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Per dimensionare una trave a sbalzo, ovvero una mensola, bisogna individuare la trave più sollecitata come nell’esercitazione precedente.

 

Nella prima parte bisogna sempre considerare i carichi agenti sulla trave (prenderemo come valore quelli ottenuti precedentemente).

Naturalmente cambierà il valore del momento massimo, che per una trave doppiamente appoggiata vale ql²/8, invece per una mensola il momento massimo equivale a ql²/2.

 

Solaio in C.A. 

Stato Limite Ultimo

Qu = 45.31 kg/m²  

M_max = 277.50 kNxm

Sezione 30x45

 

Stato limite di esercizio

Inserire il modulo elastico del C.A. E = 21000 N/mm²

Si ottengono i valori dell’inerzia e dello spostamento massimo, in questo caso

Ix = 227813 cm⁴

v_max = 1.18 cm

la sezione è verificata dal momento che il rapporto tra la luce e lo spostamento deve essere maggiore di 250.

 

Solaio in acciaio

Stato Limite Ultimo

Qu = 50.87 kg/m²  

M_max = 311.59 kNxm

IPE 450, Wx = 1500 cm³

 

Stato limite di esercizio

Dalla tabella prendere i valori di inerzia e peso

Ix = 33740 cm⁴

Peso = 0.77 kN/m

Di conseguenza si ricava il valore del carico di esercizio ed inserendo il valore del modulo elastico dell’acciaio si ottiene infine lo spostamento massimo.

v_max = 0.84 cm

La sezione è verificata dal momento che il rapporto tra la luce e lo spostamento deve essere maggiore di 250.

 

 

Solaio in legno 

Stato Limite Ultimo

Qu = 35.50 kg/m²  

M_max = 217.50 kNxm

Sezione 35x55

 

Stato limite di esercizio

Inserire il modulo elastico E = 8000 N/mm²

Si ottengono i valori dell’inerzia, del carico di esercizio e dello spostamento massimo, in questo caso

Ix = 485260 cm⁴

Qe = 20 kN/m

v_max = 0.95 cm

La sezione è verificata dal momento che il rapporto tra la luce e lo spostamento deve essere maggiore di 250.

Dopo aver disegnato un solaio a scelta selezionare la trave più sollecitata e definire il dimensionamento di essa con diverse tipologie di solaio.

SOLAIO IN LEGNO

             

ANALISI DEI CARICHI

Qs= carichi strutturali

volume [mc/mq] x peso specifico [KN/mc] = [KN/mq]

• travetti secondari in legno lamellare (1 al mq) 25x25cmq        

        → (0.1x0.1x1) [mc/mq] x 4.10 [KN/mc] = 0.041 KN/mq

• tavolato in legno lamellare 4 cm

        → (0.04x1x1) [mc/mq] x 4.10 [KN/mc] = 0.256 KN/mq

Qs= (0.041 + 0.256) KN/mq = 0.297 KN/mq

 

Qp=carichi permanenti non strutturali

volume [mc/mq] x peso specifico [KN/mc] = [KN/mq]

• pavimento in parquet 2cm

        → (0.02x1x1) [mc/mq] x 7.2 [KN/mc] = 0.144 KN/mq

• massetto 5cm

        → (0.05x1x1) [mc/mq] x 19 [KN/mc] = 0.95 KN/mq

• incidenza tramezzi

        → 1 KN/mq

• incidenza impianti

        → 0.5 KN/mq

Qp= (0.144 + 0.95 + 1 + 0.5) KN/mq = 2.594 KN/mq

 

Qa= carichi accidentali

Ambiente ad uso residenziale- categoria A

Qa= 2 KN/mq

 

Inserire i valori trovati nella tabella excell, quindi trovare il carico totale Qu, la tabella di calcolo li somma tra loro e li moltiplica per i tre coefficienti di sicurezza γ_G1 γ_G2  e γ_G3 in seguito li moltiplica per l’interasse della trave che deve essere inserito.

        → Qu= (Qs x γ_G1 + Qp x γ_G2  + Qa x γ_G3 ) x interasse

             Qu= (0.297x1.3 + 2.594x1.5 + 2x1.5) KN/mq x 4m = 29.11 KN/m

Conoscendo la luce della trave e il carico applicato su di essa calcolare Mmax. Essendo una trave appoggiata il momento massimo è ql²/8 quindi:

        → M_max= Qu x l²/8 = 29.11 KN/m x (8)²/8 = 232.87 KNm

           

PROGETTO

Dopo avere fatto l’analisi dei carichi e dopo aver trovato il momento massimo dimensionare la trave.

Per calcolare la tensione di progetto F_d per quanto riguarda il legno si devono tenere in considerazione alcuni dati:

• Si deve scegliere la tipologia di legno (in questo caso lamellare GL28h).
• Andare a controllare i valori della resistenza caratteristica a flessione (F_mk= 28 N/mm²).
• Prendere il valore del coefficiente parziale di sicurezza (γ_m= 1.45)
• Prendere un coefficiente che riduce i valori della resistenza che tiene conto delle condizioni di umidità. In questo caso: classe di servizio 2, classe di durata del carico media

→ K_mod= 0.80

Inserendo nella tabella questi valori excel calcola la tensione di progetto

             → F_d= k_mod x f_mk / γ_m = 15.45 N/mm²

Ricavata la tensione di progetto calcolare l’altezza minima della sezione della trave ipotizzando una base (b=35cm).

Una volta trovata l’altezza minima scegliere un’altezza superiore a quest’ultima che sia compatibile con profili esistenti (in questo caso H_min= 50.83cm → H= 55.00cm così da avere una trave 35x55).

 

SOLAIO IN CALCESTRUZZO ARMATO

            

ANALISI DEI CARICHI

Qs= carichi strutturali

volume [mc/mq] x peso specifico [KN/mc] = [KN/mq]

• travetti (2 al mq) 16x10cmq        

        → 2x (0.16x0.1x1) [mc/mq] x 25 [KN/mc] = 0.8 KN/mq

• soletta collaborante 4 cm

        → (0.04x1x1) [mc/mq] x 25 [KN/mc] = 1 KN/mq

• pignatta (8 pz al mq)

        → 8x 0.083 KN/mq = 0.664 KN/mq

Qs= (0.8 + 1 + 0.664) KN/mq = 2.464 KN/mq

 

Qp=carichi permanenti non strutturali

volume [mc/mq] x peso specifico [KN/mc] = [KN/mq]

• pavimento in parquet 2cm

        → (0.02x1x1) [mc/mq] x 7.2 [KN/mc] = 0.144 KN/mq

• massetto 5cm

        → (0.05x1x1) [mc/mq] x 19 [KN/mc] = 0.95 KN/mq

• intonaco 1 cm

        →(0.01x1x1) [mc/mq] x 16 [KN/mc] = 0.16 KN/mq

• isolante acustico 3cm

        →(0.03x1x1) [mc/mq] x 0.3 [KN/mc] = 0.009 KN/mq

• incidenza tramezzi

        → 1 KN/mq

• incidenza impianti

        → 0.5 KN/mq

Qp= (0.144 + 0.95 + 0.16 + 0.009 + 1 + 0.5) KN/mq = 2.763 KN/mq

 

Qa= carichi accidentali

Ambiente ad uso residenziale- categoria A

Qa= 2 KN/mq

 

Inserire i valori trovati nella tabella excell, quindi trovare il carico totale Qu, la tabella di calcolo li somma tra loro e li moltiplica per i tre coefficienti di sicurezza γ_G1 γ_G2  e γ_G3 in seguito li moltiplica per l’interasse della trave che deve essere inserito.

        → Qu= (Qs x γ_G1 + Qp x γ_G2  + Qa x γ_G3 ) x interasse

             Qu= (2.464x1.3 + 2.763x1.5 + 2x1.5) KN/mq x 4m = 41.39 KN/m

Conoscendo la luce della trave e il carico applicato su di essa calcolare Mmax. Essendo una trave appoggiata il momento massimo è ql²/8 quindi:

        → M_max= Qu x l²/8 = 41.39 KN/m x (8)²/8 = 331.13 KNm

          

PROGETTO

Dopo avere fatto l’analisi dei carichi e dopo aver trovato il momento massimo dimensionare la trave.

Per il cemento armato sono necessarie due tensioni di progetto poiché il materiale non è omogeneo:

• f_yd per l’acciaio che deve resistere a trazione → f_yd= f_yk/ γ_s

          dove γ_s è un coefficiente di sicurezza pari a 1.15 e f_yk è la tensione caratteristica di snervamento dell’acciaio               che dipende dalla tipologia di acciaio (in questo caso acciaio S450 → f_yk= 450 N/mm²).

                  → f_yd= (450 N/mm²)/1.15= 391.30 N/mm²

• f_cd per il calcestruzzo che deve resistere a compressione → f_cd= acc (f_ck/γ_c)

          dove acc è un coefficiente riduttivo pari a 0.85, γ_c è il coefficiente di sicurezza del calcestruzzo pari a 1.5 e f_ck            è la caratteristica a compressione del calcestruzzo data dalla tipologia (in questo caso C50 → f_ck= 50 N/mm²).

                  → f_cd = 0.85x(50 N/mm²)/1.5= 28.33 N/mm²

             

In questo modo nella tabella excel vengono calcolati automaticamente i valori di ß e r, tenendo conto del coefficiente di omogeneizzazione n=15.

        → ß= f_cd/(f_cd+(f_yd/n))= 0.52                 

        → r= √2/f_cd (1-ß/3)xß = 2.16

Per trovare l’altezza della trave:

• Stabilire una base (in questo caso b= 30cm)
• Trovare l’altezza utile della sezione reagente in calcestruzzo al di sopra dell’armatura (calcolata automaticamente su excel)

        → Hu= r √M_max/b =42.55cm

• Porre nella tabella δ= 5cm che è la parte in calcestruzzo sotto l’armatura
• Calcolare cosi H_min= hu + δ = 47.55cm
• Una volta trovata l’altezza minima scegliere un’altezza superiore a quest’ultima che sia compatibile con profili esistenti (in questo caso H_min= 47.55cm → H= 50.00cm così da avere una trave 30x50).

           

 

SOLAIO IN ACCIAIO

                 

ANALISI DEI CARICHI

Qs= carichi strutturali

volume [mc/mq] x peso specifico [KN/mc] = [KN/mq]

• trave secondaria in acciaio IPE300        

        → (0.00588x1) [mc/mq] x 78 [KN/mc] = 0.459 KN/mq

• lamiera grecata in acciaio sp.8/10mm

        → 0.06 KN/mq

• getto in calcestruzzo

        →(0.06x1x1) [mc/mq] x 22 [KN/mc] = 1.32 KN/mq

Qs= (0.459 + 0.06 + 1.32) KN/mq = 1.839 KN/mq

 

Qp=carichi permanenti non strutturali

volume [mc/mq] x peso specifico [KN/mc] = [KN/mq]

• pavimento in parquet 2cm

        → (0.02x1x1) [mc/mq] x 7.2 [KN/mc] = 0.144 KN/mq

• massetto 5cm

        → (0.05x1x1) [mc/mq] x 19 [KN/mc] = 0.95 KN/mq

• isolante 3cm

        →(0.03x1x1) [mc/mq] x 0.3 [KN/mc] = 0.009 KN/mq

• incidenza tramezzi

        → 1 KN/mq

• incidenza impianti

        → 0.5 KN/mq

Qp= (0.144 + 0.95 +0.009 + 1 + 0.5) KN/mq = 2.603 KN/mq

 

Qa= carichi accidentali

Ambiente ad uso residenziale- categoria A

Qa= 2 KN/mq

 

Inserire i valori trovati nella tabella excell, quindi trovare il carico totale Qu, la tabella di calcolo li somma tra loro e li moltiplica per i tre coefficienti di sicurezza γ_G1 γ_G2  e γ_G3 in seguito li moltiplica per l’interasse della trave che deve essere inserito.

        → Qu= (Qs x γ_G1 + Qp x γ_G2  + Qa x γ_G3 ) x interasse

             Qu= (1.839x1.3 + 2.603x1.5 + 2x1.5) KN/mq x 4m = 43.18 KN/m

Conoscendo la luce della trave e il carico applicato su di essa calcolare Mmax. Essendo una trave appoggiata il momento massimo è ql²/8 quindi:

        → M_max= Qu x l²/8 = 43.18 KN/m x (8)²/8 = 345.45 KNm

           

PROGETTO

Dopo avere fatto l’analisi dei carichi e dopo aver trovato il momento massimo dimensionare la trave.

Per calcolare la tensione di progetto F_yd per quanto riguarda l’acciaio si devono tenere in considerazione alcuni dati:

• Si deve scegliere la tipologia d’acciaio (in questo caso acciaio S235).
• Andare a controllare i valori della resistenza caratteristica a flessione (f_yk= 235 N/mm²).
• Prendere il valore del coefficiente parziale di sicurezza (γ_m= 1.05)

Inserendo nella tabella questi valori excel calcola la tensione di progetto

             → F_yd= f_yk / γ_m = 223.81 N/mm²

Ricavata la tensione di progetto calcolare il modulo di resistenza a flessione minimo

              → W_xmin= M_max/f_yd = 1543.48cm³

Una volta trovata W_xmin  scegliere in un tabellario ipe un profilato che abbia Wipe> W_xmin

(in questo caso W_ipe = 1928cm³  → H_ipe= 500mm).

Per la terza esercitazione dovevamo verificare la deformabilità di una mensola con l'ausilio di un foglio di calcolo excell, composto di tre fogli, uno per ognuna delle tre tecnologie da analizzare.

Il metodo di calcolo qui utilizzato  simile nella prima parte a quello utilizzato nella seconda esercitazione, ossia poniamo la tensione massima della trave pari a quella di progetto del materiale.

Partiremo quindi da un telaio di nostra scelta

La mensola da noi analizzata avrà un interasse pari a 3,5 m e una luce pari a 2 m.

Andremo quindi a inserire tali valori nei tre fogli di calcolo excell.

 

LEGNO

Per poter completare le colonne che seguono analizzeremo le diverse tecnologie di solaio, partendo dal legno.

Passiamo quindi a definire quali sono gli elementi portanti di un solaio in legno e quali glie elemnti portati.

Per questa prima tecnologia glie elementi portanti saranno composti da travetti in legno 10 cm x 15 cm e dal tavolato.Quindi:

qs: travetti = 6 KN/mc  x 2( 0,1 m x 0,15 m)= 18 KN/mq

      tavolato= 6 KN/mc  x 0,035 m = 0,21 KN/mq

qs= 0,39 KN/mq

Invece per quanto riguardi gli elementi portati questi sono composti da massetto, sottofondo di allettamento, pavimento. Quindi:

qp: massetto= 20 KN/mc x 0,04 m= 0,80 KN/mq

      allettamento= 20 KN/mc x 0,03 m = 0,6 KN/mq

      pavimento= 4 KN/mq

      incidenza impianti= 0,1 KN/mq

      incidenza tramezzi= 1,6 KN/mq

qp= 3,5 KN/mq

Per quanto riguarda invece il carico accidentale esso è stabilito dalla normativa e dipende dall'uso a cui è adibito l'edificio che stiamo analizzando. Nel nostro caso essendo l'edificio adibito ad uso di civile abitazione

qa= 2 KN/mq

Inseriamo quindi i valori ottenuti all'interno del foglio di calcolo excell relativo al legno

Calcoleremo quindi il carico ultimo gravante sulla trave attraverso la formula

qu= (1,3qs + 1,5qp + 1,5qa) x i

Inserendo poi la luce possiamo calcolare ora il momento massimo M max della mensola 

M max= ql^2/2

Ossia la formula parametrica per il calcolo del momento max di una mensola

M(s)= ql x s - qs^2/2

M(l)= ql^2 - ql^2/2= ql^2/2

Andiamo quindi ora a definire la tipologia di legno da utilizzare per la nostra sezione

Utilizzando un legno massiccio C24 la nostra tensione caratteristica sarà pari a fk= 24 N/mm^2

Possiamo quindi ricavare la tensione di progetto

fd= kmod x fk/ ym

dove kmod è pari a 0,8 e ym pari a 1,5

Fissando ora una base per la nostra sezione, calcoleremo l'altezza min

H min=√ 6 Mmax/ b x fd

Ingegnerizziamo quindi il valore scegliendo un'altezza compatibile con i profilati sul mercato subito maggiore a quella trovata.

Una volta dimensionata la nostra sezione dobbiamo calcolare l'abbassamento della nostra mensola: essendo una verifica ad una deformazione e non al collasso, questa srà una verifica agli SLE (Stati Limite di Esercizio)

Ricalcoreremo quindi il carico gravante sulla mensola agli SLE per la combinazione ad uso frequente

qe= (qs + qp + ψ1j) x i

Possiamo ora calcolare il modulo di inerzia 

Ix= (b x h^3)/ 12

Avendo anche definito il modulo elastico E del materiale possiamo infine calcolare l'abbassamento massimo della mensola

v max= ql^4/ 8EI

Secondo la normativa deve essere verificato che il rapporto tra la luce della trave e l'abbassamento max sia maggiore di 250

l = 2 m e vmax= 0,23 cm

l / v max= 200 / 0,23= 869,56 cm > 250

 

ACCIAIO

Calcoleremo ora l'abbassamento max di una trave per la tecnologia dell'acciaio

Per quanto riguarda un solaio in acciaio dobbiamo prima di tutto calcolare nuovamente il carico strutturale, permanente e accidentale, usando lo stesso procedimento adottato per il legno

Il carico strutturale sarà comopsto da lamiera grecata e getto in cls armato per un totale di

qs= 1,8 KN/mq 

I carichi portati saranno invece composti da massetto, pavimento ed isolante per un totale di

qp= 2,7 KN/mq

il carico accidentale rimarrà qa= 2 KN/mq da normativa

Inseriamo quindi i nuovi valori nel foglio di calcolo excell dell'acciaio

Ottengo quindi il carico ultimo qu attraverso la formula

qu= 1,3qs + 1,5qp + 1,5qa

Avendo il carico ultimo e la luce della trave possiamo calcolare il momento max della mensola

M max= ql^2/2

Sciegliamo il tipo di acciaio da utilizzare per la nostra sezione e ne inseriamo la tensione caratteristica, nel nostro caso fk=235 N/mm^2

Siamo quindi in grado di ricavare la tensione di progetto

fd= fk/ ys

dove ys è pari per l'acciaio a 1,05

Ora calcoleremo il modulo di resistenza a flessione min

Wmin= M max/ fd

Ottenuto il valore di Wmin possiamo dimensionare la trave attraverso un profilario scegliendo la sezione corrisponde al modulo di resistenza a flessione subito maggiore a quello ottenuto

Inseriamo ora i valori Ix e il peso corrispondente alla nostra sezione nel foglio di calcolo

Ricalcoliamo il carico allo SLE per combinazione frequente

qe=( qs + qp +ψ1j) x i + peso trave

Inserendo ora il modulo elastico E dell'acciaio possiamo calcolare l'abbassamento

v max= ql^4/ 8EI

Dobbiamo quindi per concludere verificare che il rapporto tra la luce della nostra trave e l'abbassamento max sia maggiore del valore definito dalla normativa

l / v max > 250

 

CLS ARMATO

Analizziamo infine la tecnologia del cls armato, ricalcolando nuovamente carico strutturale, portante e accidentale riguardanti un solaio in cls armato

In questo caso il carico strutturale sarà composto da pignatte, soletta in cls per un totale di

qs= 0,61 KN/mq

Gli elementi portati saranno invece il sottofondo di allettamento, l'isolante e il pavimento, per un totale di

qp= 2,7 KN/mq

il carico accidentale rimane qa= 2 KN/mq da normativa

Inseriamo quindi i nuovi valori all'interno del foglio di calcolo excell

Calcoleremo quindi il carico ultimo attraverso la formula

qu= 1,3qs + 1,5qp + 1,5qa

Ora avendo il carico ultimo e la luce della trave possiamo calcolare il momento massimo della mensola

M max= ql^2/2

Fissiamo in seguito l'acciaio che comporrà le bare della nostra sezione e ne riportiamo la tensione caratteristica( nel nostro caso fk= 450 N/ mm^2 e otteniamo da questa la tensione di progetto

fd= fyk/ ys

Allo stesso modo riportiamo la tensione caratteristica del calcestruzzo della nostra sezione

Nel nostro caso è stato scelto un calcestruzzo C30/37 con fck= 30 N/ mm^2

Otteniamo quindi la tensione di progetto fd= 0,85 x fck/ 1,5

Calcoliamo ora β= fcd/ (fcd + fd/n) dove n=15

Fissando una base otterremo l'altezza utile della nostra sezione hu, a cui dovrà essere sommata la lunghezza del copriferro. Il valore di H ottenuto dovrà poi essere ingegnerizzato.

Calcoliamo quindi ora l'area della sezione( A= b x H essendo una sezione rettangolare), il peso della nostra sezione, moltiplicando il peso specifico del materiale del l'area della sezione.

Avendo ora il peso della sezione possiamo calcolare il carico alla combinazione frequente

qe=(qs + qp + ψ1j) x i + peso

Riporto il modulo elastico E del materiale e calcolo il modulo di inerzia

I= b x h^3/12

Ora disponiamo quindi di tutti gli elementi necessari per calcolare l'abbassamento max della mensola

v max= ql^4/ 8EI

Dobbiamo infine verificare che questo soddisfi la condizione per cui il rapporto tra luce della trave e abbassamento max debba essere maggiore di 250

l / v max > 250

 

Per la terza esercitazione dimensioniamo la  mensola maggiormente sollecitata di un solaio generico, realizzato in acciaio, c.a. e legno.

1. Definizione dell'impalcato del solaio

Consideriamo un telaio 11.5 x 6 m, costituito da più campate, delle quali le ultime due siano sorrette da mensole; la mensola maggiormente sollecitata risulterà essere quella con l'area di influenza maggiore, di luce 2,5 m, interasse 3 m e area d'influenza 7,5 m² .

Oltre al dimensionamento delle tre mensole nelle tre tecnologie scelte, dovremo verificare per ognuna di esse l'abbassamento massimo verticale v_max e il rapporto tra la luce e l'abbassamento l/ v_max tale che I/v_max>250, ossia che l'abbassamento verticale non sia maggiore di 1/250 della luce in esame.

2. Dimensionamento delle tre mensole

Procederemo al dimensionamento delle mensole seguendo le modalità di procedimento del dimensionamento delle travi,discusso nell'esercitazione precedente:

• a. analisi dei carichi e calcolo di q_u
• b. calcolo del momento
• c. dimensionamento a flessione della trave

ricordandoci però che, data la geometria e la distribuzione delle forze della mensola,

il Mmax non risulterà uguale a quello di una trave doppiamente appoggiata; esso sarà dato dall'equazione:

                                                                     M_max= (q_u x l²)/2

2.a. ACCIAIO

Data la seguente stratigrafia, i carichi agenti ed il conseguente M_max risulteranno:

In questo caso, scelto un acciaio S235, avremo un profilato IPE 270, ottenuto sulla base del calcolo del modulo di resistenza a flessione W_x,min< W_d:

2.b. CALCESTRUZZO ARMATO

Per quanto riguarda il calcestruzzo armato, avremo carichi e Momento M_max come segue:

In base al momento, data una base di progetto b_d , dimensioniamo l'H_d e verifichiamo che l'aggiunta del peso proprio della trave al carico ultimo q_u non ne comprometta il dimensionamento iniziale:

In questo modo otterremo una sezione in c.a. 25x40 cm con acciaio B450C e cls C50/60

2.c. LEGNO

I carichi e il M_max agenti sulla trave lignea saranno:

e di conseguenza, tenendo conto della destinazione d'uso, della classe di servizio e del coefficiente di riduzione della resistenza k_mod, avremo una trave la cui sezione viene ingegnerizzata partendo dalla b_d di 30 cm:

Otteniamo così una sezione in GL24h 30 x 45 cm.

3. Calcolo e verifica degli abbassamenti per le tre mensole

Una volta dimensionate le tre mensole, come da precedente esercitazione, dobbiamo  calcolare e verificare per Normativa l'abbassamento verticale massimo della mensola; esso non deve superare 1/250 della luce ed è influenzato dalle caratteristiche geometriche e meccaniche del materiale, nonché dalla luce e dal carico agente sulla sezione, essendo dato da:

Poiché esso non compromette la capacità portante ultima della mensola, ma ne compromette comunque le prestazioni di esercizio, la combinazione di carico in analisi non è quella calcolata allo SLU q_u, bensì quella allo SLE per una combinazione di carico frequente q_e; esso è dato da:

         q_e= (q_s+ q_p+ psi₁₁ x q_a) x i

3.a ACCIAIO

• Calcolo di v_max:  noto il profilo IPE270 realizzato in acciaio S235, ne conosco anche il momento d'inerzia I_x e il modulo elastico E; posso pertanto calcolare il v_max= 0,14 cm come da formula ( tenendo conto del fatto che il peso della trave in acciaio viene sommato agli altri carichi nel calcolo di q_e)
• Verifica: l= 2,5 m, v_max= 0,14 cm l/v_max=1724,49>250    la verifica è soddisfatta

​

3.b. CALCESTRUZZO ARMATO

• Calcolo di v_max: determinata la sezione 25x40 e i due materiali costituenti, conosco il mod. elastico E e posso calcolare il momento d'inerzia I_x= (b x h³)/12; tenendo conto che anche per il c.a. il peso proprio della trave va sommato al carico, possiamo conoscere v_max= 0,46 cm
• Verifica: l=2,5 m, v_max=0,46 cm l/v_max= 536,72>250    la verifica è soddisfatta

3.c. LEGNO

• Calcolo di v_max: dimensionata la nostra sezione 30x45 cm in GL24h, ne conosco il modulo elastico e posso ricavare il mom. d'inerzia I_x= 227815,5 cm4 come visto in precedenza; ora possiamo conoscere l'abbassamento massimo v_max, sapendo che per il legno non si tiene conto del peso proprio della trave: v_max= 0,79 cm 
• Verifica: l=2,5 m, v_max=0,79 cm l/v_max= 316,06>250       la verifica è soddisfatta

 

 

 

Obiettivo: dimensionamento della sezione di una trave a sbalzo nei tre materiali: legno, acciaio e cemento armato

Inizio disegnando il solaio e calcolando l'area di influenza della trave più sollecitata all'interno della mensola

così facendo individuo

Luce= 2 m 

Interasse= 4m

Area di influenza= 8 mq

ACCIAIO

scelgo lo stesso solaio utilizzato per il dimensionamento di una trave inflessa (Esercitazione 2) ed utilizzo i valori già trovati.

 

a questo punto utilizzo una nuova tabella per dimensionare la trave maggiormente sollecitata. 

la differenza fondamentale rispetto all'esercizio precedente di trova nel calcolo del momento massimo  che non sarà pari a

Mmax=ql²/8

come in una trave doppiamenta appoggiata ma

Mmax= ql²/2  

come avviene invece nell'incastro di una mensola.

Nella nuova tabella inserisco i carichi qs, qp e qa ottenendo la somma qu in cui i vari carichi sono maggiorati dai rispettivi coefficienti di suicurezza.

una volta inseriti luce ed interasse ottengo il momento massimo  e dopo aver scelto la classe dell'acciaio (s235) ottengo anche il Wx minimo che mi pemette di scegliere una sezione dal profilario.

dopo aver scelto un' ipe 240  ne inserisco il valore dell'inerzia Ix ed il suo peso che mi permette di trovare il carico totale

dopo aver scelto un'ipe 240  ne inserisco il valore dell'inerzia Ix ed il suo peso che mi permette di trovare il carico totale

qe = (qs + qp + qa*0,5) * interasse

Inserendo poi il valore del modulo elastico dell'acciaio E= 210000 N/mm² ottengo l'abbassamento massimo pari a 

abbassamento massimo = qe*l ⁴/ 8 EI_x

Se quest'ultimo risulta inferiore ad 1/250 della luce la verifica risulta soddisfatta come da normativa.

CALCESTRUZZO ARMATO

Come fatto per l'acciaio scelgo un solaio di riferimento e ne calcolo i carichi.

a questo punto inserisco i dati trovati nella tabella excel per il dimensionamento della mensola ed ottengo il momento massimo come per l'acciaio.

Scelgo ed inserisco i dati dei materiali da utilizzare acciaio da armatura fyk=450 MPa e calcestruzzo ordinario con resistenza caratteristica fck=30 MPa

Scegliendo una base di 30 cm ottengo una altezza minima di 36,74 cm che approssimo a 40 cm 

 

aggiungendo ai carichi il peso della sezione scopro che la sezione 400x300 mm è verificata

a questo punto, come per l'acciaio non mi resta che verificare che l'abbassamento sia inferiore ad 1/250 dlla luce, e per far ciò inserisco il modulo elastico dell'acciaio ossia  E= 210000 MPa 

 

LEGNO

Come ultima prova scelgo un solaio in legno e procedo come per gli altri due materiali

come per gli altri materiali inserisco i dati nella tabela excel ed ottengo il momento massimo

Fatto ciò scelgo un legno lamellare incollato GL 24 e ne inserisco i dati.

fissata una base di 30 cm ottengo un'altezza minima di 42,11cm che ingegnerizzo a 45 cm.

Per quanto riguarda la verifica, data la leggerezza del materiale non considero il peso proprio della trave, ma  mi preoccupo solo di non avere un abbassamento superiore ad 1/250 della luce.

la sezione risulta verificata.

 

 

Per il dimensionamento di una trave di un generico solaio, bisogna individuare la trave più sollecitata ed analizzarne i carichi.

 

 

Solaio in C.A.

Analisi dei carichi

Carichi strutturali = qs

         Volume (m³/m²) x peso specifico (kN/m³) = (kN/ m²)

• Soletta   (0.04x1x1) m³/m² x 25 kN/m³ = 1 kN/ m²  
• Pignatte 2x (0.4x0.16x0.25) m³/m² x 5 kN/m³ = 0.16 kN/ m²  
• Travetti 2x (0.1x0.16x1) m³/m² x 25 kN/m³ = 0.4 kN/ m²  

    Qs = 1+0.16+0.4 = 1.56 kN/ m²  

 

Carichi permanenti = qp

• Pavimento in gres ceramico (0.02x 1x1) m³/m² x 0.2 kg/m³ = 0.4 kN/ m²  
• Massetto (0.08x1x1) m³/m² x 18 kN/m³ = 1.44 kN/ m²  
• Isolante di polistirene espanso (0.1x1x1) m³/m² x 0.2 kN/m³ = 0.02 kN/ m²  
• Incidenza tramezzi = 1 kN/ m²  
• Incidenza impianti = 0.5 kN/ m²  

Qp = 0.4+1.44+0.02+1+0.5 = 3.36 kN/ m²  

 

Carichi accidentali = qa

 Da normativa categoria A – ambienti ad uso residenziale = 2 kN/ m²  

 

Inserendo i risultati nella tabella Excel si ottengono i valori del carico ultimo, e conoscendo la luce della trave anche il momento massimo.

Ora scegliendo il tipo di acciaio e cls sono note anche le tensioni caratteristiche (fyk e fck), da cui si ricavano β e r.

Stabilendo una base minima e una dimensione per il copriferro ottengo l’altezza minima, ma essendo il C.A. un materiale pesante, una volta ingegnerizzata la sezione devo effettuare una verifica aggiungendo al carico ultimo il peso proprio.

 

 

Solaio in acciaio 

 

Analisi dei carichi

Carichi strutturali = qs

• Lamiera grecata (0.01m x 10.47 kg/m³ ) = 0.1047 kN/ m²  
• Getto in cls ( 0.12 m³/m² x 25 kg/m³ ) = 3 kN/ m²  

Qs = 0.10+3= 3.10 kN/ m²  

 

Carichi permanenti = qp

• Pavimento in gres ceramico ( 0.02 m x 0.2 kg/m³ ) = 0.4 kN/ m²  
• Massetto (0.05x 1x1) m³/m² x 19 kg/m³ = 0.95 kN/ m²  
• Incidenza tramezzi = 1 kN/ m²  
• Incidenza impianti = 0.5 kN/ m²  

Qp = 0.4+0.95+1+0.5 = 2.85 kN/ m²  

Carichi accidentali = qa

 Da normativa categoria A – ambienti ad uso residenziale = 2 kN/ m²  

 

Inserisco i valori nella tabella Excel e si trova il cario ultimo

Conoscendo la luce si trova il valore del momento, e stabilendo l’acciaio si ottiene il valore del W_min

Controllando un profilario di travi IPE si ingegnerizza il risultato, ottenendo così la trave necessaria per quel solaio. 

 

Solaio in legno 

 

Analisi dei carichi

Carichi strutturali = qs

• Tavolato in abete ( 0.03 m x 6 kg/m³ ) = 0.18 kN/ m²  
• Travetto secondario ( 0.08 m x 8 kg/m³ ) = 0.64 kN/ m²  

 Qs = 0.18+0.64 = 0.82 kN/ m²  

 

Carichi permanenti = qp

• Pavimento in parquet (0.015x1x1) m³/m² x 7.2 kg/m³ = 0.108 kN/ m²  
• Massetto ( 0.05 m x 19 kg/m³ ) = 0.95 kg/m²
• Incidenza tramezzi = 1 kg/m² 
• Incidenza impianti = 0.5 kg/m²

Qp =0.108+0.95+1+0.5 = 2.55 kg/m²  

 

Carichi accidentali = qa

 Da normativa categoria A – ambienti ad uso residenziale = 2 kN/ m²  

 

Inserisco i valori nella tabella Excel e si trova il cario ultimo

Conoscendo la luce si trova il valore del momento e stabilendo la classe del materiale, si ha la resistenza caratteristica (si stabiliscono anche i valori di k_mod e γ)

Si ottiene la tensione di progetto e stabilendo la base ottengo la mia altezza minima che dovrò ingegnerizzare.

1.Disegno una generica carpenteria, imponendo l’orditura dei solai e quindi l’andamento delle travi principali.

2. Calcolo le aree di influenza delle travi principali per individuare quella maggiormente sollecitata, che dimensionerò in tre diverse tipologie costruttive: calcestruzzo armato, acciaio e legno.

Luce: 6 m

Interasse: 5 m

Area di influenza: 30 mq

 

3. Individuo i carichi agenti su 1 mq di solaio: carichi strutturali (qs), carichi permanenti (qp) e carichi accidentali (qa) per un edificio la cui destinazione d’uso è residenziale. Trovo la combinazione di carico allo stato ultimo sommando tutti i carichi moltiplicati per i rispettivi coefficienti di sicurezza:

qtot= 1,3 x qs + 1,5 x qp + 1,5 x qa

Il carico agente sulla trave sarà qu= qtot x i (=interasse)

Il momento massimo in mezzeria sarà uguale a qul²/8 perché prendo in considerazione la trave doppiamente appoggiata.

 

CALCESTRUZZO ARMATO

1 -> Pavimentazione interna in marmo        s= 3 cm                   P= 2700 Kg/m³

2 -> Malta in cemento                                      s= 2 cm                   P= 2000 Kg/m³

3 -> Massetto in calcestruzzo ordinario        s= 5 cm                   P= 1800 Kg/m³

4 -> Soletta (blocchi + travetti)                      s= 16 cm                 P= 1500 Kg/m³ - P= 2500 Kg/m³

5 -> Intonaco esterno                                      s= 2 cm                   P= 1800 Kg/m³

 

Calcolo dei carichi:

1/interasse= 1/0,4= 2,5 elementi

--Strutturali

   Blocchi= A x P x 1/ 2,5 = 0,18 KN/m²

   Travetti= 0,1 KN/m²

  

qs=  (0,18 + 0,1) KN/m² = 0,28 KN/m²

 

--Permanenti

   Pavimentazione= s x P x 1 = 0,081 KN/m²

   Malta= 0,04 KN/m²

   Massetto= 0,09 KN/m²

   Intonaco esterno= 0,036 KN/m²

   Incidenza tramezzi= 0,5 KN/m²

   Incidenza impianti= 1 KN/m²

 

qp=  (0,081 + 0,04 + 0,09 + 0,04 + 0,036 + 0,5 + 1) KN/m² = 1,787 KN/m²

 

--Accidentali

qa=  2,0 KN/m²  da normative per uso abitativo

 

Carico TOTale (qs + qp + qa) x i(=1) = 4,067 KN/m²

 

ACCIAIO

1 -> Pavimentazione interna in marmo        s= 3 cm                   P= 2700 Kg/m³

2 -> Malta in cemento                                      s= 2 cm                   P= 2000 Kg/m³

3 -> Massetto in calcestruzzo alleggerito      s= 9 cm                   P= 400 Kg/m³

4 -> Tavelloni in laterizio                                  s= 6 cm                   P= 600 Kg/m³

5 -> Intonaco esterno                                       s= 2 cm                   P= 1800 Kg/m³

 

Calcolo dei carichi:

1/interasse= 1/0,4= 2,5 elementi

--Strutturali

   Tavelloni= A x P x 1/ 2,5 = 0,043 KN/m²

   Travi Ipe100= 2,0253 KN/m²

  

qs=  (0,043 + 2,0253) KN/m² = 2,0683 KN/m²

 

--Permanenti

   Pavimentazione= s x P x 1 = 0,081 KN/m²

   Malta= 0,04 KN/m²

   Massetto= 0,036 KN/m²

   Intonaco esterno= 0,036 KN/m²

   Incidenza tramezzi= 0,5 KN/m²

   Incidenza impianti= 1 KN/m²

 

qp=  (0,081 + 0,04 + 0,036 + 0,036 + 0,5 + 1) KN/m² = 1,693 KN/m²

 

--Accidentali

qa=  2,0 KN/m²  da normative per uso abitativo

 

Carico TOTale (qs + qp + qa) x i(=1) = 5,7613 KN/m²

 

LEGNO

1 -> Pavimentazione interna legno di noce        s= 0,5 cm                   P= 600 Kg/m³

2 -> Massetto in calcestruzzo                                s= 2 cm                      P= 1800 Kg/m³

4 -> Assito in legno                                                  s= 3 cm                      P= 710 Kg/m³

5 -> Travi in legno                                                    s= 8 cm                      P= 710 Kg/m³

 

Calcolo dei carichi:

1/interasse= 1/0,4= 2,5 elementi

--Strutturali

   Assito= A x P x 1/ 2,5 = 0,0213 KN/m²

   Travi= 0,018 KN/m²

 

qs=  0, 0393 KN/m²

 

--Permanenti

   Pavimentazione= s x P x 1 = 0,03 KN/m²

   Massetto= 0,036 KN/m²

   Incidenza tramezzi= 0,5 KN/m²

   Incidenza impianti= 1 KN/m²

 

qp=  (0,03 + 0,036 + 0,5 + 1) KN/m² = 1,566 KN/m²

 

--Accidentali

qa=  2,0 KN/m²  da normative per uso abitativo

 

Carico TOTale (qs + qp + qa) x i(=1) = 3,966 KN/m²

 

ESERCITAZIONE 3 _ DIMENSIONAMENTO DI UNA TRAVE A SBALZO, IN LEGNO, ACCIAIO E CEMENTO ARMATO

L’esercitazione prevede il dimensionamento di una trave a sbalzo in tre diverse tecnologie: legno, acciaio e cemento armato.

Anche per la progettazione di una trave a sbalzo sarà necessario definire l’area di influenza della trave (interasse x luce). 

La trave maggiormente sollecitata ha una luce di 3 m, e un interasse di 5 m.

In questa esercitazione come per la precedente sarà necessario utilizzare tre differenti fogli Excel a seconda del materiale, e sarà necessario, anche qui, calcolare i carichi agenti sulla trave a seconda della tecnologia utilizzata.

DIMENSIONAMENTO TRAVE A SBALZO IN LEGNO

Consideriamo il peso specifico di ogni materiale che compone il solaio; calcolo i tre carichi agenti sulla trave.

Carico strutturale (qs)

-tavolato, (0,03 m x 1 m x 1 m) /mq x 7 KN/mc = 0,21 KN/mq

-travetti, 2(0,1 m x 0,14 m x1 m) /mq 6 KN/mq = 0,168 KN/mq

Qs = 0,21 KN/mq + 0,168 KN/mq = 0,378 KN/mq

Carico portato (qp)

-pavimento, 0,3 KN/mq

-massetto, (0,03 m x 1 m x 1 m) /mq x 19 KN/mc = 0,57 KN/mq

-allettamento, (0,06 m x 1 m x 1 m) /mq x 14 Kn/mc = 0,84 KN/mq

Qp = 0,3 KN/mq + 0,57 KN/mq + 0,84 KN/mq = 1,71 KN/mq

Carico accidentale (qa)

Prendendo la tabella dalla normativa ho ipotizzato un uso residenziale quindi ho:

Qa = 2 KN/mq

Compilo il foglio Excel con i tre carichi così da calcolare il qu, che è la somma dei tre carichi moltiplicati per dei coefficienti di sicurezza x l’interasse.

In seguito posso aggiungere la luce della trave, in modo da ottenere il M_max.

Fino a questo punto il l’iter di progetto utilizzato è lo stesso per quella della trave doppiamente appoggiata, ma il M_max è differente poiché dobbiamo far riferimento al modello di mensola, quindi

M =ql^2/2 

Inserisco i dati relativi al tipo di legno scelto per la trave da progettare.

Imposto una base di 30 cm ottenendo una H_min pari a 40,2 cm.

Ingegnerizzo questa misura prendendo H = 45 cm

Per la mensola è necessario calcolare e verificare l’abbassamento della trave.

Determino quindi il modulo elastico  (E=8000) e il momento d'inerzia (Ix=(b*h³) /12) e carico totale qe (combinazione di carico frequente per SLE reversibili), necessario per il calcolo dello spostamento.

Qe = (G1 + G2 + Ψ1 x  Q1) x i

A questo punto è possibile calcolare l'abbassamento max (Vmax) e verificare che il rapporto tra la luce della trave e il suo spostamento max sia maggiore di 250, come da normativa.

Vmax=qel^4/8EIx                                 l/ Vmax ≥ 250

È verificata!

DIMENSIONAMENTO DI UNA TRAVE A SBALZO IN ACCIAIO (IPE S235)

Il procedimento è simile a quello per il progetto della trave in legno, bisogna quindi scegliere il tipo di acciaio. Anche qui è necessario considerare il peso specifico di ogni materiale che compone il solaio e quindi calcolare i tre carichi agenti sulla trave.

Carico strutturale (qs)

- IPE 200: 2 (0,00285 mq x 1 m) / 78,5 KN/mc = 0,447 KN/mq

- Getto in calcestruzzo e lamiera grecata: (21 kN/mc x 0,075 mc) / 1 mq = 1,86 KN/mq

Qs = 0,447 kN/mq + 1,86 kN/mq = 2,307 kN/mq

Carico permanente (qp)

-pavimento, 0,3 KN/mq

-massetto, (0,03 m x 1 m x 1 m) /mq x 19 KN/mc = 0,57 KN/mq

-isolante, (0,06 m x 1 m x 1 m) /mq x 14 Kn/mc = 0,84 KN/mq

Qp = 0,3 KN/mq +  0,57 KN/mq + 0,84 KN/mq = 1,71 KN/mq

Carico accidentale (qa)

Anche qui ho ipotizzato un uso residenziale, seguendo la tabella della normativa quindi ho:

Qa = 2 KN/mq

Compilo il foglio Excel con i tre carichi così da calcolare il qu.

In seguito aggiungo la luce della trave (3m) così da ottenere il M_max (M =ql^2/2)

Aggiungo le caratteristiche del materiale fyk che verrà moltiplicato per il coefficiente di sicurezza γ=1,05 per ottenere il Wxmin (860,97).

Avendo il modulo di resistenza minimo posso scegliere un profilato (IPE 360) e completare la tabella per vedere se la sezione scelta è adatta. Inserisco quindi il momento di inerzia (Ix = 16270 cm^4) e il peso (0,571 Kn/m) e il modulo di elasticità (E = 210000).

Con questi ultimi dati posso verificare se la sezione scelta rispetta i limiti di abbassamento. Il foglio infatti mi calcolerà il Qe (che in questo caso tiene in considerazione anche il peso della trave, a differenza del legno che è considerato un materiale leggero ), con cui sarà possibile calcolare l'abbassamento max (Vmax) e verificare che il rapporto tra la luce della trave e il suo spostamento max sia maggiore di 250, come da normativa.

​

Vmax=qel^4/8EIx                                 l/ Vmax ≥ 250

 

La sezione e idonea!

 

 

DIMENSIONAMENTO TRAVE A SBALZO IN CEMENTO ARMATO

 

Ancora una volta procedimento è simile a quello per il progetto delle travi precedenti. Calcolo quindi i carichi agenti sul solaio.

Carico strutturale (qs)

 

- soletta collaborante :                      (0,04m x 1m x 1m)/mq x 24KN/mc = 0,96 KN/mq
- travetti:                                        2(0,10m x 0,16m x 1m)/mq x 24KN/mc = 0,768 KN/mq
- pignatta:                                       8 x 9,1 Kg/mq = 72,8 Kg/mq = 0,728 KN/mq

Q_s = (0,96 + 0,768 + 0,728 ) KN/mq = 2,456 KN/mq

 

Carico permanente (qp)

 

- pavimento in cotto:                        24Kg/mq = 0,24KN/mq
- malta di sottofondo:                       (0,02m x 1m x 1m)/mq x 18KN/mc = 0,36KN/mq
- strato di allettamento in cls             (0,03m x 1m x 1m)/mq x 24KN/mc= 0,72KN/mq
- isolante in lana di vetro                  (0,08m x 1m x 1m)/mq x 0,2KN/mc = 0,016KN/mq
- massetto delle pendenze                 (0,04m x 1m x 1m)/mq x 18KN/mc = 0,72KN/mq intonaco                                       (0,01m x 1m x 1m)/mq x 13KN/mc = 0,13KN/mq

Q_p= (0,24 + 0,36 + 0,72 + 0,016 + 0,72 + 0,13 ) KN/mq = 2,186 KN/mq

 

 

Carico accidentale (qa)

Anche qui ho ipotizzato un uso residenziale, seguendo la tabella della normativa quindi ho:

Qa = 2 KN/mq

Ora anche per il calcestruzzo armato posso compilare il foglio Excel con i tre carichi così da calcolare il qu.

Dopo aver inserito nel file anche la luce, viene calcolato automaticamente il Mmax agente sulla trave.

In seguito imposto le proprietà sia dell’acciaio (fyk) che del calcestruzzo (fck) che vengono automaticamente moltiplicati per i loro coefficienti di sicurezza (1,15 e 1,5).

Essendo la trave composta da due materiali diversi, le proprietà del materiale devono essere omogenizzate secondo un coefficiente (n=15) in modo da ottenere ß e r. 

Ora posso impostare la larghezza della trave (b=40 cm) così che Excel mi calcola l’altezza utile della trave (Hu=42,8), che sommata alla distanza dal baricentro del ferro teso al lembo teso (δ=4) e mi da l’altezza minima(Hmin=46,80). 

Ingegnerizzo scegliendo una sezione alta 50 cm.

A questo punto è possibile ottenere il peso unitario della trave e il Qe;

Automaticamente quindi Excel svolge un’altra volta tutta la riga con i nuovi dati (è cambiato il qu) così posso sapere se la trave progettata è verificata o meno. È verificata! 

Il procedimento per il dimensionamento della mensola è similissimo a quello per la trave doppiamente appoggiata, ma in più anche per il cemento armato sarà necessario fare la verifica ad abbassamento dove Vmax=qel^4/8EIx e l/ Vmax ≥ 250

Anche qui la sezione scelta è verificata!