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Le strutture reticolari sono composta da un insieme di aste rettilinee complanari, vincolate ai nodi con delle cerniere e caricate esternamente solo su queste. Esse nascono per far fronte alla necessità di impiegare strutture più leggere per superare luci più grandi. È formata da due elementi continui chiamati correnti, e da un'anima scomposta in elementi lineari, disposti in verticale e/o inclinati, chiamati montanti; tutti gli elementi sono sollecitati esclusivamente da sforzo normale di compressione (PUNTONI) o di trazione (TIRANTI).

Le aste che compongono una struttura reticolare devono essere conformate in modo da formare maglie triangolari. Il numero delle aste “a”, necessarie per collegare “n” nodi in modo stabile, cioè in modo che non presenti labilità interne, è: a = 2n -3.

Svolgiamo adesso un esercizio con il Metodo delle Sezioni di Ritter (Georg Dietrich August); questo metodo prevede di suddividere la trave reticolare in due parti mediante un’opportuna sezione che dovrà interessare oltre l’asta di cui si vuole determinare lo sforzo altre due aste. Le tre aste sezionate dovranno essere a due a due concorrenti nello stesso punto. Una volta tagliata la struttura, sui monconi delle tre aste tagliate si introducono gli sforzi normali incogniti, ipotizzandone un verso; imponendo la condizione di equilibrio alla rotazione di una delle due parti in cui è sta ta divisa la travatura rispetto al punto d’intersezione degli assi di due delle tre aste interessate dalla sezione di Ritter si ottiene lo sforzo normale nella terza asta.

1) CALCOLIAMO LE REAZIONI VINCOLARI

Essendo la struttura simmetrica e caricata simmetricamente, le reazioni saranno la somma delle forze applicate diviso 2.

               α = 45° --->   sen α = cos α = √2 / 2

2) ESEGUIAMO UNA PRIMA SEZIONE

Isoliamo la sezione ed evidenziamo gli sforzi normali, ipotizzandone un verso:

Ora, imponendo la condizione di equilibrio alla rotazione, ogni volta facendo polo in un punto diverso, calcolo gli sforzi normali.

Ora attraverso l'equilibrio alla traslazione verticale calcolo l'ultimo sforzo normale:

3) ESEGUIAMO UNA SECONDA SEZIONE

Isoliamo la sezione ed evidenziamo gli sforzi normali, ipotizzandone un verso:

4) CALCOLIAMO LO SFORZO NEL NODO 1 ATTRAVERSO L'EQUILIBRIO AL NODO

5) SCHEMA RIASSUNTIVO

L'asta più sollecitata risulta essere un TIRANTE ed è quella che collega i nodi 3 e 5.

Nel seguente caso, utilizzo il primo metodo, il quale prevede la sezione di volta in volta di un numero di aste non superiore a tre e dell'analisi delle forze agenti sulle aste in questione.

Come prima cosa trovo le reazioni vincolari:

Ora applico il metodo delle sezioni (Ritter):

sezione I (effettuo i tagli passanti per 3 aste, nei punti in cui ho più incognite "note"):

sezione II

sezione III

Poichè la struttura e le forze che vi agiscono sono simmetriche, posso concludere disegnando il risultato finale:

Verifica su Sap2000

Una travatura reticolare piana è un insieme di aste appartenenti allo stesso piano, vincolate reciprocamente da cerniere interne. Nelle aste è presente solo sforzo normale, infatti esse non sono caricate lungo l'asse principale. Si utilizza infatti un modello ideale per cui tutti i carichi esterni agiscono direttamente sui nodi.
Vi sono due metodi principali per risolvere questo tipo di struttura: metodo delle sezioni di ritter e metodo dei nodi. Nel seguente caso di studio, utilizzerò il primo metodo, che prevede la sezione di volta in volta di un numero di aste non superiore a tre e dell'analisi delle forze agenti sulle aste in questione.
Di seguito i calcoli a mano:

Verifico l'esattezza dei miei calcoli, riportando la struttura in Sap2000.

Trave reticolare spaziale.

Trattiamo ora una trave reticolare tridimensionale.
Per modellare più rapidamente la trave, utilizziamo il programma autocad e creiamo la seguente struttura reticolare:

Dopo aver salvato il disegno in formato .dxf, importo la trave su Sap2000 e per evitare la presenza di alcuni errori, generati dall'importazione, nei nodi tra le aste, dopo aver selezionato l'intero disegno, imposto una tolleranza di apporossimazione maggiore, eseguendo il comando: EDIT > EDIT POINT > MERGE JOINTS > MERGE TOLERANCE > 0,01
In tal modo sono sicuro che tutte le aste siano considerate collegate fra loro. Per rendere la struttura isostatica, basta appoggiare la trave su una cerniera e due carrelli:

Assegno un carico sui nodi superiori della trave, escludendo nel computo il peso proprio della struttura:

Procedo alla scelta di una sezione da dare alle aste che compongono la trave reticolare. Scelgo come materiale l'acciaio:

Come ultimo passo, devo impostare i nodi che collegano le aste come dei nodi cerniera. Attraverso il comando ASSIGN > FRAME > RELEASE > MOMENT 3-3(MAJOR) > START 0 – END 0 opero un rilascio alle due estremità di ogni asta.

Posso ora avviare l'analisi della struttura e studiare la deformata e il diagramma degli sforzi assiali su ogni asta:

Posso anche studiare lo sforzo a cui sono sottoposti i nodi, attraverso il comando: SHOW FORCES/STRESSES > JOINTS.

Il programma ci fornisce una tabella con tutti gli sforzi assiali delle singole aste, attraverso il comando: DISPLAY > SHOW TABLES > ELEMENT FORCES - FRAMES 
Studiando la tabella posso facilmente scoprire quali sono i tiranti e quali i puntoni, i primi hanno il valore dello sforzo normale positivo, i secondi hanno valore negativo.

ESERCITAZIONE SULLA LINEA ELASTICA_26-03-2013_verifica su SAP

• SAP ci permette di verificare, con un livello di precisione elevato, la bontà dei calcoli effettuati a mano nel corso dell’esercitazione. Per rappresentare lo schema statico su SAP apriamo un nuovo file di tipo GRID, con unità di misura convenzionali (kN, m, °C). Impostiamo i parametri di spaziatura in modo che l sia pari ad 1 e disegniamo un punto P di coordinate (0,578 - 0 – 0): in questo modo è possibile avere di tale punto ogni tipo di informazione relativa al suo spostamento conseguente la deformazione; ovviamente le coordinate derivano dai nostri risultati, quindi la verifica è efficace sino ad un certo punto poiché risente del calcolo precedente, nel quale  abbiamo individuato il valore di s corrispondente all'abbassamento massimo. In seguito, disegniamo la trave mediante 2 segmenti con il suddetto punto in comune (il tutto non inficia la natura omogenea della trave stessa, la quale viene comunque considerata come un unico elemento).

• Successivamente impostiamo i vincoli, incastro e carrello, attraverso il comando ASSIGN -> JOINT RESTRAINTS. A questo punto è necessario fornire al programma i dati relativi al materiale e alla sezione della trave. Questo ci consente di effettuare la verifica sia per il cemento armato che per l’acciaio: dopo aver selezionato entrambi i tratti di trave, clicchiamo su DEFINE  -> MATERIALSe scegliamo nel primo caso “4000psi” e nel secondo “A992Fy50” (del materiale è importante annotare ai fini del calcolo manuale il valore del modulo elastico E).

• Dopo aver impostato il materiale, passiamo a definire la sezione della trave mediante il comando DEFINE  -> SECTION PROPERTIES  -> FRAME SECTIONS: nel caso dell’acciaio occorre scegliere un profilo (nel nostro caso scatolare “tube”) e assegnargli delle misure; mentre per il ca è importante, oltre alle misure, ricordarsi di eliminare i tondini, cliccando su “concrete reinforcement” e cambiando l’impostazione “column” in “beam”.

• La sezione della trave ci fornisce quelle informazioni geometriche imprescindibili per il calcolo del momento d’inerzia I. Definita la sezione, è importante assegnare tale sezione appena delineata ai tratti di trave disegnati: ASSIGN   -> FRAME  -> FRAME SECTIONS.

• A questo punto non resta che assegnare il carico distribuito: ASSIGN   -> FRAME LOADS -> DISTRIBUTED. Aprescindere dal valore del carico q, è fondamentale, in questo tipo di esercizi, impostare l’analisi in modo da trascurare il peso proprio dell’elemento trave. Ora finalmente abbiamo tutti i requisiti per avviare la nostra analisi (escludendo l'analisi modale).

• Il programma mostra direttamente la deformata, la quale conferma la correttezza, a livello qualitativo, del calcolo svolto a mano. Da notare che il posizionamento del punto a 0,578l non è esattamente corretto, infatti, selezionandolo con il mouse, abbiamo il valore dello spostamento verticale v (per il programma “u”), ma anche un valore di rotazione jdella sezione di trave (“R” per SAP) diverso da zero. Questo contrasta con l’assunto iniziale, per il quale a quel punto corrispondeva il minimo della funzione deformata: se così fosse stato allora in quel punto avremmo avuto tangente orizzontale, derivata nulla, sezione della trave perpendicolare alla tangente e conseguente rotazione nulla della stessa.

• Verificati e confrontati i grafici di Taglio e Momento flettente, rappresentati a livello qualitativo alla fine dell'esercitazione, con quelli che il programma fornisce, visualizziamo mediante il comando DISPLAY   -> SHOW TABLES le tabelle:“joint reactions” per i valori delle reazioni vincolari, “element forces – frames” per i valori di taglio e momento e “joint displacements” per gli spostamenti relativi alla deformazione.

ESERCITAZIONE SULLA LINEA ELASTICA_26-03-2013

Dal momento che il sistema è iperstatico per poterlo risolvere ricorriamo al metodo d’integrazione della linea elastica, il quale ci permette di individuare quella che è la nostra incognita principale, ovvero lo spostamento verticale massimo (v_s) della deformata (meglio sottolineare che per la trave si adotta il modello di Eulero-Bernoulli).

• Avendo chiaro l’obiettivo, possiamo analizzare le 8 equazioni fondamentali (3 di EQUILIBRIO, 3 della DEFORMAZIONE e 2 COSTITUTIVE): queste non vengono usate tutte contemporaneamente, ma solitamente sono divise in 2 gruppi a seconda del fatto che si stia investigando su uno spostamento assiale (e quindi sullo sforzo normale) o su uno spostamento trasversale (e di conseguenza sugli sforzi di taglio e momento flettente).

• Per questo motivo possiamo concentrarci solo sul secondo e su “sole” 5 equazioni, ossia quelle dello spostamento verticale v, della rotazione della sezione di trave j, del momento flettente M, del taglio T e della curvatura c.

• Il  metodo analitico della linea elastica non può prescindere dall’analisi delle condizioni al bordo: per poter risolvere l’equazione dello spostamento verticale v_s necessitiamo di 4 equazioni con risultato noto poiché l’equazione suddetta presenta 4 incognite, ovvero le costanti di integrazione C₁, C₂, C₃ e C₄ (“accumulate” durante le diverse integrazioni che ci hanno condotto alla determinazione dell’equazione stessa).

• Nel nostro caso specifico abbiamo per s=0 (nell’estremo sinistro, in prossimità dell’incastro) spostamento verticale e rotazione della sezione della trave nulle (v₍₀₎ = 0 e j₍₀₎= 0). Sostituendo sia v che jcon le rispettive equazioni, derivate sempre dall’integrazione dell’equazione della linea elastica per lo spostamento verticale a cui facciamo riferimento (q₂ = d⁴v/ds⁴) si constata che c₃ e c₄ hanno valore nullo.

• Per s=l (estremo destro, coincidente col carrello) abbiamo, invece, che lo spostamento verticale è sempre nullo, mentre stavolta la rotazione della sezione è diversa da 0, ma ignota. Necessitiamo, quindi, di un’ulteriore equazione nota e prendiamo in considerazione quella del momento che in prossimità della cerniera del carrello deve essere uguale a 0.

• Le due equazioni relative al bordo l, messe a sistema, ci permettono di calcolare le costanti c1 e c2 che al momento sono le ultime due incognite rimaste.

• In realtà, oltre alle 4 costanti C che abbiamo calcolato, c’è un ulteriore dato incognito, senza il quale non è possibile calcolare l’abbassamento verticale: si tratta del valore da assegnare alla variabile s all’interno dell’equazione dello spostamento verticale. Sappiamo che all’abbassamento verticale massimo corrisponde un valore nullo della derivata della funzione che approssima la deformata della trave. È sufficiente, quindi, derivare la funzione v_(s) e trovare i valori di s per i quali la derivata si annulla.

• Risolvendo questa equazione di terzo grado (ricordarsi di mettere in evidenza la s per trovare la prima soluzione e avere un’equazione di secondo grado) otteniamo 3 valori di s per i quali la derivata è nulla, ma solo 2 sono da prendere in considerazione (in quanto uno si riferisce ad un valore di s maggiore di l): s = 0, relativo all’incastro, e s =(15 - (33)^1/2)/16=0,578.

(NB: per semplificare il calcolo l è stato posto =1)

• Finalmente siamo in grado di calcolare lo spostamento verticale. Sostituiamo il valore di s = 0,578 e delle costanti C all’interno dell’equazione di v_(s):

• Il risultato è in funzione di q/EI. Per avere un risultato esclusivamente numerico basta assegnare un valore al carico q, scegliere il materiale per avere un modulo elastico E e la sezione della trave per avere il momento d’inerzia I.

• L’ultimo passo consistenel diagrammare il Taglio e il Momento. Per il primo possiamo dire che l’andamento è lineare e abbiamo un taglio negativo massimo in prossimità dell’incastro e uno positivo massimo nel vincolo destro; l’intersezione con l’asse della trave corrisponde a s=5/8 L. Il momento, di conseguenza, avrà andamento parabolico, con un massimo positivo nell’incastro, curvatura verso il basso e valore zero nel carrello; ad s=5/8 L corrisponde un momento negativo massimo.