SdC(b) (LM PA)

L’obiettivo di questa seconda esercitazione è il dimensionamento della trave maggiormente sollecitata di una carpenteria, nelle tre diverse tecnologie: acciaio, calcestruzzo armato e legno.

La trave più sollecitata in questo  caso è la B1-B2:

Luce: 5,00 m

Interasse: 3,50 m

Area di influenza: l x i= 17,50 m

 

Ai fini del dimensionamento è necessario effettuare l’analisi dei carichi che gravano sull’impalcato espressi come densità di carico superficiale in kN/mq per poi determinare il carico lineare espresso in kN/m di progetto sulla trave evidenziata.

Nella normativa (D.M. 2008) si distinguono tre diversi tipi di carico:

• qs carico strutturale: ovvero il carico dovuto al peso proprio di tutti gli elementi costruttivi che svolgono una funzione portante;
• qp carico permanente: ovvero il carico dovuto al peso proprio di tutti gli elementi costruttivi che non svolgono una funzione portante ma che gravano sulla struttura portante per tutto il suo periodo di vita nominale
• qa carico accidentale: Condizioni atmosferiche, sisma, destinazione funzionale che avrà l’edificio.

SOLAIO IN ACCIAIO

Per il calcolo dei carichi del solaio in acciaio ho usato una tabella excel prendendo in considerazione lo spessore in mm e la densità specifica in kg/mc.

Ho evidenziato in blu i carichi strutturali, in rosso i carichi permanenti e in verde i carichi accidentali.

Nel nostro caso nel calcolo del carico accidentale è stato preso in considerazione unicamente il valore relativo alla destinazione funzionale, in particolare quello degli ambienti a uso residenziale. 

Viene calcolato prima il volume al mq del materiale: spessore (m) x 1m x 1m= mc/mq, poi moltiplicato per la densità : (mc/mq)/(kg/mc) ottengo kg/mq e poi trasformato in kN/mq (diviso 100).

es.:

spessore: 18 mm = 0,018 m

volume al mq: 0,018 m x 1m x 1m = 0,018 mc/mq

volume x densità: 0,018 mc/mq x 750 kg/mc = 13,50 kg/mq

13,50 / 100 = 0,135 kN / mq

 

La combinazione di carico per il dimensionamento di una trave è allo stato limite ultimo, in cui si prendono in considerazione dei coefficienti cautelativi che aumentano i diversi carichi:

1,3 per il carico strutturale

1,5 per quello permanente

1,5 per quello accidentale

qu= (qs x 1,3 + qp x 1,5 + qa x 1,5) x i = kN/m

Andando a inserire i dati nella tabella excel risulta che :

Nella prima riga i carichi sono privi del peso proprio della trave, quindi quelli risultanti dall'analisi dei carichi degli elementi del solaio. Dal Wx minimo pari a 407,11 cm^3, scegliamo una IPE 270 con Wx di 428,90 cm^3. Il peso a metro lineare della IPE270 è di 36,1 kg/m ovvero 0,36 kN/m, che va aggiunto al carico strutturale sotto forma però di carico superficiale, per cui dividendo il peso della trave per l'interasse otteniamo il peso in kN/mq da aggiungere al qs: 0,1 kN/mq.

A questo punto nella seconda riga della tabella excel vediamo il qs maggiorato dal peso della trave, e reinserendo tutti i dati notiamo che il Wx minimo è rimasto inferiore del Wx di progetto, pertanto la Sezione 270x135 mm risulta verificata.

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SOLAIO IN CALCESTRUZZO ARMATO

Per il dimensionamento della trave in calcestruzzo armato è stato scelto un solaio in laterocemento:

Composto da pignatte di alleggerimento di 400x140 mm e travetti di 100x140 mm, posti ad un interasse di 50 centimetri. in un metro di solaio, abbiamo quindi due pignatte e due travetti in quanto il rapporto 1/interasse, cioè 1/0,50 m= 2.

è importante tenere in considerazione questo valore perchè è quello che andremo a moltiplicare al qs.

Effettuo allora l'analisi dei carichi:

Determinati i carichi si può procedere con il dimensionamento della trave.

Dopo aver determinato il Momento massimo (supponendo anche in questo caso che i pilastri siano semplici appoggi e che il momento massimo si trovi in mezzeria e valga (qu*l^2)/8), vanno scelti i materiali: per le armature scelgo un Acciaio con classe di resistenza B450C con resistenza caratteristica fyk di 450 MPa (N/mm^2) e la classe di resistenza del calcestruzzo C25/30 con una resistenza caratteristica fck di 25 MPa. 

A questo punto va fissata la base della trave: 30 cm.

Per determinare l'altezza, va sommato all'altezza utile della trave il copriferro, e tale valore va ingegnerizzato. Verifico quindi la trave di altezza 55 cm, ricalcolando l'altezza dopo aver aggiunto ai carichi il peso proprio della trave fornito dalla tabella.

La sezione di 550x300 mm risulta verificata.

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SOLAIO IN LEGNO

Effettuo l'analisi dei carichi:

e vado a dimensionare la trave, scegliendo come materiale un legno lamellare di conifera UNI EN 1194 di tipo GL 36c (resistenza a flessione fmk = 36 N/mmq):

Procedo fissando il valore del coefficiente kMOD che tiene conto della durata del carico alla quale la trave sarà sottoposta e dei fattori di degrado (umidità):

Per una classe di durata del carico lunga fisso kMOD = 0,70

A questo punto procedo con il dimensionamento, fissando la base della trave a 30 cm:

L'altezza scelta è di 40 cm, pertanto calcolando il peso proprio della trave:

Ricalcolo l'altezza minima e verifico che sia minore dell'altezza di progetto.

La sezione 400x300 mm è verificata.

 

L'obiettivo della seconda esercitazione era quello di dimensionare una trave imponendo la tensione massima di questa uguale alla tensione di progetto del materiale, con l'ausilio di un foglio excell composto di tre foglio di calcolo, uno per ognuna delle tre tecnologie utilizzate (legno, acciaio, cls armato).

Partiamo quindi da una pianta di carpenteria di nostra scelta rappresentante un telaio piano, ossia formato da travi che collaborano con pilastri; allo scopo di questa esercitazione il vincolo che il pilastro esercita sulle travi può essere ritenuto di appoggio semplice.

Del telaio individuiamo la trave più sollecitata, ossia corrispondente all'area di influenza maggiore. Nel nostro caso la trave scelta avrà un interasse di 4 m e una luce di 5 m.

Possiamo ora inserire i primi valori nel foglio di calcolo excell.

La prima colonna della tabella è comune a tutti e tre i fogli di calcolo e ci richiede l'interasse della trave. La seconda, terza e quarta colonna ci richiedono invece il carico strutturale( ossia il carico dovuto agli elementi portanti), il carico permanente( ossia il carico dovuto a tutto ciò che grava permanentemente sulla struttura portante e non ha funzione portante) e il carico accidentale che dipende dalla tipologia di edificio analizzato e viene indicato sulla normativa.

LEGNO

Analizzeremo per prima la tecnologia del legno

Quindi procediamo a definire quali sono gli elementi portanti e quali i portati.

qs: travetti (6KN/mc)

      6KN/mc x 2 x (0,1m x 0,15m)= 6KN/mq

       tavolato ( 6 KN/mc)

       6 KN/mc x 0,035 m= 0,21 KN/mq

qs= 0,39 KN/mq

 

qp: massetto ( 20 KN/mc)

       20 KN/mc x 0,04 m = 0,8 KN/mq

       allettamento( 20 KN/mc)

       20 KN/mc x 0,03 m= 0,6 KN/mq

       pavimento= 4 KN/mq

       incidenza impianti= 0,1 KN/mq

       incidenza tramezzi= 1,6 KN/mq

qp= 3,5 KN/mq

qa= 2 KN/mq da normativa

Poichè abbiamo scelto di analizzare un edificio adibito ad uso di civile abitazione

Detto ciò possiamo inserire i seguenti dati all'interno della tabella del foglio excell

Il foglio di calcolo calcolerà ora il carico ultimo qu utilizzando la formula

qu= 1,3qs + 1,5qp + 1,5qa

dove i carichi sono opportunemente moltiplicati ognuno per il proprio coefficente moltiplicativo corrispondente alla combinazione di carico ultima.

Inserendo poi la luce della trave, il foglio calcolerà il momento massimo Mmax, dato dalla formula

Mmax= (q x l^2) / 8

ossia il momento massimo di una trave appoggiata.

M(s)= ql/2 x s - qs^2/2

M(l/2)= ql^2/4 - ql^2/8 = ql^2/ 8

In seguito inseriamo la tensione caratteristica del materiale

Nel nostro caso utilizzeremo un legno massiccio C24 quindi la nostra tensione caratteristica sarà pari a 24 N/mm^2

La tensione di progetto verrà quindi calcolata attraverso la formula

fd: fmk x k mod/ y m

dove il coefficiente k mod è un coefficiente diminutivo dei valori di resistenza del materiale, che tiene in conto l’effetto della durata del carico e delle condizioni di umidità in cui la struttura si troverà ad operare, fornito dalla normativa, mentre y m è il coefficente parziale di sicurezza relativo al materiale.

Sciegliendo poi la larghezza della trave calcoleremo l'altezza min della nostra trave

ℎ

L'obiettivo della seconda esercitazione era quello di dimensionare una trave imponendo la tensione massima di questa uguale alla tensione di progetto del materiale, con l'ausilio di un foglio excell composto di tre foglio di calcolo, uno per ognuna delle tre tecnologie utilizzate (legno, acciaio, cls armato).

Partiamo quindi da una pianta di carpenteria di nostra scelta rappresentante un telaio piano, ossia formato da travi che collaborano con pilastri; allo scopo di questa esercitazione il vincolo che il pilastro esercita sulle travi può essere ritenuto di appoggio semplice.

Del telaio individuiamo la trave più sollecitata, ossia corrispondente all'area di influenza maggiore. Nel nostro caso la trave scelta avrà un interasse di 4 m e una luce di 5 m.

Possiamo ora inserire i primi valori nel foglio di calcolo excell.

La prima colonna della tabella è comune a tutti e tre i fogli di calcolo e ci richiede l'interasse della trave. La seconda, terza e quarta colonna ci richiedono invece il carico strutturale( ossia il carico dovuto agli elementi portanti), il carico permanente( ossia il carico dovuto a tutto ciò che grava permanentemente sulla struttura portante e non ha funzione portante) e il carico accidentale che dipende dalla tipologia di edificio analizzato e viene indicato sulla normativa.

LEGNO

Analizzeremo per prima la tecnologia del legno

Quindi procediamo a definire quali sono gli elementi portanti e quali i portati.

qs: travetti (6KN/mc)

      6KN/mc x 2 x (0,1m x 0,15m)= 6KN/mq

       tavolato ( 6 KN/mc)

       6 KN/mc x 0,035 m= 0,21 KN/mq

qs= 0,39 KN/mq

 

qp: massetto ( 20 KN/mc)

       20 KN/mc x 0,04 m = 0,8 KN/mq

       allettamento( 20 KN/mc)

       20 KN/mc x 0,03 m= 0,6 KN/mq

       pavimento= 4 KN/mq

       incidenza impianti= 0,1 KN/mq

       incidenza tramezzi= 1,6 KN/mq

qp= 3,5 KN/mq

qa= 2 KN/mq da normativa

Poichè abbiamo scelto di analizzare un edificio adibito ad uso di civile abitazione

Detto ciò possiamo inserire i seguenti dati all'interno della tabella del foglio excell

Il foglio di calcolo calcolerà ora il carico ultimo qu utilizzando la formula

qu= 1,3qs + 1,5qp + 1,5qa

dove i carichi sono opportunemente moltiplicati ognuno per il proprio coefficente moltiplicativo corrispondente alla combinazione di carico ultima.

Inserendo poi la luce della trave, il foglio calcolerà il momento massimo Mmax, dato dalla formula

Mmax= (q x l^2) / 8

ossia il momento massimo di una trave appoggiata.

M(s)= ql/2 x s - qs^2/2

M(l/2)= ql^2/4 - ql^2/8 = ql^2/ 8

In seguito inseriamo la tensione caratteristica del materiale

Nel nostro caso utilizzeremo un legno massiccio C24 quindi la nostra tensione caratteristica sarà pari a 24 N/mm^2

La tensione di progetto verrà quindi calcolata attraverso la formula

fd: fmk x k mod/ y m

dove il coefficiente k mod è un coefficiente diminutivo dei valori di resistenza del materiale, che tiene in conto l’effetto della durata del carico e delle condizioni di umidità in cui la struttura si troverà ad operare, fornito dalla normativa, mentre y m è il coefficente parziale di sicurezza relativo al materiale.

Sciegliendo poi la larghezza della trave calcoleremo l'altezza min della nostra trave

ℎ

Impalcato con una luce di 3m ( 1-2-3)  e un interasse di 4 m (A-B-C). Lo sbalzo risulta di 3m

Prendo in esame la trave a sbalzo 1B - 2B. Lo schema semplice di riferimento è quello della mensola e, quindi,considero, oltre ai carichi, un momento massimo che vale Qul^2/2. In questo caso devo riprendere i carichi incidenti sulla trave considerando lo Stato Limite d' Esercizio (SLE), che ha diversi coefficienti dalla normativa, e il peso dei materiali. Dovrò poi calcolare l'abbassamento massimo e verificare che il rapporto tra la luce della trave e il suo spostamento massimo sia maggiore di 250 (imposto dalla normativa) 

Qs tot = 1,25+1,04+0,88= 3,17 Kn/mq (soletta, travetti, pignatte)

Qp tot = 0,54+1,2+ 0,0075 + 1 +0,16+1+0,5 = 4,4075 kN/mq (pavimento, malta di allettamento, isolante, massetto, intonaco di calce, incidenza tramezzi e impianti)

Qa = 2 kN/mq (da normativa per edifici residenziali)

Qu = (4,121+6,611+3)x4= 54,92 kN/mq

Calcolo il Momento massimo Mmax = Qu*l^2/2 = 247,25 kNm

Scelgo la classe di resistenza dei materiali (acciaio e cls) : acciaio B450C ( fyk ) e cls C40/50 ( fck )

Ricavo la tensione di progetto dell’acciaio :

 fyd = fyk/γ s= 450/1,15= 391,30 N/mm^2

Ricavo la tensione di progetto del cls :

fcd = αcc x (fck/ gamma c) = 0,85 x (50/1,5) =28,3 N/mm^2

Scelgo una base per la trave di 25 cm e svolgo i calcoli sul foglio elettroico Excel. Trovò cosi l'altezza della trave, il Qe, l'abbassamento massimo. Verifico poi che il rapporto tra la luce e lo spostamento massimo sia maggiore o uguale a 250.

ACCIAIO

Qs tot= 3,008 kN/mq (Lamiera grecata, getto di completamento, rete elettrosaldata)

Qp tot = 0,4 + 0,72 + 0,0075 + 1 + 0,5 = 2,63 kN/mq (Pavimentazione in ceramica, massetto, isolante, incidenza tramezzi e impianti)

Qa = 2 kN/mq (da normativa per edifici residenziali)

Scelgo la classe di resistenza del materiale : Fe 430/S275

Svolgo i calcoli sul foglio elettronico Excel

 Dovrò quindi scegliere una IPE360

LEGNO

Qs tot = 0,01 + 0,74 + 0,375 = 1,125 kN/mq (Caldana, assito, travetti)

Qp tot = 1,52 kN/mq (Sottofondo in cls magro, Isolante in fibra di legno, pavimento in gres porcellanato, incidenza tramezzi e impianti)

Qa = 2kN/mq (da normativa per edifici residenziali)

Scelgo la classe di resistenza del materiale : Gl 24 c ( F m,k) = 24 N/mm^2

Svolgo i calcoli sul foglio elettronico Excel scegliendo una base di 30cm

Disegno il mio impalcato per dimensionare una trave a sbalzo nei 3 tipi di solai. 

Considero uno sbalzo di 3 metri prendendo in esame la trave centrale 2 a-b. La luce è 3 metri, l'interasse è 4 metri.

Lo schema statico di riferimento è la mensola perciò dovrò considerare oltre ai carichi un Mmax di Qu*l^2/2. 

Dovrò ricombinare i carichi incidenti sulla trave considerando lo Stato Limite d' Esercizio (invece che lo Stato Limite Ultimo) che prende in considerazione diversi coefficienti dalla normativa e il peso del materiale utilizzato (tranne nel legno il quale peso è considerato trascurabile).

Bisogna poi calcolare l'abbassamento massimo e verificare che il rapporto tra la luce della trave e il suo spostamento massimo sia maggiore di 250, come imposto dalla normativa.

CLS ARMATO

Qs

Soletta, travetti e pignatte. Qs tot = 1,25+1,04+0,88= 3,17 Kn/mq

Qp

Pavimento, malta, isolante, massetto, intonaco, incidenza impianti e tramezzi

Qp tot = 0,54+1,2+ 0,0075 + 1 +0,16+1+0,5 = 4,4075 kN/mq

Qa

Immagino il solaio come interpiano di un edificio residenziale quindi secondo la normativa vigente 2 kN/mq

Qu = (4,121+6,611+3)x4= 54,92 kN/mq

Calcolo il Momento massimo Mmax = Qu*l^2/2 = 247,25 kNm

Scelgo la classe di resistenza dell’acciaio e del calcestruzzo: acciaio B450C ( fyk ) e cls C40/50 ( fck )

Ricaviamo la tensione di progetto dell’acciaio fyd = fyk/γ s= 450/1,15= 391,30 N/mm^2

Ricaviamo la tensione di progetto del cls fcd = αcc x (fck/ gamma c) = 0,85 x (50/1,5) =28,3 N/mm^2

Ipotizzo una base di 25 cm e svolgo tutti i calcoli sul foglio excel per trovare l'altezza, Qe, l'abbassamento massimo e per verificare che il rapporto tra luce e spostamento max sia maggiore o uguale a 250.

ACCIAIO

Qs

Lamiera grecata, getto di completamento e rete elettrosaldata

Qs tot= 3,008 kN/mq

Qp

Pavimento, massetto, isolante, incidenza impianti e tramezzi.

Qp tot = 0,4 + 0,72 + 0,0075 + 1 + 0,5 = 2,63 kN/mq  

Qa = 2 kN/mq

Scelgo la classe di resistenza del materiale : Fe 430/S275

Svolgo i calcoli sul foglio excel 

LEGNO

Qs

Caldana, assito, travetti

Qs tot = 0,01 + 0,74 + 0,375 = 1,125 kN/mq

Qp

Sottofondo, isolante, pavimento, incidenza trametti e impianti.

Qp tot = 1,52 kN/mq

Qa = 2kN/mq

Scelgo la classe di resistenza del materiale : Gl 24 c ( F m,k) = 24 N/mm^2 con classe di durata del carico permanente e classe di servizio 1. Kmod = 0,60 e coefficiente parziale di sicurezza = 1,45  

Svolgo i calcoli sul foglio ecxel impostando una base di 30 cm.

 

 

 

 

• Progetto un impalcato di riferimento come in figura: posiziono travi, pilastri e scelgo le orditure dei solai.
• Calcolo le aree di influenza per ogni trave principale, sapendo che il solaio posto sopra scarica il peso perfettamente sulle due travi principali dalle quali è sorretto.
• Riconosco la trave mensola maggiormente sollecitata con area di influenza pari al prodotto tra la luce e l’ interasse. (3mx6m= 18m²)

 

A questo punto bisogna trovare il peso totale che il solaio scarica su un m² di trave tenendo in considerazione i 3 carichi che agiscono: Qs carico strutturale, dato dal peso della struttura, Qp sovraccarico permanente, dato da quegli elementi che permanentemente compongono il solaio (incidenza impianti, incidenza tramezzi, intonaco, pavimento ecc..) e Qa sovraccarico accidentale valore fisso in base alla destinazione d’uso dell’ efidicio, dato dalla norma NTC (d.m. 14.01.2008).

Adesso andiamo a calcolare la nostra struttura con i tre materiali:

CALCESTRUZZO ARMATO

1. Pavimentazione - 2cm
2. Malta di allettamento - 4cm
3. Isolante - 6cm
4. Guaina impermeabile – 0,7cm
5. Caldana - 4cm
6. Piagnatta - 26x38x20cm
7. travetti - 13cm

 

1- CARICO STRUTTURALE (Qs)

Calcolo il carico strutturale in un m² di solaio dato dalla somma del carico dato dai travetti, elementi strutturali del solaio e dalle pignatte, di alleggerimento.

I(travetti)= interasse= 0,50m

I(pignatte)= 0,38m

Numero di travetti in un metro² = 1/i = 2

Numero di pignatte in un metro² = 1/i = 2,63

Calcolo il peso dei singoli materiali moltiplicando il Volume con il proprio peso e con il numero di elementi in un metro²:

 

Caldana = γ * V = 25 kN/m³ * (0,04*1*1)m = 1 kN/m²

Travetti = 25 kN/m³ * 2* (0,26*0,13*1)m = 1,69 kN/m²

Pignatte = 5,5 kN/m³ * 2,63* (0,26*0,38*1)m = 1,42 kN/m²

 

Qs tot = 1 kN/m² + 1,69 kN/m² + 1,42 kN/m² = 4,11 kN/m²

 

2- CARICO PERMANENTE (Qp)

 

Calcolo il sovraccarico permamente in un m² di solaio dato dalla somma del peso degli elementi portati permamentemente:

 

Intonaco = 15 kN/m³ * (0,01*1*1)m = 0,15 kN/m²

Malta di allettamento = 20 kN/m³ * (0,04*1*1)m = 0,8 kN/m²

Isolante =

Pavimento = 28 kN/m³ * (0.01*1*1)m = 2,28 kN/m²

Incidenza impianti = 0,5 kN/m²

Incidenza tramezzi = 1 kN/m²

Qs tot = 0,15 kN/m² + 0,8 kN/m² + 0,03 kN/m² + 2,28 kN/m² + 0,5 kN/m² + 1 kN/m² = 4,76 kN/m²

3- CARICO ACCIDENTALE (Qa)

2,00 kN/m² à valore tabellato da normativa, dipendente dalla destinazione d’uso dell’ambiente architettonico preso in esame, in questo caso ho scelto di immaginare il solaio come interpiano di un edificio residenziale.

4- CALCOLO IL CARICO ULTIMO (Qu)

Qu = (1,3*qs + 1,5*qp + 1,5*qa)* i = (1,3 * 4,11 + 1,5 * 4,76 + 1,5 * 2)* 6 = 92,80 kN/m²

 

5- CALCOLO DEL MOMENTO MASSIMO

Poichè si sta prendendo in considerazione una mensola e non una trave appoggiata, il momento massimo sarà uguale a qL²/2

Mmax= 4,76 * 5^2/8= 290,31 KN*m

6- SCELGO LA CLASSE DI RESISTENZA DELL’ ACCIAIO

Per l’acciaio da calcestruzzo armato sono previste solo due categorie B450A e B450C che hanno lo stesso valore di tensione di snervamento fyk=450 N/mm² ma una differente duttilità cioè si rompono a seguito di due diverse deformazioni e perciò sono associate a due diversi coefficienti di sicurezza.

Scelgo l’acciaio B450C più duttile ammesso in zona sismica che ha un coefficiente di sicurezza più basso pari 1,15.

 

7- TENSIONE DI PROGETTO DELL’ ACCIAIO

fyd= fy/γ_s= 450/1,15 = 391,30 N/mmq
dove 1,75 è il coefficiente di sicurezza del calcestruzzo armato.

8- TENSIONE DI PROGETTO DEL CALCESTRUZZO

Le classi più usate sono la C20/25, C60/75  e la C40/50 come nel nostro caso. Inserisco il valore di resistenza cilindrica del calcestruzzo armato fck= 50N/mmq
fcd = 50/1,75= 22,67 N/mmq
dove 1,75 è il coefficiente di sicurezza del calcestruzzo armato.

9- ALTEZZA UTILE

A questo punto date le 2 incognite, trovo l’altezza della mia trave fissando un valore alla base b =30 cm, otteniamo così il valore di altezza utile hu che corrisponde alla distanza tra il lembo compresso della sezione e l’asse dell’armatura tesa.

Tramite il foglio Excel trovo prima il valore α e il valore r per determinare l’altezza utile:
β=  fd_c/ (fd_c+fd_s/15)= 0.46 (numero puro); r =  ( 2/( α ( 1- α/3)))^0.5= 2.26 (numero puro)
hu= r √(M/ fD_c x b) = 46,62 cm
L’altezza totale H=hu+δ = 46,62 +5 = 51,62 cm
dove δ è la misura del copriferro che di solito misura 5cm.

10- DEFORMABILITA’: STATI LIMITE D’ESERCIZIO (SLE)

Ci troviamo nel campo elastico, quindi dovremmo verificare che il rapporto tra la luce della mensola ed il suo spostamento sia maggiore di 250 come imposto dalla normativa. Per fare ciò, bisogna calcolare il momento di inerzia (b*h³)/12, bisogna ricalcolare il carico allo stato limite d’ esercizio [(Qs +Qp + 0.5*Qa) * interasse] + peso della trave in c.a. ed infine lo spostamento verticale massimo della mensola che come sappiamo è (qL⁴)/8EI. A questo momento verifico se il rapporto L/Vmax sia inferiore a 250 per accertarmi che la trave superi la prova a deformabilità a stato limite d’esercizio.

11- VERIFICA

Infine sommo al peso totale dei carichi il peso proprio della sezione della trave (2,00 kN/m²) e verifico se il profilo 20x40cm va bene o se ho bisogno di uno con un’ altezza maggiore.

 

La sezione 20x40 in c.a. è verificata.

ACCIAIO

1- CARICO STRUTTURALE (Qs)

Calcolo il carico strutturale in un m² di solaio dato dalla somma del carico dato dalla lamiera gregata e dal getto di completamento

Calcolo il peso dei singoli materiali moltiplicando il Volume con il proprio peso e con il numero di elementi in un metro²:

 

Lamiera gregata = γ * V = 0,10 kN/m³ * (1*1*1)m = 0,10 kN/m²

Getto di completamento = 25 kN/m³ * (0,12*1*1)m = 3 kN/m²

 

Qs tot = 0,10 kN/m² + 3 kN/m² = 3,10 kN/m²

 

2- CARICO PERMANENTE (Qp)

 

Calcolo il sovraccarico permamente in un m² di solaio dato dalla somma del peso degli elementi portati permamentemente:

 

Malta di allettamento = 20 kN/m³ * (0,03*1*1)m = 0,6 kN/m²

Rete elettrosaldata =

Pavimento = 28 kN/m³ * (0.01*1*1)m = 2,28 kN/m²

Incidenza impianti = 0,5 kN/m²

Incidenza tramezzi = 1 kN/m²

Qs tot = 0,6 kN/m² + 0,54 kN/m² + 2,28 kN/m² + 0,5 kN/m² + 1 kN/m² = 4,92 kN/m²

3- CARICO ACCIDENTALE (Qa)

3,00 kN/m² à valore tabellato da normativa, dipendente dalla destinazione d’uso dell’ambiente architettonico preso in esame, in questo caso ho scelto di immaginare il solaio come interpiano di un edificio per uffici.

4- CALCOLO IL CARICO ULTIMO

Qu = (1,3*qs + 1,5*qp + 1,5*qa)* i = (1,3 * 3,10 + 1,5 * 4,92 + 1,5 * 3)* 6 = 92,80 kN/m²

5- SCELGO LA CLASSE DI RESISTENZA

L’ acciaio scelto è del tipo FE430/ S375, il foglio excell mi calcola che il modulo di resisitenza minimo è Wx= 410,04 cm² quindi devo necessariamente sceglie un profilato con modulo di resistenza maggiore:

IPE270 (Wx= 429cm²)

6- DEFORMABILITA’: STATI LIMITE D’ESERCIZIO (SLE)

Ci troviamo nel campo elastico, quindi dovremmo verificare che il rapporto tra la luce della mensola ed il suo spostamento sia maggiore di 250 come imposto dalla normativa. Per fare ciò, bisogna calcolare il momento di inerzia dato dalle tabelle delle IPE, bisogna ricalcolare il carico allo stato limite d’ esercizio [(Qs +Qp + 0.5*Qa) * interasse] + peso della trave in acciaio ed infine lo spostamento verticale massimo della mensola che come sappiamo è (qL⁴)/8EI. A questo momento verifico se il rapporto L/Vmax sia inferiore a 250 per accertarmi che la trave superi la prova a deformabilità a stato limite d’esercizio.

La trave di acciaio di tipo IPE 270 è verificata.

LEGNO

1- CARICO STRUTTURALE (Qs)

Calcolo il carico strutturale in un m² di solaio dato dalla somma del carico dato dai travetti in legno e dal tavolato in legno

Calcolo il peso dei singoli materiali moltiplicando il Volume con il proprio peso e con il numero di elementi in un metro²:

 

travetti = γ * V = 5 kN/m³ * (0,20*0,40*1)m = 0,40 kN/m²

tavolato in legno = 6 kN/m³ * (0,04*1*1)m = 0,24 kN/m²

 

Qs tot = 0,40 kN/m² + 0,24 kN/m² = 0,64 kN/m²

 

2- CARICO PERMANENTE (Qp)

 

Calcolo il sovraccarico permamente in un m² di solaio dato dalla somma del peso degli elementi portati permamentemente:

 

Caldana in cls = 20 kN/m³ * (0,04*1*1)m = 0,8 kN/m²

Malta di allettamento = 18 kN/m³ * (0,06*1*1)m = 1,08 kN/m²

Massetto di sottofondo =

Pavimento = 7,5 kN/m³ * (0,01*1*1)m = 0,07 kN/m²

Incidenza impianti = 0,5 kN/m²

Incidenza tramezzi = 1 kN/m²

Qs tot = 0,8 kN/m² + 1,08 kN/m² + 0,36 kN/m² + 0,07 kN/m²  + 0,5 kN/m² + 1 kN/m² = 3,81 kN/m²

3- CARICO ACCIDENTALE (Qa)

2,00 kN/m² à valore tabellato da normativa, dipendente dalla destinazione d’uso dell’ambiente architettonico preso in esame, in questo caso ho scelto di immaginare il solaio come interpiano di un edificio per uffici.

4- CALCOLO IL CARICO ULTIMO

Qu = (1,3*qs + 1,5*qp + 1,5*qa)* i = (1,3 * 0,64 + 1,5 * 3,81 + 1,5 * 2)* 6 = 57,282 kN/m²

5- SCELGO LA CLASSE DI RESISTENZA

Si sceglie di realizzare il solaio con un legno lamellare GL24C (f_m,k = 24 N/mm²), con una classe di servizio 2 (lunga), quindi il k_mod = 0,70.

Il foglio excell si calcola poi la resistenza di progetto, definita dal prodotto della resistenza caratteristica del legno f_m,k per il coefficiente di degrado nel tempo k_mod diviso il coefficiente di sicurezza γ_m (1,45 da normativa)

6- DIMENSIONAMENTO TRAVE

 

Si imposta la base della trave di 20 cm e si ricava l’altezza.

Si inseriscono i dati nella tabella Excel per dimensionare la trave.

 

L’altezza minima della trave deve essere di 40,85 cm infatti:

W_x= M_x/f_d

Per una sezione rettangolare omogenea W_x = 1/6*b*h

h = √[(6M_x)/(b*f_d)] = l*α

Si prende una sezione di 20x45 cm.

7- DEFORMABILITA’: STATI LIMITE D’ESERCIZIO (SLE)

Ci troviamo nel campo elastico, quindi dovremmo verificare che il rapporto tra la luce della mensola ed il suo spostamento sia maggiore di 250 come imposto dalla normativa. Per fare ciò, bisogna calcolare il momento di inerzia dato da (b*h³)/12, bisogna ricalcolare il carico allo stato limite d’ esercizio (Qs +Qp + 0.5*Qa) * interasse (si può trascurare il peso della trave in legno) ed infine lo spostamento verticale massimo della mensola che come sappiamo è (qL⁴)/8EI. A questo momento verifico se il rapporto L/Vmax sia inferiore a 250 per accertarmi che la trave superi la prova a deformabilità a stato limite d’esercizio.

La trave di legno 20x45 è verificata.

Scopo di questa esercitazione è individuare la trave maggiormente sollecitata di una carpenteria. Nel mio caso, dopo averla individuata calcolo l'area d'influenza--> interasse= 4m, luce= 6m, area influenza 24 mq.

A questo punto dobbiamo progettare una trave nei seguenti materiali: legnno, acciaio e C.A.

LEGNO

A questo punto dopo aver scelto la tipologia di solaio in legno dobbiamo calcolare i carichi distribuiti (kN/mq)

e si dividono in 

q_s carichi strutturali, dato da tutti gli elementi con funzione strutturale

q_p carichi permanenti, tutti gli elementi presenti nel solaio ma che non hanno una funzione strutturale.

q_a carichi accidentali, dipendono dalla destinazione d'uso e sono definiti dalla normativa. 

Per avere il carico totale andremo a sommare questi carichi che saranno a loro volta moltiplicati per un coefficiente dato dalla normativa, la formula è:

con = 1.3 = 1.5 =1.5

A questo punto cerchiamo i carichi per il nostro solaio in legno

carichi strutturali

travetto 6kN/m3 x 0.081=0.54 kN/m²

 tavolato 7 kN/m³ x 0.08= 0.56 kN/m² 

q_s= 1.1 kN/m²

carichi permanenti

incidenza travetti 1 kN/m²

incidenza impianti 0.5 kN/m²

pavimento 20 kN/m³ x 0.02= 0.4 kN/m²

massetto 19 KN/m³ x 0.04= 0.76 kN/m² 

q_p= 2.66 kN/m²

q_a =2 kN/m²

A questo punto andiamo ad inserire tutti i dati trovati nel foglio excel 

inserendo, quindi, l'interasse e i carichi precedentemente trovati il file calcolerà il carico ultimo ( è un carico distribuito lineare) inserendo poi la luce della trave (considerata come doppiamente appoggiata) il foglio calcolerà il momento massimo. 

Scegliamo ora il tipodi legno che vogliamo utilizzare di classe C24 che avrà quindi f_m,k =24, mentre k_mod è un coefficiente che tiene conto del degrado del materiale, il foglio calcola la tensione di progetto. 

Scegliamo ora la misura della base e il foglio ci calcolerà l'altezza della trave minima che ovviamente andrà ingegnerizzata.

ACCIAIO

Stesso procedimento fatto per il solaio in legno lo facciamo anche per il solaio in acciaio 

carichi strutturali

lamiera grecata 0.11kN/m³ x 0.075= 0.0082kN/m²

getto cls 10x0.15= 1.5 KN/m²

q_s=1.51KN/m²

carichi permamenti

pavimento 0.02x 20=0.4 KN/m²

massetto0.035x19= 0.665 KN/m²

impianti 0.5kN/m²

tramezzi 1 kN/m²

isolante 0.35x0.04= 0.014 kN/m²

q_p=2.58 kN/m²

q_a= 2 kN/m²

inseriamo i dati nel foglio excel

scelgo l'acciaio S235 , il foglio di calcolo mi darà W_x,min e attraverso ai profilari troviamo l'IPE che soddisfa il nostro caso.

latero-cemento

carichi strutturali 

cls 0.04 + (0.16x0.1)x 2.5= 1.2 KN/m²

pignatta (0.4x0.16) x 15=0.96 KN/m²

^q_s =2.16 kN/m²

carichi permanenti

tramezzi 1 kN/m²

impianti 0.5 kN/m² 

pavimento 0.36kN/m²

massetto 0.38 kN/m²

^q_p= 2.24 kN/m²

^q_a 2 kN/m² 

a questo punto essendo il cemento armato un materiale non omogeneo dovremo scegliere e inserire le resistenze sia del cemento che dell'acciaio

nel caso del C.A. la sezione della trave dovrà essere progettata in modo da riuscire a sostenere anche il peso proprio.

 

In questa esercitazione lo scopo è la verifica a deformabilità  della sezione di una trave a sbalzo nei tre materiali: legno, acciaio e cemento armato.

Per quanto riguarda il dimensionamento della trave, Il metodo di progetto  è analogo a quello utilizzato nella prima esercitazione, con una osservazione:

lo schema statico di riferimento qui considerato non è più una trave doppiamente appoggiata (esercitazione 2), bensì una mensola. Quindi il Momento massimo, in corrispondenza della sezione di incastro, varrà:

                                                             

                                                                     M_max = q_ul²/ 2

 

SCHEMA STATICO DI RIFERIMENTO: MENSOLA

 

 Prendo in esame un'ipotetica pianta di carpenteria con una maglia strutturale in cui le ultime due campate                sull'estremità destra sono aggettanti e ne individuo la trave maggiormente sollecitata , con la sua area di influenza.

 

VERIFICA A DEFORMABILITA'

Dimensionata la sezione della trave, la verifica a deformabilità controllando l'abbassamento massimo della mensola in rapporto alla sua luce. Questo, è un procedimento che verrà effettuato allo Stato Limite di Esercizio (SLE) poichè, in questo caso,non è richiesta la verifica a rottura (SLU) ma solo controllare che non vi siano spostamenti e deformazioni che possano compromettere l'utilizzo e l'efficienza della costruzione, insieme al suo aspetto.

A questo fine, carichi incidenti sulla struttura sono ricombinati seguendo la combinazione frequente, impiegata solitamente per gli stati limite di esercizio reversibili:

                                                                 

                                                                q_e= (G₁ + G₂ + ψ11Q₁) x i

 

(G1 è il valore caratteristico del peso del carico strutturale q_s e G₂ del peso del carico permanente q_p, mentre  ψ₁₁ è un coefficiente che definisce il valore frequente di Q1che rappresenta il valore caratteristico dell’azione variabile q_a).

In questa fase, bisognerà anche controllare, a seconda della tecnologia utilizzata, se considerare o meno il peso proprio della trave poichè essa, se rilevante ai fini del risultato, verrà riutilizzata per calcolare il carico totale q_e (il file Excel relativo a questa esercitazione lo farà in automatico).

Infine, per calcolare lo spostamento, è necessario conoscere il modulo elastico della sezione (E) ed il suo momento di inerzia (I_X). Inserite queste informazioni nel file Excel, il programma ci fornirà in automatico il valore dell'abbassamento massimo (v_max) attraverso la formula:

                                                                       v_max = q_el⁴/ 8 E I_x

con  q_e (kN/m) = carico totale di esercizio

       l(m)         = luce trave 

       E             = modulo elastico del materiale 

       I_x (cm⁴)    = momento di inerzia della sezione 

verificando che il rapporto tra la luce della trave e il suo spostamento massimo (v_max) sia maggiore di 250, come imposto dalla normativa in base al tipo di elemento strutturale considerato.

                                                                                    l / v_max ≥ 250

 

TRAVE IN LEGNO

 

Dimensionamento

Riprendendo il procedimento svolto nell'esercitazione 2 (dimensionamento di una trave in legno,acciaio e cemento armato), a partire da una sezione data, ottengo:

Sezione Trave

 

Carico totale agente sulla trave e  Momento massimo

Come abbiamo già detto, lo schema isostatico in questo caso è quello di una mensola, dunque il Momento massimo sarà il quadruplo di quello relativo allo schema isostatico di una trave appoggiata (M_max,mensola = ql²/2 ):

Tensione di Progetto

 

Scelta della trave, data la base 

Ipotizzando di avere una base di 20 cm (b = 20 cm) otterrò un'altezza minima che, dopo essere stata ingegnerizzata, mi porterà a scegliere una trave di dimensioni 20 X 116 cm.

                                                     

      

 

Verifica a Deformabilità

 

Carico di esercizio (q_e) e incidenza del peso proprio della trave

Definita la sezione, il programma mi fornisce subito la combinazione di carico di esercizio q_e combinando i carichi di esercizio secondo la combinazione frequente chiarita sopra e, poichè il legno è un materiale leggero viene trascurato il peso proprio della trave.

q_e,legno = 21 kN/m

 

Spostamento trasversale massimo

Per calcolare lo spostamento, inserisco nel file Excel il valore del modulo elastico del legno ( E ) - per la verifica allo SLE và preso in considerazione il modulo elastico medio parallelo E_0,g,mean , da sostituire invece con quello caratteristico E_0,g,05 per la verifica allo SLU - che per il legno lamellare da me scelto è E = 126 000 N/mm²

 

ed il foglio di calcolo mi fornisce il valore del momento di inerzia della sezione (I_x). Nel caso presente, che presenta l'analisi di una sezione di legno rettangolare, I_x = bh³/ 12.

A questo punto, il programma ha tutti i dati necessari per calcolarmi anche l'abbassamento massimo della mensola secondo la formula scritta sopra (v_max = q_el⁴/ 8 E Ix ):

v_{max, legno} = 0.05 cm 

 

Verifica

La sezione è verificata, come mi conferma la tabella di calcolo, dal fatto che il rapporto fra la luce della trave e il suo spostamento massimo è di gran lunga maggiore di 250 (verifica ⇔ l/v_max  ≥ 250) :

l / v_{max, legno} = 9872,21 >250 

 

TRAVE IN ACCIAIO

Come per il caso della trave in legno, riprendendo il procedimento svolto nell'esercitazione 2 (dimensionamento di una trave in legno,acciaio e cemento armato), a partire da una sezione data ottengo:

Sezione Trave

 

Carico totale agente sulla trave e  Momento massimo

Come abbiamo già detto, lo schema isostatico in questo caso è quello di una mensola, dunque il Momento massimo sarà il quadruplo di quello relativo allo schema isostatico di una trave appoggiata (M_max,mensola = ql²/2 )

 

Tensione di Progetto e Modulo di Resistenza minimo

Scelto un acciaio medio - classe Fe360 / s235 - con resistenza caratteristica di snervamento f_y,k =235MPa, ottengo f_y,d e W_x,min. 

 

Scelta della Trave

 I valori trovati mi portano a scegliere un profilato IPE 600 che avrà un modulo di resistenza  W_x = 3070.0 cm³  ed un momento di inerzia I_x= 92080 cm^4.

 

Verifica a Deformabilità

 

Carico di esercizio (q_e) e incidenza del peso proprio della trave

Definita la sezione, inseriamo nel foglio di calcolo il momento di Inerzia del profilato e il suo peso proprio, il cui contributo, nel caso dell'acciaio, ha un contributo significativo ai fini dell'analisi progettuale.

I_x= 92080 cm⁴                                                      Peso = 122 kg/m = 1.22 kN/m

 

Spostamento trasversale massimo

Per calcolare lo spostamento infine, inserisco nel file Excel il anche il valore del   modulo elastico dell'acciaio 

 E = 210000 N/mm²  ed ottengo l'abbassamento massimo della mensola in acciaio (v_max = q_el⁴/ 8 E Ix ):

v_{max, acciaio} =  1.134 cm

 

Verifica

Anche in questo caso, la sezione è verificata, come mi conferma la tabella di calcolo.Il rapporto fra la luce della trave e il suo spostamento massimo infatti, è maggiore di 250 (verifica ⇔ l/v_max  ≥ 250) :

l / v_{max, acciaio} = 440.803  >250 

 

 

TRAVE IN CEMENTO ARMATO

Anche qui, riprendendo il procedimento svolto nell'esercitazione 2 (dimensionamento di una trave in legno,acciaio e cemento armato), a partire da una sezione data ottengo:

Sezione Trave

 

Carico totale agente sulla trave e  Momento massimo

Di nuovo,lo schema isostatico in questo caso è quello di una mensola, dunque il Momento massimo sarà il quadruplo di quello relativo allo schema isostatico di una trave appoggiata (M_max,mensola = ql²/2 )

 

Tensioni di Progetto

Utilizzo un acciaio B450 A  (f_yk= 450MPa) ed un calcestruzzo ordinario C 32/40  (f_ck = 40 MPa ). Tramite le resistenze caratteristiche, il foglio Excel mi calcola la tensione di progetto del calcestruzzo compresso (fc_d) e quella dell'acciaio (f_yd)

Scelta della Trave

Posta b = 40 cm , e tramite i valori delle tensioni di progetto cosi ottenuti, si può determinare h_u (altezza utile della sezione) e da essa H_min(altezza minima della sezione) come analizzato nell'esercitazione 2. 

L'altezza minima ottenuta (H_min) è uguale a 75,36 cm; ingegnerizzo la sezione e scelgo una trave in cemento armato con sezione 30 X 90 (H = 90 cm).  

Il foglio Excel mi verifica in automatico la resistenza della trave scelta tenendo conto - insieme ai carichi - del suo peso proprio (moltiplicato per il fattore di sicurezza 1,3) a partire dalla conoscenza del peso specifico del cls armato pari a 25 kN/ m³.

 

 

Verifica a Deformabilità

 

Carico di esercizio (q_e) e incidenza del peso proprio della trave

Anche nel caso del cemento armato, bisognerà tenere conto del peso proprio della trave (ricavato automaticamente da Excel) ; il foglio di calcolo, tenendone conto,mi fornisce il valore del carico di esercizio tramite la combinazione frequente dei carichi incidenti.

q_{e,cls armato} = 39,40 kN/m

 

Spostamento trasversale massimo

Per calcolare lo spostamento infine, inserisco nel file Excel il anche il valore del   modulo elastico del calcestruzzo

C 32740 pari a  E = 33300 N/mm²  ed ottengo l'abbassamento massimo della mensola in acciaio (v_max = q_el⁴/ 8 E Ix ):

v_{max, cls armato} =  0.38 cm

 

Verifica

Anche in questo caso, la sezione è verificata, come mi conferma la tabella di calcolo.Il rapporto fra la luce della trave e il suo spostamento massimo infatti, è maggiore di 250 (verifica ⇔ l/v_max  ≥ 250) :

l / v_{max, acciaio} = 1314,59  >250 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pur presentando una carpenteria differente rispetto a quella proposta nella precedente esercitazione (mantenere le stesse dimensioni per verificare le diverse esigenze in termini di geometria della sezione rispetto alle due diverse verifiche sarebbe stato interessante qualora la struttura isostatica proposta fosse stata la stessa; in questo caso, tuttavia, ci troviamo di fronte ad una mensola, non più di fronte ad una trave appoggiata-appoggiata), riproporrò gli stessi solai (in legno, acciaio e calcestruzzo armato) e gli stessi materiali (legno Gl 24c, acciaio Fe 430/S275, calcestruzzo C 25/30 con barre d’acciaio B450A) riprendendo quindi alcuni dati e modificandone altri. 

 

Lo scopo della terza esercitazione è quello di effettuare su queste tre mensole, da non confondere con aggetti, la verifica a deformabilità, controllando l’abbassamento minimo dell’elemento strutturale in rapporto alla sua luce. A proposito di mensole ed aggetti, cercherò di dare una definizione empirica della differenza tre le due: la geometria delle prime “termina” nel momento in cui entra in contatto con la parete o il pilastro che la sostiene (mettendo gli occhiali della cinematica, diremmo dell’incastro); i secondi, invece, continuano. Detto altrimenti, mentre le mensole sono corpi “interamente” a sbalzo, gli aggetti ne presentano solo una parte.

Il procedimento è analogo (seppur con alcune differenze che vedremo) per tutte e tre le tecnologie, e da effettuarsi allo Stato Limite d’Esercizio (SLE), differentemente da quanto avvenuto invece per il dimensionamento delle travi nella precedente esercitazione, che ha avuto luogo allo Stato Limite Ultimo (SLU). La motivazione è chiara: il tipo di verifica che ci interessa - in questo caso - non è finalizzata ad esser sicuri o meno che la struttura non si “rompa”; ci si pone un gradino sotto, controllando che non vi siano spostamenti che possano limitare l’uso della costruzione, la sua efficienza ed il suo aspetto. Torniamo quindi con un concetto già accennato nella prima esercitazione a proposito delle due fondamentali operazioni di verifica da applicare sulle strutture: le prime di carattere fondamentale (la verifica a rottura allo SLU), che pongono in gioco questioni vitali riguardo la rottura della struttura e la salvaguardia stessa della vita umana; le altre inerenti al benessere (la verifica a deformabilità allo SLU).

Ipotizziamo in tutti e tre i casi di trovarci dinnanzi ad una mensola di lunghezza l e caricata con un carico uniformemente distribuito pari a q_u. Evidentemente, il momento massimo – in corrispondenza della sezione d’incastro – varrà

M_max=(q_u*l²)/2

L’importanza nel sottolineare il tipo di carico (distribuito o concentrato) nonché – nel caso di carico distribuito – il tipo di distribuzione (uniforme o non) è cruciale: questo condiziona il momento massimo che a sua volta influenza lo spostamento minimo (insieme ad altri fattori che vedremo in seguito: il Modulo Elastico ed il Momento d’Inerzia).

Entriamo quindi nel vivo della terza esercitazione.

Nell’aprire il file Excel ci troviamo di fronte – nella parte inziale – ad un qualcosa di già visto nell’esercitazione numero due (eccezion fatta per il valore del momento massimo nella sezione maggiormente sollecitata; del resto stavamo prendendo in considerazione una trave doppiamente appoggiata). Iniziamo quindi con il ricavarci, con un procedimento analogo a quello già applicato in precedenza (per una descrizione dettagliata di tutti i passaggi riferirsi quindi alla suddetta esercitazione), la geometria delle nostre mensole, attraverso il calcolo dell’altezza minima (nel caso del legno e del calcestruzzo armato) oppure del modulo di resistenza a flessione minimo (nel caso dell’acciaio).

Per un interasse di 4,5m ed una luce di 3m, con le caratteristiche dei materiali precedentemente descritti, otterremo una sezione lignea di 30x60, una IPE300 ed una sezione in calcestruzzo armato 30x50 (ovviamente dopo le necessarie ingegnerizzazioni). 

Legno

Acciaio

Calcestruzzo armato

 

Quindi, dopo aver dimensionato le sezioni allo SLU, possiamo verificarne la deformabilità allo SLE. Ed è proprio poiché questo tipo di verifica (per motivazioni introdotte prima) viene fatto allo stato limite d’esercizio che i carichi incidenti sulla struttura vengono ricombinati seguendo la combinazione frequente, generalmente impiegata per gli stati limite di esercizio reversibili:

q_e= (G1 + G2 + ψ_11*Q₁) _* i con

G1 = rappresenta il valore caratteristico del peso proprio di tutti gli elementi strutturali (sostanzialmente q_s);

G2= il valore caratteristico del peso proprio di tutti gli elementi non strutturali (q_p);

ψ₁₁ = coefficiente che definisce il valore frequente dell’azione variabile Q1, assimilabile al valore medio della distribuzione temporale dell’intensità (pari nel nostro caso a 0,5);

 

Q₁₌ il valore caratteristico dell’azione variabile (q_a);

i = interasse

Ma non si riduce a questo la differenza rispetto alla verifica allo SLU. Ad esempio: nel caso del legno (il materiale più leggero fra i tre) il peso proprio della trave viene trascurato, come avviene anche nel caso di verifica a rottura allo Stato Limite Ultimo. Tuttavia, non è così non solo per il calcestruzzo armato, ma anche per l’acciaio; si dovrà quindi inserire nel foglio di calcolo anche il suo di peso, in kN/m (la nostra IPE300 pesa 42,2 kg/m, ossia 0,42 kN/m circa). Per questi ultimi due materiali quindi, il peso proprio verrà preso in considerazione per ricavare il carico totale q_e.

Nel nostro caso specifico, i pesi delle strutture che bisogna aggiungere per trovare il carico totale q_e sono:

3,75 kN/m per il calcestruzzo;

0,42 kN/m per l’acciaio;

Infine, il calcolo dello spostamento. Come già accennato, abbiamo bisogno di altre due informazioni oltre al valore del momento massimo: una relativa al materiale di cui è composta la mensola (ossia il suo modulo di elasticità, brutalmente sintetizzabile come il rapporto tra la tensione e la deformazione), l’altra relativa alla sua geometria (il momento d’inerzia I_x).

Questi valori sono rispettivamente:

E_legno =   11600 N/mm²  è il modulo elastico medio parallelo (da utilizzare nel caso di verifiche allo stato limite d’esercizio), non il modulo elastico caratteristico (da utilizzare per verifiche allo stato limite ultimo;

E_acciaio = 200000 N/mm²

E_calcestruzzo = 25000 N/mm²

I_x,legno = 540000 cm⁴

I_{x, acciaio} = 8356 cm⁴

I_{x, calcestruzzo} = 312500 cm⁴

Noti questi valori, possiamo calcolarci lo spostamento (abbassamento) massimo di una mensola sottoposta a carico uniformemente distribuito:

 v_max= - (q_e*l⁴)/8_*E_*I_x

Nel nostro caso, gli spostamenti saranno pari rispettivamente a:

v_max,legno= 0,41 cm

v_max,acciaio= 0,898 cm

v_{max,calcestruzzo armato}= 0,24 cm

L’esercitazione si conclude verificando che il rapporto tra la luce della trave ed il suo spostamento massimo sia maggiore di 250, come imposto dalla normativa di base al tipo di elemento strutturale considerato: l/vmax dev’essere minore od uguale a 250. Nel nostro caso, i rapporti sono tutti e tre verificati.

l/ v_max,legno = 882,97

l/ v_max,acciaio = 334,022

l/ v_{max,calcestruzzo armato} = 1275, 38

Legno

Acciaio

Calcestruzzo armato

 

Vorrei adesso spendere alcune righe sul come siamo arrivati a formulare lo spostamento massimo di una mensola con carico uniformemente distribuito. Per ricavare lo spostamento di questo schema isostatico noto prendiamo come base la trave di Bernoulli descritta da tre gruppi di equazioni:

quelle di Bilancio (siamo in campo statico)

dN/ds + q1 = 0

dT/ds + q2 = 0

dM/ds + T + μ = 0

quelle di Congruenza (siamo in campo cinematico)

ε_(s) = dv/ds

γ_(s) = dv/ds – ϕ_(s)

χ_(s) = d ϕ/ds

quelle del legame costitutivo (che fanno da trait d’union tra il campo statico e quello cinematico)

N_(s) = E_*A_*ε(s)

M_(s) = E_*I_* χ(s)

Partiamo quindi operando un taglio virtuale di Cauchy sulla nostra mensola; l’equazione in funzione di s che descriverà l’andamento del momento lungo la mensola sarà:

M_(s)=-(q_*l²)/2 + q_*l_*s – (q_*s²)/2

A partire da questa otterremo lo spostamento verticale in funzione di s integrando l’equazione tre volte, passando per la curvatura e la rotazione:

χ_(s) = -(q_*l²)/2_*E_*I + (q_*l_*s)/E_*I – (q_*s²)/2_*E_*I

ϕ_(s)= -(q_*l²_*s)/2_*E_*I + (q_*l_*s²)/2_*E_*I – (q_*s³)/6_*E_*I +c₁

v_(s)= -(q_*l²_*s²)/4_*E_*I + (q_*l_*s³)/6_*E_*I – (q_*s³)/24_*E_*I +c_1*s + c₂

Il valore di v ci è noto a meno di due costanti, che otteniamo analizzando due condizioni al bordo. Essendoci un incastro come vincolo, avremo che:

ϕ₍₀₎ = 0

v₍₀₎ = 0

Conseguentemente, c₁ = 0 e c₂ = 0, mentre v_(s=l) = -(q_*l⁴)/8_*E_*I, con il segno meno in quanto abbassamento. c.v.d.

Terminiamo constatando che, cambiando tipologia di carico (passando quindi da un distribuito uniforme ad un concentrato al centro e nell’estremo sena vincoli), non necessariamente cambierà il valore del momento massimo nella sezione più sollecitata (nel primo caso rimarrà sempre M_max = (q_*l²)/2, mentre nel secondo varia: M_max = q_*l²), mentre varia lo spostamento massimo:

v_max = -(7_*q_*l⁴)/78_*E_*I            nel caso del carico concentrato al centro

 

v_max = -(q_*l⁴)/24_*E_*I                nel caso del carico concentrato nell’estremo libero

Entrambi i valori si ottengono con procedimento analogo a quello descritto sopra, partendo dall’equazione del momento lungo la mensola in funzione di s ed integrandola tre volte (dividendo i due campi 0 < s < l/2 e l/2 < s < l nel caso di carico concentrato al centro).

Verifichiamolo velocemente creando due nuovi file Excel.

Nel primo caso ipotizziamo un carico ql concentrato e centrato. La formula del M_max non varia, mentre varia quella dello spostamento. La verifica va comunque a buon fine.

Legno

Acciaio

Calcestruzzo Armato

Nel secondo ipotizziamo invece un carico ql concentrato nell’estremo non vincolato. Cambierà tanto la formula dello spostamento, quanto quella del momento massimo (nel caso del calcestruzzo, bisogna ricordarsi di cambiarla due volte, la seconda nel momento in cui viene aggiunto il peso proprio e verificata nuovamente la fattibilità della geometria scelta. Anche in questo caso, la verifica va comunque a buon fine.

Legno

Acciaio

Calcestruzzo armato