Esercitazione

 

Prendiamo in esame una struttura composta da pilastri e travi. Nel mio caso si stratta di una struttura formata da tre travi di luce 6m doppiamente appoggiate. Prendo in considerazione la trave maggiormente sollecitata, quella centrale, e quindi la sua area d'influenza. 

SOLAIO IN LEGNO

 

Considero un solaio in legno, appoggiato sulla trave centrale, composto dagli elementi presenti nel disegno soprastante. Dobbiamo quindi colcolare il carico ( qu) che grava su questa struttura. Per far ciò dobbiamo vedere quanto possa pesare in termini di KN il solaio stesso. 

PESI SPECIFICI (da schede tecniche) espressi in KN sapendo che 1KN=100Kg

Pavimento in cotto : 40 Kg/mq --> 0.4 KN/mq
Massetto : 1900 Kg/mc --> 19 KN/mc
Allettamento : 1400 Kg/mc --> 14 KN/mc
Tavolato in legno : 530 Kg/mc --> 5.3 KN/mc
Travetti in legno: 530 Kg/mc --> 5.3 KN/mc

devo a questo punto esprimere i valori al mc in mq, in quanto devo trattare il carico linearmente, all'interno della mia porzione di solaio espessa in 1 mc. Quindi:

Pavimento  --> [( 19 KN/mc x 1m x 1m x 0.03m) / 1mq] = 0.57 KN/mq

Allettamento  --> [( 14 KN/mc x 1m x 1m x 0.06m) / 1mq] = 0.84 KN/mq

Tavolato   --> [( 5.3 KN/mc x 1m x 1m x 0.03m) / 1mq] = 0.159 KN/mq

Travetti  --> [ 2x( 5.3KN/mc x 1m x 0.1m x 0.14m) / 1mq] = 0.15 KN/mq

A questo punto inizio a calcolare i diversi carichi. Il carico strutturale è composto dalla somma dei pesi specifici dei travetti e del tavato in legno.

qs= 0.15 KN/mq + 0.159 KN/mq = 0.31 KN/mq

il carico permanente è composto dal resto degli elementi del solaio più 1 KN/mq per i tramezzi portati e 0.5 KN/mq per gli impianti.

qp= 0.4 KN/mq + 0.57 KN/mq + 0.84 KN/mq + 1 KN/mq +0.5 KN/mq = 3.31 KN/mq

In più ci prendiamo un valore già stabilito per il carico accidentale, in quanto l'edificio ha come destinazione d'uso delle residenze

qa= 2 KN/mq

A questo punto mettiamo tutti i valori trovati all'interno del file excel.

Vediamo subito il valore del carico ultimo pari a 33.47 KN/m. Da qui ci calcoliamo il valore di Mmax in campata pari a qu(l²)/8 quindi pari a 150.62 KNm.

Scelgo un legno di classe C24, che ha come caratteristiche:

fmk = 24 N/mm2 (tensione caratteristica)

Kmod = 0.8

γ m = 1.45

ci troviamo a questo punto la tensione di progetto fd (N/mm2) = (Kmod x fmk) / γ m = 13.24

scelgo una base di 30cm, e trovo una hmin = 47.70cm, in fine posso prendere la H definitiva della mia trave, pari a 50cm.

 

SOLAIO IN ACCIAIO

 

Considero un solaio in acciaio, appoggiato sulla trave centrale, composto dagli elementi presenti nel disegno soprastante. Dobbiamo quindi colcolare il carico ( qu) che grava su questa struttura. Per far ciò dobbiamo vedere quanto possa pesare in termini di KN il solaio stesso. 

PESI SPECIFICI (da schede tecniche) espressi in KN sapendo che 1KN=100Kg

Pavimento in cotto : 40 Kg/mq --> 0.4 KN/mq
Massetto : 1900 Kg/mc --> 19 KN/mc
Isolante : 0.2 KN/mc
Soletta in lamiera grecata: 1.86 KN/mq
IPE 200: 78.5 KN/mc, di area 0.0028mq

devo a questo punto esprimere i valori al mc in mq, in quanto devo trattare il carico linearmente, all'interno della mia porzione di solaio espessa in 1 mc. Quindi:

Pavimento  --> [( 19 KN/mc x 1m x 1m x 0.04m) / 1mq] = 0.76 KN/mq

Isolanti  --> [( 0.2KN/mc x 1m x 1m x 0.04m) / 1mq] = 0.008 KN/mq

Travetti  --> [ 2x( 78.5KN/mc x 0.0028mq x 0.1m ) / 1mq] = 0.43KN/mq

A questo punto inizio a calcolare i diversi carichi. Il carico strutturale è composto dalla somma dei pesi specifici delle travette in acciaio e della lamiera grecata

qs= 0.43 KN/mq + 0.86 KN/mq = 2.29 KN/mq

il carico permanente è composto dal resto degli elementi del solaio più 1 KN/mq per i tramezzi portati e 0.5 KN/mq per gli impianti.

qp= 0.4 KN/mq + 0.76 KN/mq + 0.008 KN/mq + 1 KN/mq +0.5 KN/mq = 2.6 KN/mq

In più ci prendiamo un valore già stabilito per il carico accidentale, in quanto l'edificio ha come destinazione d'uso delle residenze

qa= 2 KN/mq

A questo punto mettiamo tutti i valori trovati all'interno del file excel.

Vediamo subito il valore del carico ultimo pari a 39.51 KN/m. Da qui ci calcoliamo il valore di Mmax in campata pari a qu(l²)/8 quindi pari a 177.79 KNm.

Scelgo un acciaio di classe S235, che ha come caratteristiche:

fyk = 235 N/mm2 (tensione caratteristica)

ci troviamo a questo punto la tensione di progetto fd (N/mm2) =  fyk / γ m ₀= 223.81 (con γ m ₀= 1.05)

Troviamo così il modulo di resistenza a flessione minimo uguale al rapporto Mmax/fd 

Wx,min = 794.36 cm³

Prendo la tabella delle sezioni IPE per trovare le dimensioni della trave portante, sapendo che la resistenza a flessione deve essere più grande di quella trovata. 

Prendo una IPE 360, della quale il valore Wx= 904 cm³

 

SOLAIO IN CEMENTO ARMATO

Considero un solaio in cemento armato, appoggiato sulla trave centrale, composto dagli elementi presenti nel disegno soprastante. Dobbiamo quindi colcolare il carico ( qu) che grava su questa struttura. Per far ciò dobbiamo vedere quanto possa pesare in termini di KN il solaio stesso. 

PESI SPECIFICI (da schede tecniche) espressi in KN sapendo che 1KN=100Kg

Pavimento in cotto : 40 Kg/mq --> 0.4 KN/mq
Massetto : 1900 Kg/mc --> 19 KN/mc
Isolante : 0.2 KN/mc
Solaio in latero cemento : travetti 24 KN/mc; soletta 24 KN/mc
Intonaco (1cm) : 18 KN/m

devo a questo punto esprimere i valori al mc in mq, in quanto devo trattare il carico linearmente, all'interno della mia porzione di solaio espessa in 1 mc. Quindi:

Pavimento  --> [( 19 KN/mc x 1m x 1m x 0.04m) / 1mq] = 0.76 KN/mq

Isolante  --> [( 0.2KN/mc x 1m x 1m x 0.04m) / 1mq] = 0.008 KN/mq

Travetti  -->  [( 24KN/mc x 1m x 1m x 0.04m) / 1mq] = 0.96 KN/mq

Soletta  -->  [2 x ( 24KN/mc x 0.1m x 0.16m x 1m) / 1mq] = 0.77 KN/mq

Pignatte (8)  --> 8x (9.1 Kg)/1mq = 72.8 Kg/mq = 0.728 KN/mc

A questo punto inizio a calcolare i diversi carichi. Il carico strutturale è composto dalla somma dei pesi specifici del solaio in latero cemento.

qs= 0.96 KN/mq + 0.77 KN/mq + 0.728 KN/mq = 2.46 KN/mq

il carico permanente è composto dal resto degli elementi del solaio più 1 KN/mq per i tramezzi portati e 0.5 KN/mq per gli impianti.

qp= 0.4 KN/mq + 0.76 KN/mq + 0.008 KN/mq + 0.18 KN/mq + 1 KN/mq +0.5 KN/mq = 2.668 KN/mq

In più ci prendiamo un valore già stabilito per il carico accidentale, in quanto l'edificio ha come destinazione d'uso delle residenze

qa= 2 KN/mq

A questo punto mettiamo tutti i valori trovati all'interno del file excel.

Vediamo subito il valore del carico ultimo pari a 41.83 KN/m. Da qui ci calcoliamo il valore di Mmax in campata pari a qu(l²)/8 quindi pari a 188.24 KNm.

Scelgo un acciaio di classe S450, che ha come caratteristiche:

fyk = 450 N/mm2 (tensione caratteristica)

ci troviamo a questo punto la tensione di progetto fd (N/mm2) =  fyk / γ m = 391.30 (con γ m = 1.15)

Prendo un cls che abbia come tensione caratteristica fck = 60 N/mm^2, così da trovare la tensione di progetto

fcd= (0.85 x fck) / γm, con γm pari a 1.5.

Prendo il valore di β=0.57 e di r=2.09

Prendo un valore della base pari a 25cm per poi riuscire a trovare il valore di hu= 31.06 cm, con un copriferro δ di 3cm. L'Hmin viene di 34.06 cm che approssimo ad un altezza di 40cm.

Il foglio elettronico di excel verifica allora con i dati ottenuti se la trave presa in considerazione ha una tensione di progetto pari alla massima tensione esercitata in campata. In questo caso la trave è verificata.

 

 

 

 

Nel procedimento proposto per il dimensionamento dell’altezza della sezione di una trave il primo passo consiste nell’elaborare una pianta di carpenteria di un ipotetico solaio, che sarà proposta in legno, acciaio e calcestruzzo.

Studiamo quindi un solaio 10 m x 10 m composto da tre travi che determinano una luce di 4 m e una di 6 m e andiamo ad individuare qual è la trave maggiormente sollecitata, appurando qual è la sua area d’influenza e la lunghezza dell’interasse.

Dimensionamento TRAVE IN CLS

Prendiamo un solaio in latero cemento individuandone la stratigrafia e specificando, strato per strato, spessore e peso specifico (espresso in kN/mc).

Procediamo calcolando il carico strutturale (q_s ), il carico permanente (q_p ) e il carico accidentale (q_a ). La loro dimensione fisica dovrà risultare uguale a kN/mq.

 

Carico strutturale:

• carico soletta:  26 kN/mc * 0,04 * 1 * 1 mc/mq = 1,04 kN/mq
• carico travetti:  26 kN/mc * 2 ( 0,16 * 1 * 0,1 ) mc/mq = 0, 832 kN/mq
• carico pignatte:  8 * 9,1 Kg/mq = 0,728 kN/mq

 q_s = 1,04 + 0, 832 + 0,728 =2,6 kN/mq

 

Carico permanente:

• carico pavimento:  2 kN/mc * 0,01 * 1 * 1 mc/mq = 0,02 kN/mq
• carico massetto:  6,4 kN/mc *  0,04 * 1 * 1 mc/mq = 0, 256 kN/mq
• carico isolante:  0,072 kN/mc * 0,04 * 1 * 1 mc/mq = 0,00288 kN/mq
• carico intonaco:  2  kN/mc * 0,01 * 1 * 1 mc/mq = 0,02 kN/mq

 q_p = 0,02 + = 0, 256 + 0,0028 + 0,02 = 0,3 kN/mq + 1 kN/mq (tramezzi) + 0,5 kN/mq (impianti) = 1,8 kN/mq

 

Carico accidentale:

 q_a = 2 kN/mq

 

Andiamo ad inserire su excell: l’interasse, i risultati ottenuti di q_s, q_p, q_a e la luce del solaio. Dati il M_max, coefficiente di resistenza dell’acciaio (f_yk), il coefficiente di resistenza del cls (f_ck), scelti in base al tipo di acciaio e cls, andiamo ad inserire anche la base della trave. Ne risulterà un’altezza minima ed in base a tale risultato sarà necessario in primo luogo valutare se l’altezza è sufficientemente dimensionata rispetto 

alla base. Come ultimo passo procediamo ad individuare un’altezza ingegnerizzata, ovvero arrotondando per eccesso il valore dell’altezza minima, compatibilmente con travi esistenti sul mercato.

Dimensionamento TRAVE IN LEGNO

Prendiamo un solaio in legno  individuandone, come in precedenza, la stratigrafia e specificando spessore e peso specifico di ogni materiale (espresso in kN/mc).

Procediamo calcolando il carico strutturale (q_s ), il carico permanente (q_p ) e il carico accidentale (q_a ). La loro dimensione fisica dovrà risultare uguale a kN/mq.

 

Carico strutturale:

• carico travetti:  5 kN/mc * 2 ( 0,25 * 1 * 0,1 ) mc/mq = 2,5 kN/mq
• carico assito:  2,1 kN/mc * 0,035 * 1 * 1 mc/mq = 0,0735 kN/mq

 q_s = 2,5 + 0,0736 = 2,5736 kN/mq

 

Carico permanente:

• carico pavimento:  2 kN/mc * 0,01 * 1 * 1 mc/mq = 0,02 kN/mq
• carico sottofondo:  5,4 kN/mc *  0,03 * 1 * 1 mc/mq = 0, 162 kN/mq
• carico isolante:  0,072 kN/mc * 0,04 * 1 * 1 mc/mq = 0,00288 kN/mq
• carico caldana:  2,8  kN/mc * 0,04 * 1 * 1 mc/mq = 0,112 kN/mq

 q_p = 0,02 +  0,162 + 0,003 + 0,112 = 0,3 kN/mq + 1 kN/mq (tramezzi) + 0,5 kN/mq (impianti) = 1,8 kN/mq

 

Carico accidentale:

 q_a = 2 kN/mq

 

Andiamo ad inserire su excell: l’interasse, i risultati ottenuti di q_s, q_p, q_a e la luce del solaio. Andiamo ad inserire la base della trave e ne risulterà l’altezza minima. Come prima procediamo

Dimensionamento TRAVE IN ACCIAIO

Prendiamo un solaio in acciaio  individuandone, come sopra, la stratigrafia e specificando spessore e peso specifico di ogni materiale (espresso in kN/mc).

Procediamo calcolando il carico strutturale (q_s ), il carico permanente (q_p ) e il carico accidentale (q_a ). La loro dimensione fisica dovrà risultare uguale a kN/mq.

 

Carico strutturale:

• carico soletta: 16,6 kN/mc * 0,1 * 1 * 1 mc/mq = 1,66 kN/mq

 q_s = 1,66 kN/mq

 

Carico permanente:

• carico pavimento:  2 kN/mc * 0,01 * 1 * 1 mc/mq = 0,02 kN/mq
• carico massetto:  6,4 kN/mc *  0,04 * 1 * 1 mc/mq = 0,256 kN/mq
• carico isolante:  0,072 kN/mc * 0,04 * 1 * 1 mc/mq = 0,00288 kN/mq

q_p = 0,02 +  0,256 + 0,003 = 0,279 kN/mq + 1 kN/mq (tramezzi) + 0,5 kN/mq (impianti) = 1,779 kN/mq

 

Carico accidentale:

 q_a = 2 kN/mq

 

Andiamo ad inserire su excell: l’interasse, i risultati ottenuti di q_s, q_p, q_a e la luce del solaio. Ne risulterà una W_min  in base alla quale potrò scegliere la mia IPE, sempre arrotondando per eccesso.

La prima esercitazione prevede il dimensionamento della trave più sollecitata del solaio di carpenteria in tre diverse tecnologie: legno, acciaio e cemento armato.

Solaio in legno

In questo caso la trave maggiormente sollecitata è la trave centrale, che presenta una luce di 6m e un interasse di 3m.

Il solaio preso in considerazione è composto da:
- Pavimento, 2 cm, con peso specifico di 40 kg/mq (=0,4 kN/mq)
- Massetto, 3 cm, con peso specifico di 1900 kg/mc (=19 kN/mc)
- Allettamento, 6 cm, con peso specifico di 1400 kg/mc (=14 kN/mc)
- Tavolato, 3 cm, con peso specifico di 530 kg/mc (=5,3 kN/mc)
- Travetti, 14 cm x 10 cm, con peso specifico di 530 kg/mc (=5,3 kN/mc)

Calcoliamo i diversi carichi agenti sul solaio.

Carico strutturale, qs:

- Travetti: 2 [(5,3 kN/mc)] [(0,14 m) (0,1 m) (1 m)] / 1 mq = 0,15 kN/mq

- Tavolato: [(5,3 kN/mc) (0,03 mc)] / 1 mq = 0,16 kN/mq

Qs = 0,15 kN/mq + 0,16 kN/mq = 0,31 kN/mq

Carico permanente, qp:

- Allettamento: [(14 kN/mc) (0,06 mc)] / 1 mq = 0,84 kN/mq

- Massetto: [(19 kN/mc) (0,03 mc)] / 1 mq = 0,57 kN/mq

- Pavimento: 0,4 kN/mq

- Impianti: 0,5 kN/mq

- Tramezzi: 1 kN/mq

Qp = 0,84 kN/mq + 0,57 kN/mq + 0,4 kN/mq + 1,5 kN/mq = 3,31 kN/mq

Carico accidentale, qa:

Considerando un edificio ad uso residenziale, Qa = 2 kN/mq

 

Inserendo i valori ottenuti  nel foglio di calcolo excel, otteniamo il valore del carico ultimo, ottenuto moltiplicando i diversi carichi agenti per i rispettivi coefficienti di sicurezza.

Ottenuto il valore del carico ultimo possiamo inoltre trovare il valore del momento massimo, che per una trave appoggiata-appoggiata, di lunghezza l e sottoposta a carica q, equivale a  ql²/8.

Per il progetto di questa trave scegliamo un legno lamellare GL24H, con resistenza a flessione caratteristica fm,k = 24 MPa, e scegliamo come coefficiente di durata del carico kmod = 0,8 e come  coefficiente parziale di sicurezza del materiale γ m = 1,45.
Con l’utilizzo di questi dati è possibile calcolare la tensione ammissibile di progetto fd.
Impostando in seguito la base della trave da calcolare, ci viene fornita l’altezza minima della stessa.

Scegliendo quindi una base di 30 cm otteniamo un’altezza minima di circa 41 cm.
Essendo questo valore il valore minimo dell’altezza della trave, scegliamo un’altezza di 50 cm, ottenendo una trave di sezione 30cm x 50 cm.

Non avendo considerato il peso stesso della trave, andrebbe verificato che sommando questo peso ai carichi già agenti sulla trave, questa stessa fosse verificata.

 

Solaio in acciaio

In questo caso la trave maggiormente sollecitata è la trave centrale, che presenta una luce di 6m e un interasse di 3m.

Il solaio preso in considerazione è composto da:
- Pavimento, 2 cm, con peso specifico di 40 kg/mq (=0,4 kN/mq)
- Massetto, 3 cm, con peso specifico di 1900 kg/mc (=19 kN/mc)
- Isolante, 4 cm, con peso specifico di 0,2 kN/mc
- Getto in calcestruzzo e lamiera grecata, 10 cm, con peso specifico di 21 kN/mc
- IPE 200, 20 cm x 10 cm, area di 28,5 cm2, con peso specifico di 78,5 kN/mc

Calcoliamo i diversi carichi agenti sul solaio.

Carico strutturale, qs:

- IPE 200: 2 [(78,5 kN/mc)] [(0,00285 mq)( 1 m)] / 1 mq = 0,45 kN/mq

- Getto in calcestruzzo e lamiera grecata: [(21 kN/mc) (0,075 mc)] / 1 mq = 1,86 kN/mq

Qs = 0,45 kN/mq + 1,86 kN/mq = 2,31 kN/mq

Carico permanente, qp:

- Isolante: [(0,2 kN/mc) (0,04 mc)] / 1 mq = 0,008 kN/mq

- Massetto: [(19 kN/mc) (0,03 mc)] / 1 mq = 0,57 kN/mq

- Pavimento: 0,4 kN/mq

- Impianti: 0,5 kN/mq

- Tramezzi: 1 kN/mq

Qp = 0,008 kN/mq + 0,57 kN/mq + 0,4 kN/mq + 1,5 kN/mq  = 2,55 kN/mq

Carico accidentale, qa:

Considerando un edificio ad uso residenziale, Qa = 2 kN/mq

 

Inserendo i valori ottenuti  nel foglio di calcolo excel, otteniamo il valore del carico ultimo, ottenuto moltiplicando i diversi carichi agenti per i rispettivi coefficienti di sicurezza.

Ottenuto il valore del carico ultimo possiamo inoltre trovare il valore del momento massimo, che per una trave appoggiata-appoggiata, di lunghezza l e sottoposta a carica q, equivale a  ql²/8.

Per il progetto di questa trave scegliamo un acciaio S235 con resistenza a flessione caratteristica
fy,k = 235 MPa.

Con l’utilizzo di questi dati è possibile calcolare la tensione ammissibile di progetto fd, e il modulo di resistenza Wx minimo, di circa 590 cm3.

Scegliamo quindi una trave IPE 330, con modulo di resistenza Wx pari a 713,10 cm3.

Non avendo considerato il peso stesso della trave, andrebbe verificato che sommando questo peso ai carichi già agenti sulla trave, questa stessa fosse verificata.

 

Solaio in cemento armato

In questo caso la trave maggiormente sollecitata è la trave centrale, che presenta una luce di 6m e un interasse di 3m.

Il solaio preso in considerazione è composto da:
- Pavimento, 2 cm, con peso specifico di 40 kg/mq (=0,4 kN/mq)
- Massetto, 3 cm, con peso specifico di 1900 kg/mc (=19 kN/mc)
- Isolante, 4 cm, con peso specifico di 0,2 kN/mc
- Getto in calcestruzzo, 20 cm (16 cm + 4 cm), con peso specifico di 24 kN/mc
- Pignatta, 16 cm x 40 cm x 25 cm, con peso di 9,1 kg (= 0,091 kN)
-Intonaco, 1 cm, con peso specifico di 18 kN/mc

Calcoliamo i diversi carichi agenti sul solaio.

Carico strutturale, qs:

- Getto in calcestruzzo: [(24 kN/mc) (0,04 m) (1 m) (1 m)] / 1 mq = 0,96 kN/mq

- Getto in calcestruzzo: [(24 kN/mc) (0,16 m) (0,10 m) (1 m)] / 1 mq = 0,77 kN/mq

- Pignatte: 8 (0,091 kN) / 1 mq = 0,73 kN/mq

Qs = 0,96 kN/mq + 0,77 kN/mq + 0,73 = 2,46 kN/mq

Carico permanente, qp:

- Isolante: [(0,2 kN/mc) (0,04 mc)] / 1 mq = 0,008 kN/mq

- Massetto: [(19 kN/mc) (0,03 mc)] / 1 mq = 0,57 kN/mq

- Pavimento: 0,4 kN/mq

- Impianti: 0,5 kN/mq

- Tramezzi: 1 kN/mq

- Intonaco: [(18 kN/mc) (0,01 mc)] / 1 mq = 0,18 kN/mq

Qp = 0,008 kN/mq + 0,57 kN/mq + 0,4 kN/mq + 1,5 kN/mq + 0,18 kN/mq  = 2,66 kN/mq

Carico accidentale, qa:

Considerando un edificio ad uso residenziale, Qa = 2 kN/mq

 

Inserendo i valori ottenuti  nel foglio di calcolo excel, otteniamo il valore del carico ultimo, ottenuto moltiplicando i diversi carichi agenti per i rispettivi coefficienti di sicurezza.

Ottenuto il valore del carico ultimo possiamo inoltre trovare il valore del momento massimo, che per una trave appoggiata-appoggiata, di lunghezza l e sottoposta a carica q, equivale a  ql²/8.

Per il progetto di questa trave scegliamo per l’armatura un acciaio con resistenza a flessione caratteristica fy,k = 450 MPa, e un calcestruzzo con resistenza fc,k = 60 MPa.

Con l’utilizzo di questi dati è possibile calcolare le tensioni di progetto fyd e fcd, rispettivamente dell'acciaio e del cemento.
Impostando in seguito la base della trave da calcolare e la dimensione del copriferro, ci viene fornita l’altezza utile e l’altezza minima della stessa.

Scegliendo quindi una base di 20 cm e un copriferro di 3 cm, otteniamo un’altezza utile di circa 29 cm, e quindi una altezza minima di circa 32 cm.
Essendo questo valore il valore minimo dell’altezza della trave, scegliamo un’altezza di 35 cm, ottenendo una trave di sezione 20cm x 35 cm.

Non avendo considerato il peso stesso della trave, va verificato che sommando questo peso ai carichi già agenti sulla trave, questa stessa fosse verificata.

La trave scelta di sezione 20 cm x 35 cm è verificata per il solaio in questione.

 

 

In questo Post affrontiamo il tema della progettazione a flessione di una trave nei diversi materiali più comuni dell’edilizia, ossia legno, acciaio e calcestruzzo armato. Per procedere alla progettazione della trave, e quindi al suo dimensionamento, ci avvaliamo di un foglio di calcolo realizzato ad hoc.

 

 

Prendiamo ad esempio una pianta di carpenteria tipo di un edificio.

 

Questa mostra un sistema a telaio, costituito quindi da travi e pilastri individuati da un griglia che scandisce gli interassi; inoltre è evidenziata l’orditura dei solai, informazione fondamentale per comprendere quali sono le travi che prendo i carichi, definite come principali, a differenza di quelle secondarie che sono di collegamento alle principali.

 

Prendiamo come esempio per la progettazione di una trave quella che risulta essere più sollecitata, ossia quella che ha più superficie di solaio da portare e per capire ciò utilizziamo il metodo delle aree di influenza: dividiamo a metà ogni interasse e quindi ogni trave prende la superficie tra l’intervallo degli interassi stessi.

 

A questo punto consideriamo questa trave e porgettiamo la sua sezione nelle tecnologie menzionate inizialmente, ossia legno, acciaio e calcestruzzo armato.

Il primo passo, per ogni tecnologia, sarà quello di calcolare i carichi agenti sulla trave arrivando quidni a definire i valori di densità di carico superficiale di ogni elemento di cui è composto il solaio.

L’analisi dei carichi prevede di calcolare quanti KN agiscono per ogni metro quadro, quindi il valore che vado a calcolarmi avrà un’unità dimensionale pari a [KN/mq].

Il calcolo viene effettuato per ogni elemento che compone la stratigrafia prendendo il peso specifico del materiale moltiplicandolo per il volume dell’elemento su un mq di solaio.

 

[KN/mc] x [mc/mq] = [KN/mq]

 

ad esempio se consideriamo uno strato di massetto di spessore 4 cm con peso pari  a 1900 Kg/mc avremo che:

 

Peso specifico            1900 Kg/mc = 19 KN/mc

Volume per unità di superficie        (0.04m x 1m x 1m)/mq = 0.04 mc/mq

 

Carico Massetto            19 KN/mc x 0.04 mc/mq = 0.76 KN/mq

 

LEGNO

 

Essendo la sezione di una trave in legno di tipo rettangolare, andremo ad applicare la formula per ricavare l’altezza minima di tale sezione

 

                    h_min = √6M_x/(b*fd)

 

dove M_x è il momento massimo agente sulla trave e lo ricaviamo dall’analisi dei carichi, b è la base della sezione che andiamo ad imporre, f_d e la tensione del materiale che deriva dalla scelta della classe del materiale.

Ipotizziamo un pacchetto di solaio interpiano realizzato con la tecnologia del legno.

 

 

Analisi dei carichi

 

Carichi Strutturali q_s

Morale in abete            2 x [7 x (0.05 x 0.05x1)] = 0.035 [KN/mq]

Tavolato in legno di abete        5 x [7 x (0.02 x 1 x 1)] = 0.7 [KN/mq]

 

                q_s = 0.74 [KN/mq]

 

Carichi Permanenti q_p

Perlite                    0.5 x (0.08 x 1 x 1) = 0.04 [KN/mq]

Isolante termico-acustico        0.4 x (0.04 x 1 x 1) = 0.016 [KN/mq]

Lastra di fibrogesso            0.32 x (0.018 x 1 x 1) = 0.058 [KN/mq]

Sistema radiante con fibrogesso    1.4 x (0.025 x 1 x 1) = 0.035 [KN/mq]

Parquet                 7.2 x (0.02 x 1 x 1) = 0.144 [KN/mq]

 

A questi carichi aggiungiamo 1 [KN/mq] che prende in considerazione i tramezzi e 0.5 [KN/mq] che prende in considerazione gli impianti, di conseguenza

 

q_p = 1.80 [KN/mq]

 

Carichi Accidentali q_a

Il valore dei carichi accidentali vengono presi da normativa in funzione della categoria dell’edificio, in questo caso il valore di riferimento relativo le residenze è pari a 2 [KN/mq]

 

                q_a = 2.00 [KN/mq]

 

Possiamo quindi cominciare la compilazione del foglio di calcolo con i dati finora a disposizione come l’interasse della superficie del solaio presa in esame, la luce della trave da progettare, e i carichi agenti su di essa.

 

I campi con riempimento di colore sono quelli in cui noi inseriamo i dati di progetto mentre quelle non campiti sono valori da formule che chiamano in causa quelli da noi impostati.

Vediamo subito il carico ultimo q_u che corrisponde al carico distribuito sulla trave infatti moltiplica la somma dei carichi derivanti dall’analisi precedente, moltiplicati ognuno per un coefficente amplificativo a favore di sicurezza, per l’interasse del solaio che porta la trave.

 

 

I coefficienti che moltiplicano i carichi sono dati da normativa e sono:

 

1.3 x q_s carichi strutturali

1.5 x q_p carichi permanenti

1.5 x q_a carichi accidentali

 

Per quanto riguarda momento massimo è bene precisare stiamo considerando la trave come doppiamente appoggiata e di consegunza il  momento massimo e parametrizzato come ql²/8.

 

Manca la tensione di progetto f_d, che da normitava è data da

 

                f_d = k_mod (f_m,k / γ_m)

 

dove:

kmod è un valore tabellato che tiene conto dei deterioramenti nel tempo del legno e varia in funzione della classe di servizio e della durata nel tempo del carico. Nel nostro caso assumiamo il valore di 0.8;

f_m,k è il valore caratteristico a flessione del legno e che per la classe del materiale scelto è pari a 24 N/mm2;

γ_m è anch’esso un valore tabellato che nel caso del legno massiccio è pari a 1.5.

 

 

A questo punto basterà imporre la dimensione della base ed otterremo l’altezza utile che sarà di riferimento per l’altezza della sezione che approssimiamo al valore intero immediatamente successivo divisibile per per 5.

Quando imponiamo la base dobbiamo fare in modo che questa sia minore dell’altezza in modo da sfruttare il momento di inerzia della sezione.

 

 

Nel nostro caso, quindi, imponendo la base pari a 40 cm l’altezza minima che otteniamo è di 62.48 cm che approssimiamo a 65 cm.

 

 

ACCIAIO

 

Nonostante il comportamento dell’acciaio si di tipo duttile al contrario del legno che ha un comportamento di tipo fragile, la progettazione a flessione della trave risulta alquanto analoga.

 

 

 

Analisi dei carichi

 

Carichi Strutturali q_s

Soletta con lamiera grecata            1.98 [KN/mq]

 

Carichi Permanenti q_p

Gres porcellanato            0.02 KN/mq

Massetto in malta            19 x (0.04 x 1 x 1) = 0.76 KN/mq

Controsoffitto in cartongesso        0.17 KN/mq

 

Anche in questo caso aggiungiamo 1 KN/mq per i tramezzi e 0.5 KN/mq per gli impianti.

 

                    q_p = 2.45 KN/mq

Carichi Accidentali q_a

In questo caso consideriamo la destinazione d’uso dell’edificio come uffici aperti al pubblico il cui valore di riferimento del carico dato dalla normativa è pari a 3 KN/mq

 

                    q_a = 3 KN/mq

 

Inserendo i dati nel fogli di calcolo otteniamo quindi il carico ultimo agente qu e il momento massimo analogamente all’esempio precedente.

 

 

A questo punto imponiamo il valore caratteristico dell’acciaio scelto, in questo caso  S 355, il quale viene diviso per un coefficiente di sicurezza pari ad 1.05, ed otteniamo il modulo di resistenza minimo dato dal rapporto tra il momento massimo e la tensione di progetto.

 

 

Inoltre nel foglio di calcolo il modulo di resistenza viene moltiplicato per mille, ottenendo un valore espresso in cm3, come è espresso nel sagomario delle IPE. Il profilo IPE con un valore immediatamente successivo al minimo da progetto è IPE 500 con un modulo di resistenza pari a 1930 cm3.

Dimensionamento della trave più sollecitata per le tre tipologie più comuni (legno, acciaio e cemento armato).

Ipotizzo per prima cosa una pianta di carpenteria, ed individuo la trave maggiormente sollecitata.
Evidenzio inoltre l'area di influenza (interasse x luce)

 

Il passo successivo è quello di individuare i diversi carichi agenti sul solaio che consentiranno di determinare il carico di progetto sulla trave evidenziata.
All'interno dei fogli di calcolo, per ognuna delle tre tipologie, dovremo inserire quindi i dati relativi a
-carico strutturale q_s (kN/m²) - 
-carico permanente q_p (kN/m²) -
-carico accidentale q_a (kN/m²) - azioni del vento, del sisma, della neve, comprendenti i carichi di esercizio.
per questa esercitazione, riguardo ai carichi accidentali, prenderemo in esame solo i carichi di esercizio (che riguardano la funzione che svolgerà l'edificio) ed ipotizzando per tutte e tre le tecnologie Ambienti ad uso Residenziale, secondo la normativa avremo sempre un q_a pari a 2,00 (kN/m²).

inoltre, prendendo in analisi un metro quadro di solaio, rappresentato in sezione, per calcolare il peso di ogni elemento tecnologico dobbiamo conoscere le sue dimensioni e il materiale di cui è fatto. Moltiplicheremo infatti il suo peso specifico (kN/m³) per la quantità di volume (m³/m²) di quel materiale contenuta in un metro quadro di solaio.

LEGNO

calcolo dei carichi
 

q_s carico strutturale (escludendo la trave)
Travetto in legno di abete: 6 kN/m³  x (0,29 x 0,29 x 1) m³/m² = 0,5 kN/m²
Tavolato di legno: 6 kN/m³ x (0,035 x 1 x 1) m³/m² = 0,21 kN/m²

q_s= 0,5 kN/m² + 0,21 kN/m² = 0,71 kN/m²

q_p carico permanente 
Parquet: 7,5 kN/m³ x (0,02 x 1 x 1) m³/m² = 0,15 kN/m2
Massetto di sottofondo: 18 kN/m³ x (0,03 x 1 x 1) m³/m² = 0,54 kN/m2
Isolante di polistirene espanso: 0,2 kN/m³ x (0,04 x 1 x 1) m³/m² = 0,008 kN/m2
Caldana cls: 24 kN/m³ x (0,04 x 1 x 1) m³/m² = 0,96 kN/m2
Tramezzi: 1 kN/m²
Impianti: 0,5 kN/m²

q_p= 0,15 kN/m2 + 0,54 kN/m2 + 0,008 kN/m2 + 0,96 kN/m2 + 1 kN/m² + 0,5 kN/m²= 3,158 kN/m²

q_a carico accidentale = 2,00 kN/m²

Inserendo i valori nel foglio di calcolo, si ottiene  la densità di carico agente sulla trave q_u che è dato dal carico totale, definito come la somma dei tre carichi, moltiplicati ognuno per un coefficiente di sicurezza fornito dalla normativa (la combinazione di carico), moltiplicato per l'interasse. 

A questo punto, inserendo il valore della luce, troviamo il valore di M_max (momento massimo agente sulla trave), nel modello di ipotesi di trave doppiamente appoggiata.

Scelgo un legno massiccio di classe GL24C con f_m,k = 24MPa (resistenza caratteristica del legno)
Per carichi eventualmente di media durata ho un k_mod = 0,8 (coefficiente diminutivo dei valori di resistenza del materiale)
Coefficiente parziale di sicurezza 1,5 (per legno massiccio)
Dopo aver inserito i dati nella tabella e averdeterminato la tensione di progetto, posso dimensionare la sezione semplicemente scegliendo una base di progetto. Il foglio calcolerà un h_min(cm) e potrò scegliere un H (cm) superiore al valore minimo.

Impostando la base di 30,00 cm ricavo un'altezza minima di 44,28 cm e scelgo una trave con sezione
A = 30,00 (cm)  x 45,00 (cm).

VERIFICA
Per verificare la trave, devo aggiungere il peso proprio della trave al carico totale al metro lineare.
Peso specifico: 6 kN/m³
Area: (0,3 x 0,45) m² = 0,135 m2
Coefficiente di sicurezza 1,3
Carico lineare della trave: 6 kN/m³ x 0,135 m2 x 1,3 = 1,053

q_ufinale= q_{u (solaio) +} q_{u (trave)} = 25,98 kN/m + 1,053 kN/m = 27,03 kN/m

La trave è verificata in quanto
h_min = 43,60 cm < H = 45,00 cm

ACCIAIO

 

 

La prima esercitazione consiste nel dimensionare a flessione una trave in: legno, acciaio e cemento di un telaio a nostra scelta.

Il telaio utilizzato presenta due campate da 6 metri e luce di 4 metri.(per i solai in legno e cemento si prenda in considerazione la fig. 1; per il solaio in acciaio si prenda in considerazione la fig.2).

fig.1

fig.2 

La trave sollecitata maggiormente è la trave B poiché presenta un'area di influenza maggiore (fig. 3) pari a 24mq derivanti dal prodotto I (6m) x L (4m); dove “I” rappresenta l'interasse e “L” rappresenta la luce.

fig.3

 

 

Dimensionamento di una trave in legno 

Elementi che compongono il solaio:

 

- Travetti 12 cm x 16 cm P= 0,6 T/mc = 6 KN/mc

- Tavolato 2,5 cm P= 0,6 T/mc = 6 KN/mc

- Malta di cemento 4 cm P= 21 KN/mq

- Isolante 6 cm P= 30 Kg/mc = 0,3 KN/mc

- Massetto 3 cm P= 1900 Kg/mc = 19KN/mc

- Parquet 2 cm P= 850 Kg/mc = 8,5 KN/mc

 

Calcolo dei carichi strutturali qs (escluso peso proprio della trave)

 

- Travetti

 

[2x(0,12m x 0,16m x 1m)/mq] x 6 KN/mc = 0,2304 KN/mq

 

- Tavolato

 

[(0,025m x 1m x 1m)/mq] x 6 KN/mc = 0,15 KN/mq

 

- Malta di cemento

 

[(0,04m x 1m x 1m)/mq] x 21 KN/mc = 0,84 KN/mq

 

qs= 0,2304 KN/mq + 0,15 KN/mq + 0,84 KN/mq = 1,2204 KN/mq

 

 

Calcolo dei carichi portati qp

 

- Isolante

 

[(0,06m x 1m x 1m)/mq] x 0,3 KN/mc = 0,018 KN/mq

 

- Massetto

 

[(0,03m x 1m x 1m)/mq] x 19 KN/mc = 0,57 KN/mq

 

- Parquet

 

[(0,02m x 1m x 1m)/mq] x 8,5 KN/mc = 0,17 KN/mq

 

- Impianti

 

0,5 KN/mq

 

- Tramezzi

 

1 KN/mq

 

qp= 0,018 KN/mq + 0,57 KN/mq + 0,17 KN/mq + 0,5 KN/mq + 1 KN/mq = 2,258 KN/mq

 

 

Calcolo dei carichi accidentali qa

 

La struttura è per un ambiente destinato ad un uso residenziale, quindi secondo normativa il carico accidentale sarà:

 

qa = 2,00 KN/mq

 

Dopo aver calcolato i vari carichi, inserisco i loro valori nel foglio excel, insieme ai dati dell' interasse e della luce del solaio.

Il momento massimo della trave calcolato sul foglio excel è dato dall' inserimento della formula Mmax equivalente a ql²/8 di una trave con doppio appoggio.

Per questo tipo di solaio il legno lamellare scelto ha una resistenza caratteristica a flessione di fm,k = 24 Mpa, dato inserito in tabella.

Successivamente inserisco la base della trave b = 30cm, e il foglio excel in maniera automatica attraverso il calcolo ( I x Mmax x 1000/ (b x fd)^0,5 ) calcola l'altezza minima della trave.

Avendo un hmin = 38,02 cm scelgo di ingegnerizzare l'altezza della trave a H= 40 cm.

Avrò quindi delle travi 30cm x 40cm, ma il calcolo è stato fatto senza tener conto del peso proprio della trave stessa; quindi per verificare che la sezione sia quella giusta calcolo il peso della trave e dopo averlo moltiplicato per 1,3 lo inserisco all'interno del valore qu che rappresenta il carico totale.

 

Pt = [(0,3m x 0,4m x 1m)/mq x 6 KN/mc] = 0,72 KN/mq

 

qu = [(qs x 1,3 + qp x 1,5 + qa x 1,5) + Pt x 1,3]

Dopo aver inserito il carico strutturale della trave si può notare come l'altezza minima sia uguale a 38,38 cm; quindi l'ipotesi di trave 30cm x 40cm è verificata.

 

Dimensionamento di una trave in acciaio

Elementi che compongono il solaio:

 

- Travi secondarie IPE 120 A= 13,20 cmq = 0,001320 mq P= 78 KN/mc

- Lamiera Grecata spessore = 1,2cm P= 15,70 Kg/mq = 0,1570 KN/mq

- Getto di cls 4 cm P= 24 KN/mc

- Isolante 7 cm P= 30 Kg/mc = 0,3 KN/mc

- Massetto 3 cm P= 1900 Kg/mc = 19 KN/mc

- Parquet 2 cm P= 850 Kg/mc = 8,5 KN/mc

 

Calcolo dei carichi strutturali qs (escluso peso proprio della trave)

 

- Travi secondarie IPE 120

 

[(0,001320mq x 1m)/mq x 78 KN/mc] = 0,10296 KN/mq

 

- Lamiera Grecata

 

0,1570 KN/mq

 

- Getto di cls + parte di riempimento della lamiera

 

[(0,0546mq x 1m)/mq x 24 KN/mc] = 1,3104 KN/mq

 

qs= 0,10296 KN/mq + 0,1570 KN/mq + 1,3104 KN/mq = 1,57036 KN/mq

 

Calcolo dei carichi portati qp

 

- Isolante

 

[(0,07m x 1m x 1m)/mq] x 0,3 KN/mc = 0,021 KN/mq

 

- Massetto

 

[(0,03m x 1m x 1m)/mq] x 19 KN/mc = 0,57 KN/mq

 

- Parquet

 

[(0,02m x 1m x 1m)/mq] x 8,5 KN/mc = 0,17 KN/mq

 

- Impianti

 

0,5 KN/mq

 

- Tramezzi

 

1 KN/mq

 

qp= 0,021 KN/mq + 0,57 KN/mq + 0,17 KN/mq + 0,5 KN/mq + 1 KN/mq = 2,261 KN/mq

 

Calcolo dei carichi accidentali qa

 

La struttura è per un ambiente destinato ad un uso residenziale, quindi secondo normativa il carico accidentale sarà:

 

qa = 2,00 KN/mq

 

Inserisco i valori dei carichi nel foglio excel, insieme ai dati dell' interasse e della luce del solaio. Prendo in considerazione la tensione caratteristica dell'acciaio scelto fyk= 275 Mpa, dalla tabella excel risulta un Wxmin pari a 386,36 cmc quindi scelgo un profilato IPE con un Wx direttamente superiore rispetto al valore trovato nonché IPE 270 con Wx= 429 cmc.

Per la scelta della trave non abbiamo tenuto conto del peso proprio di questa agente sui carichi strutturali, quindi verifichiamo che la scelta del profilato sia quella giusta.

 

Il peso della trave risulta

 

Pt= [(0,004590mq x 1m)/ mq x 78 KN/mc] = 0,35802 KN/mq

 

Inserisco il peso proprio della trave moltiplicato per 1,3 nella formula del carico totale qu.

Dalla figura si può notare come il valore del Wxmin sia variato = 389,92 cmc; perciò l'IPE 270 scelta inizialmente è verificata poiché il valore del suo Wx è superiore al Wxmin.

 

 

Dimensionamento di una trave in cemento armato

 

Elementi che compongono il solaio:

 

- Intonaco 1,5 cm P= 18 KN/mc

- Pignatta 38 cm x 20 cm x 25 cm n: 8 in 1mq P= 9,6 Kg

- Travetti 12 cm x 20 cm P= 24 KN/mc

- Soletta Collaborante 5 cm P= 24 KN/mc

- Isolante 6 cm P= 30 Kg/mc = 0,3 KN/mc

- Massetto 3,5 cm P= 1900 Kg/mc = 19 KN/mc

- Parquet 2 cm P= 850 Kg/mc = 8,5 KN/mc

 

Calcolo dei carichi strutturali qs (escluso peso proprio della trave)

 

- Pignatte

 

[(8 x 9,6 Kg)/ mq ] = 76,8 Kg/mq = 0,768 KN/mq

 

- Travetti

 

[2 x (0,12m x 0,20m x 1m)/mq x 24 KN/mc] = 1,152 KN/mq

 

- Soletta collaborante

 

[(0,05m x 1m x 1m)/mq x 24 KN/mc] = 1,2 KN/mq

 

qs= 0,768 KN/mq + 1,152 KN/mq + 1,2 KN/mq = 3,12 KN/mq

 

 

Calcolo dei carichi portati qp

 

- Intonaco

 

[(0,015m x 1m x 1m)/mq x 18 KN/mc] = 0,27 KN/mq

 

- Isolante

 

[(0,06m x 1m x 1m)/mq x 0,3 KN/mc] = 0,018 KN/mq

 

- Massetto

 

[(0,035m x 1m x 1m)/mq x 19 KN/mc] = 0,665 KN/mq

 

- Parquet

 

[(0,02m x 1m x 1m)/mq x 8,5 KN/mc] = 0,17 KN/mq

 

- Impianti

 

0,5 KN/mq

 

- Tramezzi

 

1 KN/mq

 

qp= 0,27 KN/mq + 0,018 KN/mq + 0,665 KN/mq + 0,17 KN/mq + 0,5 KN/mq + 1 KN/mq = 2,623 KN/mq

 

 

Calcolo dei carichi accidentali qa

 

La struttura è per un ambiente destinato ad un uso residenziale, quindi secondo normativa il carico accidentale sarà:

 

qa = 2,00 KN/mq

 

 

Inserisco i valori dei carichi nel foglio excel insieme ai valori di interasse e luce.

Scelgo un acciaio per le armature con un coefficiente di resistenza caratteristica pari a fyk = 450 Mpa e un calcestruzzo con resistenza caratteristica pari a fck = 25 Mpa.

Scelgo una base per la trave pari a 30 cm; il foglio excel calcola automaticamente l'altezza minima della mia trave pari a hmin = 49,70 cm; decido di ingegnerizzare l'altezza della trave a 55 cm.

Il calcolo è stato fatto senza tener conto del peso proprio della trave stessa; quindi per verificare che la sezione sia quella giusta calcolo il peso della trave e dopo averlo moltiplicato per 1,3 lo inserisco all'interno del valore qu.

 

Pt= [(0,30m x 0,55m x 1m)/mq x 24 KN/mc] = 3,96 KN/mq

 

aggiungo il valore del carico della trave moltiplicato per 1,3 a qu

Dopo aver inserito il peso proprio della trave possiamo notare come l'altezza minima sia variata da 49,70 cm a 51,41 cm; quindi la scelta iniziale di una trave delle dimensioni di 30 cm x 55 cm era giusta.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La prima esercitazione consiste nel dimensionare a flessione una trave in: legno, acciaio e cemento armato di un telaio a nostra scelta.

Il telaio utilizzato presenta due campate da 6 metri e luce di 4 metri.(per i solai in legno e cemento si prenda in considerazione la fig. 1; per il solaio in acciaio si prenda in considerazione la fig. 2).

Questa prima esercitazione consiste nel dimensionamento della trave più sollecitata di un telaio in tre differenti tipologie: legno, acciaio e cemento armato.

La trave sottoposta a maggiore carico nella struttura presa in analisi è quella evidenziata in rosso: su di essa infatti grava il carico di solaio maggiore.

Luce:6m                                                                                                                                                    Interasse:3m                                                                                                                                                   Area di influenza: 18m²

LEGNO

Conoscendo la stratigrafia del solaio (dunque spessori e pesi specifici dei vari componenti) possiamo ricavare il volume e il peso al metro quadro di ciascun componente. Quindi è possibile calcolare i differenti tipi di carico: strutturale, permanente e accidentale.

 

Il carico strutturale (qs) si ottiene sommando i contributi di peso dei travetti e del tavolato.

 

Travetto in legno lamellare GL24h                                                                          

Sezione: 15cm X25cm                                                                                                

Peso Specifico: 380 kg/m³ = 3.8 kN/m³                                                            

Volume: 0.15m x 0.25m x 1m = 0. 0375 m³                                                                

Peso al metro quadro: 0.0375 m³/m² x 3.8 kN/m³ = 0.143kN/m²

 

Tavolato in legno di abete                                                                                            

Spessore: 3 cm                                                                                                          

Peso Specifico: 450 Kg/m³ =4.5 kN/m³                                                                        

Volume: 0.03m x 1m x 1m = 0.03 m³                                                                          

Peso al metro quadro: 0.03 m³/m² x 4.5 kN/m³ = 0.135 kN/m²

 

qs = (0.143 + 0.135) kN/m² = 0.28 kN/m²

 

Il carico permanente (qp) si ottiene sommando i contributi della caldana, dell’isolante, del massetto e del pavimento. A questo carico si somma anche il carico dovuto a tramezzi (1 KN/m²) e impianti (0.5 KN/m²).

 

Pavimento in parquet di rovere                                                                                 

Spessore: 1 cm                                                                                                          

Peso Specifico: 720 kg/m³ = 7.20kN/m³                                                                      

Volume: 0.01m x 1m x 1m = 0.01 m³                                                                          

Peso al metro quadro: 0.01 m³/m² x 7.20 kN/m³ = 0.072 kN/m²

 

Massetto di sottofondo                                                                                                

Spessore: 3 cm                                                                                                          

Peso Specifico: 1800 kg/m³ = 18kN/m³                                                                        

Volume: 0.03m x 1m x 1m = 0.03 m³                                                                          

Peso al metro quadro: 0.03 m³/m² x 18 kN/m³ = 0.54 kN/m²

 

Isolante in lana di vetro                                                                                              

Spessore: 4 cm                                                                                                          

Peso Specifico: 20 kg/m³ = 0.2 kN/m³                                                                         

Volume: 0.04m x 1m x 1m = 0.04 m³                                                                          

Peso al metro quadro: 0.04 m³/m² x 0.2 kN/m³ = 0.008 kN/m²

 

Caldana in cls con rete elettrosaldata                                                                            

Spessore: 4 cm                                                                                                           

Peso Specifico: 2400 Kg/m³ = 24 kN/m³                                                                       

Volume: 0.04m x 1m x 1m = 0.04 m³                                                                           

Peso al metro quadro: 0.04 m³/m² x 24 kN/m³ = 0.96 kN/m²

 

qp = (0.072 + 0.54 + 0.008 + 0.96) kN/m² + 1.5 kN/m²  = 3.08 kN/m²

 

Il carico accidentale (qa) dipende dalla destinazione d’uso dell’edificio: in questo caso consideriamo un ambiente ad uso residenziale, dunque 2 kN/m².

qa = 2 kN/m²

 

Inserendo il valore dell’interasse e dei vari carichi, il foglio di calcolo ricava il carico ultimo, ovvero il carico dell’area di influenza del solaio distribuito su tutta la lunghezza della trave sollecitata. Il carico ultimo si ottiene moltiplicando la somma dei carichi maggioranti con le rispettive costanti di sicurezza (1,3 per il carico strutturale e 1,5 per il carico permanente e accidentale) per l’interasse.                                                                        

qu = [(qs x 1.3) + (qp x 1.5) + (qa x 1.5)] x i

Inserendo la luce il foglio di calcolo permette di ricavare il valore del momento massimo di una trave appoggiata:

Mmax = (qu x L²)/8

In fase progettuale si è scelto per la trave un legno lamellare GL24h con resistenza caratteristica fmk pari a 24 Mpa. La resistenza di progetto fd, che viene calcolata dal foglio, tiene conto della resistenza caratteristica corretta con alcuni parametri:

fd = (kmod x fmk)/γm

γm è un coefficiente di sicurezza del materiale: in questo caso per il legno lamellare γm = 1.45. Kmod è un coefficiente correttivo che tiene conto della durata di carico (consideriamo una durata media) e dell’umidità della struttura (consideriamo una classe media).

Impostando la base della trave, il foglio di calcolo determina l’altezza minima di 49,42cm.

Infatti imponendo σmax = fd

Wx = Mx/fd                                                            dalla formula di Navier             

Wx = Ix/ymax = ((bh³)/12)/(h/2) = (bh²)/6            Wx in una sezione rettangolare

Quindi mettendo a sistema

(bh²)/6 =Mx/fd

h=√(6Mx/ (fd x b))

Scelgo dunque una trave con base 20 cm e altezza ingegnerizzata H=50 cm.

 

Per effettuare una verifica sommo al carico ultimo (qu) nel foglio di calcolo il peso della trave (maggiorato al coefficiente di sicurezza per carichi strutturali)

Peso della trave: (0.2m x 0.50m x 1m) / m x 3.8 kN/m³ = 0.38 kN/m

 

L’altezza minima della trave diventa 49.92 cm, rimanendo dunque inferiore a 50cm.

La sezione 20cm x 50cm è dunque verificata.

 

 

ACCIAIO

Consideriamo ora lo stesso solaio in acciaio.

 

Il carico strutturale (qs) dipende dal peso delle travi secondarie, della lamiera grecata e della soletta in cls.

 

Travetto IPE 200 di acciaio S275                                                                                            

Area: 28.5 cm² = 0.00285m²                                                                                       

Peso: 22.4 kg/m = 0.224 kN/m                                                                                    

Peso al metro quadro: 0.224 kN/m²

 

Lamiera grecata                                                                                                          

Spessore: 0.7mm                                                                                                        

Peso al metro quadro: 9.64 kg/m² = 0.0964 kN/m²

 

Getto di cls                                                                                                                  

Sezione: 0.063 m²                                                                                                        

Peso Specifico: 2400 kg/m³ =24 kN/m³                                                                         

Volume: 0.063 m² x 1m = 0.063 m³                                                                              

Peso al metro quadro: 0.063 m³/m² x 24 kN/m³ = 1.512 kN/m²

 

Qs = (0.224 + 0.0964 + 1.512) kN/m² = 1.83 kN/m²

 

Il carico permanente (qp) dipende dal peso dell’isolante, del massetto e del pavimento aggiungendo il contributo di tramezzi e impianti.

 

Isolante in lana di vetro                                                                                                

Spessore: 4cm                                                                                                             

Peso specifico: 20 kg/m³ = 0.2kN/m³                                                                            

Volume: 0.04m x 1m x 1m = 0.04 m³                                                                            

Peso al metro quadro: 0.04 m³/m² x 0.2 kN/m³ = 0.008 kN/m²

 

Massetto di sottofondo                                                                                                  

Spessore: 3cm                                                                                                             

Peso specifico: 2000kg/m³ = 20kN/m³                                                                           

Volume: 0.03m x 1m x 1m = 0.03 m³                                                                            

Peso al metro quadro: 0.03 m³/m² x 20 kN/m³ = 0.6 kN/m²

 

Pavimento gres porcellanato                                                                                          

Spessore: 2cm                                                                                                             

Peso al metro quadro: 40 kg/m² = 0.4 kN/m²

 

Qp = (0.008 + 0.6 + 0.4) kN/m² + 1.5 kN/m² = 2.51 kN/m²

 

Il carico accidentale (qa) rimane legato all’ambiente residenziale:

Qa = 2 kN/m²

 

Inserendo il valore dell’interasse e dei carichi il foglio calcola il carico ultimo come sopra. Poi inserendo la luce il foglio calcola il momento massimo nella trave appoggiata.

Avendo scelto per la trave un acciaio S275 con resistenza caratteristica fyk=275Mpa, si ricava la resistenza di progetto correggendo quella caratteristica con un coefficiente di sicurezza γm=1.05.

Essendo in fase progettuale imponiamo

σmax = fd

Dunque dalla formula di Navier:

Wxmin = Mx/fd.

Quindi scegliamo il Wx immediatamente superiore a quello appena calcolato nel sagomario delle travi IPE a cui corrisponde una trave IPE300.

 

Ora sommiamo il peso della trave (0.422 kN/m) al carico ultimo maggiorato dell’opportuno coefficiente di sicurezza.

 

Wxmin rimane comunque inferiore al Wx scelto, dunque la sezione IPE 300 è verificata.

 

 

CEMENTO ARMATO

Consideriamo ora lo stesso solaio in cemento armato.

Il carico strutturale (qs) dipende dal peso dei travetti, della soletta in cls e delle pignatte.

 

Travetti in cls                                                                                                               

Dimensioni: 12cm x 18cm                                                                                             

Peso Specifico: 2400 kg/m³ = 24kN/m³                                                                         

Volume: 2 x 0.12m x 0.18m x 1m = 0.043 m³                                                                

Peso al metro quadro: 0.043 m³/m² x 24 kN/m³ = 1.04 kN/m²

 

Soletta collaborante in cls                                                                                             

Spessore: 5cm                                                                                                             

Peso Specifico: 2400 kg/m³ = 24kN/m³                                                                         

Volume: 0.05m x 1m x 1m = 0.05 m³                                                                            

Peso al metro quadro: 0.05 m³/m² x 24 kN/m³ = 1.2 kN/m²

 

Pignatte                                                                                                                       

Dimensioni: 18cm x 38cm x 25cm                                                                                 

Peso: 7.90 Kg/cad                                                                                                        

Peso al metro quadro: 63.2 Kg/m² = 0.63kN/m²

 

Qs= (1.04 + 1.2 + 0.63) kN/m² = 2.87 kN/m²

 

Il carico permanente (qp) dipende dal peso del pavimento, del massetto, dell'isolante e del rivestimento aggiungendo il contributo di tramezzi e impianti.

 

Pavimento in gres                                                                                                        

Spessore: 2cm                                                                                                             

Peso al metro quadro: 40 kg/m² = 0.4 kN/m²

 

Massetto di sottofondo                                                                                                  

Spessore: 3cm                                                                                                              

Peso specifico: 2000kg/m³ = 20kN/m³                                                                           

Volume: 0.03m x 1m x 1m = 0.03 m³                                                                             

Peso al metro quadro: 0.03 m³/m² x 18 kN/m³ = 0.54 kN/m²

 

Isolante in lana di vetro                                                                                                 

Spessore: 4cm                                                                                                              

Peso specifico: 20 kg/m³ = 0.2kN/m³                                                                             

Volume: 0.04m x 1m x 1m = 0.04 m³                                                                            

Peso al metro quadro: 0.04 m³/m² x 0.2 kN/m³ = 0.008 kN/m²

 

Rivestimento in cartongesso                                                                                           

Spessore: 1cm                                                                                                              

Peso Specifico: 900 kg/m³ = 9 kN/m³                                                                             

Volume: 0.01m x 1m x 1m = 0.01m³                                                                              

Peso al metro quadro: 0.01 m³/m² x 9 kN/m³ = 0.09 kN/m²

 

Qp = (0.008 + 0.54 + 0.4 + 0.09 + 1.5) kN/m² = 2.54 kN/m²

 

Il carico accidentale (qa) rimane legato all’ambiente residenziale

Qa = 2 kN/m²

 

Con il carico ultimo derivato dal foglio e l’inserimento della luce è possibile ricavare il momento massimo della trave appoggiata.

Una volta scelto l’acciaio in barre B450C con resistenza caratteristica fyk= 450Mpa il foglio di calcolo ricava la resistenza di progetto con la formula

fyd= fyk/γm

Dove γm è il coefficiente di sicurezza di 1.15

Scelgo poi un calcestruzzo classe C60/75 con resistenza caratteristica fck = 60 Mpa. Il foglio di calcolo ricava la resistenza di progetto con la formula

Fcd= (α x fck)/ γm

Dove γm è il coefficiente di sicurezza di 1.5. α è un coefficiente che tiene conto del tempo pari a 0.85

Una volta impostata la dimensione della base della trave il foglio ricava l’altezza utile.

Come nel caso del legno, l’altezza utile dipende dal momento (al numeratore) e dalla resistenza di progetto del cemento per la base (al denominatore). Questo valore sotto radice viene moltiplicato per un valore r che tiene conto della compresenza dei due materiali nel cemento armato e quindi delle rispettive resistenze caratteristiche di acciaio e cemento.

hu = r  x √(Mx/ (fcd x b))

dove r = 2/(β(1-(β/3)))                                                                                                   

β= fcd/(fcd + (fyd/n))

Dalla somma dell’altezza utile con il copriferro che abbiamo scelto si ricava un’altezza minima di 35,19cm. Dunque si sceglie un’altezza ingegnerizzata H=40cm.

Il foglio di calcolo pesa la trave appena determinata e lo somma maggiorato con il coefficiente di sicurezza al carico ultimo. Otterremo nuovamente un’altezza minima di 36,41cm, cioè inferiore all’altezza ingegnerizzata. Dunque la sezione è verificata.

 

Scelgo una pianta di carpenteria e dimensiono la trave più sollecitata nei tre materiali scelti: cemento armato, legno e acciaio. Partendo dal solaio in figura evidenzio la trave più sollecitata; essa infatti ha un’area d’influenza maggiore rispetto alle altre pari a 4 m x 6 m= 24 m².

 

SOLAIO IN CEMENTO ARMATO

 

Analizzo il carico strutturale qs, il carico permanente qp e il carico accidentale qa.

Carico strutturale qs

• Soletta collaborante: 24 KN/m³ x (0,04 m x 1 m x 1 m)/m² =  0,96 KN/m²
• Travetti: 24 KN/m³ x 2(0,16 m x 0,1 m x 1 m)/m² =  0,768 KN/m²
• Pignatte (16x40x25): 8 x 8,1 Kg/m²= 64,8 Kg/m²= 0,65 KN/m²

qs = 2,378 KN/m²

 

Carico permanente qp

• Pavimento (granito): 27 KN/m³ x (0,02 m x 1 m x 1 m)/m² = 0,54 KN/m²
• Allettamento: 20 KN/m³ x (0,03 m x 1 m x 1 m)/m² = 0,60 KN/m²
• Massetto:  18 KN/m³ x (0,03 m x 1 m x 1 m)/m² = 0,54 KN/m²
• Intonaco: 18 KN/m³ x (0,02 m x 1 m x 1 m)/m² = 0,36 KN/m²
• Tramezzi: 1 KN/m²
• Impianti: 0,5 KN/m²

qp = 3,54 KN/m²

 

Carico accidentale qa

Ambiente ad uso residenziale.

qa = 2 KN/m²

 

Dopo aver trovato i valori dei carichi qs, qp e qa, questi si inseriscono nella tabella Excel. Il carico totale ultimo qu si troverà moltiplicando il carico strutturale per un coefficiente di sicurezza pari a 1,3 e i carichi permanente e accidentale per un coefficiente di sicurezza pari a 1,5. La combinazione di questi carichi deve essere poi moltiplicata per l’interasse della trave e si troverà così il carico a metro lineare agente sulla trave qu.

Essendo la trave in oggetto una trave appoggiata, il momento massimo si trova nella sezione di mezzeria ed è M= ql²/8.

La resistenza caratteristica delle armature è pari a fyk= 450 Mpa, mentre per il calcestruzzo scelgo un C35/45 con fck = 45 Mpa.

A questo punto la tabella calcola automaticamente r e β attraverso le seguenti formule:

Ponendo la base b=30 cm si ottiene un’altezza pari a h= 41,05 cm, ingegnerizzando la sezione si ottiene un’altezza H= 45 cm.

Per conoscere il peso unitario della trave bisogna moltiplicare l’area della sezione per il peso specifico del calcestruzzo.

Nella seconda riga della tabella vengono effettuati dei calcoli per verificare se la sezione con l’altezza ingegnerizzata H è in grado di portare i carichi calcolati in precedenza e il peso proprio della trave. Di conseguenza al qu ottenuto precedentemente si somma il peso unitario della trave moltiplicato per un coefficiente di sicurezza 1,3. Se l’altezza che si ottiene con il nuovo dimensionamento è più piccola dell’altezza ingegnerizzata H, la sezione risulterà verificata.

La sezione risulta verificata.

 

SOLAIO IN LEGNO

Analizzo il carico strutturale qs, il carico permanente qp e il carico accidentale qa.

Carico strutturale qs

• Travetto (pioppo): 6 KN/m³ x (0,24 m x 0,12 m x 1 m)/m² =  0,173 KN/m²
• Tavolato (pioppo): 6 KN/m³ x (0,04 m x 1 m x 1 m)/m² =  0,24 KN/m²

qs = 0,413 KN/m²

 

Carico permanente qp

• Parquet (noce): 8 KN/m³ x (0,015 m x 1 m x 1 m) /m² = 0,12 KN/m²
• Massetto: 18 KN/m³ x (0,04 m x 1 m x 1 m)/m² = 0,72 KN/m²
• Isolante (lana di roccia): 0,3 KN/m³ x (0,05 m x 1 m x 1 m)/m² = 0,015 KN/m²
• Caldana: 7 KN/m³ x (0,04 m x 1 m x 1 m)/m² =  0,28 KN/m²
• Tramezzi: 1 KN/m²
• Impianti: 0,5 KN/m²

qp =  2,635 KN/m²

 

Carico accidentale qa

Ambiente ad uso residenziale.

qa = 2 KN/m²

 

Trovati i diversi carichi e moltiplicati per i rispettivi coefficienti di sicurezza, si ottiene il momento massimo. A questo punto si sceglie un legno GL 24h con resistenza a flessione fmk= 24 Mpa.

Bisogna scegliere a questo punto il Kmod che viene fornito dalla normativa e varia in base alla classe di durata del carico ed alla classe di servizio scelte.

Scelto come materiale il legno massiccio si ottiene un Kmod= 0,60 e un coefficiente γm= 1,50, si stabilisce una base b= 30 cm trovando un’altezza ingegnerizzata pari a H= 55 cm.

 

SOLAIO IN ACCIAIO

 

Analizzo il carico strutturale qs, il carico permanente qp e il carico accidentale qa.

Carico strutturale qs

• Getto in cls : 24 KN/m³ x (0,0664 m² x 1 m)/m² =  1,6 KN/m²
• Lamiera grecata : 0,063 KN/m²
• Trave secondaria IPE 140: 78,5 KN/m³ x (0,001643 m² x 1 m)/m² =  0,12 KN/m²

qs = 1,783 KN/m²

 

Carico permanente qp

• Pavimento (ceramica) : 0,4 KN/m²
• Massetto : 18 KN/m³ x (0,04 m x 1 m x 1 m)/m² = 0,72 KN/m²
• Isolante (lana di roccia) : 0,3 KN/m³ x (0,05 m x 1 m x 1 m)/m² = 0,015 KN/m²
• Tramezzi: 1 KN/m²
• Impianti: 0,5 KN/m²

qp =  2,635 KN/m²

 

Carico accidentale qa

Ambiente ad uso residenziale.

qa = 2 KN/m²

Dopo aver effettuato i calcoli con la combinazione dei carichi e una volta ottenuto il momento massimo scelgo la classe dell’acciaio e la sua tensione caratteristica di snervamento fyk= 275 Mpa. Ottenuta la tensione di snervamento si può calcolare quella di progetto fd= fyk/1,05.

A questo punto la tabella calcola il modulo di resistenza a flessione minimo Wx,min= Mmax/fd ottenendo Wx,min= 637,13 cm³; quindi si sceglie un profilo che abbia il modulo di resistenza superiore al valore minimo, ovvero una IPE 330 con Wx= 713 cm³.