Blog

Dopo aver definito la pianta tipo di un impalcato strutturale, prendo in analisi la trave sottoposta a maggior carico: la trave A-B lungo l'allineamento 2.
Metto in evidenza l'area di influenza, ovvero la porzione di solaio, portata da questa trave.

La luce della trave in questione è di 7,3 m mentre l'interasse misura 4,3 m. Ricavo un'area d'influenza pari a 31.39 mq

Per dimensionare la trave, occorre una accurata analisi dei carichi che gravano su di essa. Questi si dividono in:

• Carichi strutturali (Qs): peso proprio di tutti gli elementi strutturali
• Carichi non strutturali permanenti (Qp): peso di tutti quegli elementi non strutturali (pacchetto solaio, intonaco, tramezzi, etc.) che gravano sulla struttura dall'inizio fino alla fine della sua esistenza.
• Carichi accidentali (Qa): carichi che possono esserci o meno nel corso del tempo, la cui natura varia dalla funzione dell'edificio (mobili, persone, etc.)
   

---

ACCIAIO

In questo caso di studio, prendo in considerazione una struttura in acciaio con un solaio in lamiera grecata scegliendo come destinazione d'uso dell'edificio quella di "rimessa/parcheggio".

A questo punto, prima di dimensionare la trave, si rende necessario procedere al dimensionamento dell'orditura secondaria della struttura in acciaio. Occore dimensionare insomma il peso dei singoli travetti: questo poichè il loro peso va ad influire sul carico strutturale (Qs).

Dimensionamento del travetto di luce 4,3m:

Ipotizzo un passo dei travetti di 1m. Analizziamo i carichi sopracitati, che gravano sui travetti:

• Qs: 2.50KN/mq
  Lamiera grecata A75 P570 + soletta CLS (sp.15cm) : 2,50 KN/mq
  
• Qp: 0.075+0.72+0.0325+1.5= 2.3KN/mq

  ·         Isolante acustico= 0.075 Kn/mq
  ·         Massetto: 24 KN/mq x 0.03 m= 0.72 KN/mq
  ·         Pavimento in Linoleum: spessore 0.0025m, peso specifico: 1300 Kg/mc: (0.0025x1x1)x13= 0.0325 Kn/mq
  ·         Tramezzi e impianti=1.5 KN/mq

• Qa: Rimesse e parcheggi da normativa 2,5 KN/mq

Attraverso il foglio elettronico calcolo le dimensioni del travetto, inserendo i valori dei carichi ottenuti. Scelgo di utilizzare un acciaio Fe430/S275, inserisco quindi il suo valore caratteristico a snervamento fy,k che equivale (come indicato dalla sigla) a 275 N/mm².

interasse (m)	qs(KN/m2)	qp(KN/m2)	qa(KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)	fy,k (N/mm2)	sigam (N/mm2)	Wx (cm3)
1	2,5	2,3	2,50	7,3	4,3	16,87213	275	239,13	70,56

Ottengo un modulo di resistenza Wx=70,56 cm³. Scelgo quindi una IPE 140 con Wx=77,3cm³

La IPE scelta ha un peso 12,9 Kg/m; per ripartire il peso su metro quadro, lo divido per l'interasse, ovvero 1 m. Il peso a metro quadro è quindi 0,129 KN/mq.
Questo carico, deve essere sommato al carico strutturale Qs per verificare che il travetto riesca a sostenere il proprio peso oltre che i carichi esterni.

interasse (m)	qs(KN/m2)	qp(KN/m2)	qa*ɣa(KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)	fy,k (N/mm2)	sigam (N/mm2)	Wx (cm3)
1	2,63	2,3	2,50	7,43	4,3	17,17259	275	239,13	71,81

Sostituendo il valore su excel il modulo di resistenza sale a Wx=71,81cm³. Il dimensionamento del travetto è quindi corretto!

Ora si può procedere al dimensionamento della trave, seguendo lo stesso procedimento svolto per il dimensionamento del travetto:

Luce [l]: 7.3 m
Interasse [i]: 4.3 m
Area d’influenza: 31.39 mq

• Qs: 2.63 KN/mq
  Travetto IPE 140 12,9Kg/m -> 0,129KN/mq
  Lamiera grecata A75 P570 + soletta CLS (sp.15cm) : 2,50 KN/mq
• Qp: 2.3 KN/mq

• Qa: 2,5 KN/mq

Inserisco i valori ottenuti nel foglio excel.

interasse (m)	qs(KN/m2)	qp(KN/m2)	qa(KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)	fy,k (N/mm2)	sigam (N/mm2)	Wx (cm3)
4,3	2,63	2,3	2,50	31,519	7,3	209,9559	275	239,13	889,98

Come fatto in precedenza per il dimensionamento del travetto, cerco nella tabella delle IPE un profilo con modulo di resistenza Wx maggiore di quello ottenuto su excel: 878 cm³.
Scelgo per sicurezza una IPE 400 con Wx=1160 cm³.

Ora verifico l'efficenza della struttura, inserendo nei pesi propri strutturali anche il peso della trave scelta.

Peso IPE 400: 66,3 Kg/m ->0,66KN/m
Peso al mq: 0,66KN/m/4,3m (interasse)=0,153 KN/mq
Qs: (2.63+0.153)= 2,78 KN/mq

interasse (m)	qs (KN/m2)	qp (KN/m2)	qa (KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)	fy,k (N/mm2)	sigam (N/mm2)	Wx (cm3)
4,3	2,78	2,3	2,50	32,0479	7,3	213,4791	275	239,13	907,94

Il dimensionamento della trave risulta corretto!
 

---

LEGNO

Risulta ora interessante provare a dimensionare per lo stesso impalcato, la trave e di conseguenza i travetti, di una struttura lignea.

Come mostrerò in seguito per fare ciò, cambio in alcuni suoi strati, il pacchetto del solaio. 

Dimensionamento travetto:

Anche in questo caso ipotizzo un passo dei travetti di 1m. Procedo quindi all'analisi dei carichi:

• Qs: 0.18 KN/mq
  tavolato in legno s: 0.03m peso 6 KN/mq 0.03x1x7= 0.18 KN/mq
   
• Qp: 0.8+0.075+0.72+0.0325+1.5= 3.1 KN/mq
  ·         Gettata di cls: peso specifico 20KN/mc s: 0.04 m= 0.8 KN/mq

  ·         Isolante acustico: 0.075 Kn/mq
  ·         Massetto: 24 KN/mq x 0.03 m: 0.72 KN/mq
  ·         Pavimento in Linoleum:
            s: 0.0025m, peso specifico: 1300 Kg/mc: (0.0025x1x1)x13= 0.0325 Kn/mq
  ·         Tramezzi e impianti: 1.5 KN/mq

• Qa: Rimesse e parcheggi da normativa 2,5 KN/mq

 

Apro il foglio excel e sulla cartella "legno" inserisco: i valori dei carichi appena trovati, l'interasse e luce del travetto, infine ipotizzo le caratteristiche del travetto.
Scelgo un legno lamellare GL 24h e quindi inserisco i valori richiesti dal foglio elettronico.
Innanzi tutto trascrivo il valore di resistenza a flessione del legno lamellare scelto: fm,k=24 N/mmq
Poi scelgo un Kmod con valore 0.60, riferito alla classe di servizio 1 (legata a una condizione termoigrometrica normale) e alla durata del carico, in questo caso, permanente.

Ora devo decidere la sezione del travetto!

Il foglio excel richiede di inserire la lunghezza della base della sezione e fornisce automaticamente l'altezza rispettiva, basandosi sul momento flettente, la sigma ammissibilefornitigli in precedenza.
Decido una base di 15 cm, da cui ottengo una altezza di 23,20 cm.

interasse (m)	qs (KN/m2)	qp (KN/m2)	qa (KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)	fm,k (N/mm2)	kmod	sigam (N/mm2)	b (cm)	h (cm)
1	0,18	3,1	2,50	5,78	4,3	13,35903	24	0,6	9,93	15	23,20

A questo punto, sapendo che in via generale le sezioni vengono prodotte con altezze che variano di 5 cm fra loro, ipotizzo che il travetto abbia le seguenti dimensioni: b=15cm h=25cm.

Verifico che il dimensionamento sia corretto, calcolando il peso del travetto e inserendolo (come già fatto per la struttura in acciaio) nel carico strutturale.
Trovo il peso specifico sulla tabella della normativa UNI EN 1194 (immagine inserita in precedenza):
peso specifico GL24h -> 380Kg/mc  quindi il peso del travetto è 0,15x0,25x4,3x3,8 KN/mc=0, 61KN
Ora calcolo il peso del travetto distribuito su metro quadro 0,61/4,3/1=0,14 KN/mq e sommo il valore al Qs trovato in precedenza.
Qs=0.32KN/mq

interasse (m)	qs (KN/m2)	qp (KN/m2)	qa (KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)	fm,k (N/mm2)	kmod	sigam (N/mm2)	b (cm)	h (cm)
1	0,32	3,1	2,50	5,91	4,3	13,65949	24	0,6	9,93	15	23,48

 

Inserendo il nuovo Qs nel foglio excel, l’altezza della trave risulta di 23,48cm, quindi minore di quella ipotizzata, ciò significa che il travetto è verificato!

Posso procedere ora al dimensionamento della trave.

Luce [l]: 7.3 m
Interasse [i]: 4.3 m
Area d’influenza: 31.39 mq

• Qs: 0.31 KN/mq
• Qp: 3.1 KN/mq

• Qa: 2,5 KN/mq

Inserisco i valori di luce, interasse e carichi, nel foglio excel.
Per la trave in questo caso, scelgo un legno lamellare GL32c, inserisco quindi i valori fm,k=32 N/mmq e Kmod 0,60.

Ora decido le dimensioni della sezione della trave.
Scelgo di avere una base di 30cm, da cui ottengo in automatico una altezza di 50,57cm.

interasse (m)	qs (KN/m2)	qp (KN/m2)	qa (KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)	fm,k (N/mm2)	kmod	sigam (N/mm2)	b (cm)	h (cm)
4,3	0,31	3,1	2,50	25,413	7,3	169,2823	32	0,6	13,24	30	50,57

Decido quindi che la trave avrà una sezione con b=30cm e h=55cm.
Vado a verificare che la sezione funzioni, cioè (come fatto in precedenza) sostenga sia il proprio peso che il peso dei carichi.
Trovo il peso specifico del GL32c sulla normativa: 410Kg/mc
Calcolo il peso della trave: 0,3x0,5x7,3x4,1=4,49 KN e lo ottengo al metro quadro 5,4/7,3/4,3=0,15 KN/mq
Sommo il valore al carico strutturale e ottengo Qs= 0.46 KN/mq

Inserisco il valore su excel:

interasse (m)	qs (KN/m2)	qp (KN/m2)	qa (KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)	fm,k (N/mm2)	kmod	sigam (N/mm2)	b (cm)	h (cm)
4,3	0,46	3,1	2,50	26,058	7,3	173,5789	32	0,6	13,24	30	51,20

L'altezza ottenuta è di 51,20 cm, quindi rientra nell'altezza ipotizzata in precedenza. Il dimensionamento della trave risulta corretto!

---

CLS

Non pago, mi accingo ora a dimensionare la struttura dello stesso impalcato, utilizzando come materiale il calcestruzzo armato.

Procedo al dimensionamento della trave:

Luce 7.3m
Interasse 4.3m

Innanzi tutto decido l’altezza che deve avere il solaio in laterocemento.

Da normativa, so che un solaio monodirezionale deve avere spessore non minore a 1/25 della luce (in ogni caso deve essere spesso non meno di 12 cm). Dovendo coprire una luce di 4,3 calcolo che 430cm/25=17,2cm sarà lo spessore minimo del solaio.
Decido di avere un solaio di 20cm di altezza; quindi cerco in rete un solaio in produzione, con questo spessore.
Scelgo un solaio LATER-PAN^® della ditta “Giuliane solai”.

Procedo quindi all'analisi dei carichi:

• Qs:2.82 KN/mq
  Solaio LATER-PAN^® h=20cm, di cui: h pignatte=16 cm; h soletta=4cm
   
• Qp: 0.2+0.075+0.72+0.0325+1.5= 2.53 KN/mq

  ·         Intonaco: spessore 2 cm, peso specifico 10KN/mc--> 0.02x10=0.2 KN/m²

  ·         Isolante acustico: 0.075 Kn/mq
  ·         Massetto: 24 KN/mq x 0.03 m: 0.72 KN/mq
  ·         Pavimento in Linoleum:
            s: 0.0025m, peso specifico: 1300 Kg/mc: (0.0025x1x1)x13= 0.0325 Kn/mq
  ·         Tramezzi e impianti: 1.5 KN/mq

• Qa: 2,5 KN/mq

Una volta inseriti su excel, i valori di interasse, luce della trave e carichi, devo scegliere il tipo di armatura che avrà la trave e la classe di resistenza del cls di cui sarà composta.

Scelgo un acciaio B450C da normativa per zona sismica. Inserisco quindi il valore di limite a snervamento fy che equivale a 450N/mm².

Ora scelgo la classe di resistenza del cls: decido di usare un C32/40, quindi inserisco in excel un Rck=40 N/mm2 (resistenza cubica).

In fine arriva il momento di decidere le dimensioni della sezione della trave.
Ipotizzo che abbia una base b=30 cm ed un copriferro delta=5 cm. Inserisco i due valori rispettivamente nelle colonne “b (cm)” e “delta (cm)”.
Ottengo così in automatico l’altezza utile “h” di 41,03 cm e l’altezza totale della trave “H” di 46,03 cm.

interasse (m)	qs (KN/m2)	qp (KN/m2)	qa (KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)	fy (N/mm2)	sig_fa (N/mm2)	Rck (N/mm2)	sig_ca (N/mm2)	alfa	r
4,3	2,82	2,53	2,50	33,755	7,3	224,8505	450	391,30	40	22,67	0,46	2,26

b (cm)	h (cm)	delta (cm)	H (cm)	H/l	area (m2)	peso (KN/m)
30	41,03	5	46,03	0,063	0,14	3,45

 

 

Sapendo che le travi standard in cls, hanno sezioni che crescono di 5 cm in 5 cm, ipotizzo che la trave che sto dimensionando, abbia una altezza “H”=50 cm (e b=30cm)

Per verificare che la struttura funzioni, aggiungo il peso della trave al carico strutturale:
Il peso della trave è fornito direttamente dal foglio excel, nell’ultima colonna. P=3,45KN/m
Distribuisco il peso sull’interasse della trave per avere il peso a metro quadro:
3,45/4.3=0.8 KN/mq
Qs=2.82+0.8=3.7KN/mq
Inserendo il valore sulla tabella excel, ottengo H=48,27cm

interasse (m)	qs (KN/m2)	qp (KN/m2)	qa (KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)	fy (N/mm2)	sig_fa (N/mm2)	Rck (N/mm2)	sig_ca (N/mm2)	alfa	r
4,3	3,7	2,53	2,50	37,539	7,3	250,0567	450	391,30	40	22,67	0,46	2,26

b (cm)	h (cm)	delta (cm)	H (cm)	H/l	area (m2)	peso (KN/m)
30	43,27	5	48,27	0,066	0,14	3,62

 

 

 

Il dimensionamento della trave risulta corretto!

 

 

ABSTRACT: Obiettivo dell'esercitazione è la progettazione di un solaio con stratigrafia affine a quella tradizionale romana. Approntato un semplice progetto strutturale in pianta relativo a una superficie di 80mq, saranno valutati i carichi per area di influenza della trave soggetta a maggiore sforzo. Infine sarà effettuato il dimensionamento della trave in legno e un confronto con la corrispettiva in acciaio e cemento.

---

PIANTA

STRATIGRAFIA

Pavimento mattonato	2.5cm
Allettamento	2.5cm
Massetto di detriti	5.0cm
Tavolato	2.2cm
Travicelli interas. 50cm	10.0cm
Travi	? cm

dal Manuale del Recupero di Roma p. 216

Carichi permanenti qp
Pavimento mattonato	0.025m x 1800 daN/m3	45 daN/m2 ⇒ 0.45 KN/m2
Allettamento	0.025m x 1900 daN/m3	47 daN/m2 ⇒ 0.47 KN/m2
Massetto di detriti	0.050m x 1600 daN/m3	80 daN/m2 ⇒ 0.80 KN/m2
Pareti divisorie	(carico diffuso)	80 daN/m2 ⇒ 0.80 KN/m2
TOTALE		2.52 KN/m
Carichi strutturali qs
Tavolato	0.022m x 700 daN/m3	15 daN/m2 ⇒ 0.15 KN/m2
Travicelli	0.010m x 0.09m x 1800 daN/m3 / 0.50m	13 daN/m2 ⇒ 0.13 KN/m2
TOTALE		0.28 KN/m2
Carichi strutturali qs
Uffici		3.00 KN/m2
TOTALE		5.8 KN/m2

Chiaramente le travi con un'area di influenza con intensità maggiore sono le 1,2-5 e 2,3-5 perciò il carico distribuito sulla trave sarà 5.8 KN/m2 x 3.3 m = 19.14 KN/m

Possiamo dunque realizzare il progetto a momento flettente per una trave doppiamente appoggiata con carico distribuito noto.

Il momento flettente massimo è ql²/8: ne segue che M_max = 86.13 KN*m

Contrariamente a quanto suggerito dal Manuale del Recupero si opta per una più tecnologica trave lamellare il cui coefficiente di sicurezza fm,k è 24 N/mm². Alla struttura viene assegnato un coefficiente di kmod variabile di media durata pari a 0.6.

Attraverso questi dati è possibile ricavare l'altezza della trave con un processo progettuale a ritroso dove fm,k viene opportunamente ridotto di un coefficiente ɣ_m 1.45 è funge da valore di resistenza massimo.

Il momento d'inerzia per una trave a sezione rettangolare e bh³/12 e attraverso Navier  σ_max= M_MAX/W_x da cui segue W_x= I  / (h/2)

Assegnamo alla trave una base di 25cm e σ_max = fm,k

h=√(6 ql²/ (8*b*σ_max) ) = √( 6 ^. 5.8 KN/m^2 . 36m² / (8*0.25m*9.93/1000 KN/m²))=
= 0.4516 m

Il che vuol dire che dobbiamo aumentare ragionevolmente la sua altezza. Scegliamo una sezione con altezza 50cm

Osserviamo che il coefficiente ɣ_m 1.45 aggrava molto la scelta della trave: come già accennato a lezione nei paesi nordici dove la tradizione del legno è più consolidata esso è 1.1-1.2 KN/m² che porta a ridurre l'altezza della trave (in questo caso) a 40-45 cm.

Attraverso il foglio di calcolo fornito effettuiamo dei confronti sulle altezze dei profili per valutare le differenze sulle sezioni così come la normativa consente di calcolarle.

Con logica analoga a quella del calcolo svolto (con le dovute differenze, specialmente nel calcolo del cemento armato) e attraverso l'inserimento di valori di resistenze caratteristiche di materiali mediamente prestazionali giungiamo ai seguenti risultati (a parità di carico):

ACCIAIO fy,k  = 235 N/mm² ⇒ W_{x min}=749.31 cm3 ⇒ IPE 360
CLS fy 450 N/mm², Rck 40 N/mm², b=25cm , copriferro = 5cm⇒H _min=32.82 cm ⇒ H=35cm

 

---

Analisi dei carichi

Voglio sapere ora, quanto pesa il solaio e in particolare, quanto carico andrà sulla trave che sto analizzando.

 

Tipologie di carico:

 

• Carico strutturale (qs = Kg/mq): corrisponde al peso proprio di tutti gli elementi strutturali.
• Carico permanente (qp = Kg/mq): tiene in considerazione il peso dei restanti elementi che compongono il pacchetto solaio (massetto, intonaco, pavimento,impianti...)
• Carico accidentale (qa = Kg/mq): strettamente legato alla funzione dell’edificio (considera la variazione dei carichi mobili come arredi, persone,...che possono esserci o meno nel corso del tempo.

Poter progettare la trave principale si deve tener conto, all’interno dei carichi strutturali, anche del peso dei travetti, quindi è necessario dimensionare prima i travetti del solaio, tenendo conto di tutti i carichi citati in precedenza.

---

SOLAIO IN ACCIAIO

---

Progetto travetti

Travetti (interasse 1 m, luce 3.85 m)

• Lamiera grecata A75-P570 (h: 0.75 m) + gettata in cls (s: 0.15m)  ->   2.50 kN/m²

• Isolante: 0.12 kN/m²
• Massetto: 24kN/m³ * 0.03m: 0.72 kN/m²
• Pavimentazione in legno di abete bianco: sp.: 0.025m , peso specifico 340 kg/m²:(0.025*1*1)*3.4= 0.85 kN/m²
• Tramezzi e impianti: 1.5 kN/m²                                          

interasse (m)	qs (KN/m2)	qp (KN/m2)	qa (KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)	fy,k (N/mm2)	sigam (N/mm2)	Wx (cm3)
1	2,5	3,19	2,00	7,69	3,85	14,2481	235	204,35	69,72

Qs*: 2.50+0.129= 2.629 kN/m²

Verificato: travetti: IPE 140  (W = 77.3 cm3 > 70.89 cm3)

---

Progetto trave

Calcolo Carico Proprio Strutturale (Qs)                                                            

• Travetti: IPE 140   12.9 kg/m : 0.129 kN/m²
• Lamiera grecata A55-P600 (h: 0.75 m) + gettata in cls (s: 0.15m)  ->   2.50 kN/m²

• Isolante: 0.12 kN/m²
• Massetto: 24kN/m³ * 0.03m: 0.72 kN/m²
• Pavimentazione in legno di abete bianco: sp.: 0.025m , peso specifico  340 kg/m²: (0.025*1*1)*3.4= 0.85 kN/m²
• Tramezzi e impianti: 1.5 kN/m²                                          

• Ambiente ad uso residenziale: 2.00 kN/m² da normativa

SOLAIO IN CLS

---

Progetto trave

Area d'influenza:  29.65m²

• Solaio in laterocemento con travetti armati : H 0.2m (0.16+0.04), peso 266 kg/m² -> 2.66 kN/m²

• Isolante: 0.12 kN/m²
• Massetto: 24kN/m³ * 0.03m: 0.72 kN/m²
• Pavimentazione in legno di abete bianco: sp.: 0.025m , peso specifico  340 kg/m²: (0.025*1*1)*3.4= 0.85 kN/m²
• Intonaco (s.0.015 cm): 0.3 kN/m²Tramezzi e impianti: 1.5 kN/m²                                                

• Ambiente ad uso residenziale: 2.00 kN/m² da normativa

 

Esercitazione_3

analisi dei carichi e dimensionamento di una trave (risoluzione tramite foglio Excel)

 

1_

inquadramento edificio

L’edificio presenta un solo solaio posizionato fuori terra ed in testata una torre alta tre piani. La tecnologia scelta per la realizzazione dell’edificio sarà in funzione del dimensionamento delle travi e dei materiali usati.

 

 

 

 

destinazione d’uso

L’edificio ospita uffici ed uno spazio comune nella parte più alta della torre. Internamente l’edificio si presenta munito di pannelli scorrevoli che definiscono una maggiore flessibilità per lo spazio interno. L’incidenza degli impianti nei controsoffitti e il valore di carico accidentale saranno dunque importanti nel calcolo.

 

2.1_

stratrigrafia solaio_1

 

analisi dei carichi

.solaio in legno

_carichi strutturali_qs

_tavolato 0,020 kN/m²

_travicelli 600kg/m³ 0,050 kN/m²

_caldana 0,100 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.s 0,170 kN/m²

 

_carichi permanenti_qp

_incidenza tramezzi 0,500 kN/m²

_incidenza impianti 1,000 kN/m²

_pavimento in parquet 750kg/m³ 0,220 kN/m²

_massetto in cs allegerito 1,000 kN/m²

_muro di tamponamento in tufo 1,800 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.p 4,520 kN/m²

 

_carichi accidentali_qa

_ambiente uffici 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.a 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale 7,690 kN/m²

 

_carico proprio della trave_qs*

Successivamente alla progettazione della sezione della trave, verrà aggiunto il peso proprio della stessa. Il calcolo verrà fatto moltiplicando la sezione per la lunghezza della trave e per il peso specifico del materiale di progetto. Il dimensionamento verrà concluso con la verifica della resistenza della trave calcolato con il nuovo momento flettente, vedendo di conseguenza la sua risposta.

 

3.1_

Per il progetto della trave si è proseguito con l’analisi del carico totale ricavato dall’analisi dei carichi. Questo valore è stato successivamente moltiplicato per l’interasse dell’area che interessava, ricavandosi di conseguenza il carico uniformemente distribuito sulla trave B-B’ presa in esame.

 

q= (qs + qp + qa) *i ⇒ q= (0,170 + 4,520 + 3,000)kN /m² *5,100m

⇒ q= 39,22kN /m

 

Successivamente al calcolo del carico distribuito che insiste sulla trave viene calcolato il momento flettente massimo MMAx che insiste sulla sezione della stessa. Il momento viene calcolato tenendo in considerazione le condizioni di vincolo della trave, e presentando essa una situazione semplicemente appoggiata ad una cerniera a sinistra ed un carrello a destra si può procedere al calcolo del momento massimo flettente mediante la formula:

 

MMAX= (q*L²)/8 ⇒ MMAX= (39,22*5,10²)/8

⇒ MMAX= 127,51kN*m

 

Definito il momento massimo di progetto, si calcola la resistenza di progetto fd, definita dalla motiplicazione della resistenza caratteristica del materiale di progetto (in questo caso legno) per il coefficiente di degrado nel tempo kmod (che descrive la durata del carico e la classe di servizio) e diviso per il coefficiente di sicurezza γm (= 1,45 per l’acciaio), come si può vedere nella formula:

 

fd=  kmod * fmk/γm ⇒ fd= (0,60*24)/1,45

⇒ fd= 9,93N/mm²

 

Ricavate le resistenze di progetto del materiale si può procedere per il dimensionamento dell’altezza della trave usando la formula flessionale di Navier:

 

fd= σMAX ⇒ σMAX = 9,93N/mm²

σMAX= MMAX/Wx ⇒ Wx= Jxx / (h/2)

⇒ Wx= MMAX/σMAX

⇒ Wx= (127,51*10⁶) / 9,93 

⇒ Wx= 12’840’886,20mm³

⇒ Wx= 12’840,89cm³

Wx= MMAX/σMAX

Wx= Jxx / (h/2) ⇒ Jxx = (b * h³)/12

MMAX= (q*L²)/8

⇒ Jxx / (h/2) = ((q*L²)/8)/σMAX

⇒ ((b * h³)/12) / (h/2) = ((q*L²)/8)/σMAX

⇒ h²= (6 * q*L²)/(8 * b * σMAX)

⇒ h= √(6 * q*L²)/(8 * b * σMAX)

Per procedere per il dimensionamento dell’altezza della trave, si ipotizza una base di una di base di b (= 25 cm), attraverso la formula flessionale di Navier viene ricavata l’altezza h:

 

⇒ h= √(6 * 39,22 * (5,1*1000)²)/(8 * (25*10) * 9,93)

⇒ h= 555,10mm

⇒ h= 57,00cm

 

4.1_

Per verificare che il progetto della trave sia corretto in toto si procede con il calcolo del peso proprio della trave, il quale peso verrà aggiunto alla fase dell’analisi dei carichi, con i quali verrà ricavato un nuovo momento massimo che verificherà la resistenza della trave.

 

_carichi strutturali_qs

_tavolato 0,020 kN/m²

_travicelli 600kg/m³ 0,050 kN/m²

_caldana 0,100 kN/m²

_trave in latifoglie 1,140 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.s 1,131 kN/m²

 

_carichi permanenti_qp

_incidenza tramezzi 0,500 kN/m²

_incidenza impianti 1,000 kN/m²

_pavimento in parquet 750kg/m³ 0,220 kN/m²

_massetto in cs allegerito 1,000 kN/m²

_muro di tamponamento in tufo 1,800 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.p 4,520 kN/m²

 

_carichi accidentali_qa

_ambiente uffici 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.a 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale 8,651 kN/m²

 

q= (qs + qp + qa) *i ⇒ q= (1,131 + 4,520 + 3,000)kN /m² *5,100m

⇒ q= 44,12kN /m

MMAX= (q*L²)/8 ⇒ MMAX= (44,12*5,10²)/8

⇒ MMAX= 143,45kN*m

σMAX= MMAX/Wx ⇒ Wx= Jxx / (h/2)

⇒ Wx= MMAX/σMAX

⇒ Wx= (143,45*10⁶) / 9,93 

⇒ Wx= 14’446’122,12mm³

⇒ Wx= 14’446,12cm³

Wx= MMAX/σMAX

Wx= Jxx / (h/2) ⇒ Jxx = (b * h³)/12

MMAX= (q*L²)/8

Per procedere per il dimensionamento dell’altezza della trave, si ipotizza una base di b (= 25 cm), attraverso la formula flessionale di Navier viene ricavata l’altezza h:

 

⇒ h= √(6 * 44,12 * (5,1*1000)²)/(8 * (25*10) * 9,93)

⇒ h= 588,80mm

⇒ h= 60,00cm

Si adotta di conseguenza una trave di base b (= 25 cm) e altezza h (= 60 cm) avente modulo di resistenza Wx (= 15’000,00cm³) pari o superiore a quello ricavato dalla formula flessionale di Navier.

 

5.1_

dati di progetto e tabella

 

 

interasse (m)	qs (KN/m2)	qp (KN/m2)	qa (KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)	fm,k (N/mm2)
5,1	0,170	4,520	3,00	39,219	5,1	127,51077375	24
5,1	1,131	4,520	3,00	44,120	5,1	143,445475125	24

 

 

 

kmod	sigam (N/mm2)	b (cm)	h (cm)
0,6	9,93	25	55,51
0,6	9,93	25	58,88

2.2_

stratrigrafia solaio_2

 

analisi dei carichi

.solaio in acciaio

_carichi strutturali_qs

_solaio in lamiera grecata di acciaio 0,240 kN/m²

_travetti in IPE 200 1,141 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.s 1,381 kN/m²

 

_carichi permanenti_qp

_incidenza tramezzi 0,500 kN/m²

_incidenza impianti 1,000 kN/m²

_pavimento in resina 0,003 kN/m²

_massetto in cs allegerito 1,000 kN/m²

_controsoffito in cartongesso 8kg/m² 0,010 kN/m²

_muro di tamponamento in tufo 1,800 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.p 4,313 kN/m²

 

_carichi accidentali_qa

_ambiente uffici 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.a 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale 8,694 kN/m²

 

_carico proprio della trave_qs*

Successivamente alla progettazione della sezione della trave, verra aggiunto il peso proprio della trave. Il calcolo verrà fatto moltiplicando la sezione per la lunghezza della trave e per il peso specifico del materiale di progetto. Il dimensionamento verrà concluso con la verifica della resistenza della trave calcolato con il nuovo momento flettente, vedendo di conseguenza la sua risposta.

 

3.2_

Per il progetto della trave si è proseguito con l’analisi del carico totale ricavato dall’analisi dei carichi. Questo valore è stato successivamente moltiplicato per l’interasse dell’area che interessava, ricavandosi di conseguenza il carico uniformemente distribuito sulla trave B-B’ presa in esame.

 

q= (qs + qp + qa) *i ⇒ q= (1,381 + 4,313 + 3,000)kN /m² *5,100m

⇒ q= 44,34kN /m

 

Successivamente al calcolo del carico distribuito che insiste sulla trave viene calcolato il momento flettente massimo MMAx che insiste sulla sezione della stessa. Il momento viene calcolato tenendo in considerazione le condizioni di vincolo della trave, e presentando essa una situazione semplicemente appoggiata ad una cerniera a sinistra ed un carrello a destra si può procedere al calcolo del momento massimo flettente mediante la formula:

 

MMAX= (q*L²)/8 ⇒ MMAX= (44,34*5,10²)/8

⇒ MMAX= 144,15kN*m

 

Definito il momento massimo di progetto, si calcola la resistenza di progetto fd, definita dalla motiplicazione della resistenza caratteristica del materiale di progetto (in questo caso acciaio) diviso per il coefficiente di sicurezza γs (= 1,15 per l’acciaio), come si può vedere nella formula:

 

fd= fyk/γs ⇒ fd= 235/1,15

⇒ fd= 204,35N/mm²

 

Ricavate le resistenze di progetto del materiale si può procedere per il dimensionamento dell’altezza della trave usando la formula flessionale di Navier:

 

fd= σMAX ⇒ σMAX = 204,35N/mm²

σMAX= MMAX/Wx ⇒ Wx= Jxx / (h/2)

⇒ Wx= MMAX/σMAX

⇒ Wx= (144,15*10⁶) / 204,35 

⇒ Wx= 705’407,39mm³

⇒ Wx= 705,47cm³

 

Si adotta di conseguenza un IPE 330 avente modulo di resistenza Wx (= 713,00cm³) pari o superiore a quello ricavato dalla formula flessionale di Navier.

 

4.2_

Per verificare che il progetto della trave sia corretto in toto si procede con il calcolo del peso proprio della trave, il quale peso verrà aggiunto alla fase dell’analisi dei carichi, con i quali verrà ricavato un nuovo momento massimo che verificherà la resistenza della trave.

 

_carichi strutturali_qs

_solaio in lamiera grecata di acciaio 0,240 kN/m²

_travetti in IPE 200 1,141 kN/m²

_trave in IPE 330 2,506 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.s 3,587 kN/m²

 

_carichi permanenti_qp

_incidenza tramezzi 0,500 kN/m²

_incidenza impianti 1,000 kN/m²

_pavimento in resina 0,003 kN/m²

_massetto in cs allegerito 1,000 kN/m²

_controsoffito in cartongesso 8kg/m² 0,010 kN/m²

_muro di tamponamento in tufo 1,800 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.p 4,313 kN/m²

 

_carichi accidentali_qa

_ambiente uffici 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.a 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale 10,900 kN/m²

 

q eff = (qs + qp + qa)*i ⇒ q eff = (3,587 + 4,313 + 3,000)kN /m² *5,100m

⇒ q eff = 55,59kN /m

MMAXeff= (q*L²)/8 ⇒ MMAXeff= (55,59*5,10²)/8

⇒ MMAXeff= 180,74kN*m

 

σMAX= MMAX/Wx ⇒ Wx= (180,74*10⁶) / 204,35 

⇒ Wx= 884’462,93mm³

⇒ Wx= 884,46cm³

 

Si adotta di conseguenza un IPE 360 avente modulo di resistenza Wx (= 904,00cm³) pari o superiore a quello ricavato dalla formula flessionale di Navier.

 

5.2_

dati di progetto e tabella

 

 

interasse (m)	qs (KN/m2)	qp (KN/m2)	qa (KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)
5,1	1,381	4,313	3,00	44,34	5,10	144,15847425
5,1	3,587	4,313	3,00	55,59	5,10	180,7369875

 

 

 

fy,k (N/mm2)	sigam (N/mm2)	Wx (cm3)
235	204,35	705,46
235	204,35	884,46

2.3_

stratrigrafia solaio_3

 

analisi dei carichi

.solaio in c.a.

_carichi strutturali_qs

_solaio in latero-cemento 2,700 kN/m²

----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.s 2,700 kN/m²

 

_carichi permanenti_qp

_incidenza tramezzi 0,500 kN/m²

_incidenza impianti 1,000 kN/m²

_pavimento in resina 0,003 kN/m²

_massetto in cs allegerito 1,000 kN/m²

_muro di tamponamento in tufo 1,800 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.p 4,303 kN/m²

 

_carichi accidentali_qa

_ambiente uffici 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.a 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale 10,003 kN/m²

 

_carico proprio della trave_qs*

Successivamente alla progettazione della sezione della trave, verra aggiunto il peso proprio della trave. Il calcolo verrà fatto moltiplicando la sezione per la lunghezza della trave e per il peso specifico del materiale di progetto. Il dimensionamento verrà concluso con la verifica della resistenza della trave calcolato con il nuovo momento flettente, vedendo di conseguenza la sua risposta.

 

3.3_

Per il progetto della trave si è proseguito con l’analisi del carico totale ricavato dall’analisi dei carichi. Questo valore è stato successivamente moltiplicato per l’interasse dell’area che interessava, ricavandosi di conseguenza il carico uniformemente distribuito sulla trave B-B’ presa in esame.

 

q= (qs + qp + qa) *i ⇒ q= (2,700 + 4,303 + 3,000)kN /m² *5,100m

⇒ q= 48,45kN /m

 

Successivamente al calcolo del carico distribuito che insiste sulla trave viene calcolato il momento flettente massimo MMAX che insiste sulla sezione della stessa. Il momento viene calcolato tenendo in considerazione le condizioni di vincolo della trave, e presentando essa una situazione semplicemente appoggiata ad una cerniera a sinistra ed un carrello a destra si può procedere al calcolo del momento massimo flettente mediante la formula:

 

MMAX= (q*L²)/8 ⇒ MMAX= (51,02*5,10²)/8

⇒ MMAX= 165,86kN*m

 

Definito il momento massimo di progetto, si calcola la resistenza di progetto fd e fy, definita dalla motiplicazione della resistenza caratteristica del materiale di progetto (fyk in questo caso CA e fyd nel caso delle barre in acciaio) per il coefficiente di sicurezza αcc (= 0,85) e diviso per il coefficiente di sicurezza γm (= 1,50 per il cls, = 1,15 per l’acciaio), come si può vedere nella formula:

 

fd= αcc*(fyk/γm) ⇒ fd= 0,85*(40/1,50)

⇒ fd= 22,67N/mm²

fy= fyd/γs ⇒ ⇒ fY= 450/1,15

⇒ fY= 391,30N/mm²

 

Ricavate le resistenze di progetto dei due materiali si può procedere per il dimensionamento dell’altezza della trave, la quale presenta una di base di b (= 20 cm), attraverso l’equilibrio alla rotazione della sezione, come si può vedere nella formula:

 

M = C * b* = T * b* ⇒ C = (σca * b * α * hu) / 2

⇒ b* = hu * (1- α/3)

⇒ M = ((σca * b * α * hu) / 2) * (hu * (1- α/3))

⇒ hu = √(M/b) * (1 / (σca/2) * (α * (1- α/3))

⇒ r =  √(1 / (σca/2) * (α * (1- α/3))

⇒ hu = √(M/b) * r

⇒ hu = √(165,86*10⁶) / (20 * 10)) * 2,26

⇒ hu = 432mm

 

Successivamente al calcolo delle resistenze di progetto si calcola il coefficiente α di omogeneizzazione della sezione in C.A. per poter calcolare la posizione dell’asse neutro della sezione viene usato il teorema dei triangoli simili, mediante la formula:

 

xc / hu = (σca/Eca) / (σca/Eca + σfd/Efd) ⇒ hu * (σca/Eca) = xc * (σca/Eca + σfd/Efd)

⇒ xc = (hu * (σca/Eca)) / (σca/Eca + σfd/Efd)

⇒ xc = (hu * (σca/Eca)) / (1/Eca) * (σca + (Eca/Efd) * σfd)

⇒ xc = (hu * σca) / (σca + (Eca/Efd) * σfd)

⇒ n = Eca/Efd ⇒ n = 15

⇒ xc = (hu * σca) / (σca + n * σfd)

⇒ α =  σca / (σca + n * σfd)

⇒ α =  22,67 / (22,67 + (15 * 391,30))

⇒ α =  0,46

⇒ xc = hu * α

⇒ xc = 432 * 0,46

⇒ xc =  198,7mm

 

In ultimo viene definita l’altezza definitiva della sezione sommando all’altezza utile della trave hu (= 432mm) il parametro δ (= 50 mm), che comprende il copriferro e metà barra di acciaio, come si può vedere nella formula:

 

h= hu + δ ⇒ h= 432 +50

⇒ h= 482mm

⇒ h’= 60cm

Verrà quindi adottata una trave avente base b (= 20cm) ed altezza h (= 60cm).

 

4.3_

Per verificare che il progetto della trave sia corretto in toto si procede con il calcolo del peso proprio della trave, il quale peso verrà aggiunto alla fase dell’analisi dei carichi, con i quali verrà ricavato un nuovo momento massimo che verificherà la resistenza della trave.

 

_carichi strutturali_qs

_solaio in latero-cemento 2,700 kN/m²

_trave in c.a 2,790 kN/m²

----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.s 5,4900 kN/m²

 

_carichi permanenti_qp

_incidenza tramezzi 0,500 kN/m²

_incidenza impianti 1,000 kN/m²

_pavimento in resina 0,003 kN/m²

_massetto in cs allegerito 1,000 kN/m²

_muro di tamponamento in tufo 1,800 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.p 4,303 kN/m²

 

_carichi accidentali_qa

_ambiente uffici 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale c.a 3,000 kN/m²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_totale 12,793 kN/m²

 

verifica del momento massimo effettivo

 

MMAX= (q*L²)/8 ⇒ MMAX= (65,24*5,10²)/8

⇒ MMAX= 212,13kN*m

 

M = C * b* = T * b* ⇒ hu = √(M/b) * r

⇒ hu = √(212,13*10⁶) / (30 * 10)) * 2,26

⇒ hu = 399mm

 

h= hu + δ ⇒ h= 399mm +50

⇒ h= 449mm

⇒ h’= 45cm

Considerando questo nuovo momento massimo la trave non risulta verificata, quindi si sceglie di aumentare la dimensione della base b (= 30cm) ricavandoci di conseguenza un’altezza utile hu (= 39,9cm) e quindi l’altezza complessiva h (= 45cm).

 

5.3_

dati di progetto e tabella

 

 

interasse (m)	qs (KN/m2)	qp (KN/m2)	qa (KN/m2)	q (KN/m)	luce (m)	M (KN*m)
5,1	2,700	4,303	3,00	51,02	5,1	165,86
5,1	5,490	4,303	3,00	65,24	5,1	212,13

 

 

 

alfa	r	b (cm)	h (cm)	delta (cm)	H (cm)	H/l	area (m2)	peso (KN/m)
0,46	2,27	20,0	43,2	5	48,20	0,094	0,10	2,41
0,46	2,27	30,0	39,9	5	44,90	0,088	0,13	3,37

Esercitazione Trave Reticolare_modello tridimensionale_analisi Sap2000

 

Innanzitutto è necessario realizzare il modello tridimensionale della nostra trave reticolare su Autocad e salvare poi il file in dxf.

Importo poi il file dxf in Sap, settando chiaramente le impostazioni necessarie (l'unità di misura e nel menù a tendina Frame> "layer utilizzato in Autocad").

 

Definisco ora la sezione delle mie aste. Define>Section property>Frame Section>Add new property. In questo caso ho scelto una sezione di tipo circolare con diametro 0,1 m e spessore di 0,01 m

Ora dobbiamo assegnare i vincoli alla struttura. Assign>Joints>Restraints e selezioniamo i vincoli desiderati. Nel nostro caso ho optato per due cerniere ed un carrello.

 

Assegnamo ora le forze agenti sulla struttura. Dopo aver selezionato i punti su cui agiranno suddette forze (i nodi superiori della struttura) selezioniamo Assign>Joint Loads>Forces> e inseriamo in [Force Global Z] un valore pari a -20 ( il segno negativo è giustificato dal fatto che la forza agisce dall'alto verso il basso)

 

Ora definiamo il peso proprio della struttura. Andando su Define>Load Patterns assegno valore 0 in Self Weight Multiple, infine clicco su Modify>Load Patterns.

 

Dobbiamo assicurarci che tra le aste vi sia trasmissione del Momento nulla..operiamo quindi il Release. Assign>Frame>Release/Partial Finity e in Moment 33 Major seleziono sia Start che End e ad entrambi assegniamo valore 0.

 

Post "rilascio", possiamo ora operare l'analisi. Analyze>Run Analyze. Dobbiamo escludere il caso Modal dall'analisi quindi selezionare Modal e spuntare Run /Do not Run case

Visualizziamo ora le reazioni vincolari. Display> Show Forces/stresses>Joints.

 

Visualizziamo anche lil diagramma dello sforzo normale su ogni asta. Display>show Forces/stresses>Frame/Cable/Tendons e selezionare Axial Forces.

 

Possiamo ora ottenedere i valori di ogni forza agenti su ogni asta così da poter calcolare poi la Tensione. Display>Show Tables. spuntare Analisis Results e dal menù in alto a destra, menù a tendina, selezionare Element Forces Frames.

 

Ora dobbiamo soltanto esportare la tabella su excel, ripulirla e calcolare le tensioni di ogni asta rispetto alla sezione che abbiamo precedentemente scelto. L'area in questione è di 310,86 mm*2.

#1_TRAVE RETICOLARE 3D(SAP)

Dopo aver disegnato una struttura reticolare in 3 dimensioni, avente modulo quadrato L x L, con L = 2 m, viene immessa nella in SAP, avendo l'accortezza di separare ogni singola ASTA dalle altre ed aver approssimato  l'errore nei nodi con uno scarto più basso possibile.

Si assegnano i tre vincoli in modo che non siano allineati:

                                                                                       

Si definisce una sezione per le ASTE, in questo caso una sezione scatolare cilindrica d'acciaio di spessore 4 mm e diametro 15 mm:

s = 4 mm

d = 15 mm

                                                                             

Si assegnano le Forze puntuali di 40 KN su ogni nodo superiore della struttura e rilascia tutta la struttura dal momento e si elimina il perso proprio della struttura dall'equazione:

                                                        

Una volta avviata l' analisi della struttura se ne ricavano i diagrammi della struttura DEFORMATA, e delle sollecitazioni di COMPRESSIONE e TRAZIONE in ogni asta

 

e i valori della TENSIONE interna alle aste:

                                                                                      

#2_TRAVE RETICOLARE 2D (SAP+RITTER/NODI)

Una travatura reticolare si riconosce semplicemente se le aste hanno solo sforzo normale N di trazione (+) o compressione (-), ed è isostatica in quando è formata da triangoli.

                                                                                            

La struttura reticola isostatica è simmetrica, quindi possiamo studiarne una metà, ne numeriamo i nodi e procediamo con lo studio degli sforzi normali all'interno di ogni asta:

                                                                     

 

N_9,7*L+F*L+F*2L+F*3L+F*4L-F*(9/2)*4L=0 -> N_9,7=8F

N_8,10*L+F*L+F*2L+F*3L-F*(9/2)*3L=0 -> N_10,8=F*(15/2)

N_7,10(√2/2)-N_9,7+N_{8,10=0 ->} N_7,10=F*(1/√2)

N_10,8=F*(15/2)

N_7,5*L+F*L+F*2L+F*3L-F*(9/2)*3L=0 ->N_7,5=F*(15/2)

-N_7,8-F-F-F+F*(9/2)=0 -> N_7,8=F*(3/2)

N_7,5=F*(15/2)

N6,8*L+F*L+F*2L-F*(9/2)*2L=0 ->N_6,8=6F

N_5,8(√2/2)-N_7,5+N_6,8=0->N_5,8=F*(3/√2)

 

RISOLUZIONE DI UN SISTEMA IPERSTATICO MEDIANTE L'INTEGRAZIONE DELLA LINEA ELASTICA

 

 

 

Partendo da questo schema statico su cui è applicato un carico distribuito (q) è richiesto di trovare l'abbassamento massimo che da questo carico è provocato. Dato che il sistema è iperstatico per risolverlo non può essere usato il classico metodo dell'equilibrio dei corpi liberi per via delle troppe incognite (4) a fronte delle sole 3 equazioni necessarie a determinare l'equilibrio. Il metodo che l'esercizio stesso suggerisce di applicare è quello dell'integrazione della linea elastica.

Questo metodo collega i 3 gruppi di equazioni che descrivono il comportamento meccanico del modello strutturale in esame, che presenta le caratteristiche della trave di Eulero-Bernoulli (trave sintetizzata come asse rispetto al quale ogni sezione è perpendicolare, carichi spostamenti e deformazioni nel piano). Esse sono:

 

 

L'incognita principale è lo spostamento verticale, e non ci sono carichi orizzontali agenti sulla struttura (di conseguenza nemmeno reazioni vincolari orizzontali ne sollecitazioni assiali), quindi possiamo escludere 3 di queste 8 equazioni, ottenendo questo sistema:

 

 

Procedendo per sostituzione e integrando si risale ad un equazione utile a ricavare lo spostamento verticale v in funzione di s.

 

 

È necessario precisare che la trave ha sezioni uguali in ogni punto ed è composta di un materiale uniforme, di conseguenza E ed I sono costanti lungo tutto l'intervallo di s, come lo è q. Questo semplifica notevolmente il procedimento di integrazione.

Integrando si generano delle costanti, che non sono però incognite: esse assumono un valore a seconda delle condizioni di vincolo al bordo, il punto di partenza per la risoluzione dell'esercizio.

Sono necessarie 4 equazioni con risultato noto per trovare le 4 costanti d'integrazione, si esaminano quindi i vincoli dati dall'esercizio per capire cosa è noto:

• Per s = 0 abbiamo lo spostamento verticale e la rotazione nulle (v=0 e φ=0). Da questo deriva che c₃ e c₄ hanno valore nullo (per sostituzione nell'equazione di v(s)).

• Per s = L abbiamo che lo spostamento verticale è sempre nullo (v=0), è consentita la rotazione che però è ignota, quindi si considera l'equazione del momento. È noto che in cerniera esso è nullo, e di conseguenza la stessa curvatura ha valore nullo (Χ=0):

Svolgendo i calcoli si determinano i valori di c₁ e c₂:

 

 

L'equazione di v è espressa in funzione di s, che varia da 0 ad L. Per conoscere il valore di s che corrisponde all'abbassamento massimo (che corrisponde al punto di minimo, con tangenza orizzontale quindi) è sufficiente risolvere v'(s)= 0.

L'equazione è di terzo grado e presenta 3 soluzioni. Una è maggiore di L (quindi da scartare), la seconda è 0 e la terza è 0,578L, l'obiettivo del calcolo.

 

A questo punto si torna all'equazione di v(s), che non presenta più incognite. Sostituendo i valori di c₁, c₂ ed s si ottiene il valore dell'abbassamento in funzione di L, E, I e q. Questi dipendono dalle condizioni di progetto e di carico (L e q), dalla geometria della sezione scelta (I, il momento d'inerzia) e dal materiale utilizzato (E, il modulo elastico).

È possibile determinare qualitativamente i diagrammi di taglio e momento flettente.

Il taglio presenta un andamento lineare, con valore negativo all'incastro e positivo sul carrello, e si azzera a 5/8L.

Il momento flettente presenta quindi un andamento parabolico con un valore massimo positivo nell'incastro, è nullo in corrispondenza del carrello e il vertice della parabola in questione è situato in corrispondenza del punto in cui il taglio è nullo. 

 

 

 

 

VERIFICA SU SAP DEI DATI OTTENUTI CON APPLICAZIONE DI 2 DIVERSE SEZIONI

Per rappresentare lo schema statico su SAP viene aperto un nuovo file di tipo GRID, con unità di misura convenzionali (kN, m, °C). Impostati i parametri di spaziatura di modo che L sia pari ad 1, impostata correttamente la vista, si (piano XZ) disegna un punto P di coordinate (0.578, 0, 0), ovvero il punto ricavato mediante il calcolo manuale in cui l'abbassamento è massimo, e si disegna una trave usando 2 segmenti, che condividono un estremo proprio in quel punto. Il programma non li leggerà come 2 elementi distinti, ma come un unico elemento strutturale.

Successivamente vengono impostati i vincoli (incastro e carrello) e il carico associato a un corretto load pattern con peso proprio degli elementi strutturali nullo (carico distribuito, di 100kN/m).

 

 

Manca unicamente di impostare un tipo di sezione alla trave.

Qui si aprono 2 possibilità: l'esercizio deve essere svolto con sezione rettangolare in CLS non armato (0.20x0.40m) e con sezione rettangolare cava in acciaio (0.10x0.15m, con spessore di 0.004m).

 

 

Dopo aver assegnato a entrambi i segmenti le sezioni precedentemente impostate va svolta l'analisi per i carichi assegnati, escludendo l'analisi modale.

Il programma mostra direttamente la deformata, che conferma la correttezza (con un certo grado di approssimazione) del calcolo manuale utilizzato per il posizionamento del punto a 0,578l.

 

 

Posizionando il cursore su tale punto, che graficamente sembra essere proprio sul minimo della deformata, viene rivelato l'abbassamento (che varia in base alla Section Property associata alla trave) e le rotazioni della sezione. Essa, nella direzione di nostro interesse, è prossima allo zero: infatti nel punto di minimo è per definizione nulla, essendo la tangente in quel punto orizzontale.

Verificati e confrontati i grafici di T ed M rappresentati al livello qualitativo alla fine dell'esercizio manuale con quelli che il programma fornisce si visualizzano ed esportano su excel le tabelle per arrivare ai valori precisi di reazioni vincolari e sollecitazioni. Eseguendo l'analisi per ognuna delle 2 sezioni precedentemente impostati si arriva ad ulteriori dati, gli abbassamenti e le rotazioni.

 

 

 

TABELLE CON RISULTATI