SdC(b) (LM PA)

La quarta esercitazione consiste nel dimensionamento di un pilastro nelle tre varie tecnologie: legno, acciaio e calcestruzzo.

Per l’esercitazione ho preso in considerazione il pilastro maggiormente sollecitato a sforzo normale (N) di un edificio di 3 piani; uno di quelli presenti a piano terra sui quali scarica il peso dell'intera struttura sovrastante.

Ho ripreso la pianta di carpenteria utilizzata nella prima esercitazione in modo da poter riutilizzare i valori dei carichi dei solai.

L'area di influenza del pilastro è di 24 mq. (L1= 4 m ; L2= 6 m)

LEGNO

- Dopo aver inserito i dati relativi alla grandezza del solaio ed aver trovato l'area di influenza del pilastro, calcolo il peso unitario della trave_p e della trave_s

trave= area della sezione (0,30 x 0,40) mq x peso specifico 6 KN/m3 = 0,72 KN/m

 

Posso calcolare il carico dovuto al peso proprio delle travi 

q trave= (trave p x L1 x 1,3) + (trave s x L2 x 1,3) = 9,36 KN

 

- Per calcolare il valore complessivo del carico agente, inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio: carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali

q solaio= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 191,36 KN

 

- Per finire calcolo lo sforzo di compressione N

N= (q trave x q solaio) x n piani= 602 KN

 

 

Posso così calcolare l’ area minima necessaria affinché il materiale non entri in crisi.

- Inserisco i dati relativi al materiale:

 

la resistenza a compressione (f_c0,k) 24MPa

 

il coefficiente della durata di carico k_mod  0,8

 

il coefficiente parziale di sicurezza γ_m. 1,45

 

e ricavo il valore della tensione ammissibile e dell'area minima:

f_c0d= f_c0,k x k_mod / γ_m. = 13,24 MPa

A min= 454,8 cm2

 

 

- Sapendo che Il modulo di elasticità E = 8800 MPa, β =1 e l’altezza del pilastro è di 3 m, posso calcolare:

valore massimo di snellezza λ_{max =} 80,95

valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 3,71 cm

la grandezza della base minima (b min) = 12,84 cm, che ingegnerizzo a b = 15 cm. 

l’altezza minima h_min =   A_min / b = 30,32 cm, che ingegnerizzo a h = 35 cm

                                                                    

- Calcolo  l’area di progetto della sezione

A_design = b x h = 525 cm²

 

- Verifico che A_design > A_min   

 

525 cm² >  454,8 cm²               

 

SEZIONE VERIFICATA

ACCIAIO

- Dopo aver inserito i dati relativi alla grandezza del solaio ed aver trovato l'area di influenza del pilastro, calcolo il peso unitario della trave p e della trave s

 

trave p = IPE 270 = 36,1 Kg/m = 0,361 KN/m

 

trave s = IPE 120 = 10,4 Kg/m = 0,104 KN/m

 

Posso calcolarmi così il carico dovuto al peso proprio delle travi 

q trave= 2,69 KN

 

- Per calcolare il valore complessivo del carico agente, inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio: carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali 

q solaio= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 202,39 KN

 

- Per finire calcolo lo sforzo di compressione N

N= (q trave x q solaio) x n piani= 615 KN

 

Posso così calcolare l’ area minima necessaria affinché il materiale non entri in crisi.

- Inserisco i dati relativi al materiale:

tensione di snervamento (f_,yk) 275MPa

                                          

il coefficiente parziale di sicurezza γ_m. 1,05

 

Ricavo così il valore della tensione ammissibile e dell’area minima

 

f_yd= f_yk / γ_m = 261,90 MPa

 

A min= 23,5 cm²

 

 

- Sapendo che Il modulo di elasticità E = 210000 MPa, β =1 e l’altezza del pilastro è di 3 m, posso calcolare:

valore massimo di snellezza λ_{max =} 88,96

valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 3,37 cm

calcolo il momento di inerzia minimo I_{min =}  267 cm⁴

 

- rispetto ai valori ricavati posso ingegnerizzare la sezione scegliendo un profilo HEA con valori maggiori rispetto a quelli minimi trovati. Scelgo un profilo HEA 140

 

- Verifico che A_design > A_min

 

31,4 cm² > 23,5 cm²           

 

- Verifico che  λ <  λ*

 

85,23 <  88,96

 

SEZIONE VERIFICATA

 

CALCESTRUZZO

- Dopo aver inserito i dati relativi alla grandezza del solaio ed aver trovato l'area di influenza del pilastro, calcolo il peso unitario della trave_p e della trave_s

trave= area della sezione (0,30 x 0,55) mq x peso specifico 24 KN/m3 = 3,96KN/m

 

Posso calcolare il carico dovuto al peso proprio delle travi 

q trave= (trave p x L1 x 1,3) + (trave s x L2 x 1,3) = 51,48 KN

 

- Per calcolare il valore complessivo del carico agente, inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio: carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali. 

q solaio= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 263,77 KN

 

- Per finire calcolo lo sforzo di compressione N

N= (q trave x q solaio) x n piani= 946 KN

 

 

Posso così calcolare l’ area minima necessaria affinché il materiale non entri in crisi.

- Inserisco i dati relativi al materiale:

 

la tensione di snervamento fck = 40 MPA

 

 ricavo :

 f_cd =  22,7 MPa

 

Amin = 417,2 cm² 

 

bmin = 20,4 cm

 

- Sapendo che Il modulo di elasticità E = 210000 MPa, β =1 e l’altezza del pilastro è di 3 m, posso calcolare:

valore massimo di snellezza λ_{max =} 95,62

valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 3,14 cm

la grandezza della base minima (b min) = 10,87 cm, che ingegnerizzo a b = 40 cm

l’altezza minima (h min) = 10,43 cm, che ingegnerizzo a  h = 40 cm

 

- Verifico che A_design > A_min

 

1600 cm² > 417,2 cm²                 

 

- Per il calcestruzzo devo inoltre verificare che la tensione massima sia minore della resistenza di progetto: σmax <  fcd

 

14,15 MPA <  22,7 MPA           

 

SEZIONE VERIFICATA

1. Dimensiono una travatura reticolare partendo dal modello di griglia semplice che mi fornisce il programma SAP, decidendo il numero di campate e i metri di ogni campata nelle 3 direzioni. 
Disegno la campata di base e la copio e incollo (cmd. COPY e PASTE) riempiendo tutta la griglia, curandomi di non sovrapporre le linee (per questo mi sarà utile il comando MERGE DUPLICATES)

2. Assegno alla struttura:
-i vincoli esterni (cerniere)

- i vincoli interni nei nodi (cerniere interne, potendo assumere che non ci sono incastri ma cerniere)
Definisco quindi la sezione delle aste (PIPE) e il carico esterno nei nodi superiori della struttura


3. Avvio quindi l'analisi della struttura. Trovo così la deformata e i diagrammi del solo sforzo normale sulle singole aste.
Poichè si tratta di una travatura reticolare, le aste sono sollecitate solamente a sforzo assiale (di compressione o trazione).

 

A questo punto posso procedere all'Analisi delle aste.
4. Per analizzare i valori di ogni asta esporto i valori dei singoli sforzi da SAP a una tabella excell. I valori positivi si riferiscono alle aste tese, e quelli negativi alle aste compresse. Mettendo in ordine i valori, posso trovare le aste più compresse rispettivamente a trazione e a compressione. 
Una volta riportati i valori di ogni asta nella tabella excell, posso definire la sezione ingegnerizzata di ogni profilato.

Per quanto riguarda le aste TESE, tramite N, fyk e gamma, ricavo l'area minima e posso quindi dimensionare i vari profilati con la tabella dei profilati metallici.

(qui le aste più sollecitate a trazione)

Per dimensionare le aste COMPRESSE, calcolo l'area minima come ho fatto in precedenza con le aste tese, ma successivamente prima di passare al dimensionamento delle sezioni devo considerare il fattore instabilità.
Inserisco quindi in tabella i valori relativi alla luce delle aste e all'elasticità del materiale. Calcolo l'inerzia minima per sforzo di compressione e infine ingegnerizzo la sezione e ne verifico la snellezza.

Per questa nuova esercitazione, in cui si deve dimensionare un pilastro soggetto a sforzo normale realizzato in legno, cls e d acciaio, ho utilizzato la pianta delle carpenterie della prima esercitazione ripetendola per quattro piani, ottenendo quindi una struttura a più livelli. Per il dimensionamento dei pilastri si è scelto di prendere in esame quello su cui grava un sforzo normale maggiore ovvero quello centrale alla struttura su cui non solo grava il peso portato dalla sua area d’influenza ma anche quello dei 3 pian soprastanti.

 

PILASTRO IN LEGNO

4.1

4.2

4.3

Nella prima parte dell’esercitazione ho ricavato lo sforzo normale agente sul  pilastro centrale.( 4.4) Come prima cosa ho calcolato l’area d’influenza agente sul pilastro e subito dopo mi sono ricavato il peso strutturale delle travi primari e secondarie moltiplicando l’area della sezione per il suo peso specifico. In particolare la trave principale di sezione (30 x 50 cm) con un peso specifico di 5 kN/mc ha un peso unitario di 0,75 kN/m.  Con questi dati ho potuto ricavare il carico dovuto al peso proprio delle travi sul pilastro (qt)  sommando il prodotto tra il peso unitario e la lunghezza delle travi confluenti sul pilastro e moltiplicandolo per il coefficiente di sicurezza 1.3. Utilizzando il carico strutturale (qu) del solaio, che avevo precedentemente  calcolato nella prima esercitazione,  e moltiplicandolo per il numero di piani della struttura  ho ottenuto lo sforzo normale(N) agente sul pilastro in esame.

4.4

Nella seconda parte dell’esercitazione ho come prima cosa predimensionato il pilastro. (4.5)

Per fare ciò mi è servito conoscere la resistenza a compressione del legno lamellare (fck), il coefficiente di sicurezza (γm), il coefficiente  riduttivo (kmod), il modulo di resistenza elastica (E), (β) il coeficente che rispecchia i gradi di vincolo del pilastro e l’altezza del pilastro (l).

In questo modo ho potuto ricavare la  resistenza di progetto (fcd) facendo il rapporto tra la resistenza compressione e il coefficiente di sicurezza. Cosi ho calcolato la snellezza massima (λmax) data dal  prodotto tra π e la radice del rapporto tra il modulo elastico e la resistenza di progetto. Con la snellezza massima ho potuto ricavare il raggio d’inerzia minimo (ρmin) ottenuto dal rapporto tra la lunghezza del pilastro e la sua snellezza. Dopo essermi calcolato l’area minima che deve avere il pilastro per resistere a compressione (Amin), facendo il rapporto tra lo sforzo normale e la resistenza di progetto, ho potuto ricavarmi la base minima del pilastro (b min) facendo il prodotto 2 e la radice quadrata del prodotto tra tre e il raggio minimo d’inerzia, e poi l’altezza minima (h min) facendo il rapporto tra l’area minima e la base minima.

4.5

Nell’ultima parte dell’esercizio ho dimensionato la sezione in modo tale che rispondesse ai valori trovati ed in particolare la base e l’altezza della sezione scelta fossero maggiori di quelle minime e di conseguenza l’area di questa fosse maggiore di quella minima per resistere a compressione. In questo casa la sezione da me scelta 20x30 cm risulta essere verificata.(4.6)

4.6

 

PILASTRO IN CLS

4.7

4.8

4.9

Come nel caso del pilastro in legno come prima cosa partendo dalla geometria e dai pesi della struttura ho ricavato lo sforzo normale agente sul pilastro più sollecitato. (4.10)

4.10

Conoscendo il modulo di elasticità (E) del cemento, la sua resistenza a rottura (fck) e ), (β) coefficiente dato dai vincoli agenti sul pilastro ho potuto ricavare: la resistenza di progetto (fcd), l’area minima del pilastro (Amin), la snellezza del pilastro(λmax),il raggio d’inerzia minimo (ρmin), la base minima(b min) e l’altezza minima (h min).( 4.11)

4.11

Con i dati ricavati ho potuto dimensonare il mio pilastro in modo tale che le sue dimensioni fossero maggiori rispetto alle minime ricavate per stare in sicurezza ed in particolare che l’area di desing (A design) fosse maggiore dell’area minima affinche fosse verificata per lo sforzo normale.(4.12)

4.13

Tuttavia il pilastro di cemento necessita di un’ulteriore verifica essendo sottoposto a presso flessione in quanto il nodo con la trave è composto da un incastro e quindi trasmette anche il momento oltre che lo sforzo normale. Per verificarlo a pressoflessione impongo che la tensione massima

(σmax) sia minore della resistenza di progetto.(4.14) La tensione massima la ricavo in funzione dello sforzo normale e del momento, trasmessi dalla trave al pilastro, facendo la somma del rapporto tra lo sforzo normale e l’area del pilastro e il rapporto tra il momento(Mt) e il modulo di resistenza a flessione (W). Il modulo di resistenza a flessione lo calcolo dividendo per sei il prodotto tra la base e l’altezza al quadrato della sezione del pilastro.

Per calcolare il momento invece devo prima calcolarmi alo slu il carico distribuito sulla trava (qt), ovvero facendo la somma del prodotto di uno 1,3 per il carico strutturale con  il prodotto di 1,5 e il carico permanente e con il prodotto di 1,5 ed il carico accidentale.

A questo punto posso calcolarmi il momento agente sul pilastro dividendo per 12 il prodotto tra il carico distribuito sulla trave e l’interasse principale al quadrato.

Ricavati questi dati posso finalmente verificare che la tensione massima è inferiore alla forza di progetto e che quindi la sezione da me scelta di 35x40 cm risulta essere verificata!

4.14

 

 

PILATRO IN ACCIAIO

4.15

4.16

4.17

 

Per la realizzazione del solaio in acciaio, calcolato nella prima esercitazione, mi sono servito di IPE 330 dal peso di 0,49 kN/m, per le travi principali ed IPE 140, dal peso di 0,129 kN/m, per le travi secondarie.

Considerando i diversi pesi degli elementi strutturali, come per le altre esercitazioni mi sono ricavato lo sforzo normale portato dal pilastro maggiormente sollecitato della struttura.(4.18)

4.18

Conoscendo le caratteristiche dell’acciaio ed i tipi di vincolo del pilastro ho potuto calcolare, come nei casi precedenti: l’area minima della sezione(A min), la snellezza (λmax)e il raggio minimo d’inerzia(ρmin).

Ma al contrario dei casi precedenti per scegliere la sezione, non mi sono dovuto ricavare la base e l’altezza minima del pilasto ma mi sono dovuto servire di un ulteriore dato ovvero il momento d’inerzia minimo (I min) che ho ricavato moltiplicato l’area minima per il quadrato del raggio d’inerzia.(4.19)

4.19

A questo punto dal profilario di elementi HEA ho potuto scegliere quello che non solo ha un area superiore a quella minima ma anche un momento di inerzia maggiore a quello minimo in modo tale che garantisca la sua stabilita a sforzo normale. Nel caso da me calcolato ho soddisfato la verifica con un profilo HEA 180. (4.20)

4.20

                              

Lo scopo di quest’esercitazione è quello di dimensionare un elemento soggetto a sforzo normale centrato di compressione, dove la deformazione Δl < 0 viene definita contrazione. In questo caso è necessario considerare, oltre alla rottura del materiale, anche il fenomeno di instabilità euleriana.  A tal fine sarà fondamentale definire due grandezze: l’area e il momento d’inerzia minimo della sezione.

L’area minima che deve essere ricavata, in modo da evitare lo schiacciamento del materiale, si ottiene eguagliando la tensione massima sulla sezione (σ_max) alla resistenza di progetto del materiale (f_cd).

σ_max = f_cd

σ_max = N / A_min

quindi:

N/A_min = f_cd

A_min = N / f_cd

Il momento di inerzia minimo della sezione si ottiene eguagliando la tensione massima sulla sezione (σ_max) alla tensione critica (σ_crit) generata del carico critico euleriano ovvero la forza di compressione che innesca il fenomeno di instabilità.

Per ricavare la tensione critica è dunque necessario definire il carico critico euleriano (N_crit).

N_crit= π² x E x I_min / (β x L)²

Dove:

E = modulo di elasticità del materiale

I_min= il minore momento di inerzia tra I_x e I_y

β = coeff. adimensionale relativo al tipo di vincolo (nella figura sottostante)

L = lunghezza dell’elemento

Attraverso le seguenti relazioni si giunge alla definizione di carico critico euleriano:

I_min = A x ρ_min²

λ = L₀ x ρ_min

dove L₀ è la luce libera di inflessione ed è pari a βL

N_crit = π² x E x A / λ²

σ_crit = N_crit / A = π² x E / λ²

Essendo l’instabilità un fenomeno impossibile da controllare e dovendo mettere in relazione la σ_crit con la σ_max (ricordando che σ_max = f_cd), si impone f_cd < σ_max in modo tale che la tensione raggiunga per prima la resistenza schiacciamento del materiale, con conseguente rottura.

 

Dimensionamento pilastro in calcestruzzo

Prima di tutto viene individuata l’area di influenza del pilastro.

Area = L₁ x L₂

Il secondo passo è quello di individuare lo sforzo normale di compressione. A tal fine è indispensabile calcolare il carico dovuto al peso delle travi sul pilastro, il carico del solaio ed il numero dei piani dell’edificio.

 

Carico del peso delle travi sul pilastro

Peso proprio delle travi [KN/m] = Area [m²] x Peso specifico [KN/m³]

Area_p = (0,3*0,4) [m²] *25 [KN/m] = 3 [KN/m]

Area_s = (0,3*0,4) [m²] *25 [KN/m] = 3 [KN/m]

Quindi,

q_trave = 3*1,3*5 + 3*1,3*3,5 = 33,15 [KN]

Carico del solaio

I carichi strutturali, permanenti ed accidentali del solaio sono stati recuperati dalla prima esercitazione per individuare il carico totale del solaio sul pilastro, che si ricava dall’equazione di combinazione dei carichi (in questo caso sarà la combinazione dei carichi allo SLU).

Considerato che il numero dei piani dell’edificio è pari a 5, abbiamo ora tutti i valori necessari al calcolo di N:

N [KN] = (q_trave + q_trave) x n_piani

Si è scelta come classe di calcestruzzo C40/50 e, successivamente, è stata determinata la resistenza di progetto a compressione.

f_cd = f_ck / γ_m

Quindi è stata calcolata l’area minima e la base minima.

A_min = N / f_cd

b_min = √A_min

Inserendo il modulo di elasticità del calcestruzzo, il coefficiente di vincolo β e l’altezza dell’asta, si ottengono la snellezza, il raggio di inerzia minimo e la base minima.

λ_max = π x √(E / f_cd)

ρ_min = L₀ / λ_max

La base minima è calcolata come segue:

b_min = 2 x √(3 x ρ_min)

A questo punto la base minima deve essere opportunamente ingegnerizzata. Con l’area minima e la base minima si ottiene l’altezza minima, la quale va anch’essa ingegnerizzata opportunamente per calcolare infine l’area di design ed il momento di inerzia di design.

A_design = b x h

I_design = (b³ x h) / 12

Nel calcestruzzo è necessaria la verifica del pilastro a presso-flessione poiché, essendo il nodo trave-pilastro un incastro, trasmette momento. Per tale verifica si impone

σ_max ≤ f_cd

dove, σ_max è pari alla somma dello sforzo normale di compressione ed il momento trasmesso:

Lo sforzo normale di compressione è noto mentre il momento trasmesso viene calcolato come:

M_t = q_t x L_p² / 12

dove q_t rappresenta il carico distribuito sulla trave principale:

q_t = (1,3 x q_s + 1,5 x q_p + 1,5 x q_a ) x L_s

Il modulo di resistenza alla compressione è calcolato come segue:

W_max = b x h² / 6

Quindi per la verifica della sezione a presso-flessione si impone:

In questo caso risulta verificata.

 

Dimensionamento pilastro in legno

Viene individuata l’area di influenza del pilastro.

Area = L₁ x L₂

Carico del peso delle travi sul pilastro

Si calcola il peso delle travi principali e secondarie moltiplicandole per il loro peso specifico ed ottenendo il contributo totale del peso delle travi.

Peso proprio delle travi [KN/m] = Area [m²] x Peso specifico [KN/m³]

trave_p = (0,3*0,35) [m²] *25 [KN/m] = 2,63 [KN/m]

trave_s = (0,3*0,25) [m²] *25 [KN/m] = 1,88 [KN/m]

Quindi,

q_trave = 2,63*1,3*5 + 1,88*1,3*3,5 = 25,65 [KN]

 

Carico del solaio

I carichi strutturali, permanenti ed accidentali del solaio sono stati recuperati dalla prima esercitazione per individuare il carico totale del solaio sul pilastro, che si ricava dall’equazione di combinazione dei carichi (in questo caso sarà la combinazione dei carichi allo SLU).

Poiché il numero dei piani dell’edificio è pari a 5, abbiamo ora tutti i valori necessari al calcolo di N:

N [KN] = (q_trave + q_trave) x n_piani

La resistenza a compressione si ottiene dopo aver scelto la classe di legno C24 con una f_ck = 24 MPa

f_cd = f_ck x k_mod / γ_m

dove k_mod è un coefficiente correttivo pari a 0,8 e γ_m è un coefficiente di sicurezza pari a 1,45. Quindi è stata calcolata l’area minima.

A_min = N / f_cd

Ora è necessario individuare il raggio di inerzia minimo che ci permetterà di ricavare la base minima che deve avere la sezione. Inserendo nel file Excel il modulo di elasticità E, il valore β e l’altezza del pilastro l, si ricava la snellezza massima ed il raggio di inerzia minimo.

λ_max = π x √(E / f_cd)

ρ_min = L₀ / λ_max

La base minima è calcolata come segue:

b_min = 2 x √(3 x ρ_min)

A questo punto la base minima deve essere opportunamente ingegnerizzata. Con l’area minima e la base minima si ottiene l’altezza minima, la quale va anch’essa ingegnerizzata opportunamente per calcolare infine l’area di design ed il momento di inerzia di design.

h = A_min / b

A_design = b x h

I_design = (b³ x h) / 12

 

 

Dimensionamento pilastro in acciaio

Viene individuata l’area di influenza del pilastro.

Area = L₁ x L₂

Carico del peso delle travi sul pilastro

Si calcola il peso delle travi principali e secondarie moltiplicandole per il loro peso specifico ed ottenendo il contributo totale del peso delle travi.

Peso proprio delle travi [KN/m] = Area [m²] x Peso specifico [KN/m³]

Per la trave principale si sceglie un IPE 270 CON PESO DI 36.1 Kg/m e, per la trave secondaria, un IPE 200 con peso di 22.4 kg/m.

trave_p = 0,36 [KN/m]*78,5 [KN/m] = 28,33 [KN/m]

trave_s =  0,22 [KN/m]*78,5 [KN/m] = 17,58 [KN/m]

Quindi,

q_trave = 28,33*1,3*5 + 17,58*1,3*3,5 = 264,04 [KN]

Carico del solaio

I carichi strutturali, permanenti ed accidentali del solaio sono stati recuperati dalla prima esercitazione per individuare il carico totale del solaio sul pilastro, che si ricava dall’equazione di combinazione dei carichi (in questo caso sarà la combinazione dei carichi allo SLU).

Poiché il numero dei piani dell’edificio è pari a 5, abbiamo ora tutti i valori necessari al calcolo di N:

N [KN] = (q_trave + q_trave) x n_piani

La resistenza a compressione si ottiene dopo aver scelto la classe di acciaio S275 con una f_yk = 275 MPa

f_yd = f_yk / γ_m

dove γ_m è un coefficiente di sicurezza pari a 1,05. Quindi è stata calcolata l’area minima.

A_min = N / f_yd

Ora è necessario individuare il raggio di inerzia minimo che ci permetterà di ricavare la base minima che deve avere la sezione. Inserendo nel file Excel il modulo di elasticità E, il valore β e l’altezza del pilastro l, si ricava la snellezza massima ed il raggio di inerzia minimo.

λ_max = π x √(E / f_yd)

ρ_min = L₀ / λ_max

A questo punto è necessario calcolare il momento di inerzia minimo:

I_min = A x ρ²_min

Conoscendo I_min si può scegliere la sezione del pilastro sul formulario, verificando che:

• L’area di design sia maggiore/uguale rispetto a quella trovata
• Il momento di inerzia sia maggiore/uguale rispetto a quello trovato
• Il raggio di inerzia sia maggiore/uguale rispetto a quello trovato

Quindi viene individuata la sezione del pilastro HEA260, con le seguenti misure:

A_design = 86,80 > 84,9 [cm²]

I_design = 3668 > 782 [cm⁴]

ρ_design = 6,50 > 3,04 [cm]

 

Questa esercitazione prevede il dimensionamento di una mensola nelle tre diverse tecnologie: Legno, Acciaio e Calcestruzzo armato.

Osservando la pianta, risulta evidente che la trave a sbalzo più sollecitata è quella centrale, perchè quella con area d'influenza maggiore.

Si procede, dunque, con il dimensionamento della mensola, basandosi sugli stessi carichi e le stesse stratigrafie di solaio dell' EXE1_Dimensionamento di un solaio per un solaio in legno, acciaio e calcestruzzo armato.

 

SOLAIO IN LEGNO

Carico strutturale (Qs) = 0,265 KN/mq

Carico permanente (Qp) = 2,66 KN/mq

Carico accidentale (Qa) = 2,00 KN/mq

Dopo aver inserito i valori dei carichi sul foglio Excel, e avendo così ottenuto il carico totale Q, inserendo anche la luce l = 2 m, si ricava  il valore del Momento massimo che, trattandosi di una mensola, è definito dall'equazione:

M_max = ql²/2.

A questo punto, dopo ver scelto la tipologia di legno, legno lamellare GL 24h, bisogna inserire il valore di resistenza a flessione caratteristica fm,k = 24 MPa.

Si ottiene così la tensione ammissibile sig_d (N/mm²) = 0,8 x kmod / 1,45, dove:

- 0,8 è il coefficiente della durata del carico (kmod);

- 1,45 è il coefficiente parziale di sicurezza del materiale (γm).

Impostando un'ipotetica base b = 20 cm, si ottiene l'altezza minima h_min, ossia il valore minimo che deve avere l’altezza della sezione

Questa altezza minima deve però essere ingegnerizzata, deve cioè essere scelto un valore di altezza superiore ad hmin. 

Si inserisce quindi anche il valore del modulo elastico E = 8.000 N/mm².

In questo modo il foglio Excel determina:

- il momento d’inerzia I_x = b x h³/12;

- l’abbassamento massimo v_max = q x l⁴/ 8 x E x I_x

- il suo rapporto con la luce l/v_max.

Se quest'ultimo valore soddisfa la condizione l/v_max ≥ 250 la sezione può definirsi verificata. 

LA SEZIONE E' VERIFICATA!

 

SOLAIO IN ACCIAIO

 

Carico strutturale (Qs) = 2,028 KN/mq

Carico permanente (Qp) = 2,95 KN/mq

Carico accidentale (Qa) = 2,00 KN/mq

 

Dopo aver inserito i valori dei carichi sul foglio Excel, e avendo così ottenuto il carico totale Q, inserendo anche la luce l = 2 m, si ricava  il valore del Momento massimo che, trattandosi di una mensola, è definito dall'equazione:

M_max = ql²/2.

 A questo punto si inserisce la tensione di snervamento del Fe 430/ S275, fy,k = 275 MPa, e si ottiene così:

- la tensione di progetto f_d = 293,13 N/mm²

- il modulo di resistenza W_x = 226,18 cm³.

Dopo aver ottenuto il modulo di resistenza, bisogna ingegnerizzare la sezione. Quindi si inserisce il valore del momento d’inerzia I_x del profilo, che ha come modulo di resistenza W_x, un valore maggiore di quello trovato

Dopo aver scelto il profilo, che in questo caso è una trave IPE 220, non resta altro che inserire il valore del modulo elastico E = 210.000 N/mm².

In questo modo il foglio di calcolo determina:

- l’abbassamento massimo v_max = q x l⁴/ 8 x E x I_x

- il suo rapporto con la luce l/v_max.

Se quest'ultimo valore soddisfa la condizione l/v_max ≥ 250 la sezione può definirsi verificata.

LA SEZIONE E' VERIFICATA!

 

SOLAIO IN CALCESTRUZZO ARMATO

Carico strutturale (Qs) = 2,536 KN/mq

Carico permanente (Qp) = 2,345 KN/mq

Carico accidentale (Qa) = 3,00 KN/mq

Dopo aver inserito i valori dei carichi sul foglio Excel, e avendo così ottenuto il carico totale Q, inserendo anche la luce l = 2 m, si ricava  il valore del Momento massimo che, trattandosi di una mensola, è definito dall'equazione:

M_max = ql²/2.

A questo punto si sceglie la tipologia di acciaio per l'armatura del cls, B450C, e si inserisce la tensione di snervamento fy = 450 MPa; in questo modo si ottiene la tensione di progetto fd_f.

Si inserisce inoltre anche fck = 60 MPa, e si considera una base b = 20 cm

Si ottiene in questo modo un'altezza minima  H = 25,30 cm. Questa altezza va ingegnerizzata, deve cioè essere scelto un valore di altezza superiore ad H. Quindi l'altezza della sezione della trave sarà uguale a Hd = 35 cm.

L'ultimo passaggio è l'inserimento del modulo elastico dell'acciaio dell'armatura E = 21000 N/mm².

In questo modo il foglio di calcolo determina:

- il momento d’inerzia I_x = b x h³/12;

- l’abbassamento massimo v_max = q x l⁴/ 8 x E x I_x

- il suo rapporto con la luce l/v_max.

Se quest'ultimo valore soddisfa la condizione l/v_max ≥ 250 la sezione può definirsi verificata. 

LA SEZIONE E' VERIFICATA!

 

 

 

Con questa esercitazione si procede a dimensionare un pilastro nei tre sistemi costruttivi quali il legno, l'acciaio e il calcestruzzo. Nell'ultimo caso terremo conto, oltre allo sforzo normale, anche della pressoflessione dato che gli agganci nel calcestruzzo sono incastri.

L'orditura segue quella delle esercitazioni precedenti e, considerando l'area di influenza, andiamo a trovare il pilastro più sollecitato, su cui graveranno il peso di più solai e pilastri superiori ad esso corrispondenti.

LEGNO

Considerando il solaio delle precedenti esercitazioni, inizio col dimensionare il pilastro in legno.

Inserisco i dati dell'area di influenza:

Ricavo quindi il peso della trave primaria e secondaria moltiplicando l'area delle sezioni delle travi per il peso specifico del legno 

trave_p=(0,65x0,40) m² x 7 kN/m³ =1,82 kN/m

trave_s=(0,65x0,40) m² x 7 kN/m³ =1,82 kN/m

Ottengo così il carico totale delle travi; compilando poi i carichi del solaio con i dati precedenti ottengo anche il carico totale del solaio. Lo sforzo Normale sarà quindi calcolato, tendendo conto anche del numero di piani.

Calcolo la resitenza a compressione di progetto del pilastro attraverso i dati del materiale ligneo scelto precedentemente, il legno lamellare incollato omogeneo GL 28h, con f_c,0,k = 26,5 MPa, coefficente correttivo k_mod = 0,7 e coefficente di sicurezza y_m = 1,45; infine si calcola l'area minima della sezione del pilastro.

Considerando β = 1, quindi l = h (caso appoggiato/appoggiato), vado a ricavare la base e l'altezza minima del pilastro, inserisco i dati di ingegnerizzazione e ottengo l'area di progetto e il momento di inerzia di progetto.

Infine deve risultare verificato che l'area di progetto sia maggiore dell'area minima, come in questo caso.

Si può procedere quindi a dimensionare i pilastri superiori, cambiando i dati relativi ai piani.

ACCIAIO

Per l'acciaio prendo in considerazione la stessa sezione della precedente esercitazione, con travi primarie IPE 500 e secondarie IPE 240, di acciaio S275.

trave_p = 90,7 kg/m = 0,90 kN/m

trave_s = 30,7 kg/m = 0,30 kn/m

Dopo aver trovato il carico delle travi, immetto i dati dei carichi per il solaio in acciaio e ottengo il carico totale di questo. Inserendo infine il numero dei piani ho il mio sforzo Normale.

Ora uso i dati dell'acciaio scelto: la tensione di snervamento e il coefficente di sicurezza del materiale, ricavando la tensione ammissibile e l'area minima.

Sempre considerando β = 1 e l = h, vado a ricavare tramite l'inerzia minima il profilo HEA da scegliere, facendo attenzione all'area della sezione con quella minima di progetto e al raggio minimo d'inerzia.

Ora calcolo il resto dei pilastri superiori:

Chiaramente i pilastri superiori mantengono la stessa sezione, in quanto pur cambiando dimensione dell'area minima e l'inerzia minima, il raggio d'inerzia minima non cambia.

CEMENTO ARMATO

Uso sempre la stessa sezione dell'esercitazione precedente con un calcestruzzo di classe C45/55 e acciaio B450A.

Calcolo i pesi delle travi, sapendo che il peso specifico del calcestruzzo è 24 kN/m³:

trave_p = (0,55 x 0,40) m x 24 kN/m³ = 5,28 kN/m

trave_s = (0,55 x 0,40) m x 24 kN/m³ = 5,28 kN/m

Quindi con il carico totale delle travi e quello del solaio, inserendo il numero di piani ottengo lo sforzo Normale.

Con i dati riferiti al calcestruzzo scelto inserisco la resistenza caratteristica di 45 MPa, ottenendo l'area e la base minima.

Sapendo che nel caso del calcestruzzo gli agganci sono realizzati come incastri, quindi trasmettono momento, sottoponendo il pilastro a presso-flessione, vado a considerare la luce minima di inflessione uguale a l/2 e β = 0,5 (caso incastro/incastro).

Ingegnerizzo quindi base e altezza in modo tale da garantire che la tensione massima di progetto sia minore o uguale alla tensione di resistenza e che l'area di progetto sia maggiore dell'area minima.

Calcolo poi gli altri pilastri superiori:

 

 

 

Questa quarta esercitazione consiste nel dimensionamento di un pilastro; che sia esso di legno, acciaio o calcestruzzo.

Ho preso in considerazione il pilastro maggiormente sollecitato a sforzo normale di un edificio di 4 piani; quindi, uno di quelli presenti a piano terra sui quali si scarica il peso dell'intera struttura sovrastante.

Ho ripreso la pianta della carpenteria utilizzata nella prima e nella terza esercitazione in modo da poter riutilizzare i valori dei carichi dei solai.

L'area di influenza del pilastro è quindi di 27 mq. (L1= 4,5 m ; L2= 6 m)

LEGNO

1) Dopo aver inserito i dati relativi alla grandezza del solaio ed aver trovato l'area di influenza del pilastro, calcolo il peso unitario della trave_p e della trave_s

trave= area della sezione (0,35 x 0,5) mq x peso specifico 5 KN/m3 = 0,88 KN/m

Posso calcolarmi così il carico dovuto al peso proprio delle travi 

q trave= (trave p x L1 x 1,3) + (trave s x L2 x 1,3) = 11,94 KN

2) Inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio (carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali) per calcolare il valore complessivo del carico agente. 

q tot= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 237,33 KN

3) infine calcolo lo sforzo di compressione N dato il numero dei piani

N= (q trave x q solaio) x n piani= 997 KN

 

Adesso posso ricavarmi l'area minima della sezione tale da evitare la rottura del materiale.

4) Inserisco tutte le caratteristiche relative al materiale 

-la resistenza a compressione (f_c0,k) 24MPa

-il coefficiente della durata di carico k_mod  0,8

-il coefficiente parziale di sicurezza γ_m. 1,45

e mi ricavo il valore della tensione ammissibile e dell'area minima:

f_c0d= f_c0,k x k_mod / γ_m. = 13,24 MPa

A min= 753 cm2

 

5) Sapendo che Il modulo di elasticità E = 8800 MPa, β =1 e l’altezza del pilastro è di 3 m, posso procedere con:

- il calcolo del valore massimo di snellezza λ_{max =} 80,95

- il valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 3,71 cm

- la grandezza della base b min = 12,84 cm, che ingegnerizzo scegliendo una b = 15 cm. 

- l’altezza minima h_min =   A_min / b = 50,20 cm, che ingegnerizzo scegliendo una h= 51 cm

6) Calcolo  l’area di progetto della sezione

A_design = b x h = 765 cm²

7) Verifico che A_design > A_min   

765 cm² > 753 cm²               SEZIONE VERIFICATA

8)  calcolo infine il momento d’inerzia di progetto

I_design = 14344 cm⁴

ACCIAIO

1)  Dopo aver inserito i dati relativi alla grandezza del solaio ed aver trovato l'area di influenza del pilastro, calcolo il peso unitario della trave p e della trave s

trave p = IPE 360 = 57,1 Kg/m = 0,57KN/m

trave s = IPE 160 = 15,8 Kg/m = 0,158 KN/m

Posso calcolarmi così il carico dovuto al peso proprio delle travi 

q trave= 4,57 KN

2) Inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio (carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali) per calcolare il valore complessivo del carico agente. 

q tot= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 269,24 KN

3) infine calcolo lo sforzo di compressione N dato il numero dei piani

N= (q trave x q solaio) x n piani= 1095 KN

 

 

Adesso posso ricavarmi l'area minima della sezione tale da evitare la rottura del materiale.

4) Inserisco tutte le caratteristiche relative al materiale 

- la tensione di snervamento (f_,yk) 275MPa

- il coefficiente parziale di sicurezza γ_m. 1,05

5) Posso quindi calcolare il valore della tensione ammissibile e dell'area minima

f_yd= f_c0,k / γ_m. = 261,90 MPa

A min= 41,8 cm²

 

5) Sapendo che Il modulo di elasticità E =  210000 N/mm² , β =1 e l’altezza del pilastro è di 3 m, posso procedere con:

- il calcolo del valore massimo di snellezza λ_{max =} 88,96

- il valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 3,37 cm

- calcolo il momento di inerzia minimo   I_min=  476 cm⁴

6)  Posso ora ingegnerizzare la sezione scegliendo un profilo HEA con valori maggiori rispetto a quelli minimi. Scelgo un profilo HEA 180

7) Verifico che A_design > A_min   

45,3 cm² > 41,8 cm²               SEZIONE VERIFICATA

8)  calcolo infine il valore della snellezza

 λ = 60,24

1)  Dopo aver inserito i dati relativi alla grandezza del solaio ed aver trovato l'area di influenza del pilastro, calcolo il peso unitario della trave p e della trave s

trave= area della sezione (0,3 x 0,55) mq x peso specifico 24 KN/m3 = 3,96 KN/m

Posso calcolarmi così il carico dovuto al peso proprio delle travi 

q trave= 54,05 KN

2) Inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio (carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali) per calcolare il valore complessivo del carico agente. 

q tot= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 314,71 KN

3) infine calcolo lo sforzo di compressione N dato il numero dei piani

N= (q trave x q solaio) x n piani= 1475 KN

Adesso posso ricavarmi l'area minima della sezione tale da evitare la rottura del materiale.

4) Inserisco la tensione di snervamento

(f_ck) 40 MPa

5) Calcolo i valori di 

- (f_cd) 22,7 MPa

- Amin =650,8 cm² 

- bmin = 25,5 cm

 

 

5) Sapendo che Il modulo di elasticità E =  210000 N/mm² , β =1 e l’altezza del pilastro è di 3 m, posso procedere con:

- il calcolo del valore massimo di snellezza λ_{max =} 95,62

- il valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 3,14cm

- la grandezza della base b min = 10,87 cm, che ingegnerizzo scegliendo una b = 40 cm

-  l’altezza minima h_min = 16,27 cm, che ingegnerizzo scegliendo una  h= 40 cm

6) Verifico che A_design > A_min   

45,3 cm² > 41,8 cm²               SEZIONE VERIFICATA

7) sapendo che:

- I_design= h x b^3 /12 = 213333 cm⁴

- I_max = b x h^3 /12 = 213333 cm4

-  Il modulo di resistenza a flessione W_max = b x h^2 / 6= 10666,67 cm³

- ilcarico distribuito sulla trave q =(1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x L2 = 69,94 KN/m

- il momento nell’estremo della trave M= q x L1^2 /12 = 118,02 KNm

8) calcolo la tensione massima

σ_max = 20,28 MPa

che risulta verificata poichè 

σ_max < f_cd     20,28 < 22,7  TENSIONE VERIFICATA

 

Con la quarta esercitazione abbiamo dimensionato la sezione di un pilastro. Il pilastro che viene analizzato è quello più sollecitato a sforzo normale (compressione) ed in questo caso quello a piano terra. Su di esso in fatti verranno trasmessi i carichi dei piani superiori .

Deduciamo inoltre dalla pianta di carpenteria che il pilastro più sollecitato è quello che ha un’area di influenza maggiore. Ovvero il pilastro B2, la cui area di influenza è

 A = L1xL2 = 4X6 = 24 mq

Analizzeremo la sezione del pilastro nelle tre diverse tecnologie affrontate fino ad ora.

 

 

CALCESTRUZZO

(prendiamo in esame la stessa tipologia di solaio studiata nella prima esercitazione)

 

Aprendo il file excell inizio l’analisi calcolando l’area di influenza(mq) del pilastro nelle prime tre colonne.

Nella colonna D ed E inserisco il carico della trave principale e secondoria che andrà a gravare sul nostro pilastro. Questi dati li avevo calcolati già nelle’esercitazione 1 e 2 quindi ora mi trovo avvantagiato con dei conteggi già svolti in precedenza.

Pt = [(base x altezza x profondità)/mq] x peso materiale = [(0,20 x 0,45 x 1m)/mq]x 25 KN/mc = 2,25 KN/mq

Vado ora ad inserire nelle colonne G H ed I i valori dei carichi agenti sul solaio (Qs = carichi strutturali, Qp = carichi permanenti, Qa = carichi accidentali ). Questi dati li avevo sempre già calcolati nell’esercitazione 1. Il carico totale deriva dall’addizione dei carichi moltiplicati per il loro coefficiente di sicurezza moltiplicata poi per l’area di influenza.

Qtot = (1,3xQs +1,5xQp + 1,5xQa) x A =

Ora posso calcolarmi lo sforzo di compressione N ma prima è essenziale mettere il giusto numero di piani che gravano sul pilastro. Infatti:

N = (Peso trave x Peso solaio) x n° piani

 

Inserendo poi la tensione di snervamento (fck), il modulo di elasticità (E) e l’altezza del pilastro (l) posso calcolarmi:

-il valore massimo di snellezza (λ*)

-il valore minimo del raggio di inerzia (ρmin)

-la grandezza della base minima (inserendo poi nella colonna W il valore ingegnerizzato)

-l’atezza minima (inserendo poi nella colonna Y il valore ingegnerizzato)

L’area sarà verificata se    Adesign > Amin

Inoltre bisogna verificare che    σmax<fcd

 

LEGNO

 

(solaio preso in considerazione anche nella prima esercitazione)

 

Nella prime due colonne come ho fatto per il calcestruzzo mi calcolo l’area di influenza del pilastro A= L1xL2 = 24 mq

Nella colonna D ed E inserisco il carico della trave principale e secondoria che andrà a gravare sul nostro pilastro.

Pt = [(base x altezza x profondità)/mq]x peso materiale= [(0,25 x 0,60 x 1m)/mq]x 5 KN/mc     = 0,75 KN/mq

Inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio (carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali i modo tale da ricavarmi il carico agente complessivo.

Qtot= (Qs x 1,3+Qp x 1,5+Qa)

Inserisco il numero dei livelli come fatto in precedenza con il CLS in modo tale da calcolarmi lo sforzo di compressione N sul pilastro

N = (Qtrave x Qsolaio) x n° piani

Inserendo poi la tensione ammissibile (fc0d), il modulo di elasticità (E) e l’altezza del pilastro (l) posso calcolarmi:

-il valore massimo di snellezza (λmax)

-il valore minimo del raggio di inerzia (ρmin)

-la grandezza della base minima (inserendo poi nella colonna W il valore ingegnerizzato)

-l’atezza minima nella colonna Y(inserendo poi nella colonna Z il valore ingegnerizzato)

 Nell’ultima parte del foglio Excel si calcola l’area minima che deve avere la sezione in modo tale che il materiale non arrivi a rottura e si ricava anche il momento di Inerzia minimo di progetto.

L’area sarà verificata se Adesign > Amin            Adesign=900cmq>Amin=559,7  VERIFICATO

 

 

 

ACCIAIO

(solaio preso in esame anche nella prima esercitazione)

 

Come per il legno ed il CLS prendo in considerazione il solaio della prima esercitazione .

Inizio l’analisi calcolando l’area di influenza del pilastro ripetuta per tutti e tre i piani che vanno a gravare su di esso.

Calcolo il peso della trave principale e della trave secondaria

Trave p= IPE 330 = 49,1 Kg/m – 0,49KN/m

Trave s= IPE 240 = 30,7 Kg/m – 0,3KN/m

Calcolando così il carico dovuto solo al peso proprio delle travi

Inserisco i carichi agenti sul solaio e quindi sul pilatro(già calcolati nelle prima esercitazione)

-carichi strutturali

-carichi permanenti

-carichi accidentali

Qtot= (Qs x 1,3+Qp x 1,5+Qa)

 

Inserisco il numero deilivelli come fatto in precedenza con il CLS in modo tale da calcolarmi lo sforzo di compressione N sul pilastro

N = (Qtrave x Qsolaio) x n° piani

 

Nell’ultima parte del foglio Excel si calcola l’area minima che deve avere la sezione in modo tale che il materiale non arrivi a rottura e si ricava anche il momento di Inerzia minimo di progetto.

Infine inserisco tutte le caratteristiche del materiale: la tensione di snervamento fyk ed il coefficiente parziale di sicurezza γ_m

Posso ora calcolarmi il valore della tensione ammisibile fyd e l’area minima

Inserisco il modulo di elasticità (E) e l’altezza del pilastro e trovo:

-il valore massimo di snellezza (λmax)

-il valore minimo del raggio di inerzia (ρmin)

-il momento di inerzia minimo (Imin)

 

Infine non mi rimane che ingegnerizzare la sezione scegliendo un profilo con Area maggiore rispetto all’area minima trovata.

Infatti la sezione del pilastro è verificata se    Adesign >Amin

Ricavo così il mio profilo HEA

Verificare infine che λ< λ*= λmax