SdC(b) (LM PA)

Ipotizzata la struttura in figura, la trave che mi accingo a dimensionare - in legno, acciaio e calcestruzzo armato - è quella maggiormente sollecitata, ovvero interessata dalla maggiore area di influenza - 30 m², dove 5 m = interasse e 6 m = luce.

 

TRAVE IN LEGNO

1| Analisi dei carichi

Come prima cosa, calcolo i carichi - strutturali, permanenti e accidentali - che la trave dovrà sopportare.

*Carichi strutturali

Travetto con sezione 12x22 cm e peso specifico 6 kN/m³

      q₁= (0,12 x 0,22 x 1) m³/m² x 6 kN/m³ = 0,158 kN/m²

Tavolato con spessore 4 cm e peso specifico 7 kN/m³

      q₂= (0,04 x 1 x 1) m³/m² x 7 kN/m³ = 0,28 kN/m²

quindi calcolo il carico strutturale q_s trascurando il peso proprio della trave:

      q_s = q₁ + q₂ = 0,158 kN/m² + 0,28 kN/m² = 0,438 kN/m²

*Carichi permanenti

Caldana con spessore 4 cm e peso specifico 0,28 kN/m²

      q₁ = 0,28 kN/m²

Isolante con spessore 3,5 cm e peso specifico 30 Kg/m³ =  0,3 kN/m³

      q₂ = (0,035 x 1 x 1) m³/m² x 0,3 kN/m³ = 0,0105 kN/m²

Sottofondo con spessore 3 cm e peso specifico 0,54 kN/m²

      q₃ = 0,54 kN/m²

Pavimento in cotto con spessore 2 cm e peso specifico pari a 18 kN/m³

      q₄ = (0,02 x 1 x 1) m³/m² x 18 kN/m³ = 0,36 kN/m²

quindi calcolo il carico permanente q_p aggiungendo l’incidenza degli impianti e dei tramezzi:

      q_p = q₁ + q₂ + q₃ + q₄ = 0,28 kN/m² + 0,0105 kN/m² + 0,54 kN/m² + 0,36 kN/m² = 1,19 kN/m² + 0,5 kN/m² +

      + 1 kN/m² = 2,69 kN/m²

*Carichi accidentali 

Ipotizzo che l’edificio di cui la trave fa parte sia adibito a uso commerciale, in particolare a libreria:

      q_a = 5,00 kN/m² (fornito dalla normativa – NTC 2008)

**Carico totale

A questo punto, tramite il foglio di calcolo – Excel (scaricabile dalla sezione Download del Portale di Meccanica), ricavo il carico totale q_u. Quindi inserisco i valori dell’interasse (5 m), di q_s (0.438 kN/m²), di q_p (2.69 kN/m²) e di q_a (5 kN/m²) e il foglio di calcolo mi fornisce il valore del carico totale_, secondo la formula seguente:

      q_u = ((q_s x 1,3) + (q_p x 1,3) + (q_a x 1,5)) x interasse

2| Progetto

Come seconda cosa, servendomi sempre del foglio di calcolo – Excel, inserisco la luce della trave (6 m) e ottengo il momento massimo M_max della stessa – intesa come semplicemente appoggiata, secondo la seguente formula: 

      M_max = ql² / 8

Poi fornisco i seguenti valori:

• resistenza a flessione caratteristica f_m,k = 24 MPa (dipendente dal tipo di legno, ossia lamellare GL 24h)
• coefficiente della durata del carico k_mod = 0,8 (fornito dalla normativa - NTC 2008)
• coefficiente parziale di sicurezza del materiale γ_m = 1,45 (dipendente dal tipo di legno, ossia lamellare)

e ottengo la tensione ammissibile f_d [N/mm²], secondo la formula seguente:

      f_d = f_m,k x k_mod / γ_m

Infine, ipotizzo il valore della base b (40 cm) e ricavo l’altezza minima h_min che la trave deve avere, secondo la seguente formula:

      h_min = (interasse x M_max x 1000 / b x f_d) ^ 0,5

Assegno quindi alla sezione una h = 60 cm, che come si può notare non è il valore immediatamente maggiore di h_min (per esempio 55 cm). Questo per tenere in conto il fatto che ho, per il momento, trascurato il peso proprio della trave.

3| Verifica

A questo punto, scelto il valore di h, verifico la trave considerando il suo peso proprio p.p. [kN/m]:

      p.p. = (0,40 x 0,60 x 1) m³/m x 6 kN/m³ = 1,44 kN/m

che, moltiplicato per 1,3, va a sommarsi ai carichi strutturali q_s in parte già calcolati,:

      q_s = q₁ + q₂ + p.p. x 1,3 = (0,438 + 1,44 x 1,3) kN/m² = 2,31 kN/m²

Quindi, inserisco il nuovo valore di q_s e il foglio di calcolo mi fornisce la nuova h_min, che deve essere minore dell’altezza scelta h affinché la trave sopporti – senza rompersi – il suo carico.

Essendo h_min (59,74 cm) < h (60 cm) la sezione 40 x 60 cm è verificata.

 

TRAVE IN ACCIAIO

1| Analisi dei carichi

Per prima cosa, calcolo i carichi - strutturali, permanenti e accidentali - che la trave dovrà sopportare.

*Carichi strutturali

Trave secondaria - IPE 200 - con area della sezione 0,00285 m² e peso specifico 78,5 kN/m³

      q₁ = (0,00285 m² x 1 m) x  78,5 kN/m³ = 0,224 kN/m²

Lamiera gregata con altezza 7,5 cm e peso specifico 11 Kg/m² = 0,11 kN/m²

      q₂ = 0,11 kN/m²

Getto di cls con volume 0,07 m³ e peso specifico 24 kN/m³

      q₃ = 0,07 m³/m² x  24 kN/m³ = 1,68 kN/m²

quindi calcolo il carico strutturale q_s trascurando il peso proprio della trave:

      qs = q₁ + q₂  +q₃ = 0,224 kN/m² + 0,11 kN/m² +  1,68 kN/m² = 2,01 kN/m²

*Carichi permanenti

Controsoffitto con peso specifico 0,3 kN/m²

      q₁ = 0,3 kN/m²

Isolante con altezza 4 cm e peso specifico 35 Kg/m³ =  0,35 kN/m³

      q₂ = (0,04 x 1 x 1) m³/m² x 0,35 kN/m³ = 0,014  kN/m²

Massetto con spessore 3,5 cm e peso specifico 18 kN/m³

      q₃ = (0,035 x 1 x 1) m³/m² x 18kN/m³ = 0,63 kN/m²

Pavimento in ceramica con peso specifico 0,4 kN/m²

      q₄ = 0,4 kN/m²

quindi calcolo il carico permanente q_p aggiungendo l’incidenza degli impianti e dei tramezzi:

      qp = q₁ + q₂ + q₃ + q₄ = 0,3 kN/m² + 0,014 kN/m² + 0,63 kN/m² + 0,4 kN/m² = 1,34 kN/m² + 0,5 kN/m² + 

      + 1 kN/m² = 2,84 kN/m²

*Carichi accidentali

Ipotizzo che l’edificio di cui la trave fa parte sia adibito a uso commerciale, in particolare a libreria:

      q_a = 5,00 kN/m² (fornito dalla normativa – NTC 2008)

**Carico totale

A questo punto, tramite il foglio di calcolo – Excel (scaricabile dalla sezione Download del Portale di Meccanica), ricavo il carico totale. Quindi inserisco i valori dell’interasse (5 m), di q_s (2,01 kN/m²), di q_p (2,84 kN/m²) e di q_a (5 kN/m²) e il foglio di calcolo mi fornisce il valore del carico totale q_u, secondo la formula seguente:

      q_u = ((q_s x 1,3) + (q_p x 1,3) + (q_a x 1,5)) x interasse

2| Progetto

Come seconda cosa, servendomi sempre del foglio di calcolo – Excel, inserisco la luce della trave (6 m) e ottengo il momento massimo M_max della stessa – intesa come semplicemente appoggiata, secondo la seguente formula: 

      M_max = ql² / 8

Poi fornisco il seguente valore:

• tensione di snervamento f_y,k = 275 MPa (dipendente dal tipo di acciaio, ossia Fe 430/S275)

e ottengo il modulo di resistenza elastico minimo W_x,min [cm³], secondo la formula seguente:

      W_x,min = M_max / f_d x 1000

Quindi, sul sagomario, scelgo il profilo IPE 450 con W_x = 1500 cm³.

3| Verifica

A questo punto, scelto il profilo, lo verifico considerando il suo peso proprio p.p. [kN/m]:

      p.p. = (0,00988 x 1) m³/m x 78,5 kN/m³ = 0,77 kN/m

che, moltiplicato per 1,3, va a sommarsi ai carichi strutturali q_s in parte già calcolati:

      q_s = q₁ + q₂ + q₃ + p.p. x 1,3 = (2,01 + 0,77 x 1,3) kN/m² = 3.01 kN/m²

Quindi, inserisco il nuovo valore di q_s e il foglio di calcolo mi fornisce il nuovo W_x,min, che deve essere minore del modulo di resistenza elastico associato al profilo scelto W_x, affinché la trave sopporti – senza rompersi – il suo carico.

Essendo W_x,min (1421,24 cm³) < W_x (1500 cm³) il profilo IPE 450 è verificato.

 

TRAVE IN CALCESTRUZZO ARMATO

1| Analisi dei carichi

Come fatto per il legno e per l'acciaio, calcolo innanzitutto i carichi - strutturali, permanenti e accidentali - che la trave dovrà sopportare.

*Carichi strutturali

8 Pignatte con peso specifico ognuna di 8 Kg

      q₁ = 8 x 8 Kg/m² = 64 Kg/m² = 0,64 kN/m²

Soletta in cls con altezza 4 cm e peso specifico 24 kN/m³

      q₂ = (0,04 x 1 x 1) m³/m² x 24 kN/m³ = 0,96 kN/m²

Travetti con altezza 16 cm e peso specifico 24 kN/m³

      q₃ = 2 x(0,16 x 0,1 x1)m³/m² x  24 kN/m³ = 0,768 kN/m²

quindi calcolo il carico strutturale q_s trascurando il peso proprio della trave:

      q_s = q₁ + q₂  +q₃ = 0,64 kN/m² + 0,96 kN/m² +  0,768 kN/m² = 2,368 kN/m²

*Carichi permanenti

Intonaco con spessore 1 cm e peso specifico 16 kN/m³

      q₁ = (0,01 x 1 x 1)m³/m² x 16 kN/m³ = 0,16 kN/m²

Isolante con altezza 4 cm e peso specifico 35 Kg/m³ = 0,35 kN/m³

      q₂ = (0,04 x 1 x 1) m³/m² x 0,35 kN/m³ = 0,014  kN/m²

Massetto con spessore 3,5 cm e peso specifico 2000 Kg/m³ =  20 kN/m³

      q₃ = (0,035 x 1 x 1) m³/m² x 20 kN/m³ = 0,7 kN/m²

Pavimento in cotto con peso specifico 28 Kg/m²

      q₄ = 0,28 kN/m²

quindi calcolo il carico permanente q_p aggiungendo l’incidenza degli impianti e dei tramezzi:

      q_p = q₁ + q₂ + q₃ + q₄ = 0,16 kN/m² + 0,014 kN/m² + 0,7 kN/m² + 0,28 kN/m² = 1,154 kN/m² + 0,5 kN/m² +

      + 1 kN/m² = 2,654 kN/m²

*Carichi accidentali

Ipotizzo che l’edificio di cui la trave fa parte sia adibito a uso commerciale, in particolare a libreria:

      q_a = 5,00 kN/m² (fornito dalla normativa – NTC 2008)

**Carico totale

A questo punto, tramite il foglio di calcolo – Excel (scaricabile dalla sezione Download del Portale di Meccanica), ricavo il carico totale. Quindi inserisco i valori dell’interasse (5 m), di q_s (2,368 kN/m²), di q_p (2,654 kN/m²) e di q_a (5 kN/m²) e il foglio di calcolo mi fornisce il valore del carico totale q_u, secondo la formula seguente:

      q_u = [(q_s x 1,3) + (q_p x 1,3) + (q_a x 1,5)] x interasse

2| Progetto

Come seconda cosa, servendomi sempre del foglio di calcolo – Excel, inserisco la luce della trave (6 m) e ottengo il momento massimo M_max della stessa – intesa come semplicemente appoggiata, secondo la seguente formula: 

      M_max = ql² / 8

Poi fornisco il seguente valore:

• tensione di snervamento dell’acciaio f_yk = 450 MPa (dipendente dal tipo di acciaio, ossia B450C)

e ottengo la tensione di progetto dell’acciaio f_yd [MPa], secondo la formula seguente:

      f_yd = f_yk / γ_s, dove γ_s = coefficiente parziale di sicurezza = 1,15

Mentre, per la tensione di progetto del calcestruzzo f_cd, fornisco la resistenza caratteristica a compressione R_ck (40 N/mm²) e il foglio Excel me lo calcola, secondo la formula seguente:

      f_cd = 0,85 x R_ck / γ_c, dove γ_c = coefficiente parziale di sicurezza = 1,5

oltre a calcolarmi α e r.

Infine, ipotizzo il valore della base b (40 cm) e ricavo prima l’altezza utile minima h_u,min, secondo la seguente formula:

      h_u,min = r x (M_max x 1000 / (f_cd x b)) ^ 0,5

e poi l’altezza minima H_min, secondo la formula seguente:

      H_min = h_u,min + Δ, dove Δ = copriferro = 5 cm

Assegno quindi alla sezione una H = 65 cm, che come si può notare non è il valore immediatamente maggiore di H_min (per esempio 50 cm). Questo per tenere in conto il fatto che ho, per il momento, trascurato il peso proprio della trave.

3| Verifica

A questo punto, definita la sezione, la verifico considerando il peso proprio della trave p.p. [kN/m]:

      p.p. = (0,40 x 0,65 x 1) m³/m² x 25 kN/m³ = 6,5 kN/m²

che, moltiplicato per 1,3, va a sommarsi ai carichi strutturali q_s già in parte calcolati:

      q_s = q₁ + q₂ + q₃ + p.p. x 1,3 = (2,368 + 6,5 x 1,3) kN/m² = 10,818 kN/m²

Quindi, inserisco il nuovo valore di q_s e il foglio di calcolo mi fornisce la nuova H_min, che deve essere minore dell’altezza scelta H, affinché la trave sopporti – senza rompersi – il suo carico.

Essendo H_min (61,21 cm) < H (65 cm) la sezione 40 x 65 cm è verificata.

L'esercitazione prevede l'analisi dei carichi su una trave appoggiata, secondo questo schema strutturale:

Si prende in analisi la trave principale centrale, che dovrà sopportare i carichi di questa porzione di solaio:

L'analisi verrà effettuata immaginando di dover comparare tre tecnologie costruttive diverse: acciaio, legno, calcestruzzo armato.

ANALISI E DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE IN ACCIAIO CON SOLAIO IN LAMIERA GRECATA

Elementi che compongono il solaio in lamiera grecata:

Getto di calcestruzzo:  spessore 3,5 cm + 7 cm nella lamiera grecata; peso specifico: 25 KN/mc

Lamiera grecata:  altezza 7 cm, spessore 0,088 cm; peso areale: 0,11 KN/ mq

Massetto: spessore 5 cm; peso specifico: 19 KN/mc

Pavimento: spessore 2 cm; peso specifico: 20 KN/mc

Isolante in poliuretano a bassa densità: spessore 4 cm; peso specifico: 1,8 KN/mc

 

 Calcolo dei carichi strutturali qs

Getto di calcestruzzo : 0,035 m x 25 KN/mc = 0,875 KN/mq + [0,07 m x 25 KN/mc] x 0,5 = 0,875 KN/mq per cui in tot. =1,75 KN/mq

Lamiera grecata : 0,11 KN/mq

qs= 0,875 KN/mq + 0,11 KN/mq= 1,86 KN/mq

 

Calcolo dei  carichi permanenti non strutturali qp

Massetto: 0,05 m x 19 KN/mc = 0,95 KN/mq

Isolante: 0,04 m x 1,8 KN/mc = 0,072 KN/mq

Pavimento: 0,02 m x 20 KN/mc = 0,4 KN/mq

Tramezzi: 1 KN/mq

Impianti: 0,5 KN/mq

qp= 0,4 KN/mq + 0,95 KN/mq + 0,072 KN/mq + 1 KN/mq + 0,5 KN/ mq = 2,92 KN/mq

 

 Calcolo dei carichi accidentali qa

qa= 2 KN/mq da normativa per edifici residenziali

Dimensionamento della trave con tabella Excel

Inserisco l'interasse e qs, qp e qa e ottengo il valore del carico ripartito q sulla trave (grazie ai coefficienti di sicurezza); inserisco la luce e avrò calcolato automaticamente il valore del momento massimo sulla trave (ql^2/8); con questo valore e la tensione caratteristica fk del materiale che scelgo (S275) ottengo la tensione di progetto fd e quindi anche il modulo di resistenza a flessione Wx minimo (Mmax/fd), il quale sarà confrontato con quelli dei profili commerciali IPE (nel caso specifico una IPE 300 con Wx di 557,1 cm cubi):

 

 

ANALISI E DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE IN LEGNO CON SOLAIO IN TRAVETTI E TAVOLATO

Elementi che compongono il solaio in legno:

Travetti in abete rosso: 10 x 20 cm; peso specifico: 4 KN/mc

Tavole in abete rosso: spessore 4 cm; peso specifico : KN/mc

Massetto: spessore 5 cm; peso specifico: 19 KN/mc

Pavimento:  spessore 2 cm; peso specifico: 20 KN/mc

 

 Calcolo dei carichi strutturali qs

Travetti: interasse di 40 cm (2,5 travetti per mq): (0,02 mc x 4 KN/mc)/mq x 2,5 = 0,2 KN/mq

Tavole: 0,04 m x 4 KN/mc = 0,16 KN/mq

qs= 0,2 KN/mq + 0,16 KN/mq = 0,36 KN/mq

 

Calcolo dei  carichi permanenti non strutturali qp

Massetto: 0,05 m x 19 KN/mc = 0,95 KN/mq

Pavimento: 0,02 m x 20 KN/mc = 0,4 KN/mq

Tramezzi: 1 KN/mq

Impianti: 0,5 KN/mq

qp= 0,4 KN/mq + 0,95 KN/mq + 1 KN/mq + 0,5 KN/ mq = 2,85 KN/mq

 

  Calcolo dei carichi accidentali qa

qa= 2 KN/mq da normativa per edifici residenziali

Dimensionamento della trave con tabella Excel

Inserisco l'interasse e qs, qp e qa e ottengo il valore del carico ripartito q sulla trave (grazie ai coefficienti di sicurezza); inserisco la luce e avrò calcolato automaticamente il valore del momento massimo sulla trave (ql^2/8); dopo aver calcolato questo valore, inserisco la tensione caratteristica fk del materiale che scelgo (abete rosso), il coefficiente Kmod che dipende dalle condizioni umidità e il coefficiente di sicurezza gamma m ottengo la tensione di progetto fd. In base alle msigenze progettuali scelgo una dimensione per la base , ottenendo una altezza minima (radice di 6Mmax/fd x b) che approssimerò per esigenze tecnologiche (da 37,02 a 40 cm).

 

 

ANALISI E DIMENSIONAMENTO DELLA TRAVE IN CLS CON SOLAIO IN TRAVETTI E PIGNATTE

Elementi che compongono il solaio in laterocemento:

Calcestruzzo armato:  spessore  4 cm + 25x10 cm dei travetti (2 per ogni metro); peso specifico: 25 KN/mc

Pignatte: 12x50x25 cm; peso areale con travetti d’interasse 60 cm: 1,05 KN/mq

Massetto: spessore 5 cm; peso specifico: 19 KN/mc

Pavimento:  spessore 2 cm; peso specifico: 20 KN/mc

Isolante in poliuretano a bassa densità: spessore 4 cm; peso specifico: 1,8 KN/mc

 

 Calcolo dei carichi strutturali qs

Calcestruzzo armato : 0,04 m x 25 KN/mc = 1 KN/mq + (0,025 mc x 25 KN/mc)/mq x 2 = 1,25 KN/mq per cui in tot. = 2,25 KN/mq

Pignatte: 1,05 KN/mq

qs=2,25 KN/mq + 1,05 KN/mq = 3,3 KN/mq

 

Calcolo dei  carichi permanenti non strutturali qp

Massetto: 0,05 m x 19 KN/mc = 0,95 KN/mq

Isolante: 0,04 m x 1,8 KN/mc = 0,072 KN/mq

Pavimento: 0,02 m x 20 KN/mc = 0,4 KN/mq

Tramezzi: 1 KN/mq

Impianti: 0,5 KN/mq

qp= 0,4 KN/mq + 0,95 KN/mq + 0,072 KN/mq + 1 KN/mq + 0,5 KN/ mq = 2,92 KN/mq

 

  Calcolo dei carichi accidentali qa

qa= 2 KN/mq da normativa per edifici residenziali

 

Dimensionamento della trave con tabella Excel

Inserisco l'interasse e qs, qp e qa e ottengo il valore del carico ripartito q sulla trave (grazie ai coefficienti di sicurezza); inserisco la luce e avrò calcolato automaticamente il valore del momento massimo sulla trave (ql^2/8); dopo aver trovato questo valore, inserisco le tensioni caratteristiche fk dei materiali che scelgo (cls C60 e acciaio S450), e ottengo le tensioni di progetto fyd e fcd. In base alle msigenze progettuali scelgo una dimensione per la base e per il copriferro, ottenendo una altezza minima con la formula che tiene anche conto di beta e r (radice di 6Mmax/fd x b) che approssimerò per esigenze tecnologiche (da 3147 a 35 cm). La sezione risulta verificata.

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L’esercitazione parte analizzano un impalcato stuttutrale di un edificio composto da telai piani, ovvero travi su pilastri. Premetto che, in questa esercitazione, i pilastri possono essere considerati come vincoli di appoggio semplice. Successivamente si dimensionerà la trave più sollecitata nelle tre diverse tecnologie : C.A., acciaio e legno.

La pianta di carpenteria presa come riferimento è del solaio superiore del mio appartamento.

1 : Individuo, grazie alla tessitura dei solai, le travi principali da quelle secondarie. Successivamente descrivo le aree di influenza di ogni trave principale ed individuo la trave maggiormente sollecitata, ossi quella con area di influenza maggiore.

N.B.: a parità di aree di influenza la trave più sollecitata sarà quella con più luce.

LUCE = 7,00 m

INTERASSE = 3,50 m

AREA = 24,50 mq

2 : Per ognuna delle tre tecnologie costruttive, procediamo con l’analisi dei carichi distribuiti (kN/m²) che si dividono in:

q_s carichi strutturali: comprendono tutti gli elementi con funzione strutturale (escludendo il peso proprio della trave)

q_p carichi permanenti: comprendono tutti gli elementi presenti sul solaio ma che non hanno una funzione strutturale

q_a carichi accidentali: nominati dalla normativa tecnica e dipendono dalla destinazione d’uso (commerciale, residenziale ecc). Da normativa, per edificio residenziale , esso equivale a 2kN/m².

3 : I tre carichi dovranno essere sommati tra loro con l’utilizzo però di coefficenti moltiplicativi sui singoli cairichi imposti dalla normativa NTC2008- Norme tecniche per le costruzioni- D. M. 14 Gennaio 2008.

Questa somma fornirà il carico totale come una combinazione di carico, espressa con la seguente formula:

        

I coefficenti moltiplicativi di sicurezza considerati sono tabellati nella normativa a seconda dello stato limite che si deve analizzare, nel nostro caso SLU (Stato Limite Ultimo).

 

 

Andiamo ora ad analizzare i carichi e a dimensionare la trave maggiormente sollecitata nelle tre diverse tecnologie costruttive: i solai utilizzati sono stati scelti sull’abaco dei modelli UNI10355.

 

DIMENSIONAMENTO TRAVE IN CALCESTRUZZO ARMATO

1 : Trovati q_s, q_p, q_a, calcolo il carico totale distribuito sulla trave q_u (kN/m²)  dato dalla combinazione di carico per l’interasse.

2 : Inserisco luce della trave in modo da trovarmi il momento massimo agente sulla trave. Avendo premesso che i pilastri vengono considerati come appoggi, il modello sarà quello di una semplice trave appoggiata appoggiata pertanto il momento massimo è in mezzeria ed equivale a q_ul²/8.

3 : Seleziono la classe di resistenza dell’acciaio da armatura B450C che possiede una resistenza caratteristica f_yk di 450 MPa (N/mm²) e la classe di resistenza del calcestruzzo per uso ordinario C25/30 che possiede una resistenza caratteristica f_ck di 25 MPa. In questo modo mi trovo la tensione di progetto dell’acciao f_yd = f_yk/γ_s e la tensione di progetto del calcestruzzo compresso f_cd = α_ccx f_ck/γ_c  (α_cc è il coefficiente di degrado a lunga durata e γ_c è il coefficiente parziale di sicurezza del calcestruzzo armato).

4: Trovati i valori delle tensioni di progetto ed il momento massimo, fisso la base della trave b così mi trovo l’altezza utile della sezione h_u da cui poi ricaverò l’altezza minima della sezione A_min sommando ad h_u la distanza tra il baricentro dell’armatura ed il filo del CLS (δ).

La trave ingegnerizzata finale ha una sezione di 30x60 cm. Anche se l’altezza minima trovata è di 50,04 cm ho dovuto prendere un’altezza pari a 60 cm poichè, nel calcestruzzo armato, avendo elevato peso specifico (2500 Kg/m³), dopo aver dimensionato la trave bisogna aggiungere al carico totale distrubito q_u il peso proprio della trave, e ricontrollare quanto viene H_min.

 

DIMENSIONAMENTO TRAVE IN LEGNO

Eseguo i primi 2 step in maniera equivalente a quelli del calcestruzzo armato

3 : A questo punto devo decidere che tipologia di legno utilizzare , ovvero legno massiccio o legno lamellare, in modo tale da ricavarmi la tensione caratteristica a flessione f_mk del legno scelto. Il ho optato per un legno massiccio di classe C24 che avrà quindi una f_mk = 24 MPa. Travato f_mk posso trovarmi, secondo la normativa, la tensione di progetto f_md = k_modx f_mk/γ_m (k_mod è il coefficiente diminutivo dei valori di resistenza del materiale, che tiene in conto l’effetto della durata del carico e delle condizioni di umidità in cui la struttura si troverà ad operare, mentre γ_m è il coefficiente parziale di sicurezza del legno).

4: Trovato il valore della tensione di progetto ed il momento massimo, fisso la base della trave b in modo tale da ricavere l’altezza minima che deve avere la sezione h_min = 42,27 cm.

La trave ingegnerizzata finale ha una sezione di 30x45 cm. Non c’è bisogno come per il calcestruzzo armato di rifare i calcoli aggiungendo al carico totale il peso della trave poichè il legno ha un peso specifico basso (710 Kg/m³).

 

DIMENSIONAMENTO TRAVE IN ACCIAIO IPE

Eseguo i primi 2 step in maniera equivalente a quelli del calcestruzzo armato

3 : Si sceglie poi una delle tre classi di acciaio strutturale (S235, S275, S355), nel mio caso S235, che mi dara il valore della tensione caratteristica di snervamento f_yk . Grazie ad essa posso trovarmi, da norma, la tensione di progetto f_yd = f_yk/γ_s (γ_s è il coefficiente parziale di sicurezza dell’acciaio).

4: Trovato il valore della tensione di progetto ed il momento massimo mi trovo il modulo di resistenza minimo rispetto l’asse x W_x,min = 779,14 . Grazie ad esso mi trovo la sezione della trave IPE da sagomario che sarà di una IPE360.

Anche se il peso specifico dell’acciaio è elevato (7850 Kg/m³), l’acciaio è un materiale intrinsecamente senello ma ad alta resistenza, quindi c’è bisogno di rifare i calcoli aggiungendo al carico totale il peso della trave.

 

L’analisi descritta dall’esercitazione che segue verte al calcolo del dimensionamento di una trave con tre diversi materiali tecnologici: acciaio, legno e calcestruzzo armato.

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L’elemento preso come oggetto di studio è la trave più sollecitata di un impalcato strutturale che rispecchia un livello di un edificio ad uso residenziale meglio descritto dagli elaborati allegati di seguito: 

Step-1: Evidenziati gli elementi orizzontali principali, secondo la tessitura del solaio sovrastante, sono state calcolate tutte le aree d’influenza degli stessi con le relative luci e superfici, per permettere la localizzazione del più sollecitato;

LUCE = 6,20 m

AREA DI INFLUENZA = 32,60 mq

 

Step-2: Per procedere con i relativi calcoli di dimensionamento dell’elemento evidenziato nell’immagine precedente si analizzano i carichi distribuiti agenti sullo stesso: qs, qp, qa:

Questi carichi, normati dal D.M.14-01-2008, consentono di ricavare il carico totale (qu) calcolato mediante una combinazione dei precedenti impostata secondo la natura dell’analisi che si vuole effettuare, in questo caso allo Stato Limite Ultimo (SLU):

qu = γG1 qs + γG2 qp + γG3 qa

I termini γG1, γG2, γG3 sono coefficienti parziali dei pesi analizzati, imposti dalla normativa e impostati  secondo la tabella che segue, prendendo in esame la colonna STR che analizza gli elementi strutturali che si stanno calcolando;

 

Quindi la combinazione sarà:   qu = 1,3 qs + 1,5 qp + 1,5 qa

I carichi qs, qp, qa [KN/mq] rispecchiano rispettivamente:

(qs) carico strutturale ovvero il carico dovuto al peso proprio di tutti gli elementi che svolgono una funzione portante;

(qp) carico permanente ovvero il carico dovuto al peso proprio di tutti gli elementi che gravano sulla struttura portante per il suo intero periodo di vita e che non svolgono alcuna funzione strutturale;

(qa) carico accidentale ovvero i carichi legati alla funzione svolta dall’edificio. Questo carico ha una natura aleatoria, basata su calcoli statistici normati e tabellati che vengono svolti prendendo in considerazione funzione, vita e azioni esterne (quali ad esempio il sisma).

Nel caso dell’elemento analizzato in questa esercitazione, avendo preso un edificio a uso residenziale il carico accidentale sarà:

qa  = 2 KN/mq

 

Per il calcolo dei carichi qs e qp, essendo questi legati alla natura degli elementi compresi nel pacchetto tecnologico del solaio si vanno a scegliere tre tipologie differenti dello stesso a seconda del materiale scelto per il dimensionamento della trave.

Le tipologie tecnologiche dei solaio sono stati scelti in base all’abaco dei modelli UNI10355:

SOLAIO-15  PROFILATI ACCIAIO E TAVELLONI – dimensionamento in acciaio;

SOLAIO-12  SOLAIO IN LEGNO – dimensionamento in legno;

SOLAIO-04  LATERO CEMENTO CON BLOCCHI COLLABORANTI – dimensionamento in calcestruzzo armato.

 

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ACCIAIO

Step-3 acciaio: Ricavati quindi i carichi qs, qp e qa possiamo inserire questi dati all’interno di un foglio excel che permette di effettuare il calcolo di qu, con la formula descritta sopra ed avere quindi il carico complessivo che grava sulla trave da dimensionare.

Essendo i carichi qs, qp e qa espressi in KN/mq, anche qu che si otterrà sarà espresso con la stessa dimensione, bisogna quindi moltiplicare il valore ottenuto di qu per la dimensione perpendicolare alla luce dell’elemento (chiamata nell’immagine come interasse) ottenendo quindi un valore espresso in KN/m ovvero un carico uniformemente distribuito lungo la luce della trave;

 

Come riportato nella stringa qui sopra il qu sarà formato dalla seguente operazione:

qu = (1,3 qs + 1,5 qp + 1,5 qa) x interasse

 

Step-4 acciaio: Si può ricavare ora il momento massimo (MMAX) dell’elemento sostenendo che si tratti di una trave appoggiata-appoggiata il cui momento massimo si trova alla mezzeria della luce e equivale a ql²/8, dove “l” viene sostituito dalla luce dell’elemento e “q” dal carico qu ricavato nello Step-3 acciaio;

 

Step-5 acciaio: Sapendo il valore del momento massimo che agisce sulla trave, per il dimensionamento si utilizza la formula di Navier:

σmax = (Mmax/Ix) ymax

dove Ix è il momento d’inerzia della sezione secondo l’asse x e ymax è la distanza delle fibre che si considerano rispetto all’asse y.

Essendo i profilati in acciaio tutti ingegnerizzati e tabellati, servirà un parametro minimo su cui basare la scelta della sezione più opportuna, quindi, una volta scelto il tipo di materiale (quindi una resistenza caratteristica fyk ) si avrà bisogno del modulo di resistenza (Wx) che è:

Wx = Ix/ ymax

Che dipende dalle caratteristiche geometriche della sezione, opportunamente tabellato e calcolato per ogni profilo ingegnerizzato.

Si può quindi sintetizzare il tutto con la formula:

Wmin = Mmax/fd

dove fd è la resistenza di progetto del materiale acciaio scelto, ricavata da fd = fyk / γm (con γm = 1.05 coefficiente di sicurezza normato),  e σmax = fd e Wmin il parametro utile per la scelta del Wdesign;

Wmin < Wdesign

 

 

Step-6 acciaio: Da profilario (in questo caso si è scelto il catalogo dei profilati IPE dell’azienda Oppo) si può ricavare la sezione che meglio risponde alle esigenze strutturali, economiche e di progetto.

 

 

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LEGNO

Step-3/4 legno: Come per il dimensionamento in acciaio anche per il legno si segue il metodo utilizzato nello Step-3 acciaio per il calcolo di qu e nello Step-4 acciaio per ricavare il momento massimo;

qu = (1,3 qs + 1,5 qp + 1,5 qa) x interasse

Mmax = ql²/8

 

 

Step-5 legno: Ricavato il momento massimo “Mmax” si procede con il determinare la resistenza di progetto del legno scelto per il dimensionamento:

fd = Kmod fmk / γm

la resistenza di progetto del materiale legno viene calcolata in parte come quella dell’acciaio (fmk / γm), con γm = 1.50 (per cautela verso un materiale che viene ingegnerizzato ancora da poco tempo nel paese) e fmk = resistenza caratteristica a flessione, il quale si differenzia dalla resistenza a trazione e compressione del legno poiché questo essendo un materiale ortotropo non ha resistenze uguali per ogni direzione, ed in maniera differente data la presenza di Kmod quale coefficiente diminutivo della resistenza del materiale che considera sia la permanenza del carico sull’elemento che si analizza sia le condizioni di umidità dell’ambiente su cui questo viene realizzato;

 

 

Step-6 legno: Scelto il materiale e ricavata la tensione di progetto si procede determinando una dimensione della base (b) della sezione rettangolare che si vuole dimensionare, lasciando come unica incognita da ricavare l’altezza (h). Come detto prima, poiché il legno è un materiale ingegnerizzato le sue sezioni sono tabellate (in maniera diversa tra le aziende) quindi si può scegliere la base da profilari o ipotizzarla;

b = 35 cm

Riprendendo i concetti espressi per il dimensionamento della sezione in acciaio:

σmax = (Mmax/Ix) ymax

σmax =fd

quindi:

fd = Mmax / Wmin

Ix per sezioni rettangolari è Ix = bh³/12 ovvero Wmin = Ix / ymax  quindi Wmin = bh²/6 per ymax  = h/2, posso ricavare ora il valore dell’altezza con la formula:

Mmax / fd = Wmin

Mmax / fd = bh²/6

h² = 6 Mmax / bfd

h² = RAD2 (Mmax/b) x RAD2 (6/fd)

poiché si è scelto σmax = fd il valore che si otterrà di “h” sarà il valore minimo dell’altezza che di dovrà scegliere per il dimensionamento;

hmin < H

 

 

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CALCESTRUZZO ARMATO

Step-3/4 c.a.: Come per il dimensionamento in acciaio e legno, si ricava il qu con lo stesso metodo descritto nello Step-3 acciaio/legno e il momento massimo con lo Step-4 acciaio/legno;

 qu = (1,3 qs + 1,5 qp + 1,5 qa) x interasse

Mmax = ql²/8

 

 

Step-5 c.a.: Per il calcolo della trave in c.a., essendo questa composta da due diversi materiale, si deve scegliere sia un acciaio per l’armatura a trazione sia il calcestruzzo per la sezione rettangolare da dimensionare:

per l’acciaio (B450C)      

fd = fyk /γm

dove γm =1,15

per il calcestruzzo, una volta scelta la classe (C25/30)    

fcd = αcc x fck/ γc

dove γc = 1,50 , αcc = 0,85 coefficiente riduttivo per le resistenze a lunga durata e fcd resistenza a compressione del calcestruzzo scelto;

 

 

Step-6 c.a.: Poiché la sezione che si va a dimensionare è rettangolare, come che per il legno, fissiamo il valore della base b = 35 cm, per poter ricavare il valore dell’altezza Hmin.

L’incognita da ricavare è quindi hu ovvero l’altezza UTILE della sezione, attraverso l’uguaglianza tra triangoli simili nel diagramma delle tensioni, come nella figura, tenendo conto dell’omogenizzazione del materiale acciaio in calcestruzzo, essendo questo dimensionamento composto da due materiali tra loro differenti:

 

(nella stringa excel il parametro α=β)

Step-7 c.a.: Ottenuto il parametro hu = altezza utile, si fissa δ come distanza tra interasse dell’armatura in acciaio e la sezione “inferiore” del calcestruzzo:

Hmin = hu + δ

 

 

Step-8 c.a.: Ricavato Hmin, si va a dimensionare la sezione scegliendo, con b = 35 cm, il valore dell’altezza:

Hdesign > Hmin

(le dimensioni devono essere adattate a misure idonee per la cantierizzazione, poiché il calcestruzzo armato non è ingegnerizzato come il legno e il ferro)

Step-9 c.a.: La sezione in calcestruzzo, a differenza di quella in legno che ha un peso limitato dato il basso peso specifico del materiale stesso (γ=710 Kg/mc) e quella in acciaio molto snella data la grande resistenza del materiale (fyk = 235 MPa), deve essere analizzata anche in base al peso proprio dell’elemento dimensionato, poiché non trascurabile dato l’elevato peso specifico di questo materiale (γ=2500 Kg/mc).

Infatti la seconda riga della stringa qui in basso riporta gli stessi calcoli effettuati per il dimensionamento, calcolando all’interno del qs anche il valore del peso proprio dell’elemento appena dimensionato e serve come verifica al calcolo precedente.

 

 

Per analizzare di una trave reticolare 3D ho disegnato su Rhinoceros i cubi reticolari con modulo di base pari a 2m per ogni lato.

Una volta creato il modello lo salvo in .dxf ,accertandomi che tutte le linee siano esplose.

Apro Sap2000 e importerò il file creato con Rhino.

Aggiungo  tramite l'operazione Define > Section Properties > Frame Section una nuova sezione, in questo caso Tubolare Cava (PIPE), poichè questa sarà la sezione scelta per tutta la travatura reticolare.

 

Tramite il comando Assign > Frame > Frame Section assegno su tutta la struttura la sezione appena creata

Per trasformare i nodi delle aste in cerniere, bisogna effettuare il rilascio dei momenti tramite il comando Assign > Frame > Release/Partial fixity > Release, si spunta su Moment 22 e Moment 33 e nello start e nell’end inserisco i valori 0, rendendo libera la rotazione all’inizio e alla fine di ogni asta.

 

Inserisco le cerniere in modo casuale lungo il piano x,y, (aiutandomi con la vista 2d tramite View > Set View 2d (piano x,y  z=0) ) utilizzando il comando Assign > Joint > Restrain.

Assegno delle forze concentrate nei nodi strutturali. Creo prima la forza q : Define > Load Pattern  inserendo dove è scritto DEAD la lettera q e il valore 0 al posto di 1, clicco su Add New Load Pattern

Seleziono la parte interna superiore della struttura, aiutandomi sempre con Set View 2d, ed eseguo il comando: Assign > Joint Loads > Forces assegnando la forza q precedente creata inserendo il valore -100 su Force Global Z. Successivamente seleziono il perimetro superiore della struttura inserendo una forza dimezzata di -50, poichè l'area di influenza dei nodi laterali perimetrali sono la metà dei nodi interni alla struttura. 

Inserite tutte le forze necessarie per l’Avvio dell’Analisi vado sul tasto Play (triangolo sulla toolbar) e seleziono prima DEAD e Modal dove imposto RUN/DO NOT RUN CASE, e dopodichè seleziono la forza q e clicco su Run NOW.

 

Per visualizzare le tabelle con tutti i valori della struttura vado su : Display > Show Tables > Analysis Result. Spunto la casella Analysis Result. Vado su Select Load Pattern e seleziono la forza q. La tabella che a noi servirà sarà: Element Forces-Frames perchè fornisce il numero delle aste e le loro caratteristiche di sollecitazione a sforzo Normale.

1. Ordino i valori di Station, eliminando i valori diversi da 0.
2. Cancello i valori dopo la casella P (sforzo Normale).
3. Scrivo il dato L, lunghezza dell’asta in esame.

 

Scaricata la tabella Excel fornita da questo sito, copio i dati che vanno dalla casella L in poi su un nuovo foglio Excel. Unifico i dati forniti da SAP e i dati della tabella scaricata. Ordino i valori di P (sforzo normale) dal più piccolo al più grande, in modo da avere aste compresse (valore negativo-blu) separate dalle aste in trazione (valore positivo-rosso). Sul dato N inserisco i valori del dato P tutti col segno positivo, per farlo inserisco la funzione: =E3*(-1) e la riporto fino a dove i valori di P sono negativi.

  fyk  rappresenta la classe dell'Acciaio  scelta S235 e quindi il valore è 235 MPa per tutte le aste.

      γ_m  è il coefficiente di sicurezza e vale 1,05.

       β    è il coefficiente di vincolo e vale 1 perchè l'asta è vincolata da due cerniere.

       E    è il modulo di elasticità dell'acciaio e vale 210000MPa.

        l    è la lunghezza delle aste e quindi avendole già riportate scrivo la funzione =E3.

 

 FORMULE: 

     f_yd = f_yk / γ_m               resistenza allo snervamento del materiale di progetto.

     A_min= N / f_yd​              Area minima della sezione.

     I_min= A_min x ρ²_{min     momento di Inerzia minimo.}

      ρ_min= l₀ / λ*               raggio di Inerzia minimo.

     λ*= π (E/f_yd)^{1/2           coefficente di snellezza massimo.}

     I_min, ρ_min,  λ*            questi valori sono importanti da calcolare nelle aste soggette a compressione ma no in quelle a trazione.

Per la prima esercitazione abbiamo dimensionato una trave reticolare precedentemente modellata sul programma SAP2000.

Innanzitutto avviamo il programma e tramite i comandi File-New Model impostiamo il nostro spazio di lavoro.

Selezioniamo Grid Only e controlliamo che l'unità di misura sia impostata su KN,m,C

Impostiamo la griglia con numero di righe lungo x=9, lungo y=7 e lungo z=2. Per ogni unità della tabella assegniamo 2 m di lunghezza sia lungo x che y e z

Modelliamo quindi il modello di trave reticolare utilizzando il comando Frame.

Selezioniamo tutta la struttura dalla finestra 3D e clicchiamo su Assign-Frame-releases/partial fixity, spuntando sulla casella del rilascio momento ad inizio e fine asta, e così realizziamo delle cerniere corrispondenti ai nodi della struttura.

Selezioniamo View-Set 2D view e impostiamo la vista XY con quota Z=0 così da visualizzare la struttura in pianta. A questo punto selezioniamo i quattro vertici della struttura e attraverso Assign-Joint-Restraint scegliamo i vincoli.

Sempre attraverso il comando Set 2D view impostiamo la vista XY con quota Z=2 per ottenere una visuale della struttura dall'alto. A seconda della loro area di influenza le travi riceveranno valori diversi delle forze applicate, infatti le travi centrali riceveranno un carico doppio rispetto a quelle ai margini, essendo doppia la loro area di influenza.

A questo punto definiamo un nuovo Load Pattern attraverso Assign-Join Load-Forces. Nominiamo il nuovo caso di carico F e assegniamo un moltiplicatore di peso proprio pari a 0, ossia non verrà considerato il peso proprio della struttura.

Ne decidiamo in seguito l'intensità stando attenti a definire il valore della forza lungo l'asse z, con segno negativo. 

Selezionando quindi le travi centrali assegniamo il caso di carico appena definito che nel nostro caso avrà un'intensità pari a 100 KN. Allo stesso modo definiamo un secondo caso di carico con un'intensità dimezzata rispetto alla prima e, selezionando le apposite, la assegniamo alle travi marginali.

Assegniamo infine la sezione della nostra travatura attraverso Assign-Frame-Frame Sections e scegliamo una sezione circolare in acciaio.

Possiamo quindi ora procedere all'analisi della struttura attraverso i comandi Analyze-Run Analysis e impostiamo l'analisi in maniera tale che essa si riferisca solamente al caso di carico F, spuntando per gli altre Do Not Run 

Possiamo ora visualizzare le deformazioni della trave cliccando sul secondo simbolo a forma di trave tra i tre posizionati in alto a destra dello schermo

Selezionando invece l'ultimo simbolo e poi Frames/Cables/Tendons visualizzeremo gli sforzi normali agenti sulle travi. Naturalmente trattandosi di una travatura reticolare non ci saranno invece sforzi di taglio e momento.

Attraverso il comando CTRL+T visualizziamo le opzioni per visualizzare la tabella riportante tutti i valori degli sforzi assiali, selezioniamo Select Load Patterns e in seguito F. Poi diamo la spunta su Analysis Results

Otteniamo ora quindi la tabella riportante tutti i valori di sforzo assiale. Esportiamo la tabella su excel cliccando su File-Export All Tables-To Excel e dopo aver ripulito il file riportiamo i valori negativi su un nuovo foglio excel impostato per il dimensionamento delle travi soggette a compressione, mentre quelli positivi su un foglio impostato per il dimensionamento delle travi soggette a trazione

Il funzionamento del foglio excell prevede che si inseriscano alcuni valori manualmente (caselle azzurre) mentre le altre sono calcolate automaticamente dal programma usando i valori inseriti ( caselle bianche)

Riportiamo nella prima colonna i valori di sforzo assiale ottenuti. Inseriamo nella seconda colonna il valore caratteristico di resistenza del materiale, nel nostro caso 275 Mpa avendo scelto una tipologia di acciao S275, e infine il coefficente di sicurezza pari a 1,05.

Il valore fyd verrà calcolato dal foglio attraverso la formula fyd= fyk/ym0 mentre invece per ottenere il valore min che dovrà avere l'area della nostra sezione verrà utilizzata la formula A=N/fyd

Attraverso i valori di area minima ottenuti scegliamo i nostri profilati

48,3 x 2,9 mm

60,3 x 2,9 mm

76,1 x 3,2 mm

88,9 x 3,6 mm

139,7 x 4,5 mm

168,3 x 4,5 mm

Inseriamo quindi i valori mancanti nella tabella 

E= 210000 Mpa

beta=1 poichè ogni asta presenta dei vincoli di tipo cerniera

e la lunghezza l di ogni asta pari a 2 m.

Il foglio calcolerà quindi la snellezza lambda attraverso la formula lambda min= rad quadra di pi greco (E/fyd) dove lo= beta x l e rho min= lo/ lambda min e infine I min= Amin/ rho min^2

Inserendo infine i nuovi valori di A design, I design e rho design che possiamo trovare direttamente sul profilario in corrispondenza delle sezioni scelte, il foglio ricalcola la snellezza lambda, che dovrà essere da normativa inferiore a 200 (coefficente adimensionale poichè la snellezza è il rapporto tra due lunghezze).

Per quanto riguarda invece il dimensionamento di una trave soggetta a trazione inseriremo i valori di N , la resistenza caratteristica del materiale fyk e il coeff. ymo. L'area minima del profilato sarà calcolata attraverso la formula Amin = N / fyd dove fyd= fyk/ymo. Avendo ottenuto quindi i valori minimi dell'area di sezione possiamo scegliere il profilato corrispondente al valore di area immediatamente più grande a quello trovato.

 

 

Con l’intenzione di ideare una struttura che si applicasse allo schizzo volumetrico, ho pensato di modellare una struttura reticolare a piramide rovesciata. Il modello simula la struttura di un edificio a due piani, nella quale il volume superiore scarichi sui nodi del volume inferiore. Per sfruttare al meglio la travatura reticolare, infatti, facendo in modo che le aste siano soggette solo a sforzo normale, è necessario che ne siano caricati solo i nodi.

 

Per cominciare, ho modellato la struttura su una griglia di 7x7x3, con interassi orizzontali (x,y) di 3m e interasse interpiano (z) di 4m. In aggiunta alle aste che disegnano gli spigoli della piramide, ho aggiunto un’asta di controventamento alla base, per far sì che ne risultasse una struttura isostatica, non labile, composta da un sistema di triangoli.

Una volta modellata la struttura, ho assegnato agli appoggi inferiori una cerniera sferica.

Sempre perché ne risultasse una struttura reticolare, è necessario che le cerniere interne che collegano le aste non trasmettano momento, ma solo sforzi assiali. Di conseguenza ho assegnato a tutte le aste un rilascio dei momenti ad entrambi gli estremi delle aste.

Per l’assegnazione dei carichi, nella riduzione dei vari carichi distribuiti sul solaio e del solaio stesso a forze concentrate, ho fatto una semplice stima proporzionale senza una effettiva corrispondenza dei valori: sulla base dell’analisi delle aree di influenza dei singoli nodi, ho assegnato carichi di 25,50,75 e 100 KN, dopo aver definito un load pattern (F) che non consideri il peso proprio della struttura.

 

 

Definita la geometria della struttura, i vincoli e i carichi, è il momento di passare all’analisi delle sollecitazioni; a questo fine, ho escluso dall’analisi il carico statico che tiene conto del peso proprio della struttura e il carico modale, considerando solo il load pattern da me definito.

Come primo output, l’analisi restituisce la deformata, che per ora non ci interessa, non avendo ancora definito né materiale né profilato.

Dopo aver verificato che lo sforzo flessionale è nullo su tutte le aste, impostando la visualizzazione dello sforzo assiale, possiamo vedere come tutte le aste inclinate che compongono gli spigoli verticali delle piramidi risultino compresse, mentre le aste che ne compongono la base siano tese.

A questo punto, ho mostrato la tabella relativa agli output dei singoli elementi della struttura (display>show table>analysis results>element output), selezionando solo il load pattern che mi interessava (F), per poi esportarla in formato Excel.

 

Per ogni frame, SAP fornisce i dati relativi a diverse ‘station’; tuttavia, poiché con carichi concentrati lo sforzo assiale delle aste di una reticolare risulta costante su tutto il tratto, possiamo considerare solo l’estremo finale di ogni asta, in modo, inoltre, da mantenere come dato la lunghezza delle stesse, per il successivo dimensionamento. Per farlo, usiamo lo strumento ‘ordina’ di Excel.

Eliminati i dati superflui, ho potuto ordinare le aste sulla base della sollecitazione assiale, in ordine crescente, e successivamente dividerle tra aste compresse (blu) e aste tese (rosse).

 

Per quanto riguarda le aste tese, il dimensionamento si limita al calcolo dell’area minima della sezione, sulla base della formula di Navier (s=N/A): la sollecitazione di progetto relativa ad ogni singola asta è già data e, una volta scelto l’acciaio (S235), i soli dati di cui ho bisogno sono la tensione caratteristica dell’acciaio (fyk=235 MPa) e il coefficiente di sicurezza (Y=1,05), grazie ai quali posso calcolare la tensione di progetto  (fyd=223,81 MPa). L’area minima quindi non è che il rapporto tra la sollecitazione e la tensione di progetto.

Dal foglio Excel risulta che l’area minima non supera mai gli 1,9 cm^2, per cui si può scegliere per tutte un unico profilato: 33,7mm x 2,6mm, con area 2,54 cm^2.

Quando le aste risultano, invece compresse, è necessario effettuare un’ulteriore e più restrittiva verifica di stabilità, per verificare che lo sforzo assiale di progetto non provochi tensioni superiori non solo alla tensione ammissibile, ma anche alla tensione critica eureliana, per la quale è possibile che si verifichino episodi di instabilità globale (‘svergolamento’).

Posta la lunghezza libera di inflessione uguale alla lunghezza effettiva delle aste (b=1), poiché si tratta di tutte aste incernierate, posso verificare che la snellezza sia inferiore alla snellezza critica, derivata a partire dalla formula sviluppata da Eulero per il calcolo della tensione critica (l<lcr; lcr = π (E/f_yd)^1/2). Sulla base della snellezza critica, posso calcolare il giratore di inerzia e il momento di inerzia minimi affinché non si raggiunga lo stato di instabilità:

ρ_min= l₀ / λ*

I_min= A_min  ρ²_min

Nella scelta del profilato, è molto rilevante anche il valore della snellezza, che deve risultare inferiore alla snellezza critica, che dipende dall’acciaio scelto. Essendo le aste compresse molto lunghe, la dimensione geometrica più restrittiva risulta essere il giratore di inerzia, da cui dipende la snellezza.

 λ=l/ρmin

Poiché le aste compresse hanno una lunghezza quasi costante, tutte le aste risultano avere lo stesso profilato: 219,1 x 4,0, con area 27 cm^2.

 

Una volta dimensionate tutte le aste, definendo il materiale scelto e due nuove sezioni, una per le aste tese e una per quelle compresse, queste possono essere assegnate ai giusti frame, grazie alla loro classificazione sul foglio Excel e allo strumento select>labels di SAP.

                          

 

 

L’esercizio di disegnare una trave reticolare è stato effettuato tramite il software SAP 2000.

• Apro il SAP e disegno tramite il comando griglia un “cubo” in tre dimensioni a cui assegno 2 linee di griglia in tutte le direzioni e rispettivamente il valore 3m per ogni lunghezza(x,y,z).

Ottengo questo cubo su cui disegno le controventature (diagonali su ogni lato), altrimenti il sistema risulterebbe labile.

Inizio poi a copiare semplicemente con il comando Ctrl+C e Ctrl+V la struttura facendo attenzione a non ricopiare le controventature già esistenti e creo la mia reticolare spaziale (27x 18 m).

Definisco poi la sezione degli elementi strutturali: - Define -> Section properties -> Frame section -> Add new property -> Pipe e il materiale assegno steel a cui lascio le impostazioni predefinite in sezione.

La vado poi ad assegnare selezionando la reticolare spaziale e con i comandi: Assign -> Frame section -> Acciao -> invio e visualizzo questa immagine.

Inserisco poi delle cerniere interne selezionando tutta struttura reticolare:

Assign -> Frame -> Releases/Partial Fixity (andando quindi ad inserire i rilasci dei momenti) -> Spuntando i moment 2-2 (start/end) e moment 3-3 (start/end).

L’immagine che visualizzo è dunque questa:

Vado poi ad assegnare i vincoli esterni che saranno in corrispondenza di nodi dove andranno messi i pilastri o i setti del progetto: Seleziono i nodi dove inserire le cerniere ->Assign -> Joint -> Restraints -> cerniera.

Visualizzo  le cerniere

Assegno poi il carico sui nodi. Sarà maggiore sui nodi centrali e dimezzato nei nodi alle estremità perché è minore l’area di influenza.

Seleziono i nodi centrali -> Assign -> Joint Load -> Forces -> sul menù a tendina aggiungo il carico F con fattore di moltiplicazione 0 -> seleziono F -> Z = -100 KN

Stesso discorso per le forze assegnate sui nodi laterali a cui assegnerò sull’asse Z= -50 KN

Otterrò dunque questa schermata

Avvio poi l’analisi: Run Analysis -> elimino gli altri carichi con il comando Do not run case -> Avvio l’analisi solo del carico F -> Salvo -> risultati della deformata

Verifico poi che i risultati di taglio 2-2 e momento 3-3 siano nulli .

Vado invece a vedere i risultati dello sforzo normale che sono presenti in trazione e compressione.

Visto che risulta difficile leggere correttamente i risultati dello sforzo assiale, vado a leggerli in tabella.

Attraverso il comando rapido Ctrl+T  -> select Load Patterns -> seleziono solo il carico F -> spunto Analysis Results -> elaborazione delle tabelle -> scelgo la tabella Elements Forces – Frame 

Esporto la tabella su Excel: File-> Export Current Table -> to Excel

Mi pulisco la tabella e lascio i valori fino a P( valori dello sforzo normale) lascio solo i valori della station 0 poiché ho un valore costante su tutta l’asta quindi elimino le altre station, infine ordino lo sforzo normale dal più grande al più piccolo ed inizio a progettare a trazione e compressione tutte le aste della mia struttura reticolare spaziale.

Inizio quindi a dimensionare le mie aste sia in trazione che in compressione con un differente procedimento.

Scelgo il tipo di acciaio: S235 (resistenza bassa e duttile)

Aste tese:

Sono le aste, il cui sforzo normale ricavato dal programma SAP, è positivo. Per calcolarle bisogna trovare la tensione di progetto (f_yd) valore dato dalla resistenza caratteristica del materiale(f_yk) diviso il coefficente di sicurezza gamma pari a 1,05. Così da ricavare successivamente l'area minima data dallo sforzo normale diviso  f_yd.

Scritto in formule:

f_yd=f_yk/γ_m dove  f_yk è pari a 235 MPa γ_m è uguale a 1,05 

A_min=N/f_yd che servirà per confrontare il valore sul profilario

La condizione necessaria e sufficiente è che                  A_min < A_d 

dove A_d viene presa dal profilario e viene confrontata con la dimensione dell'area dell'asta ricavata dal progetto.

Ho preso qui la tabella dei profilati metallici:        http://www.oppo.it/tabelle/profilati-tubi-circ.htm

Posso così determinare dei profili differenti ed ingegnerizzarli in modo da non avere troppi profili di aste differenti.

Nel mio caso ho determinato 5 valori differenti. Si evincono dalle tabelle in allegato.

Aste compresse:

Sono le aste, il cui sforzo normale ricavato da SAP, è negativo. Infatti in questo caso entrano in gioco altri fattori come la lunghezza dell'asta (l), il modulo di elasticità (E), resistenza di design(f_yd)e la tipologia del vincolo (β) così da poter calcolare il modulo di inerzia minima (Imin) che è il valore insieme all'area minima (A_min), calcolata con lo stesso procedimento delle aste tese, necessario per poter dimensionare le aste a compressione, ed il raggio di inerzia (ρ_min). L'area minima minore dell'area di design è la condizione infatti necessaria ma non sufficiente affichè sia possibile dimensionare l'asta a compressione, poichè anche l'inerzia minima dovrà essere minore dell'inerzia di design. 

Non va inoltre trascurata un'ultriore verifica necessaria affichè non si crei instabilità: la snellezza (λ) non dovrà superare il valore 200. 

Espresso in formule:

f_yd=f_yk/γ_m dove  f_yk è pari a 235 MPa γ_m è uguale a 1,05 

A_min=N/f_yd che servirà per confrontare il valore sul profilario (condizione necessaria ma non sufficente)

componenti aggiuntive necessarie per calcolare Imin

E=210000 MPa modulo di elasticità dell'acciaio

β = 1 poichè le aste hanno una cerniera su entrambi gli appoggi

l è la lunghezza del segmento 

utilizzerò dunque queste formule per arrivare all'inerzia minima

λ*=π√E/fyd  è la snellezza critica 

ρ_min= β x l / λ* 

ρ_min= β x l / λ*

I_min=A_min x (ρ_min)²

Questo è il valore che mi permetterà la scelta dal sagomario del profilo dell'asta che avrà un momento d'inerzia maggiore sempre tenendo conto che anche l'area di design sia maggiore di quella calcolata.

Per finire appunto verifico che la snellezza sia inferiore al valore 200 con questa formula

λ= β*l*/ρ_{min d}

Ho dunque trovato i profili ed ingegnerizzato in modo da avere profili simili ho trovato anche qui 5 profili differenti di cui uno riprende la tipologia di aste tese precedenti. Tabella di riferimento in allegato.

Questo però è solo un primo dimensionamento: per verificare infatti la sezione, si devono riassegnare le sezioni dei profili scelti al modello elaborato in SAP 2000 con il suo peso proprio, riavviando l'analisi.