, equivale a  ql²/2.

Per il progetto di questa trave scegliamo un acciaio S235 con resistenza a flessione caratteristica
fy,k = 235 MPa.

Con l’utilizzo di questi dati è possibile calcolare la tensione ammissibile di progetto fd, e il modulo di resistenza Wx minimo, di circa 260 cm3.

Scegliamo quindi una trave IPE 240, con modulo di resistenza Wx pari a 324,3 cm3, momento di inerzia Ix pari a 3892 cm4, e peso di 0,307 kN/m.

Anche in questo caso, inserendo questi dati, e il modulo elastico dell’acciaio E = 210000 MPa, otteniamo i valori del carico allo SLE, qe, che in questo caso tiene in considerazione anche il peso proprio della trave, e dello spostamento massimo, v_max = 0,438 cm.
Questo dato mi conferma il progetto, in quanto il rapporto tra il momento di inerzia e quello dello spostamento è maggiore di 250 ( I_x/ v_max >250).

Cemento armato

Per questo solaio  la mensola maggiormente sollecitata è quella centrale, che presenta una luce di 2m e un interasse di 3m.
Poiché il solaio preso in considerazione è lo stesso della prima esercitazione, i valori dei diversi carichi presenti (strutturale, permanente e accidentale) sono gli stessi.

Inserendo i valori ottenuti nel foglio di calcolo excel, otteniamo il valore del carico ultimo, ottenuto moltiplicando i diversi carichi agenti per i rispettivi coefficienti di sicurezza.

Ottenuto il valore del carico ultimo possiamo inoltre trovare il valore del momento massimo, che per una mensola, di lunghezza l e sottoposta a carica q, equivale a  ql²/2.

Per il progetto di questa trave scegliamo per l’armatura un acciaio con resistenza a flessione caratteristica fy,k = 450 MPa, e un calcestruzzo con resistenza fc,k = 60 MPa.

Con l’utilizzo di questi dati è possibile calcolare le tensioni di progetto fyd e fcd, rispettivamente dell'acciaio e del cemento.
Impostando in seguito la base della trave da calcolare e la dimensione del copriferro, ci viene fornita l’altezza utile e l’altezza minima della stessa.

Scegliendo quindi una base di 20 cm e un copriferro di 5 cm, otteniamo un’altezza utile di circa 20 cm, e quindi una altezza minima di circa 25 cm.
Essendo questo valore il valore minimo dell’altezza della trave, scegliamo un’altezza di 30 cm, ottenendo una trave di sezione 20 cm x 30 cm.

Con l’utilizzo di questi dati è possibile calcolare l’area e il peso della trave, che viene tenuto in considerazione nel calcolo del carico allo SLE, in quanto il cemento armato non ha un peso trascurabile.

Anche in questo caso, inserendo questi dati, e il modulo elastico E, otteniamo i valori del carico allo SLE, qe, del momento di inerzia, I_x, e dello spostamento massimo, v_max = 0,42 cm.
Questo dato mi conferma il progetto, in quanto il rapporto tra il momento di inerzia e quello dello spostamento è maggiore di 250 ( I_x/ v_max >250).