Esercitazione

Studentesse: Elena Santacesaria, Benedetta Schettini.

Definiamo le dimensioni del nostro graticcio: 12 m x 18 m.

Definiamo la sezione dei pilastri angolari e perimetrali, assegnandogli un valore rispettivamente di 0,8 x 0,8 m e di 0,8 x 0,5 m, e un calcestruzzo C50/60, disponendoli con un passo di 6 m.

Ruotiamo gli assi locali per posizionare correttamente i pilastri, ovvero in modo tale che il momento d’inerzia maggiore sia nella direzione del graticcio e definiamo i vincoli a terra come degli incastri.

MODELLAZIONE SHELL

Modelliamo l’elemento shell con lo strumento _Drawpolyarea e ne discretizziamo la superficie.

Assegniamo alla shell uno spessore di 0,5 m e un materiale, il medesimo utilizzato per i pilastri, del quale abbiamo modificato il valore del coefficiente di Poisson ponendolo pari a zero in quanto utilizziamo un elemento continuo (shell) per simulare il comportamento di un elemento discontinuo (graticcio) nel quale le deformazioni laterali sono trascurabili e non hanno effetti secondari.

ANALISI DEI CARICHI (SHELL)

Ipotizziamo che sopra il graticcio gravi il peso di 4 piani. Calcoliamo un Qslu pari a 12,91 KN/mq.

Quindi definiamo un Load Pattern F con moltiplicatore pari a 1 (in quanto consideriamo il peso proprio del cls che non è trascurabile) e assegniamo i carichi ai nodi, secondo le rispettive aree di influenza.

Nodi centrali: 12,91 KN

Nodi perimetrali: 6,455 KN

Nodi angolari: 3,227 KN

Avviamo l’analisi. Da questa verifichiamo gli abbassamenti (accettabili poiché minori di 1/250 della luce) ed estrapoliamo il Momento massimo con il quale andiamo a verificare l’altezza minima della shell.

DIMENSIONAMENTO GRATICCIO

Tramite la tabella Excel verifichiamo che l’altezza assegnata alla shell non è sufficiente.

Quindi passiamo al dimensionamento del graticcio.

Per fare ciò procediamo con il calcolo del momento d’inerzia di una porzione di piastra che abbia una sezione di 0,5 m (altezza della piastra) x 2 m (che sarà il passo delle travi del graticcio). Ora ipotizziamo la base delle nostre travi (0,4 m), inserendola nella formula inversa dell’inerzia che abbiamo trovato. In questo modo, utilizziamo il valore del momento di inerza di un elemento con base 2m, per calcoare l'altezza minima di un elemento con base minore, ossia 0,4 m: la base delle travi del nostro graticcio.

Ipotizzando una base di 0,4 m, otteniamo un’altezza minima di 0,85 m.

MODELLAZIONE GRATICCIO

Procediamo con la modellazione del graticcio, assegnando a tutte le travi la stessa sezione ricavata dalla tabella, sapendo che il graticcio è una struttura agerarchica.

Imponiamo che all’intersezione di tutte le travi ci sia un nodo rigido, per fare ciò, dividiamo tutti i frame alle intersezioni con il comando edit_lines > divide_frames.

Creiamo un nuovo Load Pattern Q e assegniamo i carichi concentrati sui nodi in base alle aree di influenza.

Nodi centrali: 206,56 KN

Nodi perimetrali: 103,28 KN

Nodi angolari: 51,64 KN

Avviamo l’analisi, verifichiamo gli abbassamenti (che sono accettabili poiché minori di 1/250 della luce) e, inserendo nella tabella Excel il Momento massimo delle travi e dei pilastri, risultano verificate a flessione le travi centrali, mentre la sezione delle travi di bordo è sottodimensionata, per ciò che riguarda i pilastri risultano sottodimensionati anch'essi. Occorrerà dunque aumentarne le sezioni.

Diagramma Momento 3-3

  verifica pilastri perimetrali

verifica trave di bordo

 

 

La struttura di dimensioni 40 m x 40 m x 4 m sostiene il peso di 4 piani ed è composta da un graticcio sorretto da 5 pilastri per lato che garantisce di avere al di sotto di esso uno spazio completamente libero e aperto.

Una volta stabilito il tipo di struttura e le sue caratteristiche, abbiamo portato il modello su SAP cominciando definendo le sezioni dei pilastri che abbiamo posizionato ogni 10 m con un calcestruzzo ad alte prestazioni C50/60

- Pilastri angolari: 1 m x 1 m

- Pilastri laterali: 1,2 m x 0,6 m

E' necessario verificare che i pilastri siano orientati in modo corretto dal momento che SAP li orienta di default tutti alla stessa maniera, invece noi abbiamo bisogno che l'inerzia maggiore sia nella stessa direzione delle travi che compongono il graticcio.

Assegnamo il vincolo esterno Incastro alla base di ogni pilastro e disegnamo il graticcio all'inizio sotto forma di una piastra (successivamente disegneremo il vero e proprio graticcio) con lo strumento Draw polyarea e gli assegamo una sezione di 1 m x 1 m.

E' necessario che, nella definizione della piastra, noi andiamo a modificare il materiale, più precisamente il coefficiente di Poisson che poniamo uguale a zero. Facendo ciò simuliamo il comportamento di un sistema discretizzato dove non ci sono deformazioni ntroducendo un materiale fittizio per simulare un continuo bidimensionale . Il coefficiente di Poisson infatti tiene conto della diminuzione di dimensione in corrispondenza dell'allungamento in seguto a uno sforzo normale positivo.

Per assegnare i carichi prima è necessario discretizzare la superficie della piastra/shell in quanto più discretizziamo la superficie più i risultati saranno accurati. Dividiamo dunque la superficie in porzioni di 0,50 m x 0,50 m.

Il carico consiste in 10 kN/mq per piano, moltiplicandolo per l'area e il numero dei piani otterremo il carico puntale (64.000 kN) che verrà assbito dalla piastra dai nodi centrali, ancolari, perimetrali. I nodi centrali sono 6241, quelli perimetrali 316, quelli angolari 4. Considerando che sui centrali andrà la totalità del carico, sui perimetrali la metà e sugli angolari un quarto:

64.000 / (6241+158+1) = 9,73 kN che è circa uguale a 10 kN

- Sui nodi centrali verranno trasferiti 10 kN di carico

- Sui nodi laterali 5 kN

- Sui nodi angolari 2,5 kN

Assegnamo tali carichi a ciascun nodo su Sap dopo aver creato il caso di carico F che terrà conto del peso proprio degli elementi e mandiamo l'analisi. Osserviamo i diagrammi di normale, taglio e momento  dei pilastri, la deformazione della piastra,dai cui deduciamo che l'abbassamento è accettabile in quando di circa 2 cm e il momento massimo della piastra pari a 25694 kNm.

Grafico della Normale:

Grafico del Taglio:

Grafico del Momento:

Grafico della deformazione della piastra:

Grafico del momento della piastra:

Inserendo il valore del momento massimo della piastra all'interno del foglio Excell posso dedurre l'altezza effettiva della piastra ovvero 1,77 (vedi riga gialla):

Possiamo passare direttamente al progetto del graticcio considerando l'altezza della piastra accettabile. Successivamente poniamo l'interasse delle travi del graticcio uguale a 2 m.

Se ci calcoliamo l'inerzia di 2 m x 1 m di piastra con la formula Ix = b x h^3 / 12 troviamo l'inerzia che dovrà avere ogni trave del graticcio. 

Successivamente se usiamo la formula inversa e scegliamo la dimensione della base della trave (0,50 m) otterremo l'altezza della trave del graticcio:

Ix = b x h^3 / 12 = (2 x 1^3 ) /12 = 0,16

h = [ (Ix x 12)/b ] ^1/3 = [ (0,16 x 12 ) / 0,50 ] ^1/3 = 1,56 => 1,70 m

Possiamo dunque sostituire la piastra progettando il graticcio con tali sezioni 1,70 m x 0,50 m

Creiamo il nuovo caso di carico Q e calcoliamo i carichi allo stesso modo della piastra:

64.000 kN / 361 nodi centrali + 38 nodi perimetrali + 1 nodo angolare = 160 kN

- Sui nodi centrali verranno trasferiti 160 kN di carico

- Sui nodi laterali 80 kN

- Sui nodi angolari 40 kN

E mandiamo nuovamente l'analisi:

Diagramma del momento massimo sul pilastro:

Diagramma del momento massimo sulla trave del graticcio:

Notiamo che sui pilastri il momento massimo è molto alto poichè questo tipo di strutture tende a gravare molto sui sostegni su cui si poggia. Il momento massimo sui pilastri è pari a 40131,69 KNm e sulle travi del graticcio è pari a 23524,23 KNm. Per ridurre tale momento possiamo provare ad aumentare la sezione della trave di bordo in modo tale da modificarne la rigidezza per sopperire lei a tale momento. Aumentiamo dunque la sezione sia del pilastro che della trave di bordo utilizzando il foglio excell (vedi riga verde e rossa):

Se, come nel nostro caso, in momento non si riduce, ne sul pilastro e ne sulla trave di bordo, è necessario cambiare il tipo di sezione della trave di bordo. Per questo motivo assegno una seziione rettangolare cava, in quanto i profili cavi hanno una elevata rigidezza torsionale. Infatti se irrigidiamo la trave questa farà effetto 'incastro' in quanto non ruoterà a torsione e il momento si ridurrà notevolmente.

Diagramma del momento massimo pilastro:

Diagramma del momento massimo sulla trave del graticcio:

Diagramma deformazione verificata:

In questa esercitazione abbiamo preso in analisi una porzione del graticcio appartenente al progetto di fine anno.

Sapendo che il graticcio ha carichi e deformazioni che si sviluppano al di fuori del piano medio della sezione, possiamo schematizzare il comportamento di un graticcio di travi molto fitto con il comportamento di piastra.

PIASTRA

Su sap quindi ci disegniamo una piastra, in corrispondenza di dove poi andremmo a mettere il graticcio, e le diamo una prima altezza a piacere. Inizialmente le abbiamo assegnato un’altezza qualitativa di 1,5 m.

Per avere dati relativi alla piastra più precisi occorre discretizzare la superficie in tante superfici più piccole così che il software abbia una velocità di calcolo maggiore.

Effettuiamo un’analisi dei carichi agenti allo Stato Limite Ultimo sapendo che al di sopra del graticcio sono presenti 5 piani di uffici non aperti al pubblico che scaricano sul solaio di ripartizione in modo puntiforme. Posizioniamo i carichi puntiformi ai nodi della piastra discretizzata.

     

Dopo aver impostato i vincoli alla struttura facciamo partire l’analisi mettendo anche il peso proprio della piastra per non dover effettuare una maggiorazione fittizzia in seguito.

Verifichiamo gli spostamenti tenendo conto che l’abbassamento massimo deve essere ridotto del 25%, questo perché il calcolo è stato effettuato con i carichi allo Stato Limite Ultimo. Gli abbassamenti sono inferiori al 2% della distanza dall’appoggio e sono inferiori a 2cm.

Ci estrapoliamo il valori massimi di tensione interna e verifichiamo, con il metodo delle tensioni ammissibili, la piastra a flessione.
Sapendo che nella piastra gli sforzi interni sono per unità di lunghezza, il momento che troveremo da SAP sarà in kNm/m. Verifichiamo la piastra impostando una base uguale al passo del graticcio così da trovarci l’altezza minima della piastra affinchè resista ai carichi agenti.

Dalla verifica otteniamo un’altezza di progetto di 0,60 m, questo vuol dire che l’altezza di 1,5 m assegnata precedentemente alla piastra era troppo elevata.

La verifica a rottura, con un’altezza di progetto di 0,6m , è soddisfatta ma su SAP non è verificata agli abbassamenti.

A questo punto iteriamo il tutto con un’altezza di 0,7 m la quale resiste ai carichi agenti ed è verificata agli spostamenti.

Ora possiamo trovarci l’inerzia della piastra larga 1,5 m e alta 0,7 m.

GRATICCIO

Visto che il passo del graticcio è di 1,5 m, ogni trave dovrà avere un’altezza della sezione che soddisfi l’inerzia calcolata precedentemente.
Esplicitiamo così l’altezza di progetto della sezione della trave che viene di 1,1 m.

Dopo che ci disegniamo il graticcio applichiamo i carichi e i vincoli esterni. Ci estrapoliamo gli sforzi interni e verifichiamo che la sezione assegnata alle travi del graticcio resista a flessione e soddisfi gli abbassamenti.

MOMENTO FLETTENTE MASSIMO (M3)

Prendiamo dal modello anche il momento torcente massimo agente sulle travi e verifichiamo che la tensione tangenziale massima non sia maggiore di 8 Mpa.

MOMENTO TORCENTE MASSIMO (T)

La sezione risulta verificata anche a torsione.

PILASTRI

I pilastri al di sotto del graticcio, essendo doppiamente incastrati, vanno dimensionati a pressoflessione.

ESERCITAZIONE 5

PIASTRA O GRATICCIO?

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DESCRIZIONE DEL CASO

 

Nella seguente esercitazione porto come caso studio una parte del progetto che sarà presentato all’esame. Nello specifico si tratta di un area interrata adibita a parcheggio (23.63m *17m), per questo ho la necessita di trovare una risposta strutturale che mi permetta di coprire luci che iniziano ad essere importanti lasciandola l’area sottostante libera dai pilastri.

 

L’interogativo, che è lo stesso a qui siamo posti per questa esercitazione è:

“Per risolvere strutturalmente la copertura uso una piastra o un graticcio di travi?”

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RIFLESSIONE

Benché entrambe strutturalmente potrebbero essere la soluzione al problema, i parametri che variano sono molteplici e non rivestono solo l’ambito del comportamento meccanico. A parità di carico, un piastra pesa di più di un graticcio di travi (in funzione dell’interasse di quest’ultimo, ovvio che più la maglia di quest’ultimo sarà stretta, più questo sarà paragonabile ad una piastra). Da un punto di vista cantieristico la realizzazione di una piastra è più semplice di quella di un graticcio( dato il montaggio delle casseforme), ma analogamente il dispendio di materiale è superiore incidendo sull’ economia del progetto).

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ANALISIDEI CARICHI

I carichi agenti sulla copertura del parcheggio sono quelli dovuti al metro di terreno di riporto sulla sommità e quello accidentale delle persone che ci camminano sopra( per quest’ultimo si è considerato come  una zona soggetta a grande affollamento come caso estremo).

	L	l	s	γ
	m	m	m	N/m3
Terreno	17.01	23.63	1	19.6133	7883.493
Accidentale				5	2009.732
					9893.225

 

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RIPARTIZIONE DEI CARICI NELLA PIASTRA

Per quanto riguarda la modellazione in SAP2000 si è preso arbitrariamente una sezione di altezza 0.6m per la piastra. Quest’ultima è stata modellata suddividendola in sottomultipli delle dimensione del parcheggio.

 

I carichi possono essere considerati puntuali nei nodi in cui ho diviso la piastra ( n.b. potrei considerarli anche distribuiti calcolando le singole aree di influenza). La  regola rimane che i nodi al centro si prenderanno il l’intero quantitativo del carico al mq derivante dall’analisi dei carichi (diviso il numero dei nodi), quelli al bordo ½ e quelli agli angoli ¼.

	n		F
NODI CENTRALI	1131		8.24
NODI BORDO	68		4.12
NODI ANGOLO	1		2.06
	1200

Caricata la struttura posso leggere i valori del momento flettente e dell’abbassamento. Si nota che i valori più rilevanti, riguardo il momento si hanno sul appoggio con i pilastri di bordo. La disposizione di questi, nello specifico la loro inerzia influenza la flessione della piastra.( n.b. i pilastri  dovrebbero sempre garantire  il momento d’inerzia superiore offerto dalla sua sezione,  in asse con la flessione della piastra).

 

 

 

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E’ QUI CHE AVVIENE LO SWITCH!

Riprendendo la domanda principale, “piastra o graticcio?”, prendo il valore massimo di Momento Flettente e predimensiono un’ipotetica trave che abbia come base lo spessore della piastra. Se l’altezza utile è molto inferiore o superiore allo spessore della piastra si innesca un processo di iterazione dove gradualmente diminuendo o aumentando lo spessore della mia piastra verifico questa.(n.b. questo processo di iterazione può comportare  la definizione di piastre con spessori tali che non sono plausibili, dato che si arriverà a casi dove il peso stesso della piastra svilupperà reazioni esagerate che richiedono una grande dimensione degli appoggi). Se da questo predimensionamento non si hanno drastiche differenze geometriche con lo spessore scelto, si può anche ipotizzare di convertire la piastra in un graticcio di travi.

Mmax (KN*m)	fyk (N/mm2)	fyd (N/mm2)	fck (N/mm2)	fcd (N/mm2)	β	r	b (cm)	hu (cm)	δ (cm)	Hmin (cm)
1954.50	450.00	391.30	50.00	28.33	0.52	2.16	60.00	73.10	5.00	78.10

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RIPARTIZIONE DEI CARICHI NEL GRATICCIO

Nota la  campata tra gli appoggi al bordo, posso suddividerla in sottocampate che saranno gli assi delle travi del mio graticcio.

Mi calcolo il Momento d’Inerzia di una fascia di piastra, di dimensioni analoghe all’area di influenza delle travi del graticcio. Lo scopo è quello di dimensionare delle travi che garantiscono la stessa inerzia flessionale della piastra. Per fare questo ipotizzo una base per la trave del mio graticcio e tramite la formula inversa mi ricavo l’altezza utile necessaria.

I=1/12 bh^3

h=(12I/b)^1/3

Anche qui si innesca un processo di iterazione per il quale variano le dimensioni del pilastro o diminuendo le dimensioni della maglia riesco a garantire lo stessa inerzia.

s	interasse	I	b	h
m	m	m^4	m	m
0.6	1.89	0.034	0.3	0.4536
0.6	1.97	0.035	0.3	0.4726

Nel caso riportato ho suddiviso le campate tra i singoli appoggi in 3 parti uguali. Questo mi ha permesso di ottenere delle travi di dimensione 300x500mm per il mio graticcio.

La ripartizione dei carichi ora è analoga a quanto già fatto per la piastra.

Avviata l’analisi posso verificare l’abbassamento e la pressoflessione dei pilastri.

 

Pilastri	L	b	h	A	Wx	fck	fcd	N	M	e	h/6	h/2		sigma_N	sigma_M	sigma_max
	m	cm	cm	cm^2	cm^3	Mpa	Mpa	kN	kNm	cm	cm	cm		Mpa	Mpa	Mpa
Piccola Eccentricità
4	4	50	80	4000	53333.333	50.00	28.33	-1192.2	37.4942	3.14	13.333333	40.0	Piccola	2.98	0.70	3.68	Verificata
5	4	50	80	4000	53333.333	50.00	28.33	-1545.91	1.1E-12	0.00	13.333333	40.0	Piccola	3.86	0.00	3.86	Verificata
6	4	50	80	4000	53333.333	50.00	28.33	-1192.2	-37.4942	3.14	13.333333	40.0	Piccola	2.98	-0.70	2.28	Verificata
8	4	50	80	4000	53333.333	50.00	28.33	-1079.41	28.7142	2.66	13.333333	40.0	Piccola	2.70	0.54	3.24	Verificata
9	4	50	80	4000	53333.333	50.00	28.33	-1079.41	-28.7142	2.66	13.333333	40.0	Piccola	2.70	-0.54	2.16	Verificata
11	4	50	80	4000	53333.333	50.00	28.33	-1192.2	37.4942	3.14	13.333333	40.0	Piccola	2.98	0.70	3.68	Verificata
12	4	50	80	4000	53333.333	50.00	28.33	-1545.91	2.535E-12	0.00	13.333333	40.0	Piccola	3.86	0.00	3.86	Verificata
13	4	50	80	4000	53333.333	50.00	28.33	-1192.2	-37.4942	3.14	13.333333	40.0	Piccola	2.98	-0.70	2.28	Verificata
15	4	50	80	4000	53333.333	50.00	28.33	-1079.41	-28.7142	2.66	13.333333	40.0	Piccola	2.70	-0.54	2.16	Verificata
16	4	50	80	4000	53333.333	50.00	28.33	-1079.41	28.7142	2.66	13.333333	40.0	Piccola	2.70	0.54	3.24	Verificata

 

														β	r	hu	δ	Hmin	H
																cm	cm	cm	cm
Piccola Eccentricità
1	4	70	70	4900	57166.667	50.00	28.33	-114.725	197.9718	172.56	11.666667	35.0	Grande	0.73	1.91	17.14	5.00	22.14	40.00	Verificata
7	4	70	70	4900	57166.667	50.00	28.33	-114.725	-197.9718	172.56	11.666667	35.0	Grande	0.73	1.91	17.14	9.00	26.14	44.00	Verificata
10	4	70	70	4900	57166.667	50.00	28.33	-114.725	197.9718	172.56	11.666667	35.0	Grande	0.73	1.91	17.14	12.00	29.14	47.00	Verificata
14	4	70	70	4900	57166.667	50.00	28.33	-114.725	-197.9718	172.56	11.666667	35.0	Grande	0.73	1.91	17.14	16.00	33.14	51.00	Verificata

 

Per quanto riguardal'abbassamento ho invece:

Joint	U1	U2	U3
Text	mm	mm	mm
160	7.452E-15	0.0606	-45.68567
161	7.931E-15	-0.0606	-45.68567

 

 

 

L’esercitazione prevede il dimensionamento e la verifica di una struttura in cls armato composta da tre travi Vierendeel incastrate su tre setti. La trave Vierendeel è costituita da due correnti, superiore e inferiore e da una serie di montanti verticali. Il modello che approssima bene la trave Vierendeel è il telaio Shear-Type ruotato di 90°, caratterizzato da traversi infinitamente rigidi flessionalmente e montanti infinitamente rigidi sia assialmente che flessionalmente.

GEOMETRIA

Abbiamo considerato una struttura composta da tre travi Vierendeel aggettanti. Le travi sono caratterizzate da campiture di 3 m di larghezza per 3 m di altezza, tutte aggettanti di 18 m. I tre setti, invece, hanno una dimensione di 6x9x0,4 m.

 

 

ANALISI DEI CARICHI

Abbiamo scelto un solaio in cls armato e abbiamo effettuato l’analisi dei carichi per ricavare il valore delle forze concentrate che agiscono su ogni pilastro. Abbiamo calcolato sia le combinazione allo SLU che allo SLE. La combinazione allo SLE è necessaria per la verifica degli abbassamenti.

• q_s = 3,50 KN/m²

• q_p = 3,00 KN/m²

• q_a = 2,00 KN/m²

• q_u= q_s x 1,3 + q_p x 1,5+ q_a x 1,5 = 12,05 KN/m²

• q_e= 3,50 KN/m² x 1+ 3,00 KN/m² x 0,7+ 2.00 KN/m² x 0,7 = 7,00 KN/m²

Successivamente abbiamo calcolato l’area di influenza dei singoli pilastri e trovate le forze concentrate agenti su di essi.

Pilastri perimetrali: 3,00 x 2,50 m = 7,5 m²

Pilastri centrali: 3,00 x 5,00 m = 15 m²

Pilastri angolari: 1,5 x 2,5 = 3,75 m²

F centrale: 12,05 KN/m² x 15,00 m² = 180,75 KN

F perimetrale: 12,05 KN/m² x 7,5 m² = 90,37 KN

F angolare: 12,05 KN/m² x 3,75 m² = 45,2 KN

 

MODELLAZIONE SAP

Per prima cosa abbiamo modellato i setti tramite lo strumento “Poly Area” e successivamente abbiamo discretizzato le superfici in porzioni più piccole. Questa operazione ci permette di modellare il setto in modo verosimile e facilita il programma nel calcolo strutturale. Successivamente abbiamo assegnato i vincoli esterni alla base del setto considerati come incastri. Nel passaggio successivo abbiamo modellato le travi Vierendeel e abbiamo vincolato le travi e il setto attraverso un incastro. Per assegnare le sezioni in SAP abbiamo utilizzato le tabelle excel per pridimensionare le travi a flessione e i pilastri a presso-flessione utilizzando i valori massimi del momento e della normale ottenuti dal calcolo delle sollecitazioni. Abbiamo suddiviso gli elementi in base alla loro area di influenza. Per le travi centrali risulta una sezione di 40x100 cm, per le travi perimetrali una sezione 40x70 cm, per i pilastri centrali e perimetrali una sezione di 40x100 cm. Successivamente abbiamo assegnato le sezioni in SAP utilizzando un calcestruzzo di classe C40/50.

 

 

 

 

 

 

 

 

Per assegnare la sezione al setto, invece, abbiamo usato lo strumento “Area Section” scegliendo la tipologia “Shell” e, per tenere conto anche del taglio, abbiamo selezionato “Shell Thick” e assegnato uno spessore di 40 cm e un calcestruzzo di classe C40/50.

Successivamente abbiamo assegnato i carichi concentrati ai nodi pari a F = 180,70 KN per i pilastri centrali, una forza pari a F = 90,37 KN per i pilastri perimetrali e una forza pari a F = 45,2 KN per i pilastri angolari.

Infine abbiamo fatto partire l’analisi allo SLU e abbiamo estrapolato i diagrammi della Normale, del Taglio e del Momento.

 

VERIFICA

Trovate le sollecitazioni massime sia nei pilastri che nelle travi, abbiamo utilizzato le tabelle excel per verificare le sezioni assegnate, per i pilastri abbiamo effettuato la verifica a pressoflessione mentre per le travi abbiamo effettuato la verifica a flessione. Dalla verifica risulta non verificata la sezione 40 x 70 cm delle travi perimetrali. Andando a cambiare le dimensioni della sezione con 40 x 90 cm la verifica risulta soddisfatta. I pilastri, invece, risultano in grande eccentricità con le relative sezioni soddisfatte.

VERIFICA DEGLI ABBASSAMENTI

Devo verificare di quanto si abbassi la trave e per essere soddisfatta l’abbassamento maggiore non deve superare un 1/200 della distanza maggiore tra gli appoggi. Per verificare la deformabilità devo assegnare il carico allo stato limite di esercizio ed esportare gli abbassamenti. Prendo lo spostamento maggiore e verifico che sia minore di L/200, dove L è la distanza massima. Risulta che il valore massimo di abbassamento è di 0,02 m che soddisfa la verifica di deformabilità in quanto L/200= 18 m/200 = 0,09 m.

 

Dimensionamento di un sistema con travi Vierendeel

L’obiettivo dell’esercitazione è quello di modellare un aggetto con una Vierendeel e verificare gli effetti conseguenti su travi e pilastri.

1. Definizione del modello                                                                                                                                     

La struttura in cemento armato è composta da tre travi Vierendeel, ognuna delle quali ha un estremo libero e l’altro incastrato nel setto corrispondente. Ogni trave Vierendeel è scandita in cinque moduli da 3.50 m x 3.50 m, mentre il setto ha dimensioni 10,50 m x 7,00 m.

Dopo aver stabilito la geometria del modello, si rappresenta la struttura su SAP2000, realizzando il setto con una poly area, successivamente discretizzata in superfici da 0,25 x 0,25 m.

 

2. Assegnazione dei vincoli                                                                                                                                   

Si assegnano come vincoli a tutti i punti base del setto gli incastri, in modo che il comportamento del setto sia assimilabile a quello reale.

 

3. Assegnazione dei carichi                                                                                                                                   

Data la geometria della struttura, si stabilisce il carico in base alle aree di influenza, determinando le forze concentrate F sui pilastri.

-Pilastri perimetrali F= -173.35 kN

-Pilastro perimetrale (estremo libero) F= -86.67 kN

-Pilastri centrali F= -315.41 kN

-Pilastro centrale (estremo libero) F= -157.70 kN

4. Assegnazione delle sezioni                                                                                                                               

La sezione del setto è in cemento armato ed è definita tramite una shell con spessore 0,6 m.

Le travi e i pilastri invece vengono dimensionati tramite la forza F dovuta al carico (pacchetto solaio + peso proprio) e i momenti massimi (sulle travi M=9FL/4, sui pilastri M=FL/2, dove L=3.50 m). Per aumentare la rigidezza flessionale dei pilastri il momento d’inerzia deve essere maggiore, e quindi bisogna andare ad aumentare la sezione dei pilastri.

 

5. Analisi e verifiche                                                                                                                                               

Fatte tutte le assegnazioni, si procede all’analisi per verificare gli effetti della combinazione di carico allo stato limite ultimo (SLU). Tramite l’analisi si individuano i nuovi momenti flettenti, in questo modo si possono verificare le sezioni precedentemente dimensionate.

 

Per effettuare la verifica degli abbassamenti si sottopone la struttura allo stato limite di esercizio (SLE), quindi a nuove forze concentrate sui pilastri. Il nodo sottoposto ad un abbassamento maggiore è quello nell’estremo libero della trave Vierendeel centrale, di conseguenza si verifica che l’abbassamento massimo sia inferiore a 1/200 della luce (17.50 m / 200): δ_max = 0,0182 m < 0.0857 m OK

La quarta esercitazione si poneva come obiettivo il dimensionamenti di una Trave Vierendeel. Si è partiti immaginando una struttura formata da due setti in cls armato di base 8 m e altezza 12 m, ai quali vengono incastrate due travi Vierendeel che aggettano di 16 m, con una maglia quadrata di 4 m e altezza 3 m.

Analizzando i carichi che gravano sulle travi risulta un valore di Qu 12,23 KN/m derivante dal calcolo allo SLU tra qs=3,62 kN/mq, qp=2,81 kN/mq e qa=2kN/mq considerando un solaio come specificato in foto:

A questo punto si è disegnato il il modello su Autocad e successivamente importato su SAP, inseriti i vincoli e le relative forze si procede all'analisi e si esportano i dati utili su Excel. Nei valori si ricercano N e M massimi per effetturare il predimensionamento delle sezioni dei montanti, dei  montanti esterni e dei correnti delle travi Vierendeel. Per fare ciò si trova il modulo di resistenza necessario attraverso la relazione Wx= Mmax/fyd che fornisce dati utili alla ricerca del profilato sul sagomario. Si è poi proceduto alla sostituzione delle sezioni ricavate su SAP per avviare una nuova analisi al fine di ottenere i valori specifici di momento e normale tenendo conto del peso proprio della struttura.

Grafico della deformata.

Grafico dello sforzo normale.

 

Grafico del momento.

I nuovi valori sono stati inseriti nelle tabelle Excel per la verifica a pressoflessione di correnti e montanti. Gli elementi risultano inizialmente verificati ad eccezione dei correnti per i quali si sceglie un profilato leggermente più grande che risulterà poi verificato. 

Una volta verificate le sezioni e corrette sul modello di SAP si è effettuato il cpntrollo degli spostamenti considerando che lo spostamento massimo non superi mai 1/200 l max= 16/200=0.08 m. Essendo δ max= 0.0589 m la struttura risulta verificata.

 

Il nostro progetto è caratterizzato da da un sistema di travi Vierendeel a sbalzo per circa 16mt. 

La struttura particolare si sviluppa si 5 piani. La distanza tra i solai è di 4.2mt

Impostata l'analisi dei carichi:

Abbiamo sviluppato l'analisi dei carichi utile per la modellazione successiva in SAP:

  

Importato il modello 3D modellato precedentemente su Autocad abbiamo proseguito con la modellazione:

Apportati i carichi calcolati, una volta avviata l'analisi, sono stati definiti gli schemi statici:

Taglio

Sforzo Assiale:

Momento:

Laboratorio di Progettazione Strutturale 1M – Prof. Ginevra Salerno

Esercitazione 4: Dimensionamento di massima di una trave Vierendeel

Studenti: Patryk Rynkowski, Luca Santilli

Questa esercitazione ha l’obiettivo di dimensionare una trave Vierendeel per risolvere una struttura in aggetto. La trave Vierendeel è caratterizzata da collegamenti rigidi e presenta sollecitazioni di taglio e momento flettente.

Disegniamo quindi una struttura ipotetica con gli estremi di sinistra incastrati ad un supporto esterno e quelli di destra liberi. La lunghezza complessiva è di 23.5m, con interassi da 4.25m, altezza di 12.6m.

Pianta:

Prospetto:

Dato che la trave Virendeel è assimilabile alla configurazione di un telaio di tipo Shear ruotato di 90⁰, possiamo delineare la deformata del nostro modello.

A questo punto passiamo su SAP e modelliamo la struttura tramite il comando Draw Poly Area.

Tramite il comando Edit Area – Divide Area, creiamo una griglia di 0,3mx0,3m.

Ora costruiamo la trave Virendeel, appoggiandola ai setti.

Aggiungiamo ora i vincoli esterni alla base dei setti (Joint Restraints).

Definiamo la sezione dell’area: 

tipo (Shell-Thick); 

materiale (C28/35); 

spessore (1,2m).

Infine definiamo le sezioni di travi (30x60) e pilastri (100x60): 

PILASTRI

TRAVI

Ora passiamo all’assegnazione dei carichi.

Qs = 3,5 Kn/m²        Qa = 2,00 Kn/m²         Qp = 3,0 Kn/m²        Qu = 12,05 Kn/m²

 

1. Ai = 18,9 m²   q solaio = 227,74 Kn x 2
2. Ai = 9,45 m²   q solaio = 113,87 Kn x 2  

F = 455,5 Kn   F/2 = 227,7  Kn

Assegniamo il tutto su SAP (Assign Joint Forces).

TAGLIO

Trave I: 2T = F/2 --> T = F/4 --> T = 113, 85 Kn

Trave II: 2T = F + F/2 --> T = ¾ F --> 341, 62 Kn

Trave III: 2T = F/2 + F + F = T = 5/4 F --> 569,37 Kn

Trave IV: 2T = F +F + F + F/2 --> 7/4 F      T = 797,12 Kn

Visualizziamo il grafico del taglio su SAP:

MOMENTO FLETTENTE

M’ = T  ->  M = ∫ T  ->  M = T*X+C

I)  F = 455,5 Kn ; L = 4,2m

M(l) = F/4*4,2+C = 478,27 + C

M(0) = F/4*0+C = C

C = M(l) = 478,27 – 327,6 = 150,67

C = M(0) = 150,67

 

II)  F = 455,5 Kn ; L = 4,2m

M(l) = ¾ Fl + C = 1434,82 + C

M(0) = ¾ F*0+C = C

C = M(l) = 1434,82 – 912,4 = 522,42

C = M(0) = 522,42

 

III)  F = 455,5 ; L = 4,2

M(l) = 5/4 F*L+C = 2391,37

M(0) = 5/4 F*0+C = C

C = M(l) = 2391,37-1490,28 = 901,09

C = M(0) = 901,08

 

IV)  F = 455,5 ; L = 4,2

M(l) = 7/2 F*L+C = 6695,85+C

M(0) = 7/2 F*0+C = C

C = M(l) = 4046,74

C = M(0) = 4046,74

 

Visualizziamo il grafico del momento su SAP:

PILASTRI

I) M’ = T   M = 322,82   T = 113,85     

N+N – F/2 = 0

N+N = F/2

2N = F/2 -> N = F/4 -> 111,59

N = 11,59 Kn

II)  M = 1233,6 Kn    T = 341,62 Kn

N+N-F -> N+N = F -> 2N = F

N = F/2 -> 616,9 Kn

III)  T = 568,37 KnM = 2396,9

N = F/2 -> 1198,45 Kn

IV)  M = 4139,4   T = 797,12 Kn

N+N = F -> N = F/2 -> 2069,7 Kn

Diagramma sforzo normale N:

Visualizziamo la struttura deformata su SAP e constatiamo l’ABBASSAMENTO:

A questo punto possiamo procedere alle verifiche sulle relative tabelle Excel:

PILASTRI:

TRAVI:

Render: