Blog

cari studenti e care studentesse, allegato troverete l'elenco delle video lezioni sul canale yoiu tube

1. Lezione _ 13/10/2015 _ Presentazione e Introduzione corso

2. Lezione _ 14/10/2015 _ Ad astra per aspera: a piccoli passi verso il progetto strutturale (I parte)  

3. Lezione _ 15/10/2015 _ Travature reticolari e  Ad astra per aspera: a piccoli passi verso il progetto strutturale

4. Lezione _ 16/10/2015 _ Ad astra per aspera: si fa presto a dire aggetti

5. Lezione _ 20 /10/2015 _ Ad astra per aspera: gli edifici non volano (I parte)

6. Lezione _ 21 /10/2015 _ Ad astra per aspera: gli edifici non volano (II parte)

7. Lezione _ 22 /10/2015 _ Introduzione trave di Eulero-Bernoulli, equazioni di equilibrio della trave di Bernoulli espresse in forma differenziale

8. Lezione _ 23 /10/2015 _ SAP2000 introduzione al programma di calcolo

9. Lezione _ 27 /10/2015 _ Isostatiche e diagrammi delle sollecitazioni (I parte)

10. Lezione _ 28 /10/2015 _ Isostatiche e diagrammi delle sollecitazioni (II parte)

11. Lezione _ 29 /10/2015 _ Isostatiche e diagrammi delle sollecitazioni(III parte), trave Gerber

12. Lezione _ 30 /10/2015 _ SAP2000: Modellazione strutture isostatiche e assegnazione materiali, sezioni e forze

13. Lezione _ 05/11/2015 _ Meccanica dei materiali, Tensione di Cauchy, forze interne ad un continuo (3D)

14. Lezione _ 06/11/2015 _ SAP2000: Modellazione telaio shear-type ed estrapolazione tabelle Excel

15. Lezione _ 10/11/2015 _ Tensioni nella trave tridimensionale, sforzo normale centrato, Principio di Saint Venant, crisi per rottura del materiale della trave, snellezza trave e instabilità euleriana

16. Lezione _ 11/11/2015 _ SAP2000: Modellazione travatura reticolare spaziale, dimensionamento aste reticolari

17. Lezione _ 12/11/2015 _ Dimensionamento di una sezione soggetta a trazione (commento IV es.), Esercitazione pilastri

18. Lezione _ 13/11/2015 _ Definizione dei carichi agenti sulle strutture civili (qs, qp, qa), coefficienti caratteristici dei materiali nelle tecnologie: legno, acciaio, calcestruzzo armato e coefficienti parziali di sicurezza

19. Lezione _ 17/11/2015

20. Lezione _ 18/11/2015

21. Lezione _ 19/11/2015 _ Progettazione e dimensionamento della sezione di travi inflesse nelle tecnologie: legno, acciaio e calcestruzzo armato, spiegazione esercitazione trave inflessa

22. Lezione _ 20/11/2015 _ Metodo delle forze (I parte)

23. Lezione _ 24/11/2015 _ Metodo delle forze (II parte)

24. Lezione _ 25/11/2015 _ Metodo delle forze e risoluzione trave continua su più appoggi con carico uniformemente distribuito (III parte)

25. Lezione _ 26/11/2015 _ Metodo delle forze e risoluzione trave continua su più appoggi con carico uniformemente distribuito e sbalzo, calcolo degli spostamenti sulle strutture isostatiche ed equazione della linea elastica

26. Lezione _ 27/11/2015 _ SAP2000: assi locali e globali utilizzati dal software, impalcato rigido 3d, constraints, graticcio di travi

27. Lezione _ 01/12/2015 _ Schemi statici noti ricavati tramite il metodo della linea elastica per la risoluzione di problemi iperstatici con il metodo delle forze

28. Lezione _ 02/12/2015 _ Schemi notevoli per risoluzione di problemi iperstatici e spiegazione III esercitazione sul dimensionamento della sezione di una trave a sbalzo nei tre materiali: legno, acciaio e cemento armato

29. Lezione _ 03/12/2015 _ Esercizi iperstatici svolti

30. Lezione _ 10/12/2015 _ Metodo delle rigidezze (I parte), telaio incernieriato e telaio Shear-type

31. Lezione _ 11/12/2015 _ Metodo delle rigidezze (II parte) e risoluzione di problemi iperstatici    

32. Lezione _ 15/12/2015 _ Metodo delle rigidezze (III parte) e risoluzione di problemi iperstatici

33. Lezione _ 16/12/2015 _ Metodo delle rigidezze: sforzo normale e comportamento del nodo incastro in un telaio shear-type

34. Lezione _ 17/12/2015 _ Metodo delle rigidezze: pilastrate e travi Vierendeel

35. Lezione _ 22/12/2015 _ Funzionamenti di una struttura sotto l’azione dei carichi orizzontali, i controventi, i centri, centro di un sistema di vettori paralleli, momento di un vettore

36. Lezione _ 07/01/2016 _ Concetto di centro delle rigidezze, esercizi svolti col metodo delle rigidezze Risposta dei controventi in un edificio

37. Lezione _ 08/01/2016 _ Corpi rigidi piani vincolati con molle, impalcati e risposta dei controventi in un edificio, rigidezze traslanti, metodo delle rigidezze per risoluzione di esercizi iperstatici,

38. Lezione _ 12/01/2016 _ Commento e spiegazione esercitazione sulla ripartizione delle forze sismiche e sulla definizione di come viene ripartita una forza orizzontale sui diversi telai che compongono una struttura, adottando metodo delle rigidezze, rigidezza della croce di Sant’Andrea

39. Lezione _ 13/01/2016 _ SAP2000: impalcato rigido 3d, centro delle rigidezze

40. Lezione _ 14/01/2016 _ Graticci di travi, la spinta sui setti

41. Lezione _ 15/01/2016 _ SAP2000: graticci

42. Lezione _ 19/01/2016 _ Gli archi e il loro comportamento

Tutte le lezioni sopra citate sono disponibili sul canale youtube “Portale di Meccanica” :

https://www.youtube.com/channel/UCrie_UMtHK_QX2tlNTQtKpg

Ci si iscrive al canale e in seguito si può accedere alla sezione Video in cui sono caricate le video lezioni registrate nell’a.a. 2015-2016

Con questa esercitazione vedremo come una forza orizzontale (ad esempio vento o sisma) si ripartiasce su un edificio, per eseguire questa analisi utilizzeremo il metodo delle rigidezze per vedere le reazioni del nostro impalcato.

L'oggetto in analisi è un edificio ad un piano con una struttura i cemento armato composta da 7 telai (3 orizzontali e 4 verticali)

Telai orizzontali    

Telaio 1o: 1-2

Telaio 2o: 3-4-5-6

Telaio 3o: 7-8-9-10

Telai vertical

Telaio 1v: 3-7

Telaio 2v: 1-4-8

Telaio 3v: 2-5-9

Telaio 4v: 6-10

Di questi telai analizzeremo le rigidezze considerandoli come modelli shear-type, un modello teorico che descrive un telaio con tutti nodi ad incastro e travi infinitamente rigide a flessione, questo ci permette di concentrarci solo sul cedimento vincolare dei pilastri (i controventi della struttura) e quindi sulla loro rigidezza.

Vediamo che la rigidezza dei telai dunque è direttamente proporzionale al modulo di Young E, al momento di inerzia I e inversamente proporzionale all'altezza h del pilastro. Per conoscere la rigidezza del nostro telaio basterà dunque sommare le rigidezze dei singoli controventi disposti sul rispettivo asse in analisi

kᵢ=12EI₁/hᶟ

k_tot=∑ᶰᵢ‗₁ kᵢ

Detto ciò visualizzo l'impalcato come un corpo rigido dotato di massa omogenea, controventato da vincoli cedevoli elasticamente rappresentabili sul piano xy come molle di adeguata rigidezza k

Prima di utilizzare il foglio excell per calcolare sistematicamente le rigidezze dei telai definisco che:

H= altezza = 3,4 m

E= Modulo di Young = 21000 N/mm²

Pilastri a sezione quadrata 30cmx30cm con un momento di inerzia unico

I= Momento d’Inerzia = b⁴/12 = 67 500 cm⁴

Una volta ricavate le rigidezze dei diversi telai riportiamo le distanze degli stessi da un punto d' origine (da noi scelto) chiamato O.

Una volta impostato questo sistema di riferimento passiamo a calcolare il centro di massa e il centro di rigidezza della struttura. Questi due punti possono essere entrambi ricavati utilizzando l'equazione per ottenere il centro di un sistema di vettori paralleli.

Per quanto riguarda il centro di massa esso coinciderà con il centro dell'area poichè abbiamo impotizzato che la densità della massa sia uniforme su tutto l'impalcato. per ricavarlo scomponiamo il corpo del nostro edificio in due figure geometriche distinte.

G1: x1= 7,5m

       y1= 8m

G2: x2= 6m

       y2= 3m

Dunque  

x_G = (Σ_i=1-nAixXGi)/ A_tot  

y_G = (Σ_i=1-nAixyGi)/ A_tot       

Per calcolare il centro delle rigidezze utilizzeremo (come introdotto precedentemente) la medesima equazione:

x_C = (Σ_i=1-nKvi x Dvi) / K_{v_tot}

y_C = (Σ_i=1-nKoi x Doi) / K_{o_tot}

Trovati i due centri noto che non coincidono, questo significa che il nostro impalcato sarà soggetto, oltre che a traslanzione, anche a rotazione, questo perchè la forza orizzontale applicata al centro della massa farà ruotare l'impalcato con perno nel centro delle rigidezze, creando un momento con braccio pari alla distanza dei due centri, questo ci dice che la configurazione ottimale per una struttura è quella in cui coincidono i due centri.

Dunque bisogna calcolare anche il valore della rigidezza torsionale K_Φ che non è altro che la sommatoria delle rigidezze dei telai moltiplicati per la rispettiva distanza (braccio) dal centro delle rigidezze

K_Φ =Σ_i=1->nK_vi x dd²_vi  +  K_o x dd²_oi

Seguendo la normativa è possibile ricavare (approssimativamente) la forza sismica che potrebbe agire sul nostro edificio. Per fare questo ho bisogno di ricavarmi la forza peso dell'edificio W, dato dalla somma del carico permanente G e del carico accidentale Q moltiplicato per un coefficente di contemporaneità  ψ,  nel nostro caso ipotizzando un ambiente ad uso commerciale il nostro edificio apparterrà alla categoria D con un coefficente ψ = 0,6

W = G + Q x ψ

La forza peso dell'edificio infine dovrà essere calcolata per un coefficente di intensità sismica c che dipende dal luogo del progetto.

F= W x c

Ricavata la forza passo a verificare la sua influenza sulla nostra struttura nei versi dei controventi da noi analizzati.

Dove :

lo spostamento orizzontale         u= F/ko_tot

Lo spostamento verticale            v= F/kv_tot

La rotazione                                     φ=M/kφ

Determinati i valori dei gradi di libertà è possibile concludere ricavando la forza sui singoli controventi nei due casi di carico.

Forza sismicalungo l’asse x

reazione controventi orizontali     F_{o_n}= k_{o_n} (u+Φ x dd_{o_n})

reazione controventi verticali        F_{v_n}=k_{v_n} x Φ x dd_{v_n}

Forza sismicalungo l’asse y

reazione controventi orizontali     F_{o_n}=k_{o_n} x Φ x dd_{o_n}

reazione controventi verticali        F_{v_n}=k_{v_n}(v+ Φ x dd_{v_n})

 

 

 

                                                      

 

Quando un corpo è soggetto a forze orizzontali invece che a forze verticali, le parti della struttura che sono maggiormente interessate dal fenomeno sono gli elementi verticali (pilastri)

Nella seguente spiegazione verrà mostrato il comportamento di una struttura a telaio “shear type” soggetto a forza orizzontali.

Il telaio “shear  Type” è una tipologia di struttura che considera le travi come elementi rigidi e i pilastri come elementi deformabili

Quando un corpo è soggetto a una forza orizzontale, questo cerca di opporsi al momento secondo le legge della dinamica. La capacità che ha un corpo di opporsi alla deformazione elastica provocata da una forza applicata viene chiamata rigidezza.

F = K δ

La rigidezza dipende dalle condizioni di vincolo.

Nella prima figura i pilastri hanno un incastro alla base e una cerniera terminale. Nella seconda figura invece i pilastri sono doppiamente incastrati

La seconda figura è tipica dei telai in cemento armato. I telaio in acciaio o in legno per avere questa situazione hanno bisogno di particolare accorgimenti nei nodi trave pilastro che sono più complicati.

Per via della duttilità di acciaio e legno, in genere le strutture presentano spesso un setto in cemento armato che ha una rigidezza molto più grande rispetto ai pilastri e il modello utilizzato per le travi è quello mostrato nella prima figura.

Per capire il movimento di una struttura soggetta a sforzo orizzontale è necessario sapere la posizione nel piano del Centro delle Rigidezze e del Centro della Masse. Nel modello di calcolo che viene utilizzato, e considerando il solaio come un elemento rigido, si considera come se la massa di tutto il piano fosse concentrata nel baricentro. Le forze orizzontali allo stesso modo vengono applicate nel baricentro. La resistenze al movimento della struttura possono essere considerate come applicate nel centro delle rigidezze. Se il centro delle rigidezze coincide il corpo si sposterà in maniera rigida e avrà esclusivamente movimenti di traslazione.

Nel caso i due centri non coincidessero, si genererebbe un’eccentricità che produrrebbe delle rotazioni della struttura

L’obiettivo progettuale delle strutture deve essere quello di far coincidere i due centri, o nel caso si fosse impossibilitati, di ridurre il più possibile la distanza tra centro di massa e centro di rigidezza.

Prendiamo in considerazione un telaio in cemento armato.

È stato utilizzato un foglio di calcolo che  individua il baricentro del piano del solaio e le rigidezze del telaio delle direzioni di x e y

Questo caso la struttura è abbastanza semplice e avendo utilizzato il pilastri quadrati ogni pilastro da la stessa rigidezza sia nella direzione x che nella direzione y.

Nel caso in cui la struttura fosse più complessa per via della presenza di doppie altezze o di dimensioni differenti dei pilastri rispetto alle direzioni x e y, la posizione del baricentro e del centro delle rigidezze può cambiare notevolmente. L a variazione del baricentro può essere determinata anche in presenza di asimmetrie in altezza della struttura. 

Per evitare queste forti variazioni di posizione si può agire in due modi.

Se non si vuole cambiare la geometria del solaio è necessario cercare di spostare il centro delle rigidezze il più vicino possibile al baricentro, ingrandendo i pilastri che si trovano vicini al baricentro; oppure inserire un setto. Il setto è un elemento molto più rigido rispetto a un pilastro perché, per via della geometria, ha un momento di inerzia molto più grande. Il momento di inerzia è la capacità di un corpo a resistere a una rotazione. Per una sezione rettangolare il momento di inerzia risulta essere            L’altezza scala con una dimensione al cubo. Aumentare anche di poco l’altezza di una sezione fa aumentare di molto il momento di Inerzia e quindi la sua capacità a ruotare di meno.

Lo spostamento diminuisce se la rigidezza aumenta.

δ  = F / K

Ecco perché la presenza di un setto influisce molto sul movimento della struttura.

L’altra possibilità è quello fare dei giunti nella struttura. Il giunto non è altro che una divisione della struttura. La divisione permette di dividere la struttura in geometrie più semplici così da non dover prendere particolari provvedimenti per quanto riguarda le rigidezze del telaio.

Per figure geometriche semplici come il rettangolo il baricentro è già determinato è conosciuto. Nel Nostro caso di studio non abbiamo una figura geometrica base perciò è necessario suddividere l’area in superfici più piccole con geometrie di cui si conosce la posizione del baricentro. La posizione del baricentro della struttura è una media ponderata del rapporto tra il prodotto della massa di ogni area per la distanza da un punto di riferimento O e la massa totale. 

Nel nostro caso di studio, considerando che la tipologia di solaio non varia, è possibile considerare la posizione del baricentro in base all’area di ogni suddivisione; maggiore è l’area e maggiore sarà la massa.

Per trovare il centro delle rigidezza è necessario studiare il comportamento di ogni telaio “shear type”.

Consideriamo i telai sia nella direzione x che nella direzione y. Il centro delle rigidezze è la media ponderata tra il rapporto del prodotto di ogni rigidezza di telaio per la distanza da un punti di riferimento O e la rigidezza totale.

Telaio 1o         pilastri 1 - 2 - 3
Telaio 2o         pilastri 4 - 5 - 6
Telaio 3o         pilastri 7 - 8
Telaio 4o         pilastri 9 – 10

Telaio 1v         pilastri 1 – 4 – 7 – 9
Telaio 2v         pilastri 2 – 5 – 8 – 10
Telaio 3v         pilastri 3 – 6

Di sotto sono mostrate i due telai che si presentano in verticale o in orizzontale

 

Come primo passo si va a determinare la rigidezza di ogni telaio.
Nel foglio di calcolo è necessario inserire come informazioni base, la rigidezza di ogni pilastri e il momento di inerzia.
Il calcestruzzo utilizzato è un C25/30 con un modulo Elastico E= 21000 Mpa e dimensioni dei pilastri 30x30 cm.
La rigidezza di ogni telaio è ottenuta sommando le rigidezze di ogni pilastro.

Successivamente si segnano le distanze delle rigidezza da un punto di riferimento O in verticale e in orizzontale.

Si determina la posizione del baricentro

Si determinano la rigidezza traslazionale e rotazionale totale della struttura

Il centro delle masse e il centro delle rigidezze non coincidono. Oltre alla traslazione rigida della struttura è presente una rotazione rigida. Sono distanti  di 20 centimetri lungo x e venti centimetri lungo y

si effettua l’analisi dei carichi sismici per ricavare la forza sismica che agisce nel centro di massa. ( per i valori di carico strutturale, permanente e accidentale vedi  http://design.rootiers.it/strutture/node/1740)

In accordo con le norme tecniche per le costruzioni N.T.C. 2008, utilizziamo la combinazione sismica per calcolare i pesi sismici.
 

Ci proponiamo, con la seguente esercitazione, ci calcolare come viene ripartita una forza orizzontale (come ad esempio quelle derivanti dal sisma o dal vento) sui diversi telai che compongono la nostra struttura, applicando il metodo delle rigidezze per mezzo del foglio Excel da voi fornito.

Iniziamo innanzitutto disegnando la pianta strutturale dell’edificio preso come riferimento.

Prenderemo in considerazione un generico edificio ad un solo piano con struttura composta da telai piani (ossia un insieme di travi e pilastri allineati sopra un piano verticale) in cemento armato. Questi, oltre a trasmettere i carichi verticali alle fondazioni, possono svolgere anche il ruolo di controventi. E’ bene precisare che, perché un sistema di controventamento possa essere efficace, bisogna trovarsi nella situazione in cui gli impalcati possono essere considerati corpi rigidi sul proprio piano (al di quale si inflettono), per cui la forza orizzontale loro applicata tende a spostarli, ed i controventi contrastano questa azione grazie alla loro elasticità.

Oltre ad una specifica in termini di tecnologia utilizzata (quella del cemento armato, appunto), bisogna altresì premettere che questa esercitazione è dedicata anche ad una specifica tipologia di controventi, ossia i telai shear-type. Non essendo argomento specifico dell’esercitazione, non ci dilungheremo né sul concetto di rigidezza, né su quello di telaio shear-type. Basti ricordare che si tratta di un telaio con tutti nodi ad incastro e con la trave considerata infinitamente rigida flessionalmente rispetto ai pilastri. Confrontando un telaio di questo tipo con un altro con – ad esempio – traverso flessibile, ci rendiamo immediatamente conto della forte differenza in termini di rigidezza: il telaio shear-type è otto volte più rigido. Trattasi – ovviamente – di modelli, astratti quindi dalla realtà, ma accettati in quanto – associandoli appunto alla tecnologia del cemento armato – ne approssimano alcune caratteristiche.

Torniamo alla nostra struttura. In pianta si possono individuare sette telai, quattro paralleli all’asse y e tre paralleli all’asse x

Telaio 1v_erticale, composto dai Pilastri 1,5,9

Telaio 2v_erticale, composto dai Pilastri 2,6,10

Telaio 3v_erticale, composto dai Pilastri 3,7

Telaio 4v_erticale, composto dai Pilastri 4,8

Telaio 1o_rizzontale, composto dai Pilastri 1,2,3,4

Telaio 1o_rizzontale, composto dai Pilastri 5,6,7,8

Telaio 1o_rizzontale, composto dai Pilastri 9,10

 

Detto ciò, cambiamo “abito mentale”, passando a vedere l’impalcato come un corpo rigido dotato di massa ed i controventi come molle che lo vincolano impedendogli di spostarsi eccessivamente. I controventi, che per il telaio rappresentano vincoli cedevoli elasticamente, possono essere schematizzati infatti come molle, aventi un’adeguata rigidezza.

Entrando nel vivo dell’esercitazione, iniziamo calcolando le rigidezze traslanti dei controventi dell’edificio. Ipotizzando, come già accennato, che il solaio sia rigido a sufficienza da considerare la struttura composta da telai Shear-Type, possiamo passare a calcolarci la rigidezza traslante K_T (KN/m) di ogni telaio, ovvero la somma delle rigidezze dei singoli pilastri che la compongono

K_telaio= (12E/h³) x

Ricordandoci che il telaio di tipo Shear-Type ha una rigidezza pari a:

k= 12EI/h³

Una volta definita la nostra sezione e tenuto conto della disposizione dei pilastri in pianta, con:

E= Modulo di Young = 21000 N/mm²

H= altezza = 3,2 m

I_x= Momento d’Inerzia parallelo all’asse x = bh³/12 =

133 333,3 cm⁴

I_y= Momento d’inerzia parallelo all’asse y = b³h/12 =

 52083,3 cm⁴

Avremo quindi:

Nella tabella sinottica dei controventi e delle distanze riportata di sotto, oltre ad essere riassunte le diverse rigidezze di tutti i controventi, vengono anche riportate le distanze dei diversi controventi dal punto O, origine di un sistema di riferimento da noi scelto (a tal proposito, ci riferiamo all’immagine dell’impalcato inteso come corpo rigido dotato di massa ed i controventi come molle, dove sono riportate le distanze dei controventi dall’origine).

Passiamo quindi a calcolare il Centro di Massa ed il Centro di Rigidezza dell’impalcato. Entrambi i procedimenti sono figli dello stesso concetto base, ossia il metodo attraverso cui ottenere il centro di un sistema di vettori paralleli. Tralasciando per sinteticità dell’esercitazione la dimostrazione, basti sapere che lo stesso procedimento viene poi declinato a seconda del “centro richiesto”: nel caso del centro delle rigidezze, le variabili saranno, oltre alla rigidezza totale, la distanza dei controventi dal centro delle rigidezze; nel caso del Centro di massa (coincidente con il centro d’area, qualora la densità di massa dell’impalcato sia uniforme su tutto l’impalcato), oltre all’area, la distanza dei centri d’area delle figure geometriche elementari dall’origine del nostro sistema di riferimento.

Incominciamo quindi calcolandoci quest’ultimo. Per semplicità, suddividiamo l’impalcato in due figure geometriche elementari (due rettangoli) ed indichiamo il centro di massa e l’area di ognuna di queste due figure. Ciò fatto, ipotizziamo appunto che la densità di massa dell’impalcato sia uniforme lungo tutto quest’ultimo.

 

Le coordinate del centro di massa saranno:  

x_G = (Σ_i=1->nAi*xGi)/ A_tot

y_G = (Σ_i=1->nAi*yGi)/ A_tot

Qualora l’ipotesi di densità uniforme dell’impalcato non fosse valida, il centro di massa non coinciderebbe con il centro d’area e dovremmo quindi ricorrere alla variabile “Massa”:

x_G = (Σ_i=1->nMi*xGi)/ A_tot

y_G = (Σ_i=1->nMi*yGi)/ A_tot

 

Procedimento analogo per quanto riguarda il Centro delle Rigidezze dell’impalcato. Le coordinate del centro di rigidezza, formalmente analoghe alle coordinate del centro di massa, sono:

x_G = (Σ_i=1->nKvi*Dvi)/ K_{v_tot}

y_G = (Σ_i=1->nKoi*Doi)/ K_{o_tot}

 

Abbiamo quindi posizionato il centro di massa ed il centro delle rigidezze all’interno del sistema di riferimento in cui abbiamo disegnato l’impalcato (ricordiamoci difatti che – ai fini di quest’esercitazione – la forza sismica viene applicata nel centro di massa G).

Non coincidendo i due (ossia, poiché la retta d’azione della forza esterna – applicata nel centro di massa - non passa per il centro delle rigidezze), l’impalcato è soggetto a traslazione e rotazione; si produrrà quindi uno spostamento sull’asse in cui è applicata la forza ed un momento che farà ruotare l’impalcato con perno nel centro delle rigidezze e braccio pari alla coordinata che informa sulla distanza di questa forza dal centro delle rigidezze.

Schematizzando quanto detto in maniera semplice, ci troveremo innanzi ad una situazione analoga a quanto riportato nelle due successive immagini:

Rotazione e spostamento dettati da una forza applicata orizzontalmente

 

Rotazione e spostamento dettati da una forza applicata verticalmente.

Nella tabella precedente, oltre a calcolare le coordinate del centro di rigidezza, ricaviamo anche il valore della rigidezza torsionale K_Φ, ossia la sommatoria di tutte le rigidezze dei controventi (calcolate nel primo passaggio) moltiplicate per la loro distanza dal centro delle rigidezze. Questa rigidezza torsionale servirà in seguito – come vedremo – per il calcolo della rotazione dell’impalcato secondo una direzione.

K_Φ =Σ_i=1->nK_vi*dd²_vi + K_oi*dd²_oi

 

Manca ora il calcolo della forza sismica che agisce nel centro di massa: conditio sine qua non, l’analisi dei carichi sismici, ergo il carico totale permanente G ed il carico totale accidentale Q.

Ipotizziamo il solaio latero cementizio seguente:

Il carico totale permanente G sarà uguale a G = (q_s + q_p)*A_tot

Il carico totale accidentale, invece Q = q_a*A_tot

Introduciamo quindi il carico sismico W = G + Q*ψ

con ψ equivalente al coefficiente di contemporaneità, il cui valore è fornito dalla normativa; nel nostro caso, ipotizziamo una categoria A (ambienti ad uso residenziale), con quindi una fattore ψ=0,3:

Il peso sismico W, espresso in kN, rappresenta la forza peso dell’edificio, data dal prodotto tra la massa dell’edificio e l’accelerazione di gravità. Poiché il sistema ha un’accelerazione mediamente più piccola dell’accelerazione di gravità, può essere introdotto un coefficiente di intensità sismica c, che tenga conto della sismicità del luogo di progettazione dell’edificio

F=W*c

Nel nostro caso, c=0,1

Ci stiamo quindi avviando alla conclusione. Si dovrà ora quantificare la ripartizione della forza sismica F lungo l’asse x e lungo l’asse y (nello specifico, per ognuno dei diversi controventi). Detto altrimenti, arriviamo infine a calcolare il valore degli spostamenti u, v e Φ.

Lo spostamento orizzontale, u, sarà pari ad u = F/(k_{o_tot})

Lo spostamento verticale, che chiamiamo v, sarà pari a v = F/(k_{v_tot})

Infine, la rotazione Φ impressa all’impalcato sarà uguale a Φ=M/k_Φ

Una volta determinato il valore dei gradi di libertà, possiamo ricavare la forza sui singoli controventi nei due casi di carico.

Quando la forza è parallela all’asse x, la reazione elastica dei controventi orizzontali sarà pari a:

F_{o_n}= k_{o_n} (u+Φ*dd_{o_n})

Mentre in quelli verticali:

F_{v_n}=k_{v_n}* Φ*dd_{v_n}

Quando invece la forza è parallela all’asse y, la reazione elastica dei controventi verticali sarà:

F_{v_n}=k_{v_n}(v+ Φ*dd_{v_n})

Mentre in quelli orizzontale sarà

F_{o_n}=k_{o_n}* Φ*dd_{o_n}

Intuitivamente, poiché il corpo non si limita a traslare, per poter conoscere il valore della rotazione, bisognerà calcolare il Momento Torcente M dell’asse x, moltiplicando la forza sismica F per il suo braccio, ovvero la differenza tra l’ordinata del centro delle rigidezze e quella del centro di massa, e per l’asse y, utilizzando come braccio la differenza tra le ascisse dei due centri. Infine, si calcola la traslazione orizzontale, dividendo F per la rigidezza traslante orizzontale, la traslazione verticale, dividendo F per la rigidezza traslante verticale, e le rotazioni, dividendo i rispettivi Momenti torcenti per la rigidezza rotazione K Φ.

L’esercitazione è così conclusa. Vorrei ora spendere alcune righe per spiegare in maniera molto sintetica come siamo arrivate alle formule scritte poco sopra.

Astraiamoci dal caso specifico ed immaginiamo un sistema iperstatico come quello riportato nella figura sottostante

Dato che il corpo è rigido e piano, la cinematica dipende solamente da tre parametri:

la traslazione orizzontale δ_o, la traslazione verticale δ_v e la rotazione Φ.

Per determinare le tre incognite, si ipotizza un parametro di spostamento per volta, registrando le azioni nelle molle che questo produce; poi, invocando il principio di sovrapposizione degli effetti, in ogni molla si somma il contributo dovuto ad ognuno dei tre parametri. In conclusione, si scrivono le tre equazioni di equilibrio e si ricavano i valori dei tre parametri.

Nel caso in figura, non ci sono né forze né molle orizzontale, di conseguenza δo=0.

Le incognite da determinare sono quindi δv e la rotazione Φ. Gli effetti che essi inducono sulle reazioni vincolari elastiche sono i seguenti:

Con Ri₁ = -ki δv

Con Ri₂=-ki δv Φxi

Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, avremo R= Ri₁ + Ri₂

Sinteticamente: vado a scrivere le equazioni di bilancio alla traslazione verticale ed alla rotazione. Se il punto O attorno al quale abbiamo scelto di far agire Φ ed effettuato il bilancio dei momenti è pari a C, la soluzione sarà immediata, arrivando così alle formule applicate precedentemente.

Noti δo, δv e Φ, posso determinare le reazioni elastiche di ogni controvento.

Per la quarta esercitazione si calcola la rigidezza di un impalcato costituito da sei telai di cemento armato basati sul modello teorico "shear-type". La distanza tra il centro delle rigidezze rispetto al centro di massa determina la sua capacità di rispondere alle sollecitazioni orizzontali. L'impalcato, considerato di un piano solo, è il seguente:

I pilastri sono di sezione rettangolare 30x65 cm, alcuni disposti lungo x, altri lungo y, uno, invece, è a basa quadrata di 30x30 cm.

Il primo step della tabella excell richiede i valori della geometria e i materiali dei telai: l'altezza h=3,50m, il modulo plastico E (da materiale, 21000 N/mmq) e i momenti d'inerzia I (per la sezione rettangolare (b*h³)/12)
La tabella, quindi, calcola la rigidezza traslante di ogni telaio , che si ottiene dalla formula: 

Dove la rigidezza del singolo pilastro è dato dal modello  "shear-type"e vale 12*E*I/h³.

Si può assumere che ogni telaio è in grado di resistere a sforzi orizzontali al suo sviluppo (possiamo quindi rappresentare ogni telaio con una molla che ostacola gli spostamenti):

Si passa ora a calcolare le coordinate X e Y del centro d'area G, riducendo la forma in pianta in schemi semplici composti da rettangoli i quali centri G1 e G2, inseriti nella formula per il centro di un sistema di vettori paralleli, restituiscono il centro d'area di tutto l'impalcato.

Un telaio ben progettato richiede una distanza tra i due centri non troppo elevata,per limitare la rotazione rigida dell'impalcato e i conseguenti momenti torcenti sui pilastri, sottoponendo la struttura a sola traslazione pura. La distanza dell'impalcato considerato è tuttavia accettabile, anche se tende comunque a ruotare. Con il foglio excell calcoliamo, quindi, la rigidezza torsionale, mediante l'utilizzo della seguente formula che tiene in considerazione la distanza dei controventi dal centro delle rigidezze.

La rigidezza torsionale totale vale 15036062,80 KNm.

Con lo step 5 si calcola l'entità del carico sismico dell'impalcato, per il quale è necessario conoscere i carichi strutturali qs, i carichi permanenti non strutturali qp ed i carichi accidentali qa.
Per un normale solaio in latero-cemento, ad uso residenziale:
qs=1,86 KN/mq, qp=1,91 KN/mq, qa=2 KN/mq.

I carichi moltiplicati per l'area totale dell'impalcato forniscono G = 626,4 KN e Q = 216 KN, a loro volta vengono sommati (ma Q prima è moltiplicato per il coefficiente di contemporaneità 0,3 tabellato per uso residenziale) per avere il valore del peso sismico W = 691,2 KN. 
infine è necessario "accellerare" la massa dell'edificio per il coefficiente d'intensità sismica c, che dipende dall'area geografica e dalla sua sismicità (in questo caso vale 0,1) fino ad ottenere lo sforzo sismico orizzontale F= 69,12 KN.

Gli step 6 e 7 calcolano i valori degli spostamenti orizzontali e verticali e della rotazione dell'impalcato applicando la forza F sul centro di massa G, rispettivamente lungo l'asse X e lungo l'asse Y, con le formule qui riportate:

Il momento torcente M che appare nella tabella 6 ha come forza la forza sismica F e come braccio la distanza tra centro di massa e centro delle rigidezze, e vale quindi 52,89 KNm ed è antiorario nel caso di una forza fisica orizzontale, invece -85,51 ed è orario nel caso di una forza fisica verticale.

Nelle due tabelle finali si può calcolare la forza sismica agente sui singoli controventi orizzontali e verticali.
Nel caso di forze lungo X con le seguenti formule:

Lo stesso principio si applica con la forza lungo Y:

 

Per la terza esercitazione ci è stato richiesto di dimensionare una trave, non più appoggiata-appoggiata, bensì a mensola.
I solai sono gli stessi dell'esercitazione precedente e i materiali utilizzati saranno legno Gl 24c, acciaio Fe 430/S275, calcestruzzo C 25/30 con barre d’acciaio B450A.
Lo scopo è quello di effettuare su queste tre mensole la verifica a deformabilità, controllando l’abbassamento minimo dell’elemento strutturale in rapporto alla sua luce. 

Per la terza esercitazione ci è stato richiesto di dimensionare una trave, non più appoggiata-appoggiata, bensì a mensola.
I solai sono gli stessi dell'esercitazione precedente e i materiali utilizzati saranno legno Gl 24c, acciaio Fe 430/S275, calcestruzzo C 25/30 con barre d’acciaio B450A.
Ila verificherà sarà effettuata allo Stato Limite d’Esercizio (SLE), differentemente da quanto avvenuto invece per il dimensionamento delle travi nella precedente esercitazione, che ha avuto luogo allo Stato Limite Ultimo (SLU). Ipotizziamo in tutti e tre i casi di trovarci dinnanzi ad una mensola di lunghezza l e caricata con un carico uniformemente distribuito pari a qu. Il momento massimo nella sezione di incastro vale:

Mmax=(qu*l²)/2

Lo spostamento massimo verticale, invece, vale:
vmax= - (qe*l⁴)/8*E*Ix

Verificando che il rapporto tra la luce della trave ed il suo spostamento massimo sia maggiore di 250 possiamo stabilire che la trave non si deformerà più di quanto non sia consentito dalla normativa.

1) TRAVE IN LEGNO

2) TRAVE DI ACCIAIO

3) TRAVE IN CEMENTO ARMATO

Nel caso del cemento armato è necessario verificare che il peso stesso della trave, aggiunto al carico del solaio, non vada a sovraccaricare eccessivamente la struttura a mensola.

 

 

Per la seconda esercitazione andremo a dimensionare la trave maggiormente sollecitata di un impalcato strutturale ad uso residenziale. Calcoliamo quanto pesa un metro quadro del nostro solaio (espresso come densità di carico superficiale in kN/m²). Studieremo il caso di un salaio di legno, uno di laterocemento e uno di acciaio con lamiera grecata.
Divideremo il carico totale in qs (kN/m²) (carico dovuto al peso della struttura), il carico permanente qp (kN/m²) (carico di tutto ciò che grava sulla struttura), e il carico accidentale qa (kN/m²) (in questo caso 2,0 kN/m² cioè il carico accidentale previsto da normativa per gli edifici residenziali). 
Per calcolare il peso al metro quadro del solaio sommiamo tutti i pesi di tutti gli elementi tecnologici presenti. Il loro peso specifico (kN/m³) si moltiplica per la quantità di volume del materiale presente in un metro quadro (m³/m²). Dal calcolo si ottengono i pesi espressi in kN/m² che sommati individueranno i nostri qp e qs.
La normativa impone l'utilizzo di coefficienti moltiplicativi dei singoli carichi, che forniscono il carico totale come una combinazione di carico, espressa dalla formula seguente: qtot [KN/m²] = 1,3*qs + 1,5*qp + 1,5*qa  per lo stato limite ultimo con cui vanno calcolati. Da questo carico dobbiamo ricavare il carico agente sulla trave (qu) derivante dalla moltiplicazione di qtot per l'interasse della trave. A questo punto bisogna determinare il momento massimo agente sulla trave Mmax = qul²/8 (considerando il modello di trave appoggiata appoggiata).
L'impalcato che andremo ad analizzare è il seguente, la trave analizzata è evidenziata in rosso e la sua area di influenza è di 15mq.

1)    TRAVE IN LEGNO

 

 

 

Nel dimensionamento di una sezione di una trave in legno il progettista deve scegliere il tipo di legno da utilizzare e quindi inserire nella colonna corrispondente la resistenza caratteristica a flessione fm,k del legno prescelto a seconda della tecnologia (legno massiccio o legno lamellare) e ad una classe di resistenza. 

Consideriamo il GL 24c ed inseriamo nella tabella Excel la resistenza caratteristica a flessione fm,k.

La tensione di resistenza fd sarà a sua volta pari a fd = (kmod*fm,k)/γm

Kmod è un coefficiente diminutivo che considera l’effetto della durata del carico e le condizioni di umidità.

Ipotizzando un carico permanente, una classe di servizio 2 e un legno lamellare, avremo un valore kmod pari a 0,6 (come da normativa).

Il coefficiente γm è invece un coefficiente parziale di sicurezza del materiale e vale 1,45

Ora, con il foglio excell fornitoci, andiamo a calcolare la sezione della trave di legno. Inseriamo le informazioni sulla geometria dell'impalcato, le caratteristiche del materiale e le tensioni di progetto, calcoliamo il momento massimo e con la tensione di resistenza e una base di partenza di 40cm andiamo a calcolare l'altezza minima. 

hmin= (Mmax/b)^0.5 * (6/fd)^0.5 = 36,08 cm.

Ingegnerizzando l'altezza minima scegliamo un profilo quadrato di 40x40cm.

2) TRAVE IN ACCIAIO

Per dimensionare la sezione in acciaio procediamo individuando il modulo di resistenza a flessione minimo da utilizzare affinché la tensione del materiale non superi la tensione di progetto. 

fyd è la tensione di progetto e si calcola a partire dalla tensione caratteristica di snervamento divisa per un coefficiente di sicurezza γs pari a 1,05.

Fyd = Fyk/γs

Se consideriamo l'acciaio Fe 430/S275, con una tensione di snervamento caratteristica di 275 MPa, otteniamo un Wx,min di 338,12 cm³.
 
Wx,min = Mmax/fyd

Wx,min è il valore minimo della sezione che posso scegliere per il dimensionamento. Con un Profilario di IPE in acciaio scegliamo una sezione con un Wx più grande.
La IPE270 con Wx = 429 cm³.

3) TRAVE IN CEMENTO ARMATO

In questo caso teniamo conto delle due diverse tensioni di progetto: del cls (fcd) e dell’acciaio (fyd).

Scelta una base, determinato il Momento massimo e δ (5cm) possiamo proseguire con la scelta della sezione da utilizzare.

Iniziamo scegliendo il tipo di acciaio ed il tipo di calcestruzzo, individuando prima fyk ed fck (le resistenze caratteristiche), poi li riduciamo ottenendo fcd e fyd (le tensioni di progetto del calcestruzzo e dell’acciaio)

fyd = fyk/γs             fcd = αcc(fck/γc)

γs  è il coefficiente parziale di sicurezza relativo all’acciaio (pari a 1,15), αcc è il coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata (0,85) e γc il coefficiente parziale di sicurezza relativo al cls, pari a 1,5.

Scegliamo un acciaio B450A (con fyk = 450 MPa) ed un calcestruzzo ordinario C 25/30 (fck = 30 MPa).

Scegliendo la base della sezione di 30cm e noti i valori delle tensioni di progetto, determiniamo hu (l’altezza utile della sezione, pari all’altezza totale meno δ), da cui poi otterremo appunto una Hmin (altezza minima della sezione).

Hmin = hu + δ

hu = r(Mmax/b)^0.5    con r = (2/[fcd*(1-β/3)*β])^0.5      e     β= fcd/(fcd+fyd/n)

L’altezza minima andrà poi ingegnerizzata in eccesso. Nel nostro caso quindi, ottenendo una hu = 33,42 cm avremo una Hmin= 38,42cm, che ingegnerizziamo prendendo un’altezza H = 40cm.

A questo punto è necessario aggiungere al carico totale qu il peso stesso della trave (calcolato con il peso specifico del cls armato che è pari a 3 kN/m). Se l’altezza minima risultante sarà ancora minore dell’altezza ingegnerizzata la sezione risulterà verificata anche una volta aggiunto il peso proprio della trave.
Da qui la necessità di aumentare l'altezza della sezione H=45cm.

 

Questa esercitazione è finalizzata a calcolare come viene ripartita una forza orizzontale, come può essere il vento o il sisma, su un generico impalcato strutturale ad un piano. Calcoleremo quindi le rigidezze dei controventi, il centro d’area e il centro delle rigidezze dell’impalcato trovando così gli spostamenti prodotti dalla forza.

L’impalcato preso in considerazione è costituito da telai piani in cemento armato con controventi di tipo Shear-type, la cui caratteristica è di avere travi infinitamente rigide questo fa sì che ai pilastri non vengano trasmesse rotazioni.

Per prima cosa poniamo l’impalcato in un sistema di riferimento cartesiano dove andiamo ad individuare i telai paralleli all’asse y e quindi verticali e i telai paralleli all’asse x quindi orizzontali:

 

Telaio 1v  composto da: pilastri  1, 7 e 11

Telaio 2v  composto da: pilastri  2, 4 e 8

Telaio 3v  composto da: pilastri  9 e 12

Telaio 4v  composto da: pilastri  3 e 5

Telaio 5v  composto da: pilastri  6 e 10

 

 Telaio 1o composto da: pilastri  1, 2 e 3

 Telaio 2o composto da: pilastri  4, 5 e 6

 Telaio 3o composto da: pilastri  7, 8, 9 e 10

 Telaio 4o composto da: pilastri  11 e 12

 

I controventi, che per il solaio rappresentano vincoli cedevoli elasticamente, possono essere schematizzati nel piano dell'impalcato come molle, aventi un’adeguata rigidezza.

Trattandosi di telai shar-type la loro rigidezza sarà data da:

 

Quindi in generale per un telaio di n pilastri la rigidezza sarà: 

Dove E rappresenta il modulo elastico del cls armato mentre I è il momento d’inerzia del pilastro secondo la direzione in cui resiste meglio. 

quindi per il pilastro da noi adottato avremo: 

Iy=(30*40^3)/12=160000

Ix=(40*30^3)/12=9000

       

Andiamo ora a calcolare la rigidezza traslante associata ad ogni controvento sapendo che l’altezza di ogni nostro pilastro è di 3,5 m e il modulo elastico del nostro materiale  è di 21000 N/mm^2.

Una volta definita la rigidezza di ogni controvento le riportiamo in tabella insieme alla sua distanza dall’origine. 

Ora vediamo come calcolare il centro di massa dell’impalcato (G).

Innanzi tutto dividiamo l’impalcato in forme geometriche elementari come i rettangoli, nel nostro caso tre, di cui definiamo l’area e il baricentro:

Area A: 11,70 m²

Area B: 6,43 m²

Area C:  8,43 m²

 

Centro A: (1,5 ;  3,9)

Centro B: (4,6 ;  2,9)

Centro C: (2,5 ;  0,97)

 

 

 

 

 

 

Applichiamo ora attraverso il foglio Excel la formula della sommatoria per trovare il centro di massa che risulta avere coordinate G (2,58 ; 2,73).

Definiamo ora le coordinate del centro delle rigidezze (Xc, Yc) attraverso la sommatoria che moltiplica le rigidezze traslanti  (kv, ko) per la distanza del controvento dall’origine (dv, do). 

Ricaviamo ora il valore delle rigidezza torsionale calcolando tutte le distanze dei diversi controventi (ddv, ddo) dal centro delle rigidezze (C) data dalla formula:

Nella tabella successiva possiamo calcolare il valore della forza sismica agente  sull’impalcato attraverso l’analisi dei carichi sismici.

Per far ciò riprendiamo i valori dei carichi strutturali, permanenti, e accidentali dell’esercitazione sul dimensionamento della trave:

q_s = 3,12 KN/m²

q_p = 3,95 KN/m²

q_p  = 2,00 KN/m²

Attraverso il foglio Excel e il valore dei carichi per unità di superficie (KN/mq) calcoliamo il carico totale permanete (G), il carico totale accidentale (Q) come segue:

Questa esercitazione viene svolta con l’obiettivo di individuare il metodo di ripartizione di una forza orizzontale, come quella sismica e del vento, sui diversi telai che costituiscono una struttura, applicando il metodo delle rigidezze.

Si prende in considerazione un edificio generico ad un solo piano, in cui struttura è composta da telai piani che, oltre a trasmettere i carichi verticali alla fondazione, possono costituire dei controventi per le azioni orizzontali. In particolare, i telai piani che compongono tale struttura sono realizzati sul modello del telaio Shear-type. I telai Shear-Type sono un modello teorico che hanno la capacità di possedere travi infinitamente rigide, questo fa si che le estremità dei pilastri non possono ruotare. La rotazione impedita porta a deformare i pilastri stessi come travi doppiamente incastrate. In questo caso la deformata si avvicina alla deformata di una trave deformabile per solo taglio.

Nell’ impalcato in figura si individuano 7 telai, 3 paralleli all’asse x e quattro paralleli all’asse y.

• Telaio 1 verticale: pilastri 1-5-9
• Telaio 2 verticale: pilastri 2-6-10
• Telaio 3 verticale: pilastri 3-7
• Telaio 4 verticale: pilastri 4-8
• Telaio 1 orizzontale: pilastri 1-2-3-4
• Telaio 2 orizzontale: pilastri 5-6-7-8
• Telaio 3 orizzontale: pilastri 9-10

I controventi, che per il solaio rappresentano vincoli cedevoli elasticamente, possono essere schematizzati nel piano dell’impalcato come molle.

In tutta la struttura sono presenti due tipologie di pilastro, uno rettangolare di dimensioni 50x30 cm e uno quadrato di dimensioni 30x30 cm. Pertanto otterremo tre momenti di inerzia distinti (bh^³/12), due per il pilastro rettangolare, uno rispetto ad x e l’altro rispetto ad y, e uno per il pilastro quadrato.

I₁xy= bh³/12= 67.500 cm⁴     I₂x= bh³/12= 31.2500 cm⁴    I₂y= b³h/12= 11.2500 cm⁴

Tramite la tabella excel, dopo aver inserito tutti i valori trovati dei diversi momenti d’inerzia, calcoliamo la rigidezza traslante associata a tutti i controventi, inserendo per ognuno di essi l’inerzia dei pilastri che lo compongono. Si parla di telai Shear type, pertanto, per trovare la rigidezza traslante di un telaio composto da n pilastri utilizziamo la formula:

Si ottiene anche una tabella riassuntiva in cui vengono riportate le rigidezze di tutti i controventi calcolati precedentemente. Nella stessa tabella, si devono inserire le distanze di ogni controvento, calcolate da un’origine O arbitraria, che per comodità collochiamo nell’angolo in basso a sinistra dell’impalcato.

Si calcola ora il centro di massa dell’edificio, che corrisponde al centro delle aree dato che si considera l’impalcato con densità di massa uniforme, suddividendo la struttura in tre figure elementari di cui conosciamo il centro in modo intuitivo.

Per farlo utilizziamo la formula derivata da quella per ottenere le coordinate del centro di un sistema di vettori paralleli:

Giunti a questo punto, si calcola la rigidezza totale orizzontale, data dalla somma delle singole rigidezze dei controventi orizzontali, e la rigidezza totale verticale, data dalla somma delle singole rigidezze dei controventi verticali. Così sarà possibile calcolare il centro delle rigidezze riadattando la formula precedentemente utilizzata per il centro di massa, e la rigidezza torsionale totale.

Si riesce così ad individuare sia il centro di massa G sia il centro delle rigidezze C, dell’intero impalcato.

Si effettua l’analisi dei carichi sismici per ricavare la forza che agisce nel centro di massa. Si calcola il carico totale permanente (G) e accidentale (Q) del solaio, partendo dal valore dei carichi per unità di superficie [kN/mq] e utilizzando le seguenti formule:

G = (q_s + q_u) A_tot      Q = q_a A_tot

In accordo con la normativa tecnica si utilizza la combinazione sismica per calcolare i pesi sismici:

W = G + ψ_2j · Q   in cui ψ rappresenta il coefficiente di contemporaneità indicato dalla normativa.

F = W c    moltiplicando W, ossia il peso sismico, per un coefficiente di intensità sismica c che tiene conto della sismicità del luogo di progettazione dell’edificio, si ottiene F, la forza sismica da applicare al centro di massa.

Ora si considera l’azione della forza sismica lungo x e poi lungo y. Si trova lo spostamento orizzontale, verticale e la rotazione tramite le seguenti formule:

Ora che abbiamo tale forza la andiamo ad applicare nel centro d’area creando 2 casi:

• forza applicata in direzione x, che comporterà ad possibile rotazione e traslazione orizzontale dell’impalcato
• forza applicata in direzione y, che comporterà ad possibile rotazione e traslazione verticale dell’impalcato 
•