Portale di Meccanica

L’esercitazione prevede il dimensionamento e la verifica di un graticcio costituito da travi inflesse incastrate in ogni nodo. 
Ipotizziamo un telaio di 30x30 m con 5 piani fuori terra, sorretto da pilastri posti ad un interasse di 10 m. Ipotizziamo una sezione dei pilastri di primo tentativo, distinguendo tra pilastri angolari e pilastri perimetrali con un calcestruzzo di classe di resistenza C50/60.

---

Cominciamo a modellare la struttura su Sap assicurandoci che i pilastri siano posti di coltello, quindi con l’inerzia maggiore nella direzione di sviluppo del graticcio.
Anziché modellare direttamente il graticcio ne simuliamo il comportamento attraverso l’uso di un modello continuo equivalente, una piastra discretizzata, per valutare le sollecitazioni agenti sulla struttura: con queste dimensioneremo i pilastri e le travi del graticcio. Scegliamo uno spessore iniziale della piastra di 1 m e un calcestruzzo C50/60 con coefficiente di Poisson pari a 0 per tenere conto della formazione di vuoti dovuta alla deformazione. Assegniamo poi ai pilastri le sezioni e i vincoli esterni. Applichiamo le forze agenti sulla struttura come carichi puntiformi considerando il carico allo SLU utilizzato nelle altre esercitazioni, pari a 10,31 kNm^-2, differenziando la forza agente sui nodi angolari, perimetrali e centrali in base all’area di influenza. 

A questo punto facciamo partire l’analisi con il carico applicato e il peso proprio degli elementi strutturali per ricavare il momento massimo agente sulla struttura con cui dimensionare le travi del graticcio e i pilastri. 
Visualizziamo la deformata e i valori del momento sulla piastra. 

 

Prima analisi
Pilastri angolari                     1x1m
Pilastri perimetrali                 0,6x1,2m
Piastra                                  spessore 1m
Carichi applicati                    F = 10,31 KN; F/2 = 5,15 KN; F/4 = 2,58 KN
M_max (pilastro)                     10117,68 KNm

---

Con il momento massimo agente sulla piastra andiamo a dimensionare le travi del graticcio: 
​scegliamo un interasse delle travi del graticcio pari a 2,5 m e calcoliamo il momento di inerzia di una striscia di piastra alta 1 m e larga 2,5 m. 
I_x = (bh³)/12 = (2,5mx1³m³)/12 = 0,208 m⁴
Imponiamo che la piastra e il graticcio siano equivalenti in rigidezza e che quindi il momento di inerzia della piastra sia lo stesso del graticcio. Impostiamo una base arbitraria, pari a 0,4 m, e calcoliamo l’altezza utile delle travi del graticcio:
h_u = [(12I_x)/b]^1/3 = [(12x0,208 m⁴)/0,4m] ^1/3 = 1,84 m

Su Sap andiamo a modellare le travi del graticcio con una sezione di 0,4x1,8 m e poste ad un interasse di 2,5 m. Modelliamo le travi come incastrate in ogni nodo, in modo che si riduca l’inflessione delle singole travi. 

A questo punto applichiamo nuovamente i carichi in base all’area di influenza.
Facciamo partire l’analisi con il carico applicato e il peso proprio e visualizziamo la deformata e i diagrammi del momento.

Seconda analisi
Pilastri angolari                     1x1 m
Pilastri perimetrali                 0,6x1,2 m
Travi graticcio                       0,4x1,8 m
Carichi applicati                    F = 257,75 KN; F/2 = 128,87 KN; F/4 = 64,44 KN
M_max-pilastro                        10362,5 KNm
M_max-trave                            10971,2 KNm
M_{max-trave bordo}                   1793 KNm

---

A questo punto andiamo a verificare cosa succede nel momento in cui aumentiamo la rigidezza della trave di bordo del graticcio: 

Terza analisi
Pilastri angolari                       1x1 m
Pilastri perimetrali                   0,6x1,2 m
Travi di bordo graticcio           1x1,8 m
Carichi applicati                      F = 257,75 KN; F/2 = 128,87 KN; F/4 = 64,44 KN
M_max-pilastro                           10595,58 KNm
M_max-trave                               7438,85 KNm
M_{max-trave bordo}                      3507 KNm

Notiamo quindi che all’aumentare della rigidezza torsionale della trave di bordo diminuisce sensibilmente il momento sulla trave in prossimità del pilastro mentre invece il momento sul pilastro risulta di poco minore rispetto a quello che si verificava con una trave di bordo meno rigida.

---

A questo punto possiamo effettuare una verifica di resistenza dei pilastri: verifichiamo i pilastri a flessione retta poiché l’eccentricità, data dal rapporto tra il momento agente e lo sforzo normale, è di molto superiore a h/6. 

Risulta che i pilastri così dimensionati non sono verificati a flessione: andiamo quindi ad aumentarne la sezione e rifacciamo l’analisi. 

Quarta analisi
Pilastri angolari                     1x1 m
Pilastri perimetrali                 0,6x1,8 m
Travi di bordo graticcio         1x1,8 m
Carichi applicati                    F = 257,75 KN; F/2 = 128,87 KN; F/4 = 64,44 KN
M_max-pilastro                         14595,98 KNm
M_max-trave                             9527,34 KNm
M_{max-trave bordo}                    3050 KNm

Notiamo che aumentando la sezione del pilastro diminuiscono sia il momento sulla trave di bordo che su quella in prossimità del pilastro. 
Osserviamo anche che il momento massimo sulla trave in prossimità del pilastro ottenuto dall’ultima analisi si avvicina abbastanza a quello ricavato simulando il graticcio con il modello di piastra. 

---

A questo punto verifichiamo che la trave di bordo resista a torsione. Il momento torcente massimo sulla trave che risulta dall’analisi è pari a 3973,16 KNm.

Verifichiamo che la tensione tangenziale massima sia minore della tensione ammissibile del calcestruzzo compresso: 
τ_max= (αxM_t)/ba²=(4,296x3973,16x10³Nm)/2,5x1,8²m²=2,19 MPa con α=3+1,8(a/b)=3+1,8(1,8m/2,5m)=4,296
τ_max < 8MPa

---

Effettuiamo dunque una verifica di deformabilità per assicurarci che l’abbassamento della struttura sia minore di quello ammissibile. Gli abbassamenti maggiori si verificano verso il centro del graticcio, dove il valore massimo risulta -0,05278 m con applicata una combinazione di carico allo SLU (q_u=10,31kNm^-2).
L’abbassamento che si verifica sulla struttura risulta minore di l/200 anche con applicato il carico allo SLU quindi consideriamo superata la verifica di abbassamento poiché il carico applicato allo SLE sarebbe di molto minore (6,1 kNm^-2). 

Studentesse: Nicole Michelena e Marta Sacristán

 

Introduzione:

In questa esercitazione simuleremo il comportamento di un graticcio di travi inflesse in c.a., di dimensioni 30x30 metri, appoggiato su pilastri di h. 4 metri posizionati lungo il suo perimetro, ipotizzando che il questo sostenga 4 piani superiori (stimeremo un peso di 10 KN/ m2 per ogni piano.

Il graticcio di travi inflesse che dimensioneremo è composto da travi a-gerarchiche (con un nodo rigido tra loro) ordite secondo un passo costante e perpendicolari fra loro.

Al fine di semplificare la progettazione della sezione delle travi che lo compongono, ci serviremo della teoria della piastra intesa come un continuo bidimensionale, sollecitata al di fuori del suo piano medio (questo implica uno spostamento che inflette e torce.

Il graticcio e la piastra sono molto simili tra loro, infatti se infittissimo la trama di questo, il risultato è quello di un comportamento di piastra.

I passaggi che faremo sono i seguenti:

• Consideriamo una piastra in cls, altezza 100 cm. (soletta piena).
• Applichiamo i carichi agenti su di essa considerando anche il peso proprio, non trascurabile.
• Analizziamo il momento max e ci interessiamo di una striscia di essa di dimensioni 100 x 100 cm

Verifiche:

• Verifichiamo gli abbassamenti ( d Max < = 1/200 L)
• Verifichiamo la tensione normale Max

Se entrambe le verifiche sono soddisfatte, sapremo la altezza di una soletta piena in cls.

Ci interessiamo del momento di inerzia di una striscia, lo calcoliamo, e lo useremo quindi come strumento per ricavare l’area della sezione di una trave in c.a. del graticcio.

Sostituiremo infine la piastra in Sap con un graticcio di travi inflesse che abbiano il momento di inerzia equivalente a quello della piastra, avendo precedentemente deciso il passo strutturale che dovranno avere.

 

1. Modellazione di una piastra (soletta piena in cls):

Iniziamo col definire le dimensioni di una griglia > Grid Only> 30 x 30 metri h pilastri 4 mt.

  

Definizione dei pilastri:

Definiamo il materiale: Define > Materials> Add New Material> Concrete> C50/60

Definiamo le sezioni: Define> Frame Sections> Rectangular>Concrete>

• Pilastri Angolari 1x1m
• Pilastri :1,2 x 0,6 m

Ora vedremo i pilastri nella loro visualizzazione estrusa e capiremo quali sono i loro assi locali, in modo tale da posizionarli correttamente, cioè con la loro inerzia maggiore nella direzione dello sviluppo del graticcio.

Selezioniamo quali devono essere ruotati e effettuiamo questa operazione con il comando Assign>Frame>Local Axes.

 

• Ora che i pilastri sono disposti nella maniera corretta, gli assegniamo i vincoli di incastro a terra.

Assign>Joints>Restaints>Incastro.

Modellazione della piastra:

Prima di disegnarla come SHELL, definiamo un materiale cls 50/60 con la differenza che in questa esercitazione non considereremo il coefficiente di Poisson, pertanto lo imposteremo = 0

Ora definiamo la sezione >Define >Area Section>SHELL>Shell Thick >Materiale creato precedentemente>Dimensioni 1x1 m.

Chiaramente il PP della piastra va sempre considerato in quanto non è trascurabile, trattandosi di queste dimensioni e del cls.

Definiamo quindi un nuovo load pattern che chiameremo F con un self weight multiplier =1.

Disegniamo la piastra con il comando Draw Poly Area, la sezione sarà SHELL, precedentemente creata.

Facciamo ora l’operazione di discretizzare questa area, in modo tale che Sap consideri molte piccole aree al suo interno al fine di avere una maggiore precisione di calcolo.

Edit > Areas>Divide Areas> 0,50 x 0,50 m.

Seleziono l’area discretizzata e gli riassegno la sezione SHELL.

Ora dobbiamo assegnare i carichi agenti sulla piastra, ma per farlo bisogna distinguere i carichi che agiscono su i nodi posti in posizione perimetrale, centrale o angolare, in quanto porteranno una percentuale differente di carico concentrato.

Define>Groups>- NODI ANGOLARI e NODI PERIMETRALI (tutti gli altri rimarranno su ALL, gruppo di default di Sap). Selezioniamo i nodi e li assegno al gruppo corrispondente.

Consideriamo che la piastra modellata porti un peso di 10 KN/m2 per piano, e consideriamo 4 piani in totale.

30x30m = 900 m2 x 10 kN/m2 x 4 piani = 36000 kN .

Selezioniamo tutta la shell >Deselect Groups> togliamo i nodi angolari e perimetrali per assegnare il carico a quelli centrali. Faremo questa operazione ogni volta fino ad aver assegnato correttamente il carico puntuale sui tre gruppi di nodi.

Riassumendo:

• Nodi Centrali: carico di 10 KN
• Nodi Perimetrali: carico di 5 KN
• Nodi Angolari: carico di 2,5 KN

-Lanciamo l’analisi : per trovare il momento massimo .

Consultiamo i risultati dell’analisi e vediamo che il comportamento alle sollecitazioni di momento è piuttosto regolare e il momento M1-1, intorno all’asse 1 (x) ci aspettiamo che sia uguale al momento M2-2, essendo un sistema simmetrico.

Faremo attenzione al Valore del Momento flettente massimo perché è il valore che più ci interessa per la progettazione delle travi inflesse del graticcio.

Il Valore è = 9631,76 Kn m. (vicino ai pilastri).

Passiamo a Excel (foglio di dimensionamento di una trave soggetta a flessione)

Inseriamo il valore del momento massimo ottenuto, e altri valori noti che abbiamo utilizzato per la piastra, per poter verificare l’altezza della sezione che dovrà avere ogni trave del graticcio.

L’altezza utile a sostegno del Mmax ottenuto è circa di 130 cm.

Prendiamo questo valore accettabile, considerando che si discosta dall’altezza iniziale che avevamo dato alla piastra avendo una maggiorazione del 30 %.

Nella progettazione esecutiva però, bisognerebbe avvicinarsi già da questo primo dimensionamento ad un’altezza che non si discosti molto da quella impostata di partenza.

Calcoliamo ora l’inerzia di una striscia pari a 1 x 1 metro. Risulta essere Ix = 0,833333 cm^4.

Sappiamo che la formula del momento di inerzia è

Ix = bh^3/12 e la formula inversa per ricavare l’h = rad^3 Ix * 12/ b.

Possiamo utilizzare questa formula per ricavare il momento di inerzia che dovrà avere la sezione della trave del graticcio equivalente a quello della piastra.

Per fare questo però dobbiamo fissare il passo strutturale che vogliamo che abbia il graticcio e rifare il calcolo di Ix per una striscia di 1 m x la dimensione del passo.

Passo strutturale scelto: 2,5 m.

Da qui ricaviamo l’altezza che deve avere la trave: risulta essere pari a 1,85 m.

La trave avrà dimensioni h. 1,85 m x 0,40 m base.

 

MODELLAZIONE TRAVI DEL GRATICCIO IN SAP.

Cancelliamo ora la piastra e iniziamo a disegnare in Sap le travi del graticcio dimensionate precedentemente.

Creiamo ora la sezione delle travi a- gerarchiche del graticcio: Define >Section Properties> New Section > Trave GRATICCIO> C50/60 dimensioni 1,8 x 0,4 m.

Con CTRL+ R Replicate copio le travi nelle due direzioni per completare il disegno del graticcio.

Ora bisogna suddividere le travi affinchè abbiamo il comportamento di un graticcio, ovvero un nodo rigido tra loro. Edit> edit lines> divide frames.

Ora riassegniamo i carichi, dividendo il carico totale per il numero dei nodi, a seconda de sono Centrali, perimetrali o angolari.

Creiamo quindi un nuovo Load Pattern “Q”. E assegnamo i carichi ai nodi

• Nodi centrali : carico 250 kn
• Nodi perimetrali : carico 125 kn
• Nodi Angolari : carico 62,5 kn

Riavviamo l’analisi su Q, considerando anche il peso proprio .

Controlliamo l’abbassamento massimo (si verifica in uno dei punti centrali).

Risulta essere di circa 7 cm, è ammissibile in quanto rispettiamo il valore max di abbassamento consentito dalla normativa allo S.L.U. ( Max < = 1/200 L)

Inoltre, dalla visualizzazione deformata notiamo che i pilastri si incurvano in quanto il nodo tra trave e pilastro è rigido.

Vediamo i risultati del momento lineare in corrispondenza del pilastro e capiamo cosa succede alle travi di bordo, dobbiamo quindi lavorare sulla loro rigidezza torsionale.

Dimensioniamo la trave di bordo con il foglio di calcolo per assegnarle una sezione adatta a contrastare il più possibile la torsione alla quale è soggetta.

Vefica trave di bordo :

Seleziono le travi di bordo , per cambiare la loro sezione . Assign>Frame>Frame Sections>trave di bordo > 1,8 X 1 METRI

Rilanciamo l’analisi .

Controlliamo ora i pilastri, verifichiamo la loro sezione con la tabella di calcolo .

Verifica pilastri :

La sezione verificata è pari a 180x60 cm , creiamo quindi una nuova sezione e la riassegniamo in Sap.

Consultando nuovamente le sollecitazioni, si nota chiaramente che con questo processo di reiterazione i valori migliorano notevolmente, stressando sempre meno la struttura .

Notiamo però che questo processo necessita di criteri specifici e di una consapevolezza tale da non creare ulteriori problemi alla struttura (se si aumenta la sezione delle travi o dei pilastri, aumenterà anche il peso della stessa, e questo porta ad altre problematiche).

Per questo motivo, si potrebbe considerare un cambio di sezione e di materiale per la trave di bordo, ad esempio una sezione tubolare o scatolare cava, che possiede una elevata rigidezza torsionale. Risulta essere un esercizio complesso, volto a “trovare un equilibrio”.

Nella progettazione esecutiva si continua con questo modus operandi fino ad ottenere i risultati ottimali, considerando in maniera sempre più specifica ed attenta quelle sopra citate (e non solo).

Concludiamo l’esercitazione avendo compreso l’importanza e la precisione che richiede la progettazione di morfologie strutturali speciali come questa, anche ad uno stato di primo dimensionamento da noi studiato e simulato con il programma di calcolo.

Modellazione di un graticcio

L’obiettivo dell’esercitazione è quello di modellare un graticcio tramite il modello di piastra e verificare gli effetti riguardo a deformazione e resistenza.

1. Definizione del disegno geometrico                                                                                                                  

Il graticcio viene inizialmente rappresentato come un’unica superficie, di dimensioni 40 m x 40 m, appoggiata sui bordi tramite pilastri con un passo di 10 m.

 

2. Assegnazione dei vincoli e delle sezioni dei pilastri                                                                                          

Si assegnano alla base di tutti i pilastri gli incastri.

Si definiscono materiale e sezioni da assegnare ai pilastri:

PILASTRI ANGOLO > C50/60; dimensioni Depth = 1.00 m, Width = 1.00 m;

PILASTRI BORDO > C50/60; dimensioni Depth = 1.40 m, Width = 0.80 m;

Dopo aver assegnato le sezioni si orientano i pilastri in modo che l’inerzia maggiore sia nella direzione del graticcio.

 

3. Assegnazione della sezione                                                                                                                              

Si disegna la shell e successivamente si discretizza in quadrati 0,5 x 0,5 m. Si procede poi con l’assegnazione della sezione:

SHELL > Materiale C50/60 con Poisson’s Ratio = 0; Thickness = 1 m

 

4. Definizione del carico                                                                                                                                        

Si definisce un nuovo load pattern F, con Self Weight Multipler = 1 per considerare il peso proprio che non può essere trascurato.

Il carico da assegnare ai nodi è differente in base all’area d’influenza del nodo ed è dato dal numero di piani portati dalla struttura. Il pacchetto di solaio in laterocemento scelto genera un carico di 14.30 kN/m², che moltiplicato per il numero dei piani (quattro) diventa 57.20 kN/m².

Il carico viene moltiplicato per la superficie totale (1600 m²) e diviso sui singoli nodi in base alla tipologia, i quali sono stati precedentemente divisi in gruppi:

NODI CENTRO + (NODI BORDO/2) + (NODI ANGOLO/4) = 6241 + 158 + 1 = 6400 ⇒ 91 520 kN/ 6400 = 14.30 kN

NODI ANGOLO: F = - 3.575 kN

NODI BORDO: F = - 7.15 kN

NODI CENTRO: F = - 14.30 kN

 

5. Analisi                                                                                                                                                                

Si avvia l’analisi solo con la forza applicata F e si considera il momento flettente massimo, M = 7756.40 kNm. Considerando il momento massimo, su una base lunga 1 m si ottiene un’altezza pari a 1.20 m. Anche se la piastra non è verificata a resistenza si considera il suo momento d’inerzia per la realizzazione del graticcio. Una volta definito il passo del graticcio (2.50 m) e stabilendo una base di 0.50 m, si ottiene dalla formula inversa I=2.50h³/12 un’altezza pari a 1.75 m.

 

 

6. Disegno del graticcio                                                                                                                                         

 

Una volta sbloccato il modello si cancella la piastra e si disegnano le travi che compongono il graticcio:

TRAVE GRATICCIO > Materiale C50/60; dimensioni Depth = 1.80 m, Width =0.50 m;

Le travi devono essere spezzate nei punti in cui si intersecano poiché deve esserci un nodo rigido.

 

 

7. Assegnazione del carico                                                                                                                                   

Si definisce un nuovo load pattern Q, con Self Weight Multipler = 1. Il carico ottenuto precedentemente, dato dal pacchetto di solaio per l’area totale occupata dal graticcio e per il numero di piani (91 520 kN) viene nuovamente suddiviso in base agli attuali nodi:

NODI CENTRO + (NODI BORDO/2) + (NODI ANGOLO/4) = 225 + 30 + 1 = 256 ⇒ 91 520 kN / 256 = 357.50 kN

NODI ANGOLO: F = - 89.375 kN

NODI BORDO: F = - 178.75 kN

NODI CENTRO: F = - 357.50 kN

 

8. Analisi                                                                                                                                                                

Si avvia l’analisi con la forza applicata Q e si osserva per primo l’abbassamento massimo che deve essere inferiore di un duecentesimo della luce. L’abbassamento però deve essere ridotto del 30 % in quanto la verifica deve essere fatta allo stato limite di esercizio.

0.152 m < 40 m/200 ⇒ 0.152 m < 0.200 m

Oltre a verificare l’abbassamento bisogna verificare a flessione i pilastri e le travi. Il momento che arriva sul pilastro è troppo alto, di conseguenza si può irrigidire ulteriormente la trave di bordo incrementando la sezione.

TRAVE BORDO > Materiale C50/60; dimensioni Depth = 2.20 m, Width =1.00 m.

Si fa ripartire l’analisi, l’abbassamento allo SLE è diminuito ed è pari a 0.13 m, si ricavano i valori massimi di momento del pilastro e della trave. Il nuovo momento dà un’altezza della sezione dei pilastri pari a 2.35 m e della trave pari a 2.30 m. Per evitare di aumentare notevolmente le dimensioni delle sezioni, che implicherebbero un aumento di peso proprio, si utilizzano profili scatolari. Una volta sostituiti i nuovi pilastri si sceglie una sezione per le travi del graticcio poco più grande della precedente per osservare la variazione di momento. Si definisce così la sezione definitiva della trave verificata: 1 m x 1.85 m ⇒ OK.

 

Studentesse: Lucia Mariani, Ilaria Maurelli

 

INTRODUZIONE
Un graticcio è una morfologia strutturale che ha un comportamento meccanico assimilabile a quello di una piastra.
Una piastra è un modello meccanico bidimensionale di un corpo reale (tridimensionale) con le seguenti caratteristiche geometriche:

• Due dimensioni (lungo le direzioni x e y) sono paragonabili tra loro, cioè hanno lo stesso ordine di grandezza
• Le due dimensioni paragonabili sono molto superiori rispetto alla terza dimensione (spessore lungo la direzione z)
• I carichi che agiscono sulla piastra sono perpendicolari al piano medio

Il modello di piastra è caratterizzato da diversi comportamenti cinematici

• Spostamenti
  • Spostamento verticale
• Deformazioni
  • Curvatura torsionale
  • Curvatura flessionale
  • Rotazione

GEOMETRIA

Abbiamo immaginato di progettare un graticcio di travi inflesse di dimensioni 50,00 x 50,00 metri posto alla base di un edificio composto da tre piani sorretti dal graticcio stesso.

Per ottimizzare la modellazione del graticcio possiamo utilizzare un modello di piastra: il modello di piastra è un modello semplificato per poter dimensionare un sistema molto più complesso come il graticcio di travi inflesse.

Il modello del continuo equivalente è in grado di darci informazioni attendibili sul comportamento effettivo del graticcio: come si deforma, come si inflette, quali sono i punti critici della morfologia strutturale.

Dopo aver definito le dimensioni principali, abbiamo ipotizzato di posizionare degli elementi verticali di appoggio (pilastri) ogni 10 metri in modo tale che per ogni lato ci siano cinque appoggi.

Abbiamo differenziato le dimensioni delle sezioni dei pilastri distinguendo tra pilastri angolari e pilastri perimetrali: questo perchè i pilastri angolari hanno un comportamento rispetto a quelli perimetrali che invece vengono sollecitati maggiormente.

Pilastri angolari: 1,50 x 1,50 metri

Pilastri perimetrali: 2,0 x 1,2 metri

Essendo i pilastri perimetrali a sezione rettangolare, per assicurare la stessa inerzia in entrambe le direzioni del graticcio, abbiamo ipotizzato di orientare otto pilastri con il momento di inerzia maggiore lungo x e i restanti otto pilastri con il momento di inerzia maggiore lungo y.

ANALISI DEI CARICHI

Abbiamo effettuato un analisi dei carichi del solaio in laterocemento dell'edificio sorretto dal graticcio.
Abbiamo quindi inizialmente calcolato i carichi agenti su un metro quadrato di solaio suddividendoli nelle tre categorie

• Carichi permanenti strutturali
• Sovraccarichi permanenti non strutturale
• Carichi accidentali

Analisi dei carichi di un solaio in laterocemento

• Pavimentazione in parquet = 2 cm = 0,02 m
• Massetto = 3 cm = 0,03 m
• Isolante = 4 cm = 0,04 m
• Soletta collaborante = 5 cm = 0,05 m
• Pignatte = 20 cm = 0,20 m
• Travetti = 20 cm = 0,20 m
• Intonaco = 1,5 cm = 0,015 m

Spessore totale del solaio = 35,50 cm = 0,355 m

Carico distribuito superficiale

• 0,02 m x 7,2 KN/m³ = 0,144 KN/m²
• 0,03 m x 20 KN/m³  = 0,60 KN/m²
• 0,04 m x 0,2 KN/m³  = 0,008 KN/m²
• 0,05 m x 25 KN/m³ = 1,25 KN/m²
• 2 (0,2 x 0,12 x 1) m³/m x 25 KN/m³  = 1,20 KN/m²
• 2 (0,38 x 0,20 x 1) m³/m² x 15 KN/m³  = 2,28 KN/m²
• 0,015 m x 18 KN/m³  = 0,27 KN/m²

Carico strutturale q_s
Soletta + travetti + pignatte
1,25 KN/m² + 1,2 KN/m² + 2,28 KN/m² = 4,73 KN/m²

Sovraccarico permanente q_p
Parquet + massetto + isolante + intonaco + incidenza impianti + incidenza tramezzi
0,144 KN/m² + 0,6 KN/m² + 0,008 KN/m² + 0,27 KN/m² + 0,5 KN/m² + 1 KN/m² = 2,52 KN/m² = 2,52 KN/m²

Carico accidentale q_a
Dato fornito dalla normativa in base alla destinazione d’uso (residenziale) = 2,00 KN/m²

Abbiamo successivamente considerato le combinazioni di carico fornite dalla normativa per le verifiche agli stati limite utilizzando coefficienti parziali di sicurezza sfavorevoli

Combinazione di carico allo stato limite d’esercizio SLE
Questo valore di carico allo stato limite di esercizio ci servirà per le verifiche agli abbassamenti.
γ̃s qs + γ̃p qp + γ̃a qa = 1 x 4,73 KN/m² + 0,7 x 2,52 KN/m² + 0,7 x 2 KN/m² = 7,88 KN/m² = 7,9 KN/m²
q_e = 7,90 KN/m²

Combinazione di carico allo stato limite ultimo SLU
Questo valore di carico allo stato limite ultimo ci servirà per le verifiche di resistenza degli elementi inflessi e presso inflessi (travi del graticcio, pilastri di appoggio)
γs qs + γp qp + γa qa = 1,3 x 4,73 KN/m² + 1,5 x 2,52 KN/m² + 1,5 x 2 KN/m² = 12,89 KN/m² = 12,9 KN/m²
q_u = 12,90 KN/m²

Una volta ottenuto il valore della combinazione di carico agli stati limite, essendo un valore distribuito sulla superficie, abbiamo moltiplicato il valore per le dimensioni della piastra e moltiplicando per il numero di piani, ottenendo così il valore della forza concentrata equivalente al carico dovuto ai tre piani.

Forza concenrata SLE
50,00 m x 50,00 m x 7,90 KN/m² x 3 piani = 59250 KN

Forza concenrata SLU
50,00 m x 50,00 m x 12,90 KN/m² ​x 3 piani = 96750 KN

 

MODELLAZIONE SU SAP2000

Una volta definita la geometria principale, abbiamo cominciato a modellare la piastra su SAP.

Per prima cosa abbiamo definito il materiale, abbiamo scelto un calcestruzzo ad alte prestazioni (C50/60) essendo il graticcio una morfologia molto complessa e impegnativa dal punto di vista strutturale.

Il passo successivo è stato quello di modellare la piastra con lo strumentoo "Poly area" e assegnarle una sezione "Shell" e selezionando la voce “Shell Thick” che tiene conto anche dell’azione del taglio, assegnando uno spessore di 1,50.

Successivamente abbiamo discretizzato la piastra in porzioni di 0,50 m x 0,50 metri; questa discretizzazione aiuta il programma di calcolo ad eseguire un'analisi più accurata in modo che il modello potesse essere più assimilabile a un modello realistico.

Dal momento che stiamo utilizzando un modello di piastra per simulare il comportamento di un graticcio di travi inflesse, dobbiamo tenere conto del fatto che le deformazioni secondarie presenti in un continuo dovute all'effetto Poisson, in questo caso, saranno trascurabili.

Questo avviene perchè il graticcio composto da travi è assimilabile al modello di piastra dal punto di vista del comportamento meccanico ma la geometria del graticcio non è assimilabile a quella di un continuo.

Per trascurare questo comportamento, abbiamo creato un materiale fittizio a partire da un calcestruzzo ad alte prestazioni (C50/60) ponendo il coefficiente di Poisson pari a zero: in questo modo simuliamo in un oggetto continuo (shell) il comportamento di un oggetto discreto.

Abbiamo attribuito alla piastra discretizzata il materiale precedentemente definito.

Per quanto riguarda la modellazione dei pilastri, abbiamo scelto un altezza di 4 metri e abbiamo attribuito ad ognuno di essi le sezioni precedentemente definite differenziando in pilastri angolari e pilastri perimetrali.

A questo punto abbiamo assicurato la stessa inerzia lungo le due direzioni x e y ruotando di 90 gradi gli assi locali dei pilastri appartenenti a due dei quattro lati della piastra.

Per completare la modellazione della geometria del modello abbiamo assegnato i vincoli esterni di tipo incastro alla base di ogni pilastro.

A questo punto abbiamo definito il carico F considerando un fattore moltiplicatore di peso proprio pari a 1: questo passaggio è necessario affinche nel calcolo del modello venga considerato anche il peso proprio della struttura che, nel caso del calcestruzzo, non può essere trascurato.

Una volta trovati i valori della forza concentrata equivalente, dobbiamo distribuirli nei nodi a seconda dell'area di influenza di carico che inciderà in ogni nodo.

Da SAP troviamo che il numero totale dei nodi è 10201.

Di questi, in base alle aree di influenza, sappiamo che quelli centrali prenderanno una forza concentrata pari al 100%, i nodi che si trovano sul perimetro prenderanno una forza concentrata parti al 50%, quelli angolari prenderanno invece una forza concentrata pari al 25% del totale.

Per trovare la forza totale che agisce su di un singolo nodo facciamo la somma di tutti i nodi centrali (che prendono il 100%) ai quali aggiungiamo la metà dei nodi perimetrali (che prendono il 50% della forza totale e perciò possiamo immaginarli come la metà dei nodi che prendono il 100% della forza) ai quali aggiungiamo infine uno solo dei quattro nodi angolari (che prende il 25% della forza totale quindi possiamo immaginare di considerare un solo nodo che prende il 100% della forza)

9801 (nodi centrali) + 198 (nodi perimetrali) + 1 (nodo angolare) = 10 000 nodi

A questo punto dividiamo il valore delle forze precedentemente calcolate per il numero di nodi e troviamo il valore della forza applicata ad un singolo nodo.

SLE
F_TOT = 59250 KN / 10 000 = 5,925 KN

• Nodi centrali
  F = 5,925 KN
• _{Nodi perimetrali}
  F = 2,9625 KN
• Nodi angolari
  F = 1,481 KN

SLU
F_TOT = 96750 KN / 10 000 = 9,675 KN

• Nodi centrali
  F = 9,675 KN
• _{Nodi perimetrali}
  F = 4,8375 KN
• Nodi angolari
  F = 2,41875 KN

 

Definiamo a questo punto due diversi carichi con fattore moltiplicatore di peso proprio pari a 1

• F_SLE
• F_SLU

E applichiamo ai nodi centrali, perimetrali e angolari i valori precedentemente calcolati.

Ora possiamo avviare l'analisi del modello di piastra equivalente, prima con la combinazione di carico allo stato limite di esercizio e successivamente con la combinazione di carico allo stato limite ultimo.

 

VERIFICHE

Verifica agli abbassamenti

L'analisi con il carico allo SLE ci serve per la verifica degli abbassamenti

U₃ = -0,0853 m

Lo spostamento verticale deve essere inferiore a 1/200 della luce.
Essendo la nostra luce di 50 metri, l'abbassamento risulta verificato:

50 m / 200 = 0,25 m > 0,0853 m

 

Verifiche di resistenza

L'analisi con il carico allo SLU ci serve per la verifica di resistenza degli elementi inflessi e pressoinflessi.

Dai diagrammi del momento flettente intorno agli assi locali 1 e 2 (M11, M22), notiamo che otteniamo gli stessi valori, questo perchè il sistema è perfettamente simmetrico, sia nella geometria, sia nei carichi applicati.

Verifichiamo il valore massimo del momento, in corrispondenza di un pilastro, che equivale a 22157,31 KNm

A questo punto, per verificare il dimensionamento della piastra abbiamo utilizzato la tabella Excel ti verifica a flessione delle travi, ponendo come base uno spessore di 1,50 metri.

Avendo ottenuto un valore dell'altezza utile maggiore rispetto a quella di progetto (2,09 metri) abbiamo verificato che l'incremento in percentuale non fosse superiore al 40%.

Abbiamo deciso quindi di passare al dimensionamento del graticcio poichè abbiamo sfruttato il modello di piastra per creare un equivalenza in rigidezza in base al momento di inerzia della sezione.

L'equivalenza in rigidezza non implica però una equivalenza del peso della piastra rispetto a quello del graticcio, questo perchè il momento di inerzia è proporzionale alla terza potenza dell'altezza della sezione mentre il peso è proporzionale alla prima potenza dell'altezza della sezione.

Questo è dovuto al fatto che il graticcio di travi inflesse, rispetto al modello di piastra, ha un peso notevolmente inferiore dovuto al fatto che non è un continuo pieno ma è formato da travi che si alternano a vuoti.

 

DIMENSIONAMENTO

Dimensionamento graticcio

Per dimensionare le travi del graticcio abbiamo calcolato il momento di inerzia di una porzione di piastra di dimensioni 1,00 m x 1,00 m

I_x =  (bh³ / 12)
I_x = 1,00 m x (1,50 m)³ / 12 = 0,28125 m⁴

Da questo risultato sappiamo che in una porzione di graticcio di un metro quadrato non posso dare un valore di inerzia inferiore a quello ottenuto.

A questo punto abbiamo scelto un interasse per le travi del graticcio, i = 2,50 m
In una porzione di interasse di 2,50 m avremo quindi una inerzia di:
I_x =  (bh³ / 12)
Dove la base è 2,50 m
I_x = 2,50 m x (1,50 m)³ / 12 = 0,703125 m⁴

Ipotizziamo un valore della base delle travi del graticcio pari a 0,60 m e calcoliamo l'altezza della sezione sapendo che il momento di inerzia deve essere circa 0,70 m⁴

h =  (12 I_x / b) ^1/3

h =  (12 x 0,703125 m⁴/ 0,80 m) ^1/3 = 2,20 m (circa)

La sezione della trave del graticcio ottenuta è 0,80 m x 2,20 m

 

MODELLAZIONE GRATICCIO SU SAP2000

Nel modello precedentemente sviluppato, elimino la piastra discretizzata per sostituirla con le travi del graticcio appena dimensionate.

Per simulare un nodo rigido interno ad ogni incrocio tra le travi e tra travi e pilastri, separo le travi modellate ad ogni intersezione, in modo che non siano continue.

A questo punto assegnamo nuovamente i carichi precedentemente calcolati su ogni nodo del graticcio.

Per fare  questo, dividiamo il valore delle forze per il numero di nodi e troviamo il valore della forza applicata ad un singolo nodo.

361 (nodi centrali) + 38 (nodi perimetrali) + 1 (nodo angolare) = 400 nodi

SLE
F_TOT = 59250 KN / 400 = 148,125 KN

• Nodi centrali
  F = 148,125 KN
• _{Nodi perimetrali}
  F = 74,0625 KN
• Nodi angolari
  F = 37,03125 KN

SLU
F_TOT = 96750 KN / 400 = 241,875 KN

• Nodi centrali
  F = 241,875 KN
• _{Nodi perimetrali}
  F = 120,9375 KN
• Nodi angolari
  F = 60,46875 KN

Assegnamo a questo punto ai nodi centrali, perimetrali e angolari i valori precedentemente calcolati, distinguendo sempre secondo le due combinazioni di carico.

• F_SLE
• F_SLU

Ora possiamo avviare l'analisi del modello del graticcio, prima con la combinazione di carico allo stato limite di esercizio e successivamente con la combinazione di carico allo stato limite ultimo.

 

VERIFICHE

Verifica agli abbassamenti

L'analisi con il carico allo SLE ci serve per la verifica degli abbassamenti

U₃ = -0,1166 m

Lo spostamento verticale deve essere inferiore a 1/200 della luce.
Essendo la nostra luce di 50 metri, l'abbassamento risulta verificato:

50 m / 200 = 0,25 m > 0,1166 m

 

Verifiche di resistenza

L'analisi con il carico allo SLU ci serve per la verifica di resistenza degli elementi inflessi e pressoinflessi.

Diagramma dello sforzo normale

Notiamo dal diagramma dello sforzo normale che il graticcio si comporta come una  serie di portali formati da due pilastri sullo stesso asse e le travi che li congiungono.

Diagramma del momento flettente

Se ci concentriamo su un pilastro perimetrale, notiamo che il valore del momento flettente è molto elevato in corrispondenza del nodo rigido tra trave e pilastro, questo comporterà una deformazione eccessiva del pilastro, che tenderà quindi ad instabilizzarsi.

Per evitare che questo accada, possiamo aumentare la rigidezza torsionale della trave di bordo, in questo modo, parte del momento flettente che arriva al nodo sarà assorbito dalla trave di bordo irrigidita e il pilastro subirà di meno la deformazione.

A questo punto torniamo sul modello SAP, selezioniamo le travi di bordo e assegnamo  una sezione con rigidezza torsionale maggiore.

Essendo il pilastro molto sollecitato, scegliamo di utilizzare una sezione rettangolare cava che ci consente di aumentare la larghezza senza andare a gravare ulteriormente sul peso proprio dell'intero sistema.

La trave di bordo avrà quindi una sezione cava di 2,20 m x 1,50 m x 0,08 m x 0,08 m

 

 

 

 

 

 

  

 

 

A questo punto abbiamo verificato la sezione dei pilastri soggetti a pressoflessione con il valore del momento ottenuto dopo aver ri assegnato la sezione della trave di bordo.

Sforzo normale di compressione

Momento flettente

Verifica sul file Excel dei pilastri soggetti a presso flessione

Dalla verifica a pressoflessione abbiamo infine notato che i pilastri necessitano di un incremento della sezione per poter soddisfare la verifica.

Per questa ragione abbiamo aumentato la base da 1,20 m a 1,80 m.
Avendo dimensioni molto grandi, i pilastri sono assimilabili a dei piccoli setti.
Questo è giustificato dal fatto che il graticcio è una struttura molto impegnativa che serve a coprire luci molto ampie e di conseguenza necessita di appoggi altrettanto imponenti.

Abbiamo infine verificato l'eccentricità dei pilastri

 

VERIFICA FINALE

Dopo aver ri assegnato le sezioni dei pilastri su SAP e la trave di bordo, abbiamo effettuato la verifica finale agli abbassamenti e a resistenza di tutte le sezioni.

Deformata

Sforzo normale

Momento flettente

 

MODELLO 3D

 

Questa ultima esercitazione, prevede la creazione di un graticcio.

Le dimensioni utilizzate sono:

-Piastra 30x30 sp. 1mt

-Pilastri Perimentrali: 1,2x0.6

-Pilastri ad Angolo: 1x1

Tutto il graticcio viene realizzato con l'utilizzo di cls. Classe C 50/60.    

Come primo step, abbiamo assegnato le sezioni ai pilastri centrali, pilastri d'angolo e alla piastra, con i dati sopra riportati, assegnando ad ogni elemento il proprio gruppo di appartenenza e abbiamo avviato l'analisi, con l'obiettivo di arrivare ad un dimensionamento di massima, che ci possa permettere di impostare le sezioni delle travi che compongono il graticcio.

MOMENTO MAX è di 90631,76Kn*m.

Grazie all'utilizzo della tabella excel, arriviamo ad assegnare alle travi del graticcio unaa sezione di 0.40x1.85.

Avviamo l'analisi, una volta sostituite le sezioni.

Cosi' facendo, vediamo la variazione delle reazioni in prossimità dei pilastri di bordo, dove il momento raggiunge il valore di 10394,04Kn*m.

Per suddividere lo sforzo gravante al pilastro di bordo, abbiamo modificato la sezione delle travi di bordo, portando la base da .60cm a .80cm, mantendendo l'altezza di 1.85cm, così facendo, il momento arriva ad un valore di 9908.33Kn*m.

TABELLA DIMENSIONAMENTO TRAVI

 

Gruppo: Panella Giordana, Quagliani Ilaria

L’esercitazione prevede la realizzazione del progetto di massima di un graticcio.

Per dimensionare il graticcio partiamo da una piastra alta 100 cm di dimensioni 200 x 200 cm sostenuta da pilastri angolari 100x100 cm e pilastri perimetrali 60 x 120 cm.

Scegliamo un cls 50/60 ad alte prestazioni in quanto il graticcio è una struttura speciale.

Ipotizziamo che la piastra sostenga 3 piani con un carico qu= 12,31 KN/mq quindi la piastra porta un Qu= 14772 KN.

I nodi angolari si prendono un carico di 2,31 KN, i perimetrali di 4,62 KN e i centrali di 9,23 KN.

Dopo aver mandato l’analisi ricaviamo Mmax = 1817,204 KNm/m.

Risulta sovradimensionata di circa il 30%  dunque possiamo andare avanti.

Anche l’abbassamento viene verificato risultando 1/200 della luce, u = 0,5 cm.

Dopo aver fatto tutte le verifiche necessarie scegliamo  il passo che vogliamo dare alle travi del nostro graticcio, lo poniamo pari a 250 cm, quindi ci calcoliamo il momento d’inerzia di una fascia alta 100 e larga 250 cm.

Ix = bh³ / 12 = 2,5 x 1³/12 = 0,21 m⁴

Dopo di che decidiamo la base che vogliamo dare alle travi b = 50 cm per trovare la loro altezza:

h = (Ix * 12/b)^1/3 = 1,71 m

Quindi le travi che comporranno il graticcio sono 50 x 175 cm.

Applichiamo ai nodi centrali 230,81 KN, ai perimetrali 115,41 KN e agli angolari 57,70 KN.

Con questo tipo di struttura Mmax del pilastro risulta di 4291 KNm e Mmax della trave di bordo risulta essere circa 4000 KNm per aiutare la struttura a diminuire i momenti che potrebbero interferire con le strutture adiacenti abbiamo deciso di aumentare la base delle travi di bordo di 100 cm.

In questo modo risulta un Momento massimo delle travi di 3366 KNm con cui andiamo a verificare le travi del graticcio. Il Mmax dei pilastri perimetrali risulta 3906 KNm e quello degli angolari è 1082 KNm con cui andiamo a verificare i pilastri a flessione in quanto risultano essere tutti in grande eccentricità.

Dopo aver verificato che alcuni elementi risultano sovradimensionati andiamo a sostituirli.

Le nuove dimensioni sono:

Travi del graticcio 50 x 100 cm

Trave di bordo 150 x 175 cm

Pilastri perimetrali 60 x 110 cm

Pilastri d’angolo 100 x 100 cm

Con queste nuove dimensioni andiamo a verificare le tensioni della trave di bordo:  τmax = α Mt/ ba² = 2,23 Mpa < 8 Mpa

Dove Mt = 3037,89 KNm e α = 3 + 1,8 a/b = 4,08

 

 

 

 

Esercitazione 5, Dimensionamento di un Graticcio di travi inflesse,Perrone-Rossi.

 

L’obiettivo di questa esercitazione è il dimensionamento e la verifica di un graticcio di travi inflesse e dei pilastri che su cui poggia.

Descrizione del progetto:
Il progetto prevede un edificio composto da 4 piani sorretti da un graticcio di travi inflesse.
L’intero graticcio misura 28,80 x28,80 m ed è composto dall’intersezione di 12 travi per lato poste con un interasse di 2,40 m tra loro. Il graticcio è sorretto da 8 pilastri, due per lato.

 

Analisi dei carichi:

Per il dimensionamento abbiamo calcolato il carico Qu che insisteva sul solaio, tenendo presente il carico strutturale (Qs), carico permanente (Qp) e il carico accidentale (Qa).

Il carico è stato ripartito su ogni nodo in base alla loro area di influenza.

Dopo questo passaggio abbiamo eseguito la combinazione dei carichi agli SLU utilizzando il comando load combination. Successivamente abbiamo assegnato alla struttura il materiale cls C50/60 e una sezione di partenza alle travi e ai pilastri. Infine abbiamo eseguito l'analisi su sap.

Grafico degli sforzi assiali:

Grafico dei momenti:

 

Dimensionamento :

Dall'analisi di sap2000 abbiamo estrapolato i valori massimi dei momenti e degli sforzi assiali con i quali abbiamo predimansionato le sezioni delle travi e dei pilastri.
Le sezioni iniziali non risultavano verificate a presso-flessione, per questo motivo abbiamo svolto diverse iterazioni fino ad arrivare alla soluzione finale, che prevede le travi di bordo di dimensioni 2,35X1,00 m, i setti di 2,40X0,60 m e le travi di 2,35X0,40 m.

Verifica degli spostamenti:

Verificate le sezioni abbiamo effettuato la verifica degli spostamenti considerando che lo spostamento massimo non superi mai 1/200 l. Essendo δ max= 0.032 m la struttura è verificata.

Studentesse: Elena Santacesaria, Benedetta Schettini.

Definiamo le dimensioni del nostro graticcio: 12 m x 18 m.

Definiamo la sezione dei pilastri angolari e perimetrali, assegnandogli un valore rispettivamente di 0,8 x 0,8 m e di 0,8 x 0,5 m, e un calcestruzzo C50/60, disponendoli con un passo di 6 m.

Ruotiamo gli assi locali per posizionare correttamente i pilastri, ovvero in modo tale che il momento d’inerzia maggiore sia nella direzione del graticcio e definiamo i vincoli a terra come degli incastri.

MODELLAZIONE SHELL

Modelliamo l’elemento shell con lo strumento _Drawpolyarea e ne discretizziamo la superficie.

Assegniamo alla shell uno spessore di 0,5 m e un materiale, il medesimo utilizzato per i pilastri, del quale abbiamo modificato il valore del coefficiente di Poisson ponendolo pari a zero in quanto utilizziamo un elemento continuo (shell) per simulare il comportamento di un elemento discontinuo (graticcio) nel quale le deformazioni laterali sono trascurabili e non hanno effetti secondari.

ANALISI DEI CARICHI (SHELL)

Ipotizziamo che sopra il graticcio gravi il peso di 4 piani. Calcoliamo un Qslu pari a 12,91 KN/mq.

Quindi definiamo un Load Pattern F con moltiplicatore pari a 1 (in quanto consideriamo il peso proprio del cls che non è trascurabile) e assegniamo i carichi ai nodi, secondo le rispettive aree di influenza.

Nodi centrali: 12,91 KN

Nodi perimetrali: 6,455 KN

Nodi angolari: 3,227 KN

Avviamo l’analisi. Da questa verifichiamo gli abbassamenti (accettabili poiché minori di 1/250 della luce) ed estrapoliamo il Momento massimo con il quale andiamo a verificare l’altezza minima della shell.

DIMENSIONAMENTO GRATICCIO

Tramite la tabella Excel verifichiamo che l’altezza assegnata alla shell non è sufficiente.

Quindi passiamo al dimensionamento del graticcio.

Per fare ciò procediamo con il calcolo del momento d’inerzia di una porzione di piastra che abbia una sezione di 0,5 m (altezza della piastra) x 2 m (che sarà il passo delle travi del graticcio). Ora ipotizziamo la base delle nostre travi (0,4 m), inserendola nella formula inversa dell’inerzia che abbiamo trovato. In questo modo, utilizziamo il valore del momento di inerza di un elemento con base 2m, per calcoare l'altezza minima di un elemento con base minore, ossia 0,4 m: la base delle travi del nostro graticcio.

Ipotizzando una base di 0,4 m, otteniamo un’altezza minima di 0,85 m.

MODELLAZIONE GRATICCIO

Procediamo con la modellazione del graticcio, assegnando a tutte le travi la stessa sezione ricavata dalla tabella, sapendo che il graticcio è una struttura agerarchica.

Imponiamo che all’intersezione di tutte le travi ci sia un nodo rigido, per fare ciò, dividiamo tutti i frame alle intersezioni con il comando edit_lines > divide_frames.

Creiamo un nuovo Load Pattern Q e assegniamo i carichi concentrati sui nodi in base alle aree di influenza.

Nodi centrali: 206,56 KN

Nodi perimetrali: 103,28 KN

Nodi angolari: 51,64 KN

Avviamo l’analisi, verifichiamo gli abbassamenti (che sono accettabili poiché minori di 1/250 della luce) e, inserendo nella tabella Excel il Momento massimo delle travi e dei pilastri, risultano verificate a flessione le travi centrali, mentre la sezione delle travi di bordo è sottodimensionata, per ciò che riguarda i pilastri risultano sottodimensionati anch'essi. Occorrerà dunque aumentarne le sezioni.

Diagramma Momento 3-3

  verifica pilastri perimetrali

verifica trave di bordo

 

 

La struttura di dimensioni 40 m x 40 m x 4 m sostiene il peso di 4 piani ed è composta da un graticcio sorretto da 5 pilastri per lato che garantisce di avere al di sotto di esso uno spazio completamente libero e aperto.

Una volta stabilito il tipo di struttura e le sue caratteristiche, abbiamo portato il modello su SAP cominciando definendo le sezioni dei pilastri che abbiamo posizionato ogni 10 m con un calcestruzzo ad alte prestazioni C50/60

- Pilastri angolari: 1 m x 1 m

- Pilastri laterali: 1,2 m x 0,6 m

E' necessario verificare che i pilastri siano orientati in modo corretto dal momento che SAP li orienta di default tutti alla stessa maniera, invece noi abbiamo bisogno che l'inerzia maggiore sia nella stessa direzione delle travi che compongono il graticcio.

Assegnamo il vincolo esterno Incastro alla base di ogni pilastro e disegnamo il graticcio all'inizio sotto forma di una piastra (successivamente disegneremo il vero e proprio graticcio) con lo strumento Draw polyarea e gli assegamo una sezione di 1 m x 1 m.

E' necessario che, nella definizione della piastra, noi andiamo a modificare il materiale, più precisamente il coefficiente di Poisson che poniamo uguale a zero. Facendo ciò simuliamo il comportamento di un sistema discretizzato dove non ci sono deformazioni ntroducendo un materiale fittizio per simulare un continuo bidimensionale . Il coefficiente di Poisson infatti tiene conto della diminuzione di dimensione in corrispondenza dell'allungamento in seguto a uno sforzo normale positivo.

Per assegnare i carichi prima è necessario discretizzare la superficie della piastra/shell in quanto più discretizziamo la superficie più i risultati saranno accurati. Dividiamo dunque la superficie in porzioni di 0,50 m x 0,50 m.

Il carico consiste in 10 kN/mq per piano, moltiplicandolo per l'area e il numero dei piani otterremo il carico puntale (64.000 kN) che verrà assbito dalla piastra dai nodi centrali, ancolari, perimetrali. I nodi centrali sono 6241, quelli perimetrali 316, quelli angolari 4. Considerando che sui centrali andrà la totalità del carico, sui perimetrali la metà e sugli angolari un quarto:

64.000 / (6241+158+1) = 9,73 kN che è circa uguale a 10 kN

- Sui nodi centrali verranno trasferiti 10 kN di carico

- Sui nodi laterali 5 kN

- Sui nodi angolari 2,5 kN

Assegnamo tali carichi a ciascun nodo su Sap dopo aver creato il caso di carico F che terrà conto del peso proprio degli elementi e mandiamo l'analisi. Osserviamo i diagrammi di normale, taglio e momento  dei pilastri, la deformazione della piastra,dai cui deduciamo che l'abbassamento è accettabile in quando di circa 2 cm e il momento massimo della piastra pari a 25694 kNm.

Grafico della Normale:

Grafico del Taglio:

Grafico del Momento:

Grafico della deformazione della piastra:

Grafico del momento della piastra:

Inserendo il valore del momento massimo della piastra all'interno del foglio Excell posso dedurre l'altezza effettiva della piastra ovvero 1,77 (vedi riga gialla):

Possiamo passare direttamente al progetto del graticcio considerando l'altezza della piastra accettabile. Successivamente poniamo l'interasse delle travi del graticcio uguale a 2 m.

Se ci calcoliamo l'inerzia di 2 m x 1 m di piastra con la formula Ix = b x h^3 / 12 troviamo l'inerzia che dovrà avere ogni trave del graticcio. 

Successivamente se usiamo la formula inversa e scegliamo la dimensione della base della trave (0,50 m) otterremo l'altezza della trave del graticcio:

Ix = b x h^3 / 12 = (2 x 1^3 ) /12 = 0,16

h = [ (Ix x 12)/b ] ^1/3 = [ (0,16 x 12 ) / 0,50 ] ^1/3 = 1,56 => 1,70 m

Possiamo dunque sostituire la piastra progettando il graticcio con tali sezioni 1,70 m x 0,50 m

Creiamo il nuovo caso di carico Q e calcoliamo i carichi allo stesso modo della piastra:

64.000 kN / 361 nodi centrali + 38 nodi perimetrali + 1 nodo angolare = 160 kN

- Sui nodi centrali verranno trasferiti 160 kN di carico

- Sui nodi laterali 80 kN

- Sui nodi angolari 40 kN

E mandiamo nuovamente l'analisi:

Diagramma del momento massimo sul pilastro:

Diagramma del momento massimo sulla trave del graticcio:

Notiamo che sui pilastri il momento massimo è molto alto poichè questo tipo di strutture tende a gravare molto sui sostegni su cui si poggia. Il momento massimo sui pilastri è pari a 40131,69 KNm e sulle travi del graticcio è pari a 23524,23 KNm. Per ridurre tale momento possiamo provare ad aumentare la sezione della trave di bordo in modo tale da modificarne la rigidezza per sopperire lei a tale momento. Aumentiamo dunque la sezione sia del pilastro che della trave di bordo utilizzando il foglio excell (vedi riga verde e rossa):

Se, come nel nostro caso, in momento non si riduce, ne sul pilastro e ne sulla trave di bordo, è necessario cambiare il tipo di sezione della trave di bordo. Per questo motivo assegno una seziione rettangolare cava, in quanto i profili cavi hanno una elevata rigidezza torsionale. Infatti se irrigidiamo la trave questa farà effetto 'incastro' in quanto non ruoterà a torsione e il momento si ridurrà notevolmente.

Diagramma del momento massimo pilastro:

Diagramma del momento massimo sulla trave del graticcio:

Diagramma deformazione verificata:

In questa esercitazione abbiamo preso in analisi una porzione del graticcio appartenente al progetto di fine anno.

Sapendo che il graticcio ha carichi e deformazioni che si sviluppano al di fuori del piano medio della sezione, possiamo schematizzare il comportamento di un graticcio di travi molto fitto con il comportamento di piastra.

PIASTRA

Su sap quindi ci disegniamo una piastra, in corrispondenza di dove poi andremmo a mettere il graticcio, e le diamo una prima altezza a piacere. Inizialmente le abbiamo assegnato un’altezza qualitativa di 1,5 m.

Per avere dati relativi alla piastra più precisi occorre discretizzare la superficie in tante superfici più piccole così che il software abbia una velocità di calcolo maggiore.

Effettuiamo un’analisi dei carichi agenti allo Stato Limite Ultimo sapendo che al di sopra del graticcio sono presenti 5 piani di uffici non aperti al pubblico che scaricano sul solaio di ripartizione in modo puntiforme. Posizioniamo i carichi puntiformi ai nodi della piastra discretizzata.

     

Dopo aver impostato i vincoli alla struttura facciamo partire l’analisi mettendo anche il peso proprio della piastra per non dover effettuare una maggiorazione fittizzia in seguito.

Verifichiamo gli spostamenti tenendo conto che l’abbassamento massimo deve essere ridotto del 25%, questo perché il calcolo è stato effettuato con i carichi allo Stato Limite Ultimo. Gli abbassamenti sono inferiori al 2% della distanza dall’appoggio e sono inferiori a 2cm.

Ci estrapoliamo il valori massimi di tensione interna e verifichiamo, con il metodo delle tensioni ammissibili, la piastra a flessione.
Sapendo che nella piastra gli sforzi interni sono per unità di lunghezza, il momento che troveremo da SAP sarà in kNm/m. Verifichiamo la piastra impostando una base uguale al passo del graticcio così da trovarci l’altezza minima della piastra affinchè resista ai carichi agenti.

Dalla verifica otteniamo un’altezza di progetto di 0,60 m, questo vuol dire che l’altezza di 1,5 m assegnata precedentemente alla piastra era troppo elevata.

La verifica a rottura, con un’altezza di progetto di 0,6m , è soddisfatta ma su SAP non è verificata agli abbassamenti.

A questo punto iteriamo il tutto con un’altezza di 0,7 m la quale resiste ai carichi agenti ed è verificata agli spostamenti.

Ora possiamo trovarci l’inerzia della piastra larga 1,5 m e alta 0,7 m.

GRATICCIO

Visto che il passo del graticcio è di 1,5 m, ogni trave dovrà avere un’altezza della sezione che soddisfi l’inerzia calcolata precedentemente.
Esplicitiamo così l’altezza di progetto della sezione della trave che viene di 1,1 m.

Dopo che ci disegniamo il graticcio applichiamo i carichi e i vincoli esterni. Ci estrapoliamo gli sforzi interni e verifichiamo che la sezione assegnata alle travi del graticcio resista a flessione e soddisfi gli abbassamenti.

MOMENTO FLETTENTE MASSIMO (M3)

Prendiamo dal modello anche il momento torcente massimo agente sulle travi e verifichiamo che la tensione tangenziale massima non sia maggiore di 8 Mpa.

MOMENTO TORCENTE MASSIMO (T)

La sezione risulta verificata anche a torsione.

PILASTRI

I pilastri al di sotto del graticcio, essendo doppiamente incastrati, vanno dimensionati a pressoflessione.