L’esercitazione prevede il dimensionamento dei pilastri di un piccolo edificio di 5 piani, progettato nelle tre tecnologie: cls, acciaio e legno.

 

Lp(trave principale)= 6m

Ls/(trave secondaria)=4m

Npiani= 5

Il dimensionamento prenderà in considerazione il pilastro più sollecitato: il pilastro del piano terra con area d’influenza 6mx4m (pilastro B2)

I pilastri sono elementi strutturali sottoposti a sforno normale di compressione: la loro tendenza è quella di sbandare lateralmente.

CLS

Per dimensionare correttamente il pilastro si deve tenere conte del peso proprio delle travi (principali e secondarie) che il peso del solaio in un mq, ricavando poi il peso totale dell’area d’influenza che il pilastro devo sopportare.

Peso unitario trave principale = (0.3mx0.5m) x 25KN/mc= 3.75 KN/m

Peso unitario trave secondaria = 3.75 KN/m

Il foglio di calcolo permette di ottenere il peso delle travi:

trave p= 3.75 KN/m x 6.00m x 1.3 (è un carico strutturale permanente)= 29.25 KN

trave s= 3.75KN/m x 4.00m X 1.3= 19.5 KN

qtrave= 48.75 KN

 

Ora bisogna aggiungere il carico del solaio (esercitazione1)

qs= 2.70 KN/mq

qp= 2.90 KN/mq

qa= 2.00 KN/mq

area d’influenza= 24mq

qsolaio= (1.3 x 2.70 + 1.5 x 2.90 + 1.5 x 2) KN/mq x 24mq = 260.64 KN

Una volta trovati i carichi che agiscono sul pilastri posso ricavare il valore dello sforzo normale agente sul pilastro più sollecitato del piano terra. Questo pilastro sarà soggetto alla sollecitazione derivante dai piani sovrastanti ( 5 piani).

N= 5 x (260.64 + 48.75)KN= 1547KN

Scelgo il materiale (nel progetto del pilastro in cls posso trascurare l’acciaio, considero una sezione omogenea di cls)

fck=  60MPa

fcd= 0.85x fck /1.5= 34 Mpa

il foglio Excel calcola l’area minima= N/fcd= 455 cmq

Una volta trovata l’area minima devo capire cose essa deve essere distribuita: posso decidere che la sezione del pilastro è quadrata

bmin= radq Amin = 21.3cm

 

ora devo considerare i valori che entrano in gioco per il calcolo dell’instabilità

E= 21000 Mpa     l(altezza del pilastro)= 3.50m   β(dipende dal vincolo: appoggio/appo)=1

 

Posso quindi definire la snellezza del pilastro:

λ= π x radq(E/fcd)= 78.08

 

posso trovare il raggio d’inerzia minimo:

ρ= βl/λ= 1 x 3.50 /78.08m =4.48cm

ricalcolo la base minima conoscendo il raggio minimo d’inerzia:

bmin= ρmin/ radq 12  (sapendo che ρmin= radq (Imin/Amin)

bmin= 4.48cm x radq12= 15.53cm

ora posso ingegnerizzare la sezione: 40 x40 cm con Hmin= Amin/b= 15.53cm

 

Infine attraverso il foglio Excel posso trovare altri valori correlati alla geometria della sezione.

Per verificare che il dimensionamento sia corretto è necessario che σmax < fcd

σmax è la tensione generata dallo sforzo normale di compressione e dal momento flettente che le travi trasmettono al pilastro (c’è un incastro)

σmax= N/A + M/Wmax= 21.89MPa < 34Mpa= fcd

 

 

ACCIAIO

Il dimensionamento del pilastro in acciaio segue lo stesso procedimento di quello in cls. Le travi principali e secndarie sono IPE 360 con un peso unitario di 0.57KN/m

Calcolo il peso strutturale delle travi    qtrave= 1.3x ( 6.00x0.57 + 4.00x0.57 )= 7.41KN

Riporto i dati dell’esercitazione 1 sui carichi del solaio i acciaio:

qs= 1.97KN/m

qp=2.81KN/m

qa=2.00KN/m

scelgo la classe dell’acciaio  fyk= 275MPa

dopo aver trovare il raggio d’inerzia minimo posso scegliere una sezione con ρ più grande. Il profilo scelto è HEA 160. Il dimensionamento termina con la verifica della sezione: la snellezza del pilastro deve essere inferiore a 250.

λ= βxl /ρmin = 87.94 < 250 

LEGNO

Il peso unitario delle travi è di 0.82 KN/m

qs= 0.31KN/m

qp= 3.71KN/m

qa= 2,00KN/m

scelgo la classe del legno   fck= 21 Mpa

il foglio di calcolo permette di ottenere il valore di Amin= 975 cm2; posso ingegnerizzare la base e l’altezza min maggiorando quella ricavata dal foglio Excel. La sezione sarà 35x35 cm. La sezione è verificata se Adesign> Amin

Amin= 975cm2 < Adesign= 1225 cm2

In questa quarta esercitazione è richiesto di dimensionare a compressione un pilastro nelle tre tecnologie: legno, acciaio cemento.

Per questa consegna ho deciso di utilizzare la stessa carpenteria utilizzata nella prima esercitazione, aumentando semplicemente di una campata la struttura. Questo mi permette di utilizzare la stessa trave principale che avevo dimensionato a flessione e gli stessi pacchetti di solaio. 

La struttura ipotizzo sia alta tre piani, con un altezza netta di 2,70 m per piano.

f.1

f.2

La prima cosa da fare è capire qual’è il pilastro maggiormente sollecitato, in questo caso è il B2 in quanto A = L1 x L2 = 4 m x 7 m = 28 mq. Possiamo vedere l'area d'influenza graficizzata nella f.1 e f.2

 

Legno

In quanto devo calcolare lo sforzo normale che grava sul mio pilastro, il riutilizzare la carpenteria dimensionata nella prima esercitazione è stato fondamentale per ridurre di molto i passaggi. f.3

f.3

Il primo passaggio è stato calcolare attraverso la tabella l’area d’influenza della trave, per poi andare a inserire: il peso proprio della trave principale e secondaria, i carichi che gravano sul pilastro e quanti piani ha il mio edificio. Inserire il numero di piani è fondamentale. Questo ci ha permesso ci calcolare lo sforzo Normale che grava sul pilastro con la formula:

N = ( Q_trave x Q_solaio ) x n_piani 

Il prossimo passaggio consiste nell’inserire le caratteristiche di resistenza del materiale. Per il pilastro ho deciso di usare le stesse utilizzate per la trave, quindi un F_ck = 24 MPa k_mod = 0,80 e Y_m=1,45.

Una volta Inserite questi valori nel foglio excel attraverso delle formula pre impostate mi calcola l’area minima che il mio pilastro deve avere. f.4

f.4

L’ultima parte della tabella mi permette di calcolarmi la sezione del pilastro e poi verificare che A_d<A_min

Per poter arrivare a questo punto però devo definire il modulo elastico del materiale, il Beta del pilastro e la sua altezza. Fatto questo ipotizzo una base, e la tabella mi dice rispetto alla base da me scelta qual’è l’altezza minima della sezione del pilastro. f.5

f.5

Nel mio caso con una forza Normale di 664 kN, un A_min = 501,3 ho scelto una base di 15 cm con un H_min = 33,42. Questo mi ha permesso di scegliere una sezione di 15 cm x 35 cm in quanto l’altezza di 33 cm era troppo specifica e non rispettava i canoni di produzione industriali dei profilati pre-impostati.

L’ultima verifica da fare è vedere se l’ A_design>A_min in questo caso 525 cmq >501,3 cmq

VERIFICATO 

 

CLS

Come nel legno ho riutilizzato il pacchetto solaio calcolato nella prima esercitazione. f.6

f.6

Nel dimensionare il pilastro avevo pensato di utilizzare lo stesso fck utilizzato per il dimensionamento a flessione della trave cioè 60MPa. Mi sono accorto però col procedere dei i calcoli che era esagerato in quanto la sezione veniva troppo piccola e il pilastro troppo snello. Per questo ho deciso di utilizzare un f_ck = 40 MPa.

Per il dimensionamento a compressione del pilastro bisogna effettuare due verifiche:

1. A_design>A_min
2. σ_max<f_cd

Facendo un ragionamento di dimensionamento solo a compressione il materiale da tenere in conto è il cemento.

Come per il legno inserisco in tabella tutti i dati relativi all’area d’influenza e ai carichi in modo da ottenere la forza normale agente sul pilastro. Una volta ottenuta la forza normale posso continuare inserendo il valore di f_ck, E, Beta e l’altezza del pilastro. Fatto questo ottengo dei valori di base e altezza minimi.

f.7

f.8

Ho notato che dimensionando il pilastro aumentando leggermente le dimensioni rispetto a quelle minime per esempio 20x20 ottengo il punto 1 verificato ma non il punto 2. Per far si che il σ_max<f_cd devo utilizzare una sezione di 40 x 40 cm infatti ottengo: 

1. 1600 cmq > 415 cmq

2. 20,87<22,7

VERIFICATO

 

Acciaio 

Come per il legno e cls riutilizzo il pacchetto solaio della prima esercitazione e inserisco i dati nella tabella.

f.9

Come per il cemento ho due verifiche da fare:

1. A_design>A_min
2. λ<λ_max

 

Come per il dimensionamento della trave a flessione ho scelto di utilizzare un acciaio con un coefficiente di resistenza f_yk = 275 MPA

Dopo aver inserito tutti i dati conosciuti ottengo un valore di Amin e attraverso una tabella cerco il suo profilo industriale. Devo utilizzare un HEA in quanto un IPE non è adatta ad essere utilizzata come pilastro in quanto è specificamente disegnata per resistere a sforzi a flessione.

La mia area minima è di 32,3 cm quindi scelgo la prima area più grande industrializzata che corrisponde a 38,8 cm, un HEA 160.

f.10

Ottengo:

1.  38,8 cmq > 32,3 cmq

2. 67,84 < 88,96

VERIFICATO

 

Considerazioni

Importante notare che il dimensionamento del pilastro è stato fatto senza considerare la presenza dei pilastri sui piani superiori. 

Un ragionamento da fare sarebbe aggiungere al carico totali anche il peso di tutti i pilastri presenti in quella parte di solaio che grava sul pilastro che io voglio dimensionare.

Passaggio 1 : dimensionamento del pilastro preliminare

Passaggio 2 : ridimensiono il pilastro riutilizzando come sezione di base quella calcolata nel passaggio 1 ma aggiungendo al Qtot anche il peso dei pilastri

Passaggio 3 : Verifico che la sezione scelta nel Passaggio 1 sia verificata nel Passaggio 2  se no devo aumentare la sezione.

Un altro modo potrebbe essere cominciare a dimensionare il pilastro dall'ultimo piano, in modo da sapere sempre la sezione del pilastro al piano superiore. Ovvimanete più si va in alto più la sezione del pilastro dovrebbe diminuire in quanto vi sono meno forze verticali che agiscono su esso.

In quanto il legno è un materiale leggero in alcuni casi è possibile non effettuare quest’ulteriore verifica.

INTRODUZIONE:

L’obiettivo di questa quarta esercitazione è il dimensionamento della sezione del pilastro maggiormente sollecitato, sempre secondo le tre diverse principali tecnologie, ovvero legno, acciaio e calcestruzzo armato.

Trattandosi di un elemento strutturale sottoposto a sforzo normale centrato di compressione, bisogna tener conto, oltre alla rottura per schiacciamento del materiale, di eventuali fenomeni di instabilità euleriana (fenomeno tipico/proprio delle strutture snelle).

Le instabilità sono causate dalla natura fisica delle forze: le forze devono compiere lavoro e quindi spostare il più possibile il loro punto di applicazione nella direzione della forza. Da qui si verifica l’abbassamento del punto di applicazione, con relativo accorciamento delle fibre compresse, e la deformazione assiale dell’elemento strutturale (che noi definiamo contrazione).

L’incognita principale di progetto è l’Area minima (tale da evitare lo schiacciamento) della sezione del pilastro esaminato, che ricaveremo eguagliando la tensione massima sulla sezione alla resistenza di progetto del materiale di cui è composto il nostro pilastro:

σmax= f_cd     e sapendo che N/A_min = f_cd    ricavo    A_min =N/ f_cd 

L’incognita secondaria è il Momento di Inerzia minimo della sezione che ottengo mettendo in relazione la tensione normale massima all’interno dell’elemento strutturale e la tensione critica (con un’uguaglianza), in corrispondenza del carico critico euleriano, del pilastro.

Il carico critico euleriano vale N_critico = π² E I_min /(β l)².

In questa formula viene introdotto un nuovo coefficiente β, che rappresenta l’influenza dei vincoli secondo il seguente schema.

NOTA:

• Ricordando le seguenti relazioni I_min =A ρ_min² e  λ = l₀/ρ_min e sostituendole all’interno della formula del carico critico euleriano ottengo quanto segue: N_critico = π² EA/λ²
• σ_critico ⁼ N_critico /A = π² E/λ²
• Dovremo imporre f_cd<σ_critico ; in questo modo progettiamo in maniera che si inneschi prima il fenomeno di rottura e non dello schiacciamento, poiché quest’ultimo risulta essere un fenomeno di difficile controllo.

 

­DISEGNO:

Disegno la carpenteria del piano tipo e la sezione del mio edificio:

Sto, dunque, considerando un edificio a più piani, con struttura intelaiata piana, ordita da travi che collaborano con i pilastri, secondo il vincolo di appoggio semplice.

Il pilastro più sollecitato è certamente uno di quelli al piano terra, ai quali vengono trasmessi tutti i carichi dei piani superiori. Perciò  individuo il pilastro più sollecitato guardando la pianta di carpenteria del piano terra.

Dopodiché, attraverso il file excel, inserisco i dati per ogni diversa tecnologia.

---

1_LEGNO

ANALISI:

Riprendo i valori ricavati nella prima esercitazione http://design.rootiers.it/strutture/node/1713 e inserisco i dati a mia disposizione

• L₁ e L₂ = i due lati dell'area di influenza (circondata in pianta con un rettangolo rosso) del pilastro in esame

Ottengo, così, il valore dell’area di influenza (il cui peso è portato dal pilastro). 

Per il calcolo dello sforzo normale di compressione, devo trovare i valori dei carichi dovuto al peso proprio delle travi che poggiano un’estremità sul pilastro, il carico dovuto al peso del solaio ed il numero dei piani dell’edificio.

• trave_p = (0,30*0,55)m² x 6KN/m³ = 0,99 KN/m      [trave principale]
• trave_s = (0,25*0,15)m² x 6KN/m³ =  0,225 KN/m    [trave secondaria]

Ottengo q_trave =trave_p*L₁*1,3 + trave_s*L₂*1,3 e lo sforzo normale di compressione agente sul pilastro con la formula N=q_trave+q_solaio*n_piani

Ottengo il valore del carico del solaio dalla combinazione dei tre carichi allo stato limite, il tutto moltiplicato per l’area di influenza.

NOTA: Come già detto, i valori q_s, q_p e q_a  sono stati ripresi dalla prima esercitazione.

PROGETTO:

Procedo ora con il pre-dimensionamento della sezione del pilastro a partire dalla resistenza del materiale e ottenendo quanto vale A_min.

• f_c0,k = resistenza caratteristica a flessione nella direzione delle fibre (dipende dal materiale)
• k_mod = coefficiente di durata del carico (fornito dalla normativa)
•  γ_m = coefficiente di sicurezza

Ottengo così la tensione ammissibile f_c0d = f_c0,k k_mod / γ_m e quindi l'area minima necessaria alla sezione affinché il materiale non giunga a rottura.

• E,005 = modulo elastico in percentile
• β = 1 [caso cerniera-carrello]       (vedere lo schema iniziale)
• l = altezza del pilastro

Ricavo;  

λ_max =  π √(E/f_cd)  [valore massimo di snellezza]

 ρ_{min =} β l/ λ_max 

 Sapendo che nel legno ρ_min= √(1/12) *b ,ricavo attraverso questo formula una delle due dimensioni della sezione, b_min, che ingegnerizzo 

h_min= A_min/b

Devo ingegnerizzare anche l'altezza. Ora ho le due dimensioni che descrivono la sezione del pilastro.

Verifico poi, per sicurezza, che l'Area di design sia maggiore dell'Area minima.

---

2_ACCIAIO

ANALISI:

Ripeto quanto già fatto nel caso del legno, riprendendo i valori ricavati nella prima esercitazione http://design.rootiers.it/strutture/node/1713 e inserendoli.

• L₁ e L₂ = i due lati dell'area di influenza (descritta in pianta con un rettangolo rosso) del pilastro in esame
• trave_p = IPE 360 = 57,1 kg/m =0,571 KN/m    [peso trave principale]
• trave_s = IPE 160 = 15,8 kg/m =0,158 KN/m    [peso trave secondaria]

PROGETTO:

• f_yk  = tensione di snervamento caratteristica 
• γ_m = coefficiente di sicurezza
• f_yd = f_yk/ γ_m [resistenza di progetto]

Ottengo l'area minima A_min=N/f_cd

• λ^* = √(E/f_yd)
•  ρ_min = β l/ λ^*
• I_min = Aρ_min² (ricavo dunque il momento di inerzia minimo in funzione del raggio di inerzia minimo)

Attraverso la tabella dei profili HEA ricavo i valori di A_{design ,} I_design e ρ_min maggiori di quelli minimi ottenuti, il cui profilo risulta essere un HEA140.

---

3_CALCESTRUZZO ARMATO

ANALISI:

Ripeto quanto già fatto nei casi precedenti, riprendendo i valori ricavati nella prima esercitazione http://design.rootiers.it/strutture/node/1713 e inserendoli.

• trave_p = (0,30*0,50)m²*25KN/m2 =3,75 KN     [peso trave principale]
• trave_s = (0,30*0,50)m²*25KN/m2 =3,75 KN     [peso trave secondaria]

​

PROGETTO:

• f_ck =35 (calcestruzzo di classe C35/45)
• f_cd = 0,85*f_ck/1,5

• β =1 [doppio incastro]   (fare riferimento allo schema iniziale)
• l=2,70 m [la luce del pilastro]

Ingegnerizzo i valori minimi ricavati per ottenere le due dimensioni del pilastro = cm 25x45.

Non mi resta che calcolare:

• A_design =b*h
• I_design =(h*b³)/12
• I_max =(b*h³)/12

NOTA: Ricordiamo che, a differenza dei due casi precedenti, il pilastro in cls armato è sottoposto, oltre che a compressione, a presso-flessione, poiché il nodo trave-pilastro è realizzato da un incastro (il che trasmette momento); per evitare fenomeni di instabilità devo verificare che σ_max ​ sia minore o uguale a f_cd.

Per il calcolo della tensione massima devo ricavare i seguenti valori:

• W_max  = bh²/6  [modulo di resistenza a flessione per sezioni rettangolari]
• q_t    [carico sulla trave; combinazione allo SLU dei tre carichi moltiplicati per l’interasse delle travi principali]
• Mt =(q_t* l_p²)/12   [momento nell'estremo della trave, trasmesso da quest’ultima al pilastro]

A questo punto σ_max = N/A + M_t /W_max ≤ f_cd ? Sì, 16,81 ≤ 19,8

Il pilastro di dimensioni cm 25x45 risulta VERIFICATO!

La quarta esercitazione consiste nel dimensionamento della sezione di un pilastro, ipotizzandolo nelle tre diverse tecnologie: Legno, acciaio e calcestruzzo armato. Il pilastro che viene preso in considerazione, in un edificio di 4 piani, è sicuramente uno di quelli presenti al piano terra, poiché su di lui vengono trasmessi tutti i carichi dei piani superiori ed è quindi quello maggiormente sollecitato a sforzo normale ( compressione). 

Dalla pianta di carpenteria, il pilastro che viene maggiormente sollecitato è quello la cui area di influenza è di 24 mq. (L1= 4 m ; L2= 6 m)

LEGNO

parte 1 e 2 Nelle prime due parti del nuovo foglio excel, si inizia l’analisi calcolando l’area di influenza (mq) del pilastro, poi utilizzando i carichi dei solai dell’esercitazione 1 e 3 

http://design.rootiers.it/strutture/node/1685    -    http://design.rootiers.it/strutture/node/1785

posso calcolare lo sforzo normale N di compressione agente sul pilastro stesso (KN). 

step 1 calcolo il peso unitario della trave p e della trave s

trave= area della sezione (0,3 x 0,5) mq x peso specifico 5 KN/m3 = 0,75 KN/m

step 2 calcolo il carico dovuto al peso proprio delle travi

q trave= (trave p x L1 x 1,3) + (trave s x L2 x 1,3) = 9,75 KN

step 3 Inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio (carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali) e posso calcolare il valore complessivo del carico agente. 

q tot= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 205,49 KN

step 4 ora posso calcolare lo sforzo di compressione N

N= (q trave x q solaio) x n piani= 861 KN

 

parte 3 e 4 Le ultime due parti del foglio excel permettono di ricavare l’area minima che deve avere la sezione in modo tale che il materiale non arrivi a rottura (Amin) e poi di ricavare il momento di inerzia minimo di progetto (Imin)

step 5 inserisco tutte le caratteristiche del materiale: la resistenza a compressione (f_c0,k) 24MPa, il coefficiente della durata di carico k_mod  0,8 e il coefficiente parziale di sicurezza γ_m. 1,45

Posso quindi calcolare il valore della tensione ammissibile

f_c0d= f_c0,k x k_mod / γ_m. = 13,24 MPa

A min= 650,2 cm2

step 6 Sapendo che Il modulo di elasticità E = 8800 MPa, β =1 e l’altezza del pilastro è di 2,75 m, posso procedere con:

1. il calcolo del valore massimo di snellezza λ_{max =} 80,95
2. il valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 3,40 cm
3. calcolo la grandezza della base b min = 2 x rad3 x ρ_min = 11,77 cm, che ingegnerizzo scegliendo una b = 13 cm. 
4. calcola l’altezza minima h_min =   A_min / b = 50,02 cm —>  h= 51 cm

step 7 calcolo l’area di progetto della sezione A_design = b x h = 663 cm2

step 8 devo verificare che A_design > A_min   663 > 650,2  SEZIONE VERIFICATA

step 9 calcolo infine il momento d’inerzia di progetto I_design = h x b3 / 12 = 9337 cm4

 

ACCIAIO

parte 1 e 2 Nelle prime due parti del nuovo foglio excel, si inizia l’analisi calcolando l’area di influenza (mq) del pilastro, poi utilizzando i carichi dei solai dell’esercitazione 1 e 3. 

posso calcolare lo sforzo normale N di compressione agente sul pilastro stesso (KN). 

step 1 calcolo il peso unitario della trave p e della trave s

trave p = IPE 330 = 49,1 Kg/m = 0,49 KN/m

trave s = IPE 200 = 22,4 Kg/m = 0,224 KN/m

step 2 calcolo il carico dovuto al peso proprio delle travi

q trave= (trave p x L1 x 1,3) + (trave s x L2 x 1,3) = 4,30 KN

step 3 Inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio (carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali) e posso calcolare il valore complessivo del carico agente. 

q tot= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 208,78 KN

step 4 ora posso calcolare lo sforzo di compressione N

N= (q trave x q solaio) x n piani= 852 KN

parte 3 e 4 Le ultime due parti del foglio excel permettono di ricavare l’area minima che deve avere la sezione in modo tale che il materiale non arrivi a rottura (Amin) e poi di ricavare il momento di inerzia minimo di progetto (Imin)

step 5 inserisco tutte le caratteristiche del materiale: la tensione di snervamento (f_,yk) 275MPa e il coefficiente parziale di sicurezza γ_m. 1,05

Posso quindi calcolare il valore della tensione ammissibile

f_yd= f_c0,k / γ_m. = 261,90 MPa

A min= 32,5 cm2

step 6 Sapendo che Il modulo di elasticità E = 210000 N/mm2, β =1 e l’altezza del pilastro è di 2,75 m, posso procedere con:

1. il calcolo del valore massimo di snellezza λ_{max =} 88,96
2. il valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 3,09 cm
3. calcolo il momento di inerzia minimo   I_min= A x (ρ_min )^2 = 311 cm4

step 7 Posso ora ingegnerizzare la sezione scegliendo un profilo HEA con valori maggiori rispetto a quelli minimi. Scelgo un profilo HEA 160

step 8 devo verificare che A_design > A_min   38,8 > 32,5  SEZIONE VERIFICATA

step 9 calcolo infine il valore della snellezza  λ = 69,1

 

 

CALCESTRUZZO

parte 1 e 2 Nelle prime due parti del nuovo foglio excel, si inizia l’analisi calcolando l’area di influenza (mq) del pilastro, poi utilizzando i carichi dei solai dell’esercitazione 1 e 3 

posso calcolare lo sforzo normale N di compressione agente sul pilastro stesso (KN). 

step 1 calcolo il peso unitario della trave e della trave s

trave= area della sezione (0,3 x 0,4) mq x peso specifico 24 KN/m3 = 2,88 KN/m

step 2 calcolo il carico dovuto al peso proprio delle travi

q trave= (trave p x L1 x 1,3) + (trave s x L2 x 1,3) = 37,44 KN

step 3 Inserisco i valori dei carichi agenti sul solaio (carichi strutturali, carichi permanenti e carichi accidentali) e posso calcolare il valore complessivo del carico agente. 

q tot= (1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x A = 262,9 KN

step 4 ora posso calcolare lo sforzo di compressione N

N= (q trave x q solaio) x n piani= 1201 KN

parte 3 e 4 Le ultime due parti del foglio excel permettono di ricavare l’area minima che deve avere la sezione in modo tale che il materiale non arrivi a rottura (Amin) e poi di ricavare il momento di inerzia minimo di progetto (Imin)

step 5 inserisco la tensione di snervamento (f_ck) 40 MPa 

(f_cd) 22,7 MPa, l’area minima Amin =530 cm2 e min = 23 cm

step 6 Sapendo che Il modulo di elasticità E = 210000 MPa, β =1 e l’altezza del pilastro è di 2,75 m, posso procedere con:

1. il calcolo del valore massimo di snellezza λ_{max =} 95,62
2. il valore minimo del raggio di inerzia ρ_min = 2,88 cm
3. calcolo la grandezza della base b min = 2 x rad3 x ρ_min = 9,96 cm, che ingegnerizzo scegliendo una b = 30 cm. 
4. calcola l’altezza minima h_min =   A_min / b = 17,67 cm —>  h= 40 cm

step 7 devo verificare che A_design > A_min   1200 > 530  AREA VERIFICATA

step 8 sapendo che:

- I_design= h x b^3 /12 = 90000 cm4

• I_max = b x h^3 /12 = 160000 cm4
• W_max =(modulo di resistenza a flessione) = b x h^2 / 6= 8000 cm3
• carico distribuito sulla trave q =(1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa) x L2 = 65,72 KN/m
• momento nell’estremo della trave M= q x L1^2 /12 = 87,63 KNm

step 9 calcolo la tensione massima

σ_max = 20,97 MPa

step 10 σ_max < f_cd     20,97 < 22,7  TENSIONE VERIFICATA

Dimensionamento di massima di un pilastro di un edificio nelle tre tecnologie (legno, acciaio, cemento armato)

L’ obiettivo della quarta esercitazione è quello dimensionare la sezione di un pilastro nelle tre tecnologie, Legno, Acciaio e Cemento armato.

VERIFICA

Ho bisogno di fare alcune considerazioni in quanto prendo come modello fisco matematico di un pilastro un asta soggetta a sforzo normale di compressione centrato: i carichi compiendo continuamente LAVORO (che è la Forza per lo spostamento del punto di applicazione per la direzione dello spostamento) e comprimendo dunque l’asta possono provocare due crisi, la rottura del materiale (1) e due fenomeni detti fenomeni di instabilità euleriana quali la flesso-torsione e il carico di punta (2).

In figura Δl₁<Δl₂ perché abbiamo disegnato un’asta snella la cui rigidezza assiale è molto superiore a quella flessionale. In tal caso anche L₁<L₂ e dunque più l’asta è snella e più ci sarà possibilità che il fenomeno di instabilità si inneschi. La forza di compressione che che porta ad innescare il carico di porta è uguale a :

Ncrit_E = ∏²EI_min / l₀²    in cui

E= è il modulo di elasticità del materiale

I_min= è il momento di inerzia minimo della sezione, cioè la sua resistenza I_min= A x ρ²_min

ρ_min = è il raggio di inerzia minimo cioè come è distribuita l’area rispetto il suo asse baricentrico

l₀ = è la luce libera di inflessione, ossia la distanza tra due flessi l₀= β x l e dipende dalla luce dell’asta

l=lunghezza asta

β= coefficiente adimensionale che riflette l’influenza dei vincoli, cioè cambia a secondo il modo in cui il      pilastro è agganciato alla trave.

Per poter procedere al dimensionamento del mio pilastro devo verificare entrambe i fenomeni 1 e 2 dunque controllo che la tensione σ = N /A sia

1-    σ ≤ fcd

2-    σ ≤ σ_crit                 

 σ_crit = N_crit /A= ∏²EI_min / l₀² A , divide per A e ho che N_CRIT = ∏²EI_min / l₀²  = ∏²EAρ_min/l₀²  

So che la snellezza λ= ρ_min / l₀ quindi sostituisco λ nell’equazione :

N_CRIT = ∏²EA/ λ²   Deduco dunque che un asta più ha il valore della snellezza elevato minire è il carico critico.

Invece la tensione critica σ_crit= N_crit /A= ∏²E/ λ²  

PROGETTO

Quando un asta è compressa come in questo caso abbiamo bisogno di un AREA e di un MOMENTO DI INERZIA minimo della sezione medesima. Area e momento di inerzia sono variabili che NON dipendono tra loro.

L’ Area della sezione me la ricavo uguagliando la tensione massima sulle sezioni (che ho messo in relazione con la tensione critica ricavata precedentemente σ_max = σ_crit )  σ_crit alla resistenza di progetto a compressione del materiale preso in esame fcd .Quest’area è da intendersi come il minimo valore che deve avere l’area della sezione per evitare lo schiacciamento del materiale.

σ_crit = fcd                 N_crit /A = fcd        A_min = N_crit / fcd

uguagliando il la tensione critica con la resistenza di progetto ho effettuato una operazione DANNOSA poiché ho detto che io voglio che quando la tensione è tale da raggiungere la rottura del materiale contemporaneamente va in carico di punta.

Quindi dovrò cambiare la relazione tra questi due fattori:

se fcd  > σ_crit il pilastro andrebbe in carico di punta e successivamente si romperebbe per schiacciamento del materiale; questa scelta progettuale potrebbe venire intrapresa solo quando si ha conoscenza di quanto accade nella fase post-critica del fenomeno di instabili ma nel nostro caso non la sapremmo gestire.

se fcd  < σ_crit  il materiale si rompe prima che il profilo ha il tempi di andare in carico di punta; questa relazione la PREFERIAMO alle due precedenti dal momento che sappiamo controllarla.

Quindi sostituisco : fcd   <  ∏²E/ λ²  , metto in evidenza la snellezza λ² < ∏²E / fcd   

λ _max = ∏ √E/fcd

λ _max è la massima snellezza possibile che la trave compressa deve avere affinchè l’instabilità non si inneschi prima dello schiacciamento.

Da questo valore di λ _max possiamo ottenere una indicazione sul valore minimo del raggio di inerzia minimo che la sezione deve avere.  Ricordando che  la snellezza è uguale a λ= ρ_min / l_0,

ρ_min= l_{0 /}λ _max  una volta travato ρ_min sappiamo anche che I_min= A ρ_min² quindi da qui mi ricavo

ρ_min²= I_min/A dunque ρ_min=√I_min/A

Da quest’ultima equazione posso ricavare un importante dato che mi serve per calcolare l’Area minima quale la base:

ρ_min=√1/12hb²/hb     −›   ρ_min=√b²/12         −›   ρ_min=b/√12         −›  b_min= ρ_min 2√3

infine troverò h_min=b/A e ingenierizzo il tutto.

DIMENSIONAMENTO E INGENIERIZZAZIONE PILASTRO

Con l’ausilio di un foglio Excel vado ora a dimensionarmi la sezione del pilastro ed a ingenierizzarla  conoscendo ora come trovare l’area minima e il momento di inerzia che mi servivano per dimensionare questo elemento strutturale soggetto a compressione nelle tre diverse tecnologie.

Disegno una pianta di carpenteria, individuo il pilastro più sollecitato che sarà quello centrale e inquadro la sua area di influenza. Considero quindi la pianta di carpenteria del piano terra, poiché è quello più compressa dovendo supportare i carichi dei piani superiori, di un edificio tipo di 4 piani.

NB: Alcuni dei dati che andrò a mettere nel foglio Excel saranno presi dalle esercitazioni precedenti pubblicate sul mio blog come ad esempio i carichi strutturali come anche la stratigrafia dei solai delle tre tecnologie prese in considerazione.

LEGNO

Per poter compilare il mio foglio di lavoro Excel e trovare come fine ultimo la dimensione della sezione del pilastro ho bisogno di alcuni dati, che andrò ad inserire in 4 step.

1 AREA DI INFLUENZA

In cui L₁ e L₂  sono le due luci della pianta

2 SFORZO NORMALE DI COMPRESSIONE N

Per trovare N vado a prendere alcuni dati dai miei esercizi precedenti e mi trovo il carico dovuto al peso proprio delle travi qtrave che si calcola area di sezione x peso specifico del materiale x lunghezza della trave nell’area di influenza del  pilastro x il numero delle travi che confluiscono nel nodo.

Trave principale = (0.35 x 0.55)m² x 4.10 KN/m³ =0.79 KN/m

Trave secondaria= (0.35 x 0.55)m² x 4.10 KN/m³=0.79 KN/m

Qtrave=(0.79x7)x1.3 + (0.79x5) x1.3 = 12.32 KN

Carichi strutturali qs = 0.42KN/m²

Carichi permanenti qp= 2.83 KN/m²

Carichi accidentali qa= 2 KN/m²

Qsolaio: calcolo il carico dovuto al solaio allo SLU (stato limite ultimo) sommo i 3 carichi qs, qp e qa moltiplicandoli per i coefficienti di sicurezza e tutto moltiplicato per l’area di influenza

Qsolaio = (0.42x1.3 + 2.83x1.5 + 2x1.5) x 35 = 272.69 KN

Numero piani= 4

N= la forza di compressione N è dovuto al carico delle travi più il carico del solaio per il numero di piani.                   

N= (12.32 + 272.69) x 4 = 1140 KN

3 AREA MINIMA NECESSARIA

Avendo trovato il valore dello sforzo normale di compressione posso trovare ora l’area minima affinchè il materiale non entri in crisi.

Ho scelto un legno lamellare incollato GL28h il mio coefficiente parziale di sicurezza γm=1.45.                      

Kmod: è un coefficiente che riduce i valori della resistenza  che tiene conto della durata del carico e delle condizioni di umidità  e cambia a seconda del materiale prescelto , nel mio caso: classe di servizio 2, classe di durata del carico media =0.80. F_c0,k è la resistenza a flessione caratteristica del legno = 28 Mpa

Con questi coefficienti mi ricavo la tensione ammissibile di progetto a compressione:                                                        F_c0d= K_mod x F_c0,k / γm =  15.45 MPa

A_min= N/ F_c0d=738 cm²

4 RAGGIO DI INERZIA MINIMO AREA DI DESIGN E INERZIA DI DESIGN

Grazie al raggio di inerzia minima e al fatto che la sezione del pilastro è rettangolare e piena posso trovarmi la base minima della sezione del pilastro.

E= modulo di elasticità 8800Mpa

β = 1 il pilastro è vincolato a terra tramite un incastro e nel nodo trave pilastro tramite una cerniera/carrello

l= altezza del pilastro 3.5m

Con le formule che abbiamo dimostrato prima il foglio di Excel mi calcola:                                                      λ _max = ∏ √E/fcd                 ρ_min= l_{0 /}λ _max            

b_min= ρ_min 2√3=16.18cm ingenierizzo a b=30cm

h_min=b/A_min =24.60 cm ingenierizzo a h=50cm

Una volta che ho base e altezza ingenierizzate della sezione del pilastro trovo l’area di design e il momento di inerzia di design

A_design= bxh = 1500 cm²          I_design= hxb³/12 =112500cm⁴

La sezione del pilastro più sollecitato è di 30cmx50cm ed è VERIFICATA avendo A_design>A_min ed essendo h>b!

 

CEMENTO ARMATO

Per dimensionare la sezione del pilastro in cemento armato procedo come fatto per il legno dal momento che entrambe hanno sezione piena rettangolare dunque posso trovare la base minima della sezione tramite il raggio di inerzia e secondo perché nonostante siano composti da due materiali, (in entrambe gli elementi strutturali c’è dell’acciaio) li tratto come materiali omogenei essendo molto reagenti a compressione. Unica differenza, nel C.A. ci sarà un quinto step che tiene conto del fatto che il pilastro in cemento armato è soggetto a presso-flessione e non a solo sforzo di compressione.

1 AREA DI INFLUENZA

In cui L₁ e L₂  sono le due luci della pianta

2 SFORZO NORMALE DI COMPRESSIONE N

Per trovare N vado a prendere alcuni dati dai miei esercizi precedenti e mi trovo il carico dovuto al peso proprio delle travi qtrave che si calcola area di sezione x peso specifico del materiale x lunghezza della trave nell’area di influenza del  pilastro x il numero delle travi che confluiscono nel nodo.

Trave principale = (0.30 x 0.50)m² x 22 KN/m³ =3.3 KN/m

Trave secondaria= (0.30 x 0.50)m² x 22 KN/m³=3.3 KN/m

Qtrave=(3.3x7)x1.3 + (3.3x5) x1.3 = 51.48 KN

Carichi strutturali qs = 2.25KN/m²

Carichi permanenti qp= 2.89 KN/m²

Carichi accidentali qa= 2 KN/m²

Qsolaio: calcolo il carico dovuto al solaio allo SLU (stato limite ultimo) sommo i 3 carichi qs, qp e qa moltiplicandoli per i coefficienti di sicurezza e tutto moltiplicato per l’area di influenza  Qsolaio = (2.25x1.3 + 2.89x1.5 + 2x1.5) x 35 = 359.10 KN

Numero piani= 4

N= la forza di compressione N è dovuto al carico delle travi Qtrave più il carico del solaio Qsolaio per il numero di piani.                                                           

N= (54.48 + 359.10) x 4 = 1642 KN

3 AREA MINIMA NECESSARIA

Avendo trovato il valore dello sforzo normale di compressione posso trovare ora l’area minima affinchè il materiale non entri in crisi.

fck è la resistenza caratteristica a compressione del calcestruzzo data dal tipo di cls scelto in questo caso 50 N/mm². α_cc è un coefficiente riduttivo pari a 0.85 e γc è il coefficiente di sicurezza per il cls pari a 1.5 .

Con questi coefficienti mi ricavo la tensione ammissibile di progetto a compressione :                                                       F_cd= α_cc (fck/ γc) = 0.85(50/1.5)= 28.03 MPa

A_min= N/ F_cd=579.6 cm² avendo ipotizzato una sezione quadrata per il pilastro mi posso trovare intanto un ipotetica  b_min= √ A_min=24.1 cm

4 RAGGIO DI INERZIA MINIMO AREA DI DESIGN E INERZIA DI DESIGN

Grazie al raggio di inerzia minima e al fatto che la sezione del pilastro è rettangolare e piena posso trovarmi la base minima della sezione del pilastro.

E= modulo di elasticità 21000Mpa

β = 1 il pilastro è vincolato a terra tramite un incastro e nel nodo trave pilastro tramite sempre un incastro.

l= altezza del pilastro 3.5m

Con le formule che abbiamo dimostrato prima il foglio di Excel mi calcola:                                            λ _max = ∏ √E/fcd                 ρ_min= l_{0 /}λ _max           

 b_min= ρ_min 2√3=14.18cm ingenierizzo a      b=50cm

h_min=b/A_min =16.56 cm ingenierizzo a h=50cm

Una volta che ho base e altezza ingenierizzate della sezione del pilastro trovo l’area di design e il momento di inerzia di design

A_design= bxh = 2500 cm²          I_design= hxb³/12 =520833cm⁴

La sezione del pilastro più sollecitato è di 50cmx50cm ed è VERIFICATA avendo A_design>A_min ed essendo h≥b!

5 VERIFICA A PRESSO-FLESSIONE

Il pilastro essendo collegato alla trave con un incastro, in quel nodo trasmette un momento il quale potrebbe sottoporre il pilastro alla presso-flessione.

Per far si chè il pilastro non sia soggetto a presso flessione la tensione massima deve essere minore uguale alla tensione di progetto σ_max ≤ fcd

- mi calcolo l’inerzia massima I_max= hxb³/12 =520833cm⁴

- calcolo il modulo di resistenza a flessione per le sezioni rettangolari

W_max= bxh²/6=20833.33 cm³

- calcolo il carico distribuito sulla trave  qt= qsolaio x L_s =51.30 KN/m

- calcolo il momento in testa al pilastro che è collegato alla trave

M_t= qt x L₁² /12 = 209.48 KNxm

- infine trovo la tensione massima la quale deve essere minore di quella di progetto:

σ_max=(N/A) +(M_t/W_max) x 1000 =16.62 Mpa

VERIFICATA  σ_max ≤ fcd    16.62 < 28.3 Mpa

ACCIAIO

Per dimensionare un pilastro in acciaio con una sezione HEA si procede inizialmente come per il legno e per il c.a. in questo caso però non ho necessità di ricavarmi la base ma una volta trovato il raggio di inerzia mi calcolo l’inerzia minima e  dopo di che posso andare sulle tabelle dei profilati e scegliere quello che ha l’inerzia maggiore di quella da me ottenuta.

1 AREA DI INFLUENZA

In cui L₁ e L₂  sono le due luci della pianta

2 SFORZO NORMALE DI COMPRESSIONE N

Per trovare N vado a prendere alcuni dati dai miei esercizi precedenti e mi trovo il carico dovuto al peso proprio delle travi qtrave che si calcola area di sezione x peso specifico del materiale x lunghezza della trave nell’area di influenza del  pilastro x il numero delle travi che confluiscono nel nodo.

La trave che avevo dimensionato nell’esercitazione precedente è un IPE 360  e nella tabella ho preso il suo peso proprio che è uguale a  57,1 kg/m che trasformo in KN/m dividendo per 100   

Trave principale = 0.57 KN/m

Trave secondaria= 0.57 KN/m

Qtrave=(0.57x7)x1.3 + (0.57x5) x1.3 = 8.89 KN

Carichi strutturali qs = 1.87 KN/m²

Carichi permanenti qp= 2.50 KN/m²

Carichi accidentali qa= 2 KN/m²

Qsolaio: calcolo il carico dovuto al solaio allo SLU (stato limite ultimo) sommo i 3 carichi qs, qp e qa moltiplicandoli per i coefficienti di sicurezza e tutto moltiplicato per l’area di influenza Qsolaio = (1.87x1.3 + 2.50x1.5 + 2x1.5) x 35 = 321.34 KN

Numero piani= 4

N= la forza di compressione N è dovuto al carico delle travi Qtrave più il carico del solaio Qsolaio per il numero di piani.                                                           

N= (8.89 + 321.34) x 4 = 1321 KN

3 AREA MINIMA NECESSARIA

Avendo trovato il valore dello sforzo normale di compressione posso trovare ora l’area minima affinchè il materiale non entri in crisi.

fyK è valore caratteristico di snervamento per l’acciaio che mi individua la classe di resistenza del materiale , in questo caso scelgo un acciaio medio (classe Fe430/s275) di resistenza 275 Nmm².

 γ_m coefficienti di sicurezza per la resistenza delle membrature e la stabilità pari a 1.05 .

Con questi coefficienti mi ricavo la tensione ammissibile di progetto a compressione:                              Fyd= fyk/ γ_m = 275/1.05)= 261.90 MPa

A_min= N/ Fyd=50.4 cm²

4 RAGGIO DI INERZIA MINIMO AREA DI DESIGN E INERZIA DI DESIGN

Trovo l’ Inerzia minima per poter cercare il mio profilato sulla tabella non prima di aver trovato dei valori importanti quali la snellezza e il raggio di inerzia.

E= modulo di elasticità 21000Mpa

β = 1 il pilastro è incernierato sia a terra che nel nodo trave pilastro.

l= altezza del pilastro 3.5m

Con le formule che abbiamo dimostrato prima il foglio di Excel mi calcola:                       

λ _max = ∏ √E/fcd                 ρ_min= l_{0 /}λ _max            I_min= A x ρ_min²=3123 cm⁴

Una volta che ho l’inerzia minima vado sulle tabelle dei profilati HEA e scelgo il profilato che abbia un Inerzia maggiore dell’ inerzia minima.

 Una volta scelto il profilato ho  l’area di design e il momento di inerzia di design.

A_design= 53.8 cm²          I_desig=3692cm⁴       ρ_design=8.28 cm

Il profilato adatto per il pilastro è un HEA 200 VERIFICATO avendo A_design>A_min 

 

 

 

 

Obiettivo della quarta esercitazione è il dimensionamento della sezione di un pilastro, avvelandosi sempre di un foglio di calcolo elettronico Excel con tre tecnologie diverse:

- Legno
- Acciaio
- Cemento armato;

Il pilastro più sollecitato sarà sicuramente uno di quelli presenti al piano terreno, sui quali vengono trasmessi tutti i carichi dei piani superiori. Considero quindi, la pianta di carpenteria di questo piano di un edificio tipo di 3 piani:

Considero le aree di influenza ed il pilastro centrale risulta il più sollecitato:

PILASTRO IN LEGNO

La prima tecnologia che andremo ad analizzare è quella del legno. Il foglio Excel può essere diviso in 4 parti: le prime due danno informazioni realtive all'area di influenza (m²) del pilastro e lo sforzo Normale (KN) agento sul pilastro stesso:

I dati relativi ai carichi delle travi, del qs,qp e qa del solaio sono stati ripresi dalla prima esercitazione (http://design.rootiers.it/strutture/node/1681)
Le ultime due parti riguardano invece l'area minima che deve avere la sezione in modo tale che il materiale non arrivi a rottura (A_min) ed il Momento di Inerzia minima di progetto (I_min)

Si inseriscono tutte le caratteristiche del materiale, fra cui la resistenza a compressione (f_c0,k), la k_mod e la γ_m. Passo successivo è l'ingegnerizzazione della b_min e della h_min. In questo caso il pilastro ottenuto è 25x50cm, la cui area è pari a
A_design 1250cm²> 1069,30 A_min.

PILASTRO IN ACCIAIO

La prima parte del foglio Excel è uguale per le tre tecnologie. Questa richiede informazioni geometriche della pianta di carpenteria ed i valori relativi ai carichi delle travi e del solaio della data tecnologia (valori ripresi dalla prima esercitazione svolta sul mio blog):

Per dimensionare la sezione del pilastro in acciao è richiesto il Momento di Inerzia minimo, valore che si ricava avendo il raggio minimo di inerzia: I_min= A ro²_min 
La scelta del profilato sarà condizionat infatti da tre valori limiti:
- A_min = 70,9 cm²
- ro_min = 6,07 cm
- I_min = 2611 cm4

Ulteriore verifica da controllare riguarda il valore di snellezza max che non si deve superare:
- λ = 88,96

Per soddisfare tutti questi prerequisiti la scelta del profilato è indirizzata verso una HEA 240

PILASTRO IN CEMENTO ARMATO
Nel foglio di calcolo relativo a quest'ultima tecnologia oltre alle precedenti colonne è necessario aggiungere un'altra parte, che tiene conto del fatto che il pilastro in cemento armato è soggetto a pressoflessione e non solo a sforzo di compressione. Ciò è dovuto alla presenza del telaio, che risolve il nodo trave pilastro non con la cerniera e si ha quindi il passaggio del momento. Per compilare la prima parte del foglio elettronico ho usato i valori relativi alla prima esercitazione del mio blog (http://design.rootiers.it/strutture/node/1681):

Dopo aver inserito i valori tipici del materiale (f_ck e E) e quelli relativi alla lunghezza libera di inflessione (beta ed L); ottengo dei valori limite che devo considerare tali per il dimensionamento del pilastro:
- A_min = 908,5 cm^2
- b_min = 30,1 cm

Procediamo per tentativi nel dimensionamento del pilastro. La sezione riuslta confermata con 40x60cm. Questo perchè un'ultima verifica di cui bisogna tener conto è quella della pressoflessione, in cui bisogna imporre  σ_max < f_cd e ricordiamoci che 
 σ_max = N/A + M_t/W_max
N è un valore che abbiamo già ottenuto nella prima parte del foglio elettronico. Mentre il valore del momento in testa al pilastro è calcolato come ql²/12.
W_max per sezioni rettangolari è pari a bh²/6. Di conseguenza la sezione 40x60cm conferma la verifica:  σ_max = N/A + M_t/W_max  <  f_cd