SdC(b) (LM PA)

L’esercitazione prevede il dimensionamento di massima e la verifica di una trave Vierendeel costituita da una serie di travi continue, caratterizzate da un’infinita rigidezza flessionale, e una serie di montanti verticali infinitamente rigidi sia assialmente che flessionalmente. Abbiamo ipotizzato tre travi Vierendeel composte ciascuna da quattro campate di 3,50x3,50 m e  poste ad un interasse di 5,00 m l’una dall’altra. Poiché il modello ideale semplificato di trave Vierendeel è assimilabile ad un telaio shear – type ruotato di 90° possiamo risolvere la statica della struttura. 

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Per quanto riguarda l’analisi dei carichi abbiamo fatto riferimento al dimensionamento effettuato per la prima esercitazione di un solaio in laterocemento con destinazione ad uso uffici, tenendo in considerazione la combinazione fondamentale di carico allo SLU con coefficienti parziali di sicurezza sfavorevoli.

q_u= γ_G1 x G₁ + γ_G2 x G₂ + γ_Q2 x Q₁= 1,3 x 1,70 + 1,5 x 3,40 + 1,5 x 2,00 =10,30 kNm^-2

Per ottenere i valori delle forze concentrate agenti sui singoli pilastri moltiplichiamo il carico uniformemente distribuito appena calcolato per l’interasse tra i pilastri e per la loro luce. 

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A questo punto predimensioniamo i correnti e i pilastri delle Vierendeel e le travi secondarie. 

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Andiamo ad impostare la struttura su Sap: modelliamo la geometria delle travi Vierendeel e assegniamo i diaphragm constraints a tutti i nodi affinchè abbiano il comportamento di nodi rigidi. Modelliamo poi i setti come gusci con comportamento membranale, vincolati alla base e nel punto di collegamento con le Vierendeel da degli incastri. A questo punto assegniamo le sezioni predimensionate alle travi e ai pilastri utilizzando un calcestruzzo C28/35. 
Assegniamo quindi i carichi puntiformi precedentemente calcolati in corrispondenza dei pilastri. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Facciamo quindi partire l’analisi per ricavare i diagrammi e i valori delle sollecitazioni agenti sulla struttura.
Risulta inoltre che i valori del taglio e del momento calcolati risolvendo la statica risultano, seppur approssimati, corrispondenti con quelli determinati da Sap.

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A questo punto esportiamo le tabelle delle sollecitazioni e procediamo alla verifica degli elementi strutturali: verifichiamo che la tensione agente sulle travi inflesse e sui pilastri pressoflessi sia minore della tensione di rottura. 

La struttura risulta interamente verificata.

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Effettuiamo ora una verifica di deformabilità per assicurarci che l’abbassamento della struttura sottoposta al carico sia minore di quello massimo ammissibile. 
Calcoliamo quindi il carico allo SLE considerando una combinazione di carico frequente: 
q_e= G₁ + G₂ + ψ_1j x Q₁= 1,70 + 3,40 + 0,5 x 2,00 = 6,1 kNm^-2 
Calcoliamo quindi le deformazioni utilizzando le formule ricavate in precedenza dalla rigidezza traslante della trave, che mette in relazione forza e spostamento.

Risulta che l'abbassamento totale della struttura rispetta i limiti di normativa.

Studentesse: Santacesaria Elena,Schettini Benedetta.

Abbiamo ipotizzato un sistema composto da 3 travi Vierendeel incastrate  su 3 setti.

La trave si compone di 5 campate di 4 metri ciascuna per 4 metri di altezza. Il setto ha dimensioni 6x12x0,5 m

ANALISI DEI CARICHI

L’analisi dei carichi ci ha permesso di calcolare il valore delle forze Normali agenti sui montanti.

Abbiamo calcolato il Qslu di un solaio in laterocemento tramite la somma dei carichi strutturali, sovraccarichi permanenti non strutturali e carichi accidentali per un edificio di uffici aperto al pubblico.

Qs = 2,8  KN/mq

Qp = 3,12  KN/mq

Qa = 3  KN/mq

Qu = 12,91 KN/mq

ANALISI STATICA

TAGLIO

Abbiamo calcolato i valori del taglio e gli spostamenti δ tramite le equazioni di equilibrio.

MOMENTO

Tramite i valori del taglio abbiamo calcolato i Momenti che si sviluppano su ogni tratto di trave.

EQUILIBRIO

AREE DI INFLUENZA

Abbiamo calcolato il carico che grava su ogni montante tramite le aree di influenza e il carico Qslu.

PREDIMENSIONAMENTO

Essendo la Vierendeel un sistema strutturale che simula il comportamento del modello Shear Type in orizzontale, occorre dimensionare i montanti con una rigidezza flessionale maggiore di quella dei correnti, per fare ciò, non possiamo aumentare infinitamente il valore del modulo di elasticità (per arrivare al comportamento del modello teorico), ma possiamo aumentarne la sezione agendo quindi sul momento di inerzia e di conseguenza sulla rigidezza.

Con i valori degli sforzi interni abbiamo effettuato un predimensionamento degli elementi che costituiscono la trave.

Abbiamo predimensionato i correnti a flessione e i montanti a pressoflessione.

COSTRUZIONE DEL MODELLO

Abbiamo costruito la trave Vierendeel su Sap2000, con le dimensioni stabilite, per poi passare alla modellazione dei setti tramite lo strumento Draw Poly Area, ne abbiamo discretizzato la superficie e posto i vincoli di incastro a terra e vincolato la trave Vierendeel ai setti.

Il setto si comporta come una Shell, dunque abbiamo assegnato a questo elemento il suo spessore.

Define > Section Properties > Area Sectiones > Shell > Add new section > Shell Thick > Thickness =0,50

 Il materiale assegnato è lo stesso cls utilizzato per la trave, ovvero il C40/50.

Il passaggio successivo è stata l’assegnazione dei carichi, abbiamo creato quindi un load pattern con i carichi del solaio allo Slu e li abbiamo assegnati ad ogni montante.

Essendo la struttura in cls abbiamo considerato il peso proprio del sistema Vierendeel-setti e abbiamo creato una load combination Qtot comprensiva del peso proprio e del Qslu.

Abbiamo avviato l’analisi per visualizzare la configurazione deformata e i diagrammi delle sollecitazioni.

Diagramma Normale

Diagramma Taglio 2-2

Diagramma taglio 3-3

Diagramma momento 2-2

Diagramma momento 3-3

A questo punto abbiamo estrapolato le tabelle Excel ed effettuato la verifica tramite il valore massimo di Momento,Taglio e Normale.

Le sezioni preassegnate risultano non verificate, dunque ne abbiamo aumentato le dimensioni.

VERIFICA SPOSTAMENTI

Abbiamo calcolato la somma degli spostamenti dei singoli tratti per verificare che non superi il valore massimo di abbassamento.

Sapendo che il valore trovato è stato calcolato con i carichi allo Slu, abbiamo corretto il risultato riducendo l’abbassamento del 35%, ossia considerando la combinazione di carico allo Sle, ottenendo così uno spostmento di 0,038  <  0,08.

Esercitazione: Trave Vierendeel

Studentesse: Giulia Retacchi, Arianna Sofia Pace

 

Progetto di una trave Vierendeel

1. Progetto preliminare dell’edificio
2. Analisi dei carichi
3. Definizione delle aree di influenza delle travi e dei pilastri
4. Definizione del modello su SAP2000
5. Verifica delle travi Vierendeel
6. Analisi sollecitazioni
7. Conclusioni teoriche sulla trave Vierendeel

1.Progetto preliminare dell’edificio:

Per la quarta esercitazione è stato scelto un telaio in cls armato, con un ampio sbalzo al secondo piano sostenuto grazie a una struttura composta da travi Vierendeel, collegate ad un setto di 30 cm di spessore.

L’edificio, di dimensioni 42 m x 12 m, con destinazione “uffici aperti al pubblico”, è alto 16 m e comprende 4 piani, mentre lo sbalzo, di dimensioni 4 m x 4 m, si estende per un solo piano. La griglia è piuttosto regolare, le travi secondarie hanno tutte una luce di 4 m.

 

2.Analisi dei carichi ( s x γ):

 

Il solaio impiegato per la struttura è un classico solaio in cls composto da:

• Pavimento: 20 mm di Gres Porcelanato (γ 20 Kn/m3)
• Allettamento: 80 mm di allettamento (γ 20 kN/m3)
• Isolante: 30 mm di isolante (γ 1 Kn/m3)
• Massetto: 40 mm di massetto (γ 20 kN/m3)
• Getto in cls: 40 mm di getto in cls (γ 25 kN/m3)
• Pignatte: 200 mm di pignatte (γ 6 kn/m3)
• Intonaco: 20 mm di intonaco (γ20 kn/m3)

Le pignatte, larghe 380 mm sono intramezzate da travetti larghi 120 mm dello stesso spessore pignatte e travetti si ripetono uguali ogni 500 mm ovvero l’interasse.

qs (carico strutturale) = qs (soletta) + qs(pignatte) + qs (travetti) = (25 kN/m3 x 0,04 m) + (6 kN/m3 x 0,38 m x 0,20 m / 0,5 m) + (25 kN/m3 x 0,12 m x 0,20 m / 0,5 m) = 1 kN/m2 + 0,912 kN/m2 + 1,2 kN/m2 = 3,12 kN/m2

qp (sovraccarico permanente)  = qp (gres)+ qp (massetto) + qp (isolante) + qp (intonaco) + qp (tramezzi) + qp (impianti) = (20 kN/m3 x 0,02 m) + (20 kN/m3 x 0,04 m + 0,08 m) + (1 kN/m3 x 0,03 m) + (20 Kn/m3 x 0,02 m) + 1kN/m2 + 0,5 kN/m2 = 0,4 Kn/m2 +  2,4 kN/m2 + 0,03 kN/m2 + 0,4 kN/m2 + 1 kN/m2 + 0,5 kN/m2 = 4,73 kN/m2

qa (sovraccarico accidentale) = 3 kN/m2

3.Definizione delle aree di influenza delle travi e dei pilastri:

Dal momento che ci siamo già occupati dell’analisi di un telaio in cls nelle precedenti esercitazioni proseguiamo occupandoci della struttura composta dalle quattro travi Vierendeel che sostengono la porzione di solaio a sbalzo di area 12m x 12m definendo l’area di influenza delle travi e dei pilastri che compongono questo sistema. È stata scelta questa struttura per l'enorme rigidezza dei montanti verticali per la quale la trave Vierendeel può essere assimilata ad un telaio SHEAR TYPE disposto orizzontalmente.

Area di influenza delle travi

Si possono dunque distinguere due casi: quello della trave 1 e quello della trave 2 e di conseguenza due diverse aree di influenza.

SLU trave1  : (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x 2m = 31,28 kN/m

SLU trave2  : (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x 4m = 62,56 kN/m

Area di influenza dei pilastri

Si possono dunque distinguere cinque casi.

SLU pilastro1  : (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x 12mq = 187,68 kN

SLU pilastro2  : (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x 8mq = 125,12 kN

SLU pilastro3  : (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x 4mq = 62,56 kN

SLU pilastro4  : (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x 24mq = 375,36 kN

SLU pilastro5  : (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x 16m = 250,24 kN

4.Dimensionamento e definizione del modello su SAP2000 :

Una volta definita la configurazione della struttura e i carichi possiamo definire il modello su SAP. Utilizziamo le stesse sezioni usate nella seconda e terza esercitazione essendo sia la configurazione che i carichi molto simili a questa.

- Travi principali con una sezione 30x60 cm

-Travi secondarie con una sezione 25x35 cm

-Pilastri piano terra 55x55 cm

-Pilastri piano primo 45x45 cm

-Pilastri piano secondo 35x35 cm

-Pilastri piano terzo 25x25 cm

-Pilastri trave Vierendeel 30x60 cm

Per collegare le travi Vierendeel al setto utilizziamo lo strumento “Body”.

Dal momento che si tratta di una struttura internamente iperstatica, per risolverla dobbiamo considerare i montati infinitamente rigidi impedendo qualsiasi tipo di deformazione. In questo modo i collegamenti verticali non possono far altro che traslare verticalmente imprimendo una deformazione nei correnti orizzontali. Per rendere infinitamente rigidi i montanti della trave su SAP modifichiamo il momento di inerzia ponendolo uguale a un numero molto grande.

5.Verifiche delle travi Vierendeel:

a.Verifica degli elementi orizzontali e verticali:

Dopo aver dimensionato gli elementi orizzontali e verticali di ogni trave Vierendeel si procede con la verifica di tali elementi tramite tabelle excel. Per i pilastri è stata effettuata una verifica a presso-flessione, per gli elementi orizzontali a flessione semplice

Per le travi e i pilastri che risultano non essere verificati, si procederà con un nuovo dimensionamento e una successiva verifica.

b.Verifica agli abbassamenti:

Dal modello SAP l’abbassamento verticale totale delle travi risulta essere:

U3 = 0,0211m

La verifica agli abbassamenti risulterà soddisfatta se:

U3 < Ltot/200

Sapendo che Ltot è la distanza dell’estremo libero dall’incastro, che nel nostro caso risulta essere 12m:

12/200 = 0,006 m

0,0471 m < 0,06 m    Verifica soddisfatta

 

6.Analisi sollecitazioni:

Applicati i carichi avviamo l’analisi ed estraiamo i diagrammi di sforzo normale, taglio e momento.

Normale

Taglio

                                                                                                                                                           

Momento

Prendiamo anche in considerazione gli sforzi agenti sul setto:

Fmax

Vmax

Mmax

 

7.Conclusioni teoriche trave Vierendeel:

A livello teorico il comportamento di una trave Vierendeel può essere assimilato a quello di un telaio SHEAR TYPE ruotato di 90°, in questo caso si configura come una mensola, incastrato solo da un lato. Le caratteristiche principali di tale modello sono:

• l’infinita rigidezza degli elementi verticali (pilastri)
• nodi ad incastro tra elementi verticali ed orizzontali

Applicando una forza F concentrata su ogni pilastro, il comportamento della trave si può assimilare agli schemi notevoli della trave doppiamente appoggiata ovvero:

• La deformata caratterizzata da spostamenti (abbassamenti) δ
• Il valore del diagramma del taglio costante
• Il valore del diagramma del momento lineare

La relazione tra F e spostamento è descritta in questo modo:

con k=rigidezza dell’elemento

Per trovare il valore del taglio e del momento di ogni asta orizzontale si considerano le seguenti relazioni:

M= 6EI/l²*δ     T= 12 EI/l³*δ

1.      F = 2T  → F = 24 EI/l³δ1 

δ1= Fl³/24 EI

T = 12 EI/l³*δ1                                     

M = 6 EI/l²*δ1

T = 12 EI/l³*(Fl³/24 EI) = F/2

M = 6 EI/l²*(Fl³/24 EI)  = Fl/4

2.      F + F/2 + F/2= 2T  → 2F = 24 EI/l³*δ2  

δ2= Fl³/12 EI

T = 12 EI/l³*δ2                                                                                              

M = 6 EI/l²*δ2

T = 12 EI/l³*(Fl³/12 EI) = F                               

M = 6 EI/l²*(Fl³/12 EI)  = Fl/2

3.      F + F + F= 2T  → 3F = 24 EI/l³*δ3

δ3= Fl³/8 EI

T = 12 EI/l³*δ3                                     

M = 6 EI/l²*δ3

T =12 EI/l³*(Fl³/8 EI) = 3/2F

M =6 EI/l²*(Fl³/8 EI) = 3/4 Fl

Diagramma dei valori del taglio elementi orizzontali:

Diagramma dei valori del momento elementi orizzontali:

Per ricavare il valore del momento di ciascun elemento verticale si procede calcolando l’equilibrio di ogni nodo:

1. M – Fl/4 = 0

           M = Fl/4

1. M – Fl/4 – Fl/2 = 0

           M = 3/4Fl

1. M – 3/4Fl – Fl/2 = 0

           M = 5/4 Fl

Il valore del taglio si ricava dall’equilibrio di ogni asta verticale:

1. T= (Fl/4 + Fl/4) 1/l = F/2
2. T= (3/4Fl + 3/4Fl) 1/l = 3/2F
3. T= (5/4Fl + 5/4Fl) 1/l = 5/2 F

Diagramma dei valori del momento dei ritti:

Diagramma dei valori del taglio nei ritti:

Per determinare i valori dello sforzo normale sui traversi si devono considerare i valori del taglio sui ritti che per gli elementi orizzontali si trasmettono come sollecitazione orizzontale:

 

 

 

 

 

 

Studentesse: Mariani Lucia, Maurelli Ilaria

INTRODUZIONE

Una trave Vierendeel è una tipologia di travatura reticolare costituita da due correnti, uno superiore e uno inferiore, collegati da montanti irrigiditi che non hanno quindi bisogno di essere controventati con aste diagonali.

A differenza di una travatura reticolare, dove tutte le aste risultano collegate tramite cerniere e soggette unicamente a sforzo normale, la trave Vierendeel presenta dei collegamenti rigidi tra gli elementi e sviluppa sollecitazioni di taglio e momento flettente sia negli elementi orizzontali che in quelli verticali.

Una modello di trave Vierendeel può essere studiato come un modello di Telaio Shear-Type semplicemente ruotato rigidamente di 90 gradi.
Un telaio Shear-Type è un modello che presenta un elemento orizzontale (trave) infinitamente rigido, sia assialmente che flessionalmente, e due elementi verticali (pilastri) infinitamente rigidi assialmente.
I tre elementi che compongono il telaio Shear-Type sono collegati tra loro tramite nodi rigidi che non permettono quindi la rotazione, e i due pilastri sono vincolati a terra da un incastro.

Una trave Vierendeel è quindi composta da due correnti che hanno le stesse caratteristiche dei pilastri del telaio Shear-Type (infinitamente rigidi assialmente) e una serie di montanti che hanno invece le stesse caratteristiche del traverso del telaio Shear-Type (infinitamente rigido assialmente e flessionalmente).

GEOMETRIA

Abbiamo immaginato di effettuare un dimensionamento di massima di una trave Vierendeel aggettante, vincolata a una sola estremità da un setto.

Una trave Vierendeel è immediatamente riconoscibile dalla sua geometria.
Nel nostro caso è infatti caratterizzata da un ritmo di sei campate quadrate da 3,00 metri di luce in entrambe le direzioni (x e y) per 3,00 metri di altezza; una grande luce aggettante di 18,00 metri, la presenza di pilastri infinitamente rigidi e un supporto molto robusto.
Come supporto abbiamo ipotizzato una gabbia ascensore di 3,00 x 6,00 metri con uno spessore murario dei setti di 0,40 metri.

ANALISI DEI CARICHI

Per prima cosa abbiamo effettuato un analisi dei carichi per ricavare il valore delle forze concentrate che agiscono su ogni pilastro della trave Vierendeel.
Abbiamo quindi calcolato i carichi agenti su un metro quadrato di solaio suddividendoli nelle tre categorie
Carichi permanenti strutturali
Sovraccarichi permanenti non strutturale
Carichi accidentali

Analisi dei carichi di un solaio in laterocemento

1. Pavimentazione in parquet = 2 cm = 0,02 m
2. Massetto = 3 cm = 0,03 m
3. Isolante = 4 cm = 0,04 m
4. Soletta collaborante = 5 cm = 0,05 m
5. Pignatte = 20 cm = 0,20 m
6. Travetti = 20 cm = 0,20 m
7. Intonaco = 1,5 cm = 0,015 m

Spessore totale solaio = 35,5 cm = 0,355 m

Carico distribuito superficiale

1. 0,02 m x 7,2 KN/m³ = 0,144 KN/mq
2. 0,03 m x 20 KN/m³ = 0,60 KN/mq
3. 0,04 m x 0,2 KN/m³ = 0,008 KN/mq
4. 0,05 m x 25 KN/m³ = 1,25 KN/mq
5. 2 (0,2 x 0,12 x 1) m³/m² x 25 KN/m³ = 1,20 KN/m²
6. 2 (0,38 x 0,20 x 1) m³/m² x 15 KN/m³ = 2,28 KN/m²
7. 0,015 m x 18 KN/m³ = 0,27 KN/m²

Carico strutturale q_S
Soletta + travetti + pignatte
1,25 KN/m² + 1,2 KN/m² + 2,28 KN/m² = 4,73 KN/m²
Sovraccarico permanente q_P
Parquet + massetto + isolante + intonaco + incidenza impianti + incidenza tramezzi
0,144 KN/m² + 0,6KN/m² + 0,008 KN/m² + 0,27 KN/m² + 0,5 KN/m² + 1 KN/m² = 2,52 KN/m² = 2,52 KN/m²
Carico accidentale q_a
Dato fornito dalla normativa in base alla destinazione d’uso = 2,00 KN/m²

Abbiamo successivamente considerato le combinazioni di carico fornite dalla normativa per le verifiche agli stati limite utilizzando coefficienti parziali di sicurezza sfavorevoli

Combinazione di carico allo stato limite d’esercizio SLE
γ̃s qs + γ̃p qp + γ̃a qa = 1 x 4,73 KN/m² + 0,7 x 2,52 KN/m² + 0,7 x 2 KN/m² = 7,88 KN = 7,9 KN/m²
qe = 7,90 KN/m²
Combinazione di carico allo stato limite ultimo SLU
γs qs + γp qp + γa qa = 1,3 x 4,73 KN/m² + 1,5 x 2,52 KN/m² + 1,5 x 2 KN/m² = 12,89 KN/m² = 12,9 KN/m²
qu = 12,90 KN/m²

Una volta ottenuto il valore della combinazione di carico allo stato limite ultimo, essendo un valore distribuito sulla superficie, abbiamo moltiplicato il valore per l’interasse lungo l’asse y (3,00 m), e successivamente per l’interasse lungo l’asse x (3,00 m), ottenendo i singoli valori delle forze concentrate agenti sui pilastri.

Qu * i = 12,90 KN/m² * 3,00 m = 38,70 KN/m
F = Qu * i * i = 38,70 KN/m * 3,00 m = 116,10 KN
F = 116,10 KN

SOLLECITAZIONI

Deformata
Il diagramma della deformata equivale al diagramma di un telaio Shear-Type deformato ruotato di 90 gradi.
La deformazione dei correnti ha due diverse curvature, il punto in cui avviene il cambiamento di curvatura è esattamente pari a L/2 cioè al punto di flesso dove la tangente taglia la curva.
In quel punto il momento flettente risulterà pari a zero perchè momento flettente e curvatura sono strettamente legati dalla relazione
M = (EI) X

Taglio
Il diagramma del taglio è costante ma il valore aumenta di asta in asta mano a mano che ci avviciniamo al vincolo di incastro esterno, dove avremo il valore massimo.

Momento flettente
Il diagramma del momento è lineare perché non c’è carico ripartito sulla trave.
La pendenza della retta che individua l’andamento del momento flettente è il valore del taglio e quindi anche il valore del momento massimo si trova in corrispondenza del vincolo esterno.
Il diagramma del momento flettente si annulla nel punto di flesso della deformata, cioè in mezzeria.

 

EQUILIBRIO

Per verificare che la morfologia scelta, trave Vierendeel e setto, siano effettivamente equilibrati a traslazione e a rotazione, calcoliamo le sollecitazioni presenti in corrispondenza dei vincoli e verifichiamo che soddisfino le equazioni di equilibrio.

Assumendo che in ogni singolo tratto della trave (immaginando di effettuare dei tagli) deve essere verificato l’equilibrio delle forze interne, possiamo dedurre che in corrispondenza del vincolo di incastro (con il quale approssimiamo il setto) si svilupperà una forza verticale uguale e opposta a quella che si sviluppa all’interno del corrente 6, con valore 3F.

In corrispondenza del vincolo si svilupperà inoltre un momento antiorario che dovrà bilanciare la rotazione oraria generata dalle forze verticali.
Tale valore del momento è ottenuto come

Momento = Taglio x Braccio
M = 3F x L/2 = 3FL/2

Dove il braccio è la distanza tra il centro di rotazione e il punto di flesso della deformata, cioè dove il momento si annulla.

A questo punto verifichiamo l’equilibrio a traslazione e a rotazione

L’equilibrio alla traslazione verticale è verificato in quanto la somma delle forze concentrate è equilibrata dalle due forze che si sviluppano in corrispondenza dei vincoli.
F - F - F - F - F - F + 3F + 3F = 0
- 6F + 6F = 0

L’equilibrio alla rotazione risulta
3FL/2 + 3FL/2 - FL - 2FL - 3FL - 4FL - 5FL - 6FL ≠ 0
3FL/2 + 3FL/2 - FL - 2FL - 3FL - 4FL - 5FL - 6FL = -18FL

Notiamo che l’equilibrio alla rotazione non è verificato e risulta un momento orario non equilibrato pari a 18FL
Non essendoci altre forze che possono generare una rotazione, il momento risultante sarà equilibrato da una coppia di forze orizzontali uguali e opposte con braccio della coppia pari all’altezza della trave Vierendeel, quindi L.
Tali forze avranno un valore pari a

Momento = Forza x Braccio
Forza = Momento / Braccio 
Fo = 18FL / L = 18 F

A questo punto verifichiamo che tutto il sistema, compreso il setto, modellato come una mensola incastrata nell’estremità inferiore, sia in equilibrio.
Calcoliamo quindi le sollecitazioni che raggiungono l’incastro a terra affinché il sistema sia equilibrato

Forze verticali
Forze concentrate verticali
F + F + F + F + F + F = 6F
Forze verticali equilibranti
3F + 3F = 6F

Momento
Momenti generati dalle forze concentrate verticali
FL + 2FL + 3FL + 4FL + 5FL + 6FL = 21FL
Momenti equilibranti e momento generato dalla coppia di forze
3FL + 3FL + 18 FL = 21 FL

MODELLAZIONE IN SAP2000

Per la modellazione del sistema strutturale su SAP abbiamo effettuato i seguenti passaggi

1. Per prima cosa abbiamo modellato la geometria della trave Vierendeel grazie alla griglia e gli strumenti di disegno “Frame” e “Special Joint” 
2. Successivamente siamo passate alla modellazione del setto grazie allo strumento “Poly Area”, provvedendo a discretizzare le superfici definite in porzioni più piccole.
   In questo modo il programma sarà facilitato nel calcolo strutturale e il setto risulterà modellato in maniera più accurata e verosimile
3. Abbiamo poi assegnato i vincoli esterni di tipo incastro alla base del setto
   

   

   

4. Per simulare un nodo rigido interno, abbiamo definito i rilasci agli estremi degli elementi strutturali, in particolare nel punto di collegamento tra la trave Vierendeel e il setto (non abbiamo assegnato alcun rilascio alle estremità, in questo modo la rotazione intorno a tutti gli assi nel punto di collegamento tra gli elementi è pari a zero)
5. A questo punto abbiamo definito le sezioni di prova dei correnti (30x50 cm) e dei montanti (40x80 cm) e abbiamo scelto come materiale un calcestruzzo ordinario C28/35.
   

   

   Tali sezioni sono state scelte per simulare una situazione reale di trave Vierendeel: se avessimo voluto simulare un modello di trave Vierendeel, avremmo potuto aumentare significativamente il valore del modulo di elasticità (E) del materiale scelto, in questo modo la rigidezza assiale e quella flessionale sarebbero state approssimativamente tendenti a infinito.
   Nel nostro caso, scegliendo di riprodurre una condizione realistica, abbiamo semplicemente aumentato la dimensione della sezione dei montanti rispetto a quella dei correnti, in questo modo l’inerzia dei montanti risulta significativamente maggiore rispetto a quella dei traversi e, di conseguenza, anche la rigidezza

6. Abbiamo poi definito la sezione del setto grazie allo strumento “Area Section” scegliendo la tipologia “SHELL”, e selezionando la voce “Shell Thick” che tiene conto anche dell’azione del taglio, assegnando uno spessore di 40 centimetri e un calcestruzzo ordinario C28/35.
   Un setto modellato con la tipologia “SHELL” è un modello di guscio con comportamento a membrana, un comportamento che comprende sia gli spostamenti nel piano (modello LASTRA) che gli spostamenti fuori dal piano (modello PIASTRA)
7. In fine abbiamo assegnato agli elementi strutturali le sezioni precedentemente definite
8. Successivamente abbiamo definito il carico agente sulla trave Vierendeel fissando il relativo fattore moltiplicatore del peso proprio dalla voce “Load Patterns” : F (0)
9. A questo punto abbiamo assegnato il valore della forza concentrata (F = 116,10 KN), calcolato precedentemente grazie all’analisi dei carichi, in corrispondenza del baricentro di ogni montante
   

   

10. A questo punto abbiamo avviato l’analisi del modello “Run Analysis”;
11. Abbiamo visualizzato la configurazione deformata della struttura e i diagrammi delle sollecitazioni agenti (N, T, M);
12. In fine abbiamo esportato le tabelle Excel relative ai valori delle sollecitazioni nei montanti e nei correnti della trave Vierendeel
    

    

    

    

    

VERIFICHE

Verifica degli elementi strutturali
Le verifiche sono state effettuate grazie alle tabelle Excel relative alla verifica degli elementi in calcestruzzo: per i pilastri abbiamo effettuato la verifica a pressoflessione mentre per i correnti abbiamo effettuato la verifica a flessione.
Inizialmente la verifica delle sezioni di prova risultava non soddisfatta: abbiamo aumentato quindi la classe di resistenza del calcestruzzo da un C28/35 a un C3240 e incrementato la dimensione delle sezioni.
Le dimensioni minime affinché la verifica fosse soddisfatta sono risultate per i correnti 40x70 cm e per i montanti 40x85.
La sezione dei montanti risulta dimensionata in maniera ragionevole, per quanto riguarda i correnti invece, conoscendo la geometria e le caratteristiche della trave Vierendeel, ci saremmo aspettate una dimensione minore della sezione.
La dimensione ottenuta potrebbe però essere spiegata dal passaggio da un modello ideale di trave Vierendeel (ottenuto come rotazione del modello Shear-Type) a un modello più realistico.

Verifica delle sollecitazioni
Avendo effettuato inizialmente l'analisi del modello statico da cui, grazie alle equazioni di equilibrio, sono risultati i valori degli sforzi di taglio e di momento flettente, abbiamo deciso di verificare se i valori risultanti dal modello in SAP corrispondessero effettivamente ai valori ottenuti dall'analisi statica.

Sappiamo che i valori dello sforzo di taglio variano per ognuno dei sei correnti della trave Vierendeel e conoscendo il valore della forza concentrata F che abbiamo applicato, possiamo calcolarli

1. T=F/2 = 58,05 KN
2. T=F = 116,10 KN
3. T=3F/2 = 174,15 KN
4. T=2F = 232,20 KN
5. T=5F/2 = 290,25 KN
6. T=3F = 348,30 KN

Dall'analisi del modello abbiamo estrapolato i valori del taglio e li abbiamo confrontati

Considerando che i valori che escono dal modello sono approssimati più precisamente rispetto ai calcoli semplificati che abbiamo effettuato, possiamo riscontrare che i valori dello sforzo di taglio sono verificati.

Sapendo che il momento equivale al valore del taglio moltiplicato per il braccio (L/2 = 1,5m) possiamo dedurre che anche i valori del momento flettente siano verificati, essendo dipendenti dallo sforzo di taglio e da un valore della luce che rimane costante.

Verifica agli abbassamenti
Abbiamo infine effettuato la verifica agli abbassamenti.
Il valore assoluto dell’abbassamento che risulta dal modello in SAP è 
U3 = 0,0471 m

Affinché l’abbassamento sia verificato deve risultare
U3 < Ltot/200
Dove Ltot è la distanza maggiore dall’estremo libero all’incastro
Ltot = 18 m

Ltot/200 = 0,09 m
0,0471 m < 0,09 m

La verifica agli abbassamenti è soddisfatta.

L'esercitazione, di cui allego lo svolgimento nel file PDF, ha come scopo lo studio e la risoluzione di una trave Vierendeel, al fine di determinare la dimensione degli elementi che la compongono.

1)INTRODUZIONE: in questa esercitazione vedremo il comportamento di una trave Vierendeel a sbalzo incastrata a setti in c.a. 

Riportiamo di seguito la configurazione geometrica degli elementi . 

2) RICHIAMI TEORICI:

 

Questo è il valore momento totale prodotto dalla struttura che verrà compensato con le reazioni del setto portante.

3) MODELLAZIONE IN SAP : 

New Model>Grid Only> definiamo la griglia

New Model>Grid Only> definiamo la griglia

Disegno dei Setti in c.a. : Nella prima campata a sinistra disegniamo le travi e i pilastri per poi definire i setti.

Useremo ora il comando Draw Poly Area , successivamente eliminiamo le travi e i pilastri coincidenti con il setto . 

Per dare a Sap la possibilità di calcolare in maniera definita e precisa una superficie, faremo l’operazione di DISCRETIZZARLA, creando così tante piccole aree all’interno del setto, riducendo l’area principale in tante geometrie semplici e interconnesse tra loro. 

Selezioniamo l’area che vogliamo discretizzare : Edit>Edit Areas>Divide Areas> scegliamo l’opzione di poter dividere l’area secondo una geometria regolare con dimensioni da noi scelte, in questo caso 30x30 cm . 

Vincoliamo il setto : Avendo discretizzato l’area del setto, vincoleremo ogni punto con un incastro simulando il vero comportamento che questo ha quando è vincolato a terra. Selezioniamo tutti i punti (joints) alla base del setto  > Assign>Joints>Restraints>Incastro. 

Controlleremo ora che gli estremi superiori del setto e le travi siano correttamente coincidenti per evitare qualsiasi errore nella modellazione dell’incastro tra gli elementi e possibili risultati non attendibili. Selezioniamo quindi gli estremi interessati e usiamo il comando Merge Joints. 

Assegnazione sezione al setto: 

Display Options > Areas >Local Axes>per visualizzare nel modello gli assi locali corrispondenti all’area del setto discretizzata. 

Define>Section Properties>Area Sections> Attraverso il modello di Sap 2000 chiamato SHELL si simulano sia il comportamento a piastra che a lastra (comprende sia il comportamento assiale che flessionale). 

Add New Section > Sceglieremos il modello SHELL-THICK come Type (modello che considera i comportamenti di trave di Bernoulli e Timoshenko) .

Materiale = Calcesctruzzo C28/35

Thickness = setto robusto da 80 cm 

Selezioniamo tutta l’area e gli assegniamo la sezione con Assign>Area>Area Section> “SETTO”.

Assegnazione sezioni travi : Assegniamo ora una sezione in cls anche alle travi con Assign>Frame Section>TRAVI> cls C28/35 , dimensioni : 30 x 50 cm .

Completamento del modello : View>Set 3d View> piano xz. Con il comando CTRL + R replichiamo tutte le proprietà del setto e delle travi in direzione y e z. Avremo così disegnato tutti gli elementi di supporto delle travi Vierendeel che disegneremo in seguito.

Disegno Travi Vierendeel: Per disegnarle a sbalzo creeremo due diverse sezioni da assegnare alle travi e ai pilastri sapendo che i pilastri dovranno essere infinitamente rigidi (interverremo sulla sezione incrementando il  valore del momento di inerzia o sul modulo elastico E del materiale) . Sappiamo che  il modello di trave Vierendeel ha un comportamento come quello di un telaio Shear Type (ribaltato).

Sappiamo inoltre che per realizzare una trave Vierendeel avremo bisogno di pilastri larghi di dimensioni almeno 80 x 50 cm e che la loro rigidezza flessionale è molto più grande di quella delle travi. 

Partiremo con una sezione dei pilastri pari a 80 x 50 cm e travi 50 x 30 cm e controlleremo i diagrammi dei risultati fino ad approssimare il diagramma di T e M del modello teorico.

Incastriamo ora le travi Vierendeel ai setti . 

Analisi : Avviamo l’analisi considerando solamente il peso proprio degli elementi e delle forze  poste come carico puntuale su ogni pilastro della Trave Vierendeel , pari a 1000kN (non derivanti da calcoli specifici). 

Il comportamento che vogliamo ottenere è quello di un diagramma di Taglio “scalettato” e costante su tutta la trave. Il diagramma dei Momenti invece avrà per ogni porzione della trave una pendenza differente, data dall’andamento del taglio.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In questa esercitazione abbiamo eseguito un predimensionamento di una struttura a sbalzo utilizzando la tipologia di trave Vierendeel.

Nella prima fase abbiamo utilizzato un carico distribuito indicativo di progetto pari a Qu= 50KN/m. Ripartendo come carico puntuale una F=130KN per ogni pilastro della trave Vierendeel tranne per l'ultimo ove la forza è pari a F/2.

Le dimensioni generali sono riportate nel seguente schema:

Nella fase successiva abbiamo riportato il modello su Sap2000:

Successivamente abbiamo utilizzato lo sforzio normale maggiore (Nmax) e momento massimo (Mmax) per effettuare un predimensionamento dei pilastri e dei correnti della Vierendeel.

Corrente:

Nmax= 884,12 KN
Mmax= 634,74 KN*m

Wx= Mmax/fyd = 2836,19 cm3
Dal Wx scegliamo il profilato HEA 450 con un Wx= 2896 cm3 e A= 178 cm2

Pilastro:

Nmax= 65 KN
Mmax= 1102,85 KN*m

Wx= Mmax/fyd = 4927,84 cm3
Dal Wx scegliamo il profilato HEA 650 con un Wx= 5474 cm3 e A= 241,6 cm2

I profilati scelti sono stati inseriti su sap e successivamente assegnati al modello strutturale. Avviata l'analisi abbiamo estrapolato i nuovi valori di momento e normale massimi che tengono conto del peso proprio della struttura.

Schema degli sforzi normali:

Schema dei momenti:

Verifica presso-flessione:

I pilastri della trave Vierendeel sono verificati a presso-flessione mentre i correnti con il profilo HEA 450 non risultano verificati, per tanto si è scelto il profilato di dimensioni (HEA 500)  subito successive per validare la verifica.

 

Verifica degli spostamenti:

Verificate le sezioni abbiamo effettuato la verifica degli spostamenti considerando che lo spostamento massimo non superi mai 1/200 l max= 0.078 m. Essendo δ max= 0.0416 m la struttura è verificata.

 

ESERCITAZIONE 4

COME FUNZIONA UNA VIERENDEEL

Ipotizzo una trave Vierendeel doppiamente appoggiata secondo lo schema presentato.

Dal punto di vista statico posso considerarla come la composizione di tanti telai SHEAR-TYPE rovesciati. Quindi come un elemento dove il componente TRAVE è caratterizzato da un elevata RIGIDEZZA FLESSIONALE e i componenti PILASTRI come INFINITAMENTE RIGIDI ASSIALMENTE. La rigidezza (K) è esprimibile come il rapporto tra una forza (F) e  lo spostamento (δ).

K=F/δ
F=Kδ

Secondo quanto appena detto la struttura sottoposta ad una forza F si deforma come una trave doppiamente incastrata sottoposta a cedimento vicolare elastico all’incastro.

Tramite le equazioni della linea elastica posso ricavarmi i valori di rotazione, spostamento, moment flettente e taglio.

EI dv⁴/ds + q=0

ν(s)=(12/l³)δ(s³/3)-(6/l²)δ(s²/2)

φ(s)=(12/l³)δs²/2-(6/l²)δs

χ(s)=12/l³δs-6/l²δ

M(s)=EIχ(s)=12EI/l³ δs- 6EI/l² δ

T(s)=-dM/ds=-12EI/l³ δ

Ritornando all’ipotesi presentata, i pilastri hanno tutti la stessa rigidezza, di conseguenza la forza F viene ripartita secondo uno schema prevedibile dato che la struttura presenta sia una simmetria geometrica che di carico.

TAGLIO NELLE TRAVI*

T_CD=-F/4=-T_DE

T_BC=-F/4-F/2=-3/4F=-T_EF

T_AB=-F/4-2/2F=-5/4F=-T_FG

MOMENTO FLETTENTE NEI NODI

M=T*h/2

M_A=5/4F*h/2=5/8Fh=M_G

M_B=3/4F*h/2=3/8Fh=M_F

M_C=F/4*h/2=Fh/8=M_E

EQUILIBRIO AI NODI

Tramite l’equilibrioai nodi mi trovo TAGLIO e MOMENTO dei PILASTRI.

(astaB)
M=3/8Fh+Fh/8=Fh/2
T=(Fh+Fh)/l=2Fh/l

(astaC)
M=5/8Fh+3/8Fh=Fh
T=(2Fh/2)/l=Fh/l

(astaD)
M=Fh/8-Fh/8=0
T=0

SPOSTAMENTI

(tratto CD)

F/2=2T       F=4T          F=4 *12EI/h^{3 *} δ₃     δ₃=Fh³/48EI

(tratto CD)

F+2F/4=2T     F=4/3T     F=4/3*12EI/h^{3 *} δ₂     δ₂=Fh³/16EI

(tratto AB)

F+2*3/4F=2T     F=4/5T     F=4/5*12EI/h^{3 *} δ₁    δ₁=5/48 * Fh³/EI

 

VERIFICA IN SAP2000

Tutto ciò è possibile verificarloin Sap attribuendo agli elementi "pilastri" della nostra struttura una sezione estremamente grande (agendo sull momento d'inerzia) o un  materiale con un modulo elastico estremamente grande per esprimere il concetto dell' INFINITAMENTE RIGIDO. Avviando l'analisi osserviamo che deformate e digrammi corrispondono a quanto precedentemente visto.

Per questa esercitazione abbiamo preso in analisi una struttura con un corpo a sbalzo sorretto da delle travi Vierendeel.

Il primo passo è stato quello di effettuare un’analisi dei carichi agenti sulle travi allo Stato Limite Ultimo considerando che al di spra di esse ci sono 3 piani con ripartizioni rizzontali interne in latero-cemento.

Trovati i carichi, attraverso le aree d'influenza, siamo riusciti a risalire al carico puntiforme da applicare sui pilastri della Vierendeel

Procediamo con un'analisi statica della trave per risalire agli sforzi interni di taglio e di momento flettente che però non tengono conto del peso proprio della struttura che, essendo in calcestruzzo armato, è rilevante.

Dall’analisi statica degli sforzi interni possiamo effettuare un pre-dimensionamento dei componenti della trave Vierendeel. I correnti sono pre-dimensionati a flessione mentre i pilastri a presso flessione. Tramite un equilibrio globale a rotazione possiamo anche identificare i momenti massimi agenti sui setti che supportano le travi.

Ora su SAP disegniamo la struttura in esame ed analizziamo gli effettivi sforzi interni delle componenti.

Dal modello ricaviamo gli sforzi interni massimi di momento, taglio e normale suddivisi nelle differenti classi che considerano il peso proprio della struttura.

A questo punto andiamo a verificare le sezioni preassegnate alle componenti della trave.

Dall’analisi risulta che dobbiamo aumentare tutte le sezioni preassegnate in quanto non resistono agli sforzi agenti.
Sapendo che gli abbassamenti devono essere verificati con il carico allo Stato Limite di Esercizio andiamo a ridurre i valori degli spostamenti del 35% poichè abbiamo inserito il carico allo Stato Limite Ultimo.
Considerando che il 2% della distanza dagli appoggi è pari a 0.08m, la verifica agli abbassamenti risulta verificata visto che la trave centrale ha un abbassamento di 0.06069 < 0.08 m.